Primo scritto - Dipartimento di Matematica

G EOMETRIA E T OPOLOGIA D IFFERENZIALE – A . A . 2013/2014
C ORSI DI LAUREA TRIENNALE E MAGISTRALE IN M ATEMATICA
P RIMA PROVA SCRITTA 1 – 15 GENNAIO 2014
Esercizio 1
Sia S 2 = {x ∈ R3 ∣ ∣x∣2 = 1} ⊂ R3 la sfera unitaria e α ∶ I → R3 una curva regolare con curvatura positiva,
parametrizzata tramite lunghezza d’arco e tale che α(I) ⊂ S 2 . Dimostrare che i vettori binormali di α
sono tutti tangenti ad S 2 se e solo se α(I) e` una porzione di cerchio massimo.
Soluzione. Indichiamo con (T (s), N (s), B(s)) il riferimento di Frenet in α(s), e ricordiamo la prima e
la terza equazione di Frenet:
˙
T˙ (s) = κ(s)N (s), B(s)
= −τ (s)N (s),
dove κ(s) e τ (s) sono rispettivamente la curvatura e la torsione.
Se α(I) e` una porzione di cerchio massimo allora per definizione esