Programma del convegno

419
Statistica Applicata Vol. 17, n. 3, 2005
DETERMINAZIONE DELLA SUPERFICIE DI RISPOSTA
IN UN CASO REALE
Pierattilio Grazioli
3M Italia S.p.A. – Segrate (Mi) – [email protected]
Egidio Cascini
Studio Esercizi di Qualità 2004 – Via Mosè Bianchi 103, 20149 Milano
Riassunto
Nel lavoro è descritta la strategia complessiva, utilizzata per la determinazione e
l’utilizzazione della superficie di risposta di una caratteristica fondamentale di un prodotto
di largo consumo. Lo scopo è di mostrare come l’uso di metodi statistici classici sia talvolta
necessario per risolvere, in modo definitivo, alcuni problemi in campo industriale, e per
ottenere, in questo modo, un reale miglioramento qualitativo.
1. INTRODUZIONE
Una delle caratteristiche fondamentali di un prodotto di largo consumo è
rappresentata dalla costanza dello spessore. L’unità di prodotto è costituita da un
rotolo, di spessore medio misurabile. Definito RUN j (j = 1,2,…) un numero di nj
rotoli, prodotti in sequenza temporale ed in condizioni omogenee, l’unità statistica
di riferimento, utilizzata in questo lavoro, è costituita dal RUN. Indicando con Sjt
lo spessore medio del rotolo tmo (t = 1,2,…) di un RUN, ciascun RUN può essere
caratterizzato da una media e da una deviazione standard:
n
Media del RUN j: M j =
1 j
∑S ;
n j t =1 jt
n
1
Deviazione standard del RUN j: Yj =
( S jt − M j )2 .
∑
n j − 1 t =1
I valori numerici Yj ( j = 1, 2,...,; 0 ≤ M j < ∞) sono realizzazioni di due
420
Grazioli P., Cascini E.
variabili casuali indipendenti, diciamo M, Y di media rispettivamente M, Y. Y è la
risposta del processo studiata in questo lavoro. La soluzione del problema proposto
è consistito, dapprima nella individuazione di un insieme di variabili d’intervento
utili, diciamo X1, X2,…, Xk, successivamente nella selezione di quelle più importanti, ed infine nello studio quantitativo della relazione intercorrente tra la risposta Y
e queste ultime, per rendere minima Y. I risultati ottenuti sono stati il miglioramento
della qualità del prodotto ed una contemporanea riduzione dei costi di fabbricazione; questo secondo risultato è dipeso dal fatto che, dovendo risultare lo spessore
medio di ogni singolo rotolo sempre maggiore di un limite di specifica predefinito,
L, deve essere sempre soddisfatta la relazione, Mj > L +3Yj ∀ j, essendo normale
la variabile casuale Sj, di cui Sjt sono le realizzazioni; la minimizzazione di Y ha,
quindi, permesso una riduzione di M , che è direttamente collegata al costo della
materia prima impiegata.
2. DATI SPERIMENTALI
Le figure 1 e 2 seguenti mostrano due successioni di valori; i punti di entrambe
le figure rappresentano i valori di spessore medio rilevati in due RUNS di
produzione. La successione della figura 1 è rappresentativa della qualità tipica,
prima dell’intervento che ha costituito l’oggetto del lavoro, mentre quella della
figura 2 è un confronto tra due RUNS, uno precedente e uno successivo a questo
lavoro. Nella figura 1 è anche visibile il correlogramma dei dati che ci ha assicurato
assenza di fenomeni di autocorrelazione.
Nei paragrafi successivi viene descritto il percorso metodologico che ha
prodotto il miglioramento rilevabile dalla figura 2.
Un RUN tipico di produzione, j
Autocorrelation Function
Autocorrelation
16
14
sjt
12
10
1
8
76
71
66
61
56
51
46
41
36
31
26
21
16
6
11
1
6
4
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
0,0
-0,2
-0,4
-0,6
-0,8
-1,0
2
3
4
5
6
7
8
Lag
Corr
T
LBQ
Lag
Corr
T
LBQ
1
2
3
4
5
6
7
0,04
0,12
-0,09
-0,21
-0,14
0,10
0,13
0,34
1,09
-0,83
-1,86
-1,14
0,81
1,04
0,12
1,37
2,13
6,06
7,68
8,54
10,00
8
9
10
0,13
0,11
-0,04
1,04
0,90
-0,35
11,53
12,70
12,88
t
Fig. 1: Un RUN tipico di produzione, j, prima dell’intervento di miglioramento.
