Seelenangst Veit Etzold

Modelli di oligopolio
Docente: Matteo Alvisi
Corso di Microeconomia
Laurea in Scienze Politiche, Sociali e Internazionali
Aprile 2014
1
Duopolio
1.1
Il modello di Cournot
1.1.1
Le ipotesi
Ci sono due sole imprese sul mercato, l’impresa 1 e l’impresa 2, che sono identiche:
Entrambe producono un bene omogeneo
Entrambe hanno la stessa funzione di costo totale lineare C (Qi ) = cQi ; dove i = 1; 2:
Entrambe hanno la stessa funzione di costo marginale (e medio) costante C 0 (Qi ) = CM (Qi ) = c:
Le imprese fronteggiano la funzione di domanda di mercato
P (Q) = a
bQ
dove Q = Q1 + Q2 :
Le imprese hanno come obiettivo la massimizzazione del pro…tto: ciascuna impresa i sceglie la quantità
ottimale da produrre Qi al …ne di massimizzare il proprio pro…tto
i:
Le imprese scelgono simultaneamente la quantità da produrre: l’impresa 1 sceglie Q1 senza conoscere
Q2 e viceversa.
1.1.2
La domanda residuale
Supponiamo che l’impresa 1 si aspetti che l’impresa 2 produca una quantità pari a Qe2
L’impresa 1 massimizza il proprio pro…tto tenendo conto di questa aspettativa.
Data Qe2 ; la domanda che l’impresa 1 si aspetterà di dover soddisfare è
P (Q1 ) = a bQe2
| {z }
bQ1 :
a0
L’impresa 1 si comporta come un monopolista sulla propria funzione di domanda residuale.
Massimizza il pro…tto eguagliando il proprio costo marginale al proprio ricavo marginale:
Il ricavo marginale deriva dalla curva di domanda residuale considerando la stessa intercetta verticale
a
bQe2 e il doppio della pendenza
1.1.3
b:
La funzione di reazione
Eguagliando ricavo marginale e costo marginale dell’impresa 1 si ottiene
R10
a
bQe2
2bQ1 = c
1
C 0:
Risolvendo per l’unica variabile Q1 si ottiene
Q1 (Qe2 ) =
c bQe2
:
2b
a
Ripetendo lo stesso procedimento per qualsiasi livello atteso di Q2 si ottiene la funzione di reazione
dell’impresa 1, che descrive l’output dell’impresa 1 che massimizza il pro…tto dell’impresa 1 per ogni data
quantità di output prodotta dall’impresa 2:
Q1 (Q2 ) =
a
c bQ2
:
2b
Simmetricamente, la funzione di reazione dell’impresa 2 sarà
Q2 (Q1 ) =
a
c bQ1
:
2b
Nello spazio (Q1 ; Q2 ); la funzione di reazione dell’impresa 1 è una retta negativamente inclinata, con
pendenza pari a
2, intercetta verticale (0; a b c ) e intercetta orizzontale ( a2bc ; 0):
La funzione di reazione dell’impresa 2, invece, ha inclinazione pari a
1=2, intercetta verticale (0; a2bc )
e intercetta orizzontale ( a b c ; 0):
1.1.4
L’equilibrio
L’equilibrio si determina quando entrambe le imprese massimizzano i propri pro…tti basandosi su di una
aspettativa corretta del comportamento della rivale, ovvero quando Q1 = Qe1 e Q2 = Qe2 :
L’equilibrio consiste nella combianzione (Q1 ; Q2 ) che si trova nel punto di intersezione tra le due
funzioni di reazione.
Si trova risolvendo il sistema
8
< Q =
1
: Q =
2
a c bQ2
2b
a c bQ1
2b
:
Poiché le due imprese sono identiche, in equilibrio la quantità di output prodotta dalle due imprese
sarà uguale.
Quindi, il sistema precedente è equivalente a
8
< Q = a c bQ2
1
2b
:
:
Q2 = Q1
Le quantità ottimali sono dunque
QC
1 =
a
c
3b
C
La quantità di mercato è pari a QC = QC
1 + Q2 =
= QC
2:
2(a c)
3b :
Sostituendo nella funzione di domanda si ottiene il prezzo di equilibrio
PC = a
b
2(a c)
3b
2
=
a + 2c
3
Il pro…tto di ciascuna impresa è dato da
C
i
c)QC
i
= (P
o
C
i
=
a + 2c
3
a
c
c
3b
3
=
(a
2
c)
:
9b
1.2
1.2.1
Il modello di Stackelberg
Le ipotesi
Sono le stesse rispetto al modello di Cournot, tranne che la scelta delle quantità da produrre è sequenziale.
L’impresa 1 sceglie per prima la propria quantità Q1 : L’impresa 1 è leader.
L’impresa 2 osserva Q1 e sceglie Q2 : L’impresa 2 è follower.
Per risolvere il modello e determinare l’equilibrio si procede per induzione a ritroso.
Si parte dall’ultima tappa e si risale alla prima.
1.2.2
La funzione di reazione dell’impresa 2
Nel secondo stadio, l’impresa 2 osserva Q1 e deve determinare la quantità Q2 che massimizza il proprio
pro…tto.
L’impresa 2 agisce quindi seguendo la propria funzione di reazione
Q2 (Q1 ) =
1.2.3
a
c bQ1
:
2b
La domanda residuale dell’impresa 1
Nel primo stadio, l’impresa 1 deve scegliere Q1 per massimizzare il proprio pro…tto.
