Arzach Moebius

Corso di laurea in Matematica - a.a. 2013/14
ANALISI MATEMATICA 4
Prova scritta del 9/7/2014 - (proff. F. Messina - C. Zanco)
Cognome..............................................Nome...............................................Matr..................
1. (7 punti) Siano A la bolla unitaria di R3 nella norma euclidea,
B = {(x, y, z) ∈ R3 : 2(y 2 + z 2 ) ≤ 3x} e C = A ∩ B. Calcolare l’area della frontiera
di C.
2. (9 punti) Per n = 1, 2, ... e α ∈ R sia
Dn,α = {(x, y) ∈ R2 : x2 ≤ y ≤ (2 − 1/n5 )x2 , x > nα }.
Sia f la funzione reale q.o. definita su R2 nel modo seguente
exp(x − y)
.
f (x, y) =
4x4 − y 2
Stabilire per quali valori positivi del parametro reale α la funzione (q.o. definita su
∞
X
2
R)
f χDn,α `e integrabile su R2 . Stabilire quindi se la funzione (q.o. definita su
n=1
R2 )
∞
X
f χDn,−1 /n2 `e integrabile su R2 .
n=1
3. (9 punti) Sia D = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 ≤ 1, z > 0}. Al variare del
parametro reale α, siano fα , gα : D → R definite rispettivamente da
1
,
gα (x, y, z) = fα (x, y, z) cos z.
fα (x, y, z) =
α
1 + z (x2 + y 2 )
Stabilire per quali valori di α si ha fα ∈ L1 (D) e per quali valori di α si ha
gα ∈ L1 (D).
4. (8 punti)
a) Sia S un sottoinsieme non misurabile del tipo di Vitali dell’intervallo [0,1].
Che cosa si pu`o dire circa la misura dei sottoinsiemi misurabili di S? Al variare di
α ∈ [0, 1], discutere l’esistenza di sottoinsiemi di Vitali S di [0,1] tali che [0, 1] \ S
contenga sottoinsiemi misurabili di misura esattamente α.
b) Per la generica funzione non negativa (eventualmente non Lebesgue-misurabile)
f : R → R, si definisca l’integrale di f come l’estremo superiore degli integrali di
Lebesgue delle funzioni s semplici misurabili tali che s ≤ f . Che cosa si pu`o dire
circa l’additivit`a dell’integrale cos`ı esteso
a tutteR le funzioni
positive (cio`e circa il
R
R
fatto che, per ogni f, g ≥ 0, si abbia (f + g) = f + g)?

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