x PB = :

Nome…………….………Cognome…………………..
classe 5D
12 Aprile 2014
Problema
E’ dato un quadrato ABCD di lato l. Sul prolungamento del lato AB, oltre B, si scelga un punto P e
si determini la sua posizione affinché l’angolo APˆ D sia minore di 30°.
Posto PB = x :
a) si determini la funzione y=f(x) che esprime il rapporto tra la lunghezza dei segmenti PA e
PD, se ne calcoli il limite per x → +∞ e si interpreti geometricamente il risultato;
b) posto l=1, si verifichi che la funzione è f ( x) =
x +1
1 + (1 + x) 2
e sene rappresenti il grafico
indipendentemente dalle limitazioni geometriche del problema;
c) si verifichi che la curva λ ha come centro di simmetria il suo punto di flesso.
d) Si dimostri che f(x) è invertibile si trovi l’espressione analitica dell’inversa e se ne tracci il
grafico.
Quesiti
Svolgi 3 tra i seguenti quesiti
1) Determinare i numeri reali a e b in modo che la funzione f ( x) =
a sin x + b cos x
1 + sin 2 x
con
π
8
un massimo relativo uguale a
2.
4
3
2x
2) Di una funzione y = f ( x) si sa che f ' ( x) = −
. E’ possibile determinare
(1 + x 2 ) 2
l’espressione di f(x) ? E il valore di f(3)-f(2) ? Giustificare le risposte e se possibile,
determinare quanto richiesto.
x ∈ [0;2π] , abbia in
3) Tra tutte le piramidi quadrangolari regolari rette per le quali è costante e uguale a l la somma
dell’altezza e dell’apotema, determinare quella di volume massimo.
4) Dai la definizione di integrale indefinito e calcola i seguenti integrali:
x3 + 8
∫ 4 x 2 − 1 dx
1
∫ e x + e− x dx
Problema
Rappresentiamo il quadrato ABCD e il punto P sul prolungamento del lato AB.
Per determinare la posizione di P, affinché l’angolo APˆ D sia minore di 30°, ragioniamo nel seguente
modo:se nel triangolo rettangolo APD, l’angolo APˆ D fosse uguale a 30°, per i teoremi sui triangoli
DA
l
3
rettangoli, avremmo che
= tg 30° →
=
→ x = l ( 3 − 1).
l+x
3
AP
Poiché l’angolo deve essere minore di 30°, deve essere x >l ( 3 − 1) .
a) La funzione y=f(x) è data da
f ( x) =
PA ,
PD
dove PA = l + x e, per il teorema di Pitagora, PD = l 2 + (l + x) 2 .
Dunque:
f ( x) =
x+l
l 2 + (l + x) 2
.
Il limite per x → +∞ vale
lim
x → +∞
x+l
= 1.
l 2 + (l + x) 2
Tale risultato può essere interpretato geometricamente dicendo che le distanze di P da A e da D
sono uguali, o che i punti A e D visti da un osservatore posto a distanza infinita sono indistinguibili.
b) Ponendo l =1, dobbiamo rappresentare il grafico della funzione
f ( x) =
x +1
,
1 + (1 + x) 2
nel suo dominio naturale indipendentemente dalle limitazioni geometriche del problema.
•
Dominio: D = R.
•
Poiché
•
all’origine.
Segno: f ( x) > 0 se x >- 1.
•
Intersezioni con gli assi:  0; 2  e (-1; 0).


f (− x) =
− x +1
1 + (1 − x) 2

•
Limiti all’infinito:
2 
non ci sono simmetrie né rispetto all’asse y né rispetto
x +1
= 1− e
lim
2
x → +∞
1 + (1 + x )
x +1
+
=
−
1
lim
x → −∞
1 + (1 + x) 2
Le rette di equazioni y = 1 e y = -1 sono rispettivamente asintoti orizzontale destro e
sinistro per il grafico della funzione.
Non esistono asintoti verticali.
•
Derivata prima:
1 + (1 + x) −
2
f ' ( x) =
2(1 + x) 2
2 1 + (1 + x) 2
.
1 + (1 + x) 2
f ' ( x) =
1
[1 + (1 + x) ]
3
2 2
D' = ℜ
f ' ( x ) > 0 ∀x , f (x) è crescente in tutto il dominio
•
Derivata seconda:
f " ( x) =
− 3( x + 1)
[1 + (1 + x) ]
2
5
2
f (x) ha concavità rivolta verso l’alto per x < −1 , verso il basso per x > −1;
il punto (− 1;0 ) è un flesso (con tangente obliqua).
Tracciamo il grafico.
c) Consideriamo le equazioni della simmetria con centro nel punto di flesso di coordinate (− 1;0 ) :
 x' = −2 − x .

 y' = − y
 x = −2 − x '
Troviamo le equazioni della trasformazione inversa: 
.
 y = − y'
Sostituendo nell’espressione analitica della funzione y=f(x) troviamo:
− y' =
− 2 − x'+1
− x'−1
x'+1
.
→
−
y
'
=
→
y
'
=
2
2
2
1 + (1 − 2 − x' )
1 + (−1 − x' )
1 + (1 + x' )
Omettendo gli apici ritroviamo l’espressione della funzione f(x) quindi il punto di flesso è centro di
simmetria per λ.
d) La funzione f : (− ∞; + ∞ ) → (− 1; 1) è invertibile poiché biunivoca, cioè ad ogni y del codominio
corrisponde una e una solo x del dominio.
Detta y=g(x) l’inversa si avrà g : (−1; 1) → (− ∞; + ∞ ) e la sua espressione sarà: x =
y +1
1 + (1 + y) 2
che può essere esplicitata:
è possibile elevare al quadrato imponendo le condizioni di concordanza:


x ≥ 0

 y ≥ −1

2
 x 2 = ( y + 1)