L’impresa 1 sa però che qualsiasi sia il livello di output prodotto, l’impresa 2 reagirà in base a Q2 (Q1 ):
Quindi l’impresa 1 inserisce la funzione di reazione dell’impresa 2 all’interno della funzione di domanda
e determina così la propria domanda residuale.
La domanda residuale dell’impresa 1 è
P (Q1 ) = a
bQ1
bQ2 (Q1 )
ovvero
P (Q1 ) = a
bQ1
b
a
c bQ1
2b
=
a+c
bQ1
2
L’impresa 1 è monopolista rispetto alla propria domanda residuale e quindi massimizza il pro…tto eguagliando
il costo marginale al ricavo marginale (ottenuto a partire dalla funzione di domanda residuale, considerando la stessa intercetta verticale e il doppio della pendenza), ovvero
R10
1.2.4
a+c
2
bQ1 = c
C0
L’equilibrio
Risolvendo per Q1 si trova la quantità prodotta in equilibrio dall’impresa 1 che è
QS1 =
4
a
c
2b
(la stessa quantità che produrrebbe un monopolista).
Prendendo QS1 e sostituendola nella funzione di reazione dell’impresa 2
a
Q2 =
c
a c
2b
b
2b
si ha la quantità di equilibrio dell’impresa follower che è
QS2 =
a
c
4b
La quantità di mercato è pari a QS = QS1 + QS2 =
=
1 S
Q :
2 1
a c
2b
+
a c
4b
=
3(a c)
4b :
Sostituendo nella funzione di domanda si ottiene il prezzo di equilibrio
PS = a
3 (a c)
4b
b
=
a + 3c
4
Il pro…tto dell’impresa leader è dato da
S
1
c)QS1
= (P
ovvero
S
1
=
a + 3c
4
a
c
c
2b
=
(a
2
c)
:
8b
Il pro…tto dell’impresa follower è uguale a
S
2
= (P
c)QS2 =
1
2
S
1
o
S
2
=
a + 3c
4
c
5
a
c
4b
=
(a
2
c)
16b
1.3
1.3.1
Il modello di Bertrand
Le ipotesi
Sono identiche a quelle del modello di Cournot tranne che le due imprese scelgono simultaneamente il
prezzo e non la quantità.
1.3.2
La domanda residuale
Supponiamo che l’impresa 1 si aspetti che l’impresa 2 …ssi un prezzo pari a P2e :
L’impresa 1 massimizza il proprio pro…tto scegliendo P1 e tenendo conto di questa aspettativa.
Dato P2e ; l’impresa 1 ha tre possibili opzioni:
Se …ssa un prezzo P1 > P2e , si aspetta che tutti i consumatori acquistino il bene dall’impresa 2. La
domanda residuale dell’impresa 1 è pari a zero e l’impresa 2 soddisfa l’intera domanda di mercato.
Se …ssa un prezzo P1 = P2e ; si aspetta che i consumatori si dividano (equamente) tra l’impresa 1 e
l’impresa 2. La domanda residuale dell’impresa 1 è la metà della domanda di mercato.
Se …ssa un prezzo P1 < P2e ; si aspetta di sottrarre tutti i consumatori all’impresa 2 e di servire
l’intero mercato.
L’impresa 1 massimizza il pro…tto scegliendo la terza opzione e …ssando un prezzo pari a P1 = P2e
"
dove " è una quantità molto piccola (ad esempio, un centesimo).
1.3.3
L’equilibrio
L’impresa 2, essendo identica all’impresa 1 e agendo simultaneamente, giungerà alla stessa conclusione.
Si innesca quindi una corsa al ribasso dei prezzi tra le due imprese che avrà …ne soltanto quando
entrambe le imprese …sseranno un prezzo pari al costo marginale.
Quindi i prezzi di equilibrio sono
P1B = P2B = c:
La quantità di mercato risolve P = c = a
bQ ovvero QB =
a c
b :
Entrambe le imprese si spartiscono il mercato e quindi
B
QB
1 = Q2 =
a
c
2b
ma fanno pro…tti nulli.
Bastano due sole imprese che competono simultaneamente nel prezzo per ristabilire la conclusione
dell’equilibrio competitivo di lungo periodo.
6
1.4
1.4.1
La collusione
Le ipotesi
Sono le stesse del modello di Cournot, tranne che le imprese si accordano sulla quantità da produrre per
massimizzare i pro…tti congiunti.
Le imprese agiscono come se fossero un monopolista che opera con due impianti identici.
1.4.2
L’equilibrio
Le imprese scelgono la quantità di mercato in modo da eguagliare il costo marginale al ricavo marginale
totale
R0
a
C0
2bQ = c
da cui
QCOLL =
a
c
2b
:
Il prezzo di mercato sarà come in monopolio
P COLL =
a+c
:
2
Le imprese si spartiranno poi equamente il mercato producendo ciascuna
QCOLL
= QCOLL
=
1
2
1 COLL
a c
Q
=
2
4b
e facendo pro…tti
COLL
i
= (P
c) QCOLL
i
COLL
i
= (P
c) QCOLL
i
o
COLL
i
=
a+c
2
c
7
a
c
4b
=
(a
2
c)
:
8b
1.5
Confronto tra i risultati
Per quanto riguarda le quantità prodotte a livello di singola impresa:
S
B
QCOLL
= QS2 < QC
i
i < Q1 = Qi
I prezzi di mercato son tali che
P B < P S < P C < P COLL
I pro…tti individuali sono ordinati nel modo seguente
B
i
<
S
2
<
C
i
<
8
S
1
=
COLL
i

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