9
10
421
Determinazione della superficie di risposta in un caso reale
Un RUNj1 prima dell’intervento
15.0
Un RUN j1 prima dell’intervento
Un RUNj2 dopo l’intervento
Un RUN j2 dopo l’intervento
15.0
12.5
12.5
UCL=10.18
sjt
10.0
_
UCL=10.18
X=7.80
sjt
10.0
7.5
_
LCL=5.42
X=7.80
7.5 5.0
1
12
24
36
48
60
72
nj1 rotoli
5.0
1
12
24
36
48
84
96
108
120
LCL=5.42
nj2 rotoli
60
72
nj1 rotoli
84
96
108
120
nj2 rotoli
Fig. 2: Due RUNS di produzione, j1 e j2, prima e dopo l’intervento.
3. IL PROCESSO DI FABBRICAZIONE
Il processo di fabbricazione è illustrato nelle figure 3 e 4 a due livelli di
dettaglio diversi; generale il primo, più particolareggiato il secondo; una prima
indagine qualitativa, basata, cioè, sulle sole conoscenze tecniche e storiche ha
consentito di restringere l’attenzione su una sua particolare sezione, che è stata
successivamente investigata in modo quantitativo. La sezione risultata di maggiore
interesse è quella indicata con la lettera C.
MATERIE
PRIME
PREPARAZIONE
MESCOLE
PROCESSO
PRODOTTO
FINALE
Fig. 3: Schema di massima del processo di produzione studiato.
4. SELEZIONE DELLE VARIABILI DI INTERVENTO
Una volta stabilita la sezione dell’impianto che maggiormente influenza il
valore della risposta Y, si è proceduto allo studio delle variabili, che in questa
sezione, sono in grado, eventualmente, di variare il valore numerico di Y. Il metodo
422
Grazioli P., Cascini E.
A: Ricevimento e
Stoccaggio R. M.
A.1 Controllo Materiale
A.2 Movimentazione
A.4 Movimentazione
A.3 Stoccaggio
B: Preparazione Mix
x
B.1 Carico Materiali
B.4 Alimentazione
C.1 Filtrazione
C: Spalmatura
C.4 Spalmatura M ix
C.5 Asciugatura
D: Taglio
D.2 Svolg imento Jumbo
D.3 Taglio
E.0 Preparazione Scatole
B.2 Dosaggio
B.3 Preparazione mix
C.2 Serbatoio Polmone
C.3 Dosaggio
C.6 Avvolgimento Ju mbo
D.1 Movimentazione
D.4 Avvolgimento rotoli
E.1 Confezionamento
E: Confezionamento
E.2 Pallet
F: Stoccaggio P. F. e
Spedizione
F.2 Stoccaggio
F.3 Movimentazione
F.1 Movimentazione
F.4 Spedizione
Fig. 4: Particolari del processo studiato. La sezione C è risultata la candidata per un ulteriore
studio quantitativo.
utilizzato è stato quello di elencare tutte le variabili d’intervento Xk , presumibilmente
efficaci sulla risposta Y , di intestare con queste variabili le righe di una matrice
(figura 5), di intestare le colonne della matrice con le caratteristiche di qualità del
prodotto richieste dal Cliente, che includono, ovviamente, la risposta Y, e di
riempirne le celle con i numeri, 0, 1, 3, 6 ,9 , utilizzando una serie di conoscenze
pregresse, a seconda, rispettivamente, che la relazione tra variabile d’intervento e
caratteristica corrispondente fosse considerata nulla, scarsa, bassa, media o alta.
Ciascuna variabile d’intervento è stata, alla fine, caratterizzata da un punteggio
complessivo, somma dei prodotti tra ciascun numero di ciascuna cella per il “peso”
di importanza, associato, a sua volta, a ciascuna caratteristica richiesta dal Cliente.
Questo valore numerico è stato utilizzato per definire una classifica d’importanza
delle variabili Xk sulla risposta Y. In figura 5 è indicato uno schizzo del procedimento descritto. La funzione di questa analisi è stata quella di selezionare solo un
piccolo numero di variabili d’intervento per ulteriori analisi quantitative.
