Flowers from Hell

Fisica Moderna - Relatività ristretta
Liceo Scientifico Tecnologico
Classe 5 LST B
a.s. 2013/2014
ESERCIZIO TRATTO DA “Fondamenti di fisica”
(D. Halliday, R. Resnick, J. Walker) Vol. Fisica Moderna - Modulo Cap. 38 - Argomento Problema:
Energia
!
!
!
Sviluppo curato da: Dante Giovannangelo
Docente: prof. Quintino D’Annibale
Testo
Nel paragrafo 29.5 si è visto che una particella di carica q e massa m, che si muove a una velocità v
perpendicolare al campo magnetico uniforme B, descrive una circonferenza di raggio r dato dall’equazione
29.16:
!!
!
r=
mv
qB
Abbiamo dimostrato inoltre che il periodo T del moto circolare è indipendente dalla velocità della particella.
Questi risultati valgono solo se v<<c. Per le particelle che si muovono più velocemente, si dimostra che il
raggio del percorso circolare è:
!!
!!
!
r=
mv
p γ mv
mv
=
=
=
qB qB qB qB 1− β 2
Questa equazione è valida per qualsiasi velocità. Si calcoli il raggio del cammino di un elettrone avente
energia cinetica di 10.0 MeV che si muove perpendicolarmente a un campo magnetico uniforme di 2.20 T,
utilizzando (a) le formule classiche e (b) quelle relativistiche. (c) Si calcoli il periodo T = 2πr/v del moto
circolare usando per r le formule relativistiche. Il risultato è indipendente dalla velocità dell’elettrone?
!
!
!!
!!
Sviluppo
(a)
Già dal testo è possibile evincere che la nota formula dell’energia cinetica:
K=
1 2
mv
2
rappresenta un’approssimazione per velocità v<<c.
Dai dati a noi forniti intendiamo subito che v ≈ c e per ricavare una velocità v corretta ci affidiamo alla
formula relativistica dell’energia cinetica che viene fuori da una serie di concetti molto semplici:
!
• Per definizione l’energia cinetica è il lavoro richiesto per portare un corpo da una velocità nulla a una
velocità v;
• Ipotizzando energia potenziale nulla, nella meccanica classica: 1
L = ΔE = K − K 0 = mv 2
2
• Mentre nella meccanica relativistica: L = ΔE = E − E0 = mc 2
1) L = K = mc 2 (γ − 1)
− m0 c 2 = γ m0 c 2 − m0 c 2 = m0 c 2 (γ − 1)
!
• In cui E è l’energia di massa in movimento ed E0 è l’energia di massa a riposo. Ovviamente è possibile
trattare l’argomento sotto un profilo cinetico/energetico ma non dilunghiamo;
• Mi ricavo ora la velocità v dalla 1):
!!
!!
!!
!
K = mc 2 (γ − 1)
=
mc 2
1− β
2
− mc 2 =
K 1− β 2 = mc 2 − mc 2 1− β 2
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dopo vari passaggi algebrici:
!
2
2)
2
2
⎛ mc 2 ⎞
⎛ mc 2 ⎞
⎛ mc 2 ⎞
v
β = −⎜
+
1
→
=
−
+
1
→
v
=
c
−
⎜⎝ K + mc 2 ⎟⎠
⎜⎝ K + mc 2 ⎟⎠ + 1
c
⎝ K + mc 2 ⎟⎠
!
!!
!!
facendo l’equivalenza:
!!
!
K = 10MeV = 1,6 ⋅10 −12 J
Sostituisco ora i dati numerici alla 2):
2
⎛ mc 2 ⎞
⎛
⎞
9,1⋅10 −31 kg(3⋅10 8 m / s)2
m
8 m
v = c −⎜
+
1
=
3⋅10
−
= 299.644.109,5
2⎟
−12
−31
8
2 ⎟
⎜
s
s
⎝ K + mc ⎠
⎝ 1,6 ⋅10 J + (9,1⋅10 kg(3⋅10 m / s) ) ⎠
!
Ora possiamo applicare la formula classica del raggio descritto da un elettrone in movimento soggetto ad
una forza di Lorentz centripeta:
!
!
!!
!
!
r=
mv 9,1⋅10 −31 kg ⋅ 299.644.109,5m / s
=
= 7, 76 ⋅10 −4 m
qB
1,6 ⋅10 −19 C ⋅ 2,2T
(b)
Applichiamo ora la formula relativistica del raggio. Dal testo osserviamo come questa equazione derivi
proprio dalla relatività della quantità di moto la quale si basa essa stessa sui precetti di dilatazione del tempo
e contrazione delle lunghezze:
!!
!!
p = mv = m
Δx
Δx
= m γ = γ mv
Δt 0
Δt
questa analisi teorica ci fa capire come il concetto di massa a riposo(espresso nella precedente equazione
dell’energia cinetica) sia strettamente legato alle condizioni di moto e quindi alla relazione spazio-temporale
relativistica.
!!
!!
!!
!
Applichiamo ora semplicemente l’equazione relativistica del raggio, per cui:
r=
mv
qB 1− β 2
=
m
s
=
= 1,6 ⋅10 −2 m
2
(299.644.109m / s)
1,6 ⋅10 −19 C ⋅ 2,2T 1−
(3⋅10 8 m / s)2
9,1⋅10 −31 kg ⋅ 299.644.109
mv
v2
qB 1− 2
c
!!
(c)
!
T=
La formula del periodo, integrata con la formula del raggio relativistico:
2π r
=
v
2π
mv
qB 1− β 2
=
v
2π m
2
qB 1−
v
c2
2 ⋅ 3,14 ⋅ 9,1⋅10 −31 kg
=
1,6 ⋅10 −19 C ⋅ 2,2T 1−
!
(299.644.109m / s)
(3⋅10 8 m / s)2
2
= 3, 35 ⋅10 −10 s
Concludiamo quindi che con velocità prossime alla luce, il periodo descritto da un elettrone all’interno di un
campo magnetico costante dipende dalla velocità per v≈c.
!
La grandezza delle equazioni della relatività è che valgono a qualsiasi velocità.
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Nel caso in cui v<<c il fattore di Lorentz è del tutto trascurabile, mentre per v≈c esso rappresenta il termine
appropriato per ottenere i valori opportuni.
!
!
Questo nuovo punto di vista della relatività fa perno ai due postulati di Einstein: 1.
2.
!
!
Postulato della relatività Le leggi della fisica sono le stesse in tutti i sistemi di riferimento inerziali. Non
esiste nessun riferimento privilegiato.
Postulato della velocità della luce La velocità della luce nel vuoto ha lo stesso valore c in tutte le
direzioni e in tutti i sistemi di riferimento inerziali.
La grandezza di tutte le equazioni relativistiche risiede infatti nel limite: la velocità della luce non sarà mai
raggiungibile da nessun corpo e soprattutto in nessun sistema di riferimento.
!
Giovannangelo Dante.
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