1 + (1 + y ) 2


x < 0

 y < −1

2
 x 2 = ( y + 1)

1 + (1 + y ) 2
∨

x ≥ 0
1° caso:  y ≥ −1

2
 x 2 + x 2 (1 + y )2 = (1 + y )2 ⇒ (1 + y )2 1 − x 2 = x 2 ⇒ (1 + y )2 = x

1 − x2

x ≥ 0

 y ≥ −1

x
x
 passando alla radice e tenendo conto delle condizioni : y + 1 =
⇒ y=
−1
2

1− x
1− x2
(
)

x < 0
2° caso:  y < −1

2
 x 2 + x 2 (1 + y )2 = (1 + y )2 ⇒ (1 + y )2 1 − x 2 = x 2 ⇒ (1 + y )2 = x

1 − x2

x < 0

 y < −1

−x
x
 passando alla radice e tenendo conto delle condizioni : − ( y + 1) =
⇒ y=
−1

1− x2
1− x2
(
3
quindi in ogni caso g ( x) =
y
2
1
x
−5
−4
−3
−2
−1
)
1
2
3
4
x
− 1 , il suo grafico si ottiene
1− x2
facilmente da quello di f(x) per simmetria rispetto alla bisettrice del
1°-3° quadrante
−1
−2
−3
−4
−5
Quesito n. 1
Determinare i numeri reali a e b in modo che la funzione
a sin x + b cos x
π
f ( x) =
con x ∈ [0;2π] , abbia in
un massimo
2
4
1 + sin x
relativo uguale a
8
2.
3
Dato il teorema di Fermat,
π
è un punto stazionario, le condizioni da imporre sono:
4
 π 8
f4 = 3 2
  

 f '  π  = 0
  4 
poiché f ' ( x) =









(a cos x − b sin x)(1 + sin 2 x) − 2 sin x cos x(a sin x + b cos x)
(1 + sin 2 x) 2
2
3
2
( a − b) ⋅ −
( a + b) = 0
2
2 2
2
⇒
( a + b)
8
2
=
2
3
3
2

b =
a − 5b = 0
⇒

a + b = 8
a =

il sistema diventa:
4
3
20
3
π
, ma non sufficienti; infatti
4
un punto stazionario non è necessariamente massimo, può essere anche un punto di minimo o di
flesso a tangente orizzontale. Si può verificare che si tratta di un massimo calcolando per esempio
π
π
f ' ' ( ) e verificando che è negativa (cioè in
la concavità della funzione è verso il basso).
4
4
Le condizioni imposte sono necessarie per l’esistenza del massimo in
Quesito n. 2
y
2x
. E’ possibile
(1 + x 2 ) 2
determinare l’espressione di f(x) ? E il valore di f(3)-f(2) ?
Giustificare le risposte e se possibile, determinare quanto richiesto.
Di una funzione y = f (x) si sa che f ' ( x) = −
2
1
x
−2
−1
1
2
3
−1
Nota f’(x) non è possibile determinare esattamente f(x), ma solo la
famiglia
di
primitive
a
cui
appartiene,
cioè:
2x
1
dx = ∫ − 2 x(1 + x 2 ) −2 dx =
+C
∫−
2 2
(1 + x )
1+ x2
Mentre f(3)-f(2) si può determinare
sfruttando l’espressione della famiglia di primitive trovata:
1
1
 1

f (3) − f (2) =  + C  −  + C  = −
10
 10
 5

−2
−3
Quesito n. 3
Tra tutte le piramidi quadrangolari regolari rette per le quali è costante
e uguale a l la somma dell’altezza e dell’apotema, determinare quella di
volume massimo.
Posto x = altezza con 0 < x <
l
si ha:
2
lato di base = 2 (l − x) 2 − x 2 = 2 l 2 − 2lx
x
l-x
4
1
4
quindi il volume, in funzione di x è dato da: volume = (2 l 2 − 2lx ) 2 x = (l 2 x − 2lx 2 )
3
3
si tratta di una parabola con concavità verso il basso e vertice nel punto di ascissa xV =
l
, in
4
corrispondenza di tale valore si ha la piramide di volume massimo.
Quesito n. 4
x3 + 8
∫ 4 x 2 − 1 dx
Si tratta di una funzione razionale fratta con numeratore di grado superiore al denominatore, il
primo passaggio consiste nell’eseguire la divisione e riscrivere l’integranda:
1
1
x +8
x +8
1
1
x2
+ I1 =
f ( x) = x + 4 2
e di conseguenza l’integrale: I = ∫ xdx + ∫ 4 2 dx =
4
4
8
4x − 1
4x −1
Per
risolvere
I1
si
determinano
due
numeri
A
e
B
tali
1
x+8
A
B
x(2 A + 2 B) + A − B
4
=
+
=
(2 x − 1)(2 x + 1) 2 x − 1 2 x + 1
(2 x − 1)(2 x + 1)
65

1
A=



2 A + 2 B =
16
4 ⇒ 

 A − B = 8
 B = − 63

16
65
1
63
1
65
63
ln 2 x − 1 − ln 2 x + 1 + k
I1 =
dx − ∫
dx =
∫
16 2 x − 1
16 2 x + 1
32
32
∫e
x
1
dx
+ e−x
Riscrivendo il testo si ha:
∫
1
ex +
1
ex
dx = ∫
che
ex
ex
x
dx
=
∫ 1 + (e x ) 2 dx = arctan e + k
e2x + 1

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