423
Determinazione della superficie di risposta in un caso reale
Caratteristiche richieste dal Cliente
Punteggio
complessivo
Caratteristica 1
Caratteristica 2
Caratteristica 3
Peso = 9
Peso = 3
Peso = 3
X1
9
9
6
126
X2
9
6
9
126
X3
9
9
6
126
X4
9
1
6
102
X5
6
9
6
99
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
VARIABILI
SELEZIONATE
Fig. 5: Le variabili d’intervento Xk d’ingresso alla sezione del processo di fabbricazione C sono
state selezionate sulla base di elementi tecnici e di conoscenza pregressa.
5. STRATEGIA SPERIMENTALE E RISULTATI OTTENUTI
Le 3 variabili selezionate sono indicate con X1, X2, X3. Indicando il campo di
variazione sperimentale di ciascuna di queste variabili con Xi min, Xi max (i = 1, 2, 3)
ed il valore intermedio tra Xi min, Xi max, con X i sono state, in corrispondenza,
definite le variabili standardizzate A, B, C con A = 2·(X1– X1 )/(Xi max– Xi min) e B,
C definite in modo analogo. In figura 6 è riportato lo schema di un esperimento
fattoriale 23 con replicazione, utilizzato per studiare la relazione quantitativa Y = Y
(A, B, C).
L’analisi statistica dei dati ed i risultati sono sintetizzati nella figura 7.
Questo primo risultato fornisce una chiara indicazione di una diminuzione di
Y al variare di A e B in modo combinato. Si è, allora, predisposta una serie di rilievi
sperimentali di Y in corrispondenza di alcuni valori di A e B scelti in modo tale che
il punto P(A, B) sul piano A, B seguisse la proiezione della direzione di discesa più
ripida sul piano della figura 7. Nella figura 8 è indicato il percorso seguito con i
risultati sperimentali ottenuti, che sono confrontati graficamente con quelli attesi,
in base alla relazione della figura 7 ; il confronto ci ha consentito di valutare il punto
in cui il modello lineare della figura 7 non sembrava più adeguato. Con centro in
questo punto è stato progettato l’ esperimento centrale composto, schematizzato in
figura 9.
424
Grazioli P., Cascini E.
StdOrder
RunOrder
A
B
C
Y
5
8
1
4
2
7
3
6
13
16
9
12
10
15
11
14
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
-1
1
-1
1
1
-1
-1
1
-1
1
-1
1
1
-1
-1
1
-1
1
-1
1
-1
1
1
-1
-1
1
-1
1
-1
1
1
-1
1
1
-1
-1
-1
1
-1
1
1
1
-1
-1
-1
1
-1
1
1.298
2.132
1.224
2.304
1.677
1.718
1.569
1.901
1.202
2.247
1.073
2.131
1.906
1.684
1.733
1.749
Fig. 6: Esperimento fattoriale 23 replicato due volte, per lo studio della dipendenza tra Y ed A,
B e C.
Fractional Factorial Fit: Y versus A; B; C
Estimated Effects and Coefficients for Y (coded units)
Term
Effect
Constant
Coef
SE Coef
T
P
1,72175
0,02643
65,15
0,000
A
0,56825
0,28412
0,02643
10,75
0,000
B
0,43600
0,21800
0,02643
8,25
0,000
C
0,03925
0,01963
0,02643
0,74
0,479
A*B
-0,04075
-0,02038
0,02643
-0,77
0,463
A*C
-0,03650
-0,01825
0,02643
-0,69
0,509
B*C
-0,02825
-0,01412
0,02643
-0,53
0,608
A*B*C
-0,00250
-0,00125
0,02643
-0,05
0,963
2,4
2,2
2,0
1,8
Y
1,6
1,4
1,2
Estimated Effects and Coefficients for Y (coded units)
Term
Effect
Coef
1.7218
0.02307
74.62
0.000
A
0.5682
0.2841
0.02307
12.31
0.000
B
0.4360
0.2180
0.02307
9.45
0.000
Constant
1
1,0
Factorial Fit: Y versus A; B
SE Coef
T
P
0
-1
A
B
-1
0
1
Y = 1,722 + 0,284 A + 0,218 B
Fig. 7: Analisi statistiche e risultati dell’esperimento della figura 6. I parametri finali del
modello derivano da una seconda analisi statistica dei dati sperimentali, dopo aver
eliminato gli effetti non significativi individuati nella prima analisi completa.
425
Determinazione della superficie di risposta in un caso reale
1.3
1.2
Percorso di massima discesa
Y attesi
Y sperimentali
Livello iniziale 1
1.22
1.27
Livello punto 2
1.13
1.15
Livello punto 3
1.04
1.00
Livello punto 4
0.94
0.92
Livello punto 5
0.85
0.87
Livello punto 6
0.76
0.95
1.1
1.0
0.9
0.8
0.7
1
2
Y attesi
3
4
5
6
Y sperimentali
Fig. 8: Confronto tra risultati sperimentali e valori attesi lungo il percorso di massima discesa
sul piano della figura 7.
StdOrder
RunOrder
Blocks
5
6
13
11
2
12
3
7
8
10
4
1
9
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
A
B
-1.41
1.41
0.00
0.00
1.00
0.00
-1.00
0.00
0.00
0.00
1.00
-1.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
-1.00
0.00
1.00
-1.41
1.41
0.00
1.00
-1.00
0.00
Y
1.24
1.35
0.90
0.86
1.29
0.87
1.24
1.17
1.20
0.88
1.31
1.16
0.86
Fig. 9: Schema dell’esperimento centrale composto eseguito intorno al punto in cui il modello
lineare della figura 7 non sembrava più adeguato.
I risultati di quest’ultimo esperimento sono indicati nella figura 10.
6. CONCLUSIONI
Il lavoro ha mostrato come l’applicazione di una metodologia sperimentale
classica, come è quella degli esperimenti fattoriali, e della determinazione delle
superfici di risposta, ha consentito di ridurre in modo consistente e significativo la
variabilità di spessore di un prodotto di largo consumo; ciò ha consentito di
migliorare sensibilmente la qualità del prodotto e di ottenere contemporaneamente
426
Grazioli P., Cascini E.
Response Surface Regression: Y versus A; B
The analysis was done using coded units.
Estimated Regression Coefficients for Y
Term
Coef
SE Coef
T
P
Constant
0,87400
0,007524
116,168
0,000
A
0,04445
0,005948
7,472
0,000
B
0,01780
0,005948
2,993
0,020
A*A
0,21300
0,006378
33,394
0,000
B*B
0,15800
0,006378
24,771
0,000
A*B
-0,01500
0,008412
-1,783
0,118
1,35
Response Surface Regression: Y versus A; B
1,25
The analysis was done using coded units.
1,15
1
15
Estimated Regression Coefficients for Y
Term
Y
Coef
SE Coef
T
P
Constant
0.87400
0.008487
102.981
0.000
A
0.04445
0.006710
6.624
0.000
B
0.01780
0.006710
2.653
0.029
A*A
0.21300
0.007195
29.603
0.000
B*B
0.15800
0.007195
21.959
0.000
1,05
0,95
1
0,85
0
-1
A
B
-1
0
1
Y=0,874+0,044A+0,018B+0,213A2+0,158B2
Fig. 10: Modello Y = Y(A, B) determinato mediante l’analisi statistica dell’esperimento centrale
composto della figura 9. I parametri finali del modello derivano da una seconda analisi
statistica dei dati sperimentali, dopo aver eliminato gli effetti non significativi individuati
nella prima analisi completa.
un notevole beneficio economico, per la riduzione delle materie prime impiegate,
che è derivata da una riduzione della media dello spessore del materiale; quest’ultima possibilità è una conseguenza diretta della riduzione dello scarto quadratico
medio, da un valore iniziale di 1,70 ad un valore finale di 0,87, come si può verificare
osservando la figura 2.
Determinazione della superficie di risposta in un caso reale
427
RIFERIMENTI BIBLIOGRAFICI
GRAZIOLI P. e CASCINI E. (2003). Rapporto interno 3M, Progetto di miglioramento di un processo
di produzione.
COCHRAN W.G. e COX G. M. (1957). Experimental Designs. John Wiley & Sons.
MONTGOMERY D.C. (1997). Introduction to Statistical Quality Control. John Wiley & Sons.
STRATEGY FOR BUILDING AND USING A SURFACE
RESPONSE IN A REAL CASE
Summary
The overall strategy, to build the surface response for a characteristic of a common
use product, is presented in this work. The aim is to show how the classical statistical
methods, well stated since long time, are not only useful, but also, some time, necessary, to
solve definitely the industrial problems, allowing, in this way, a real quality improvement.
428
Grazioli P., Cascini E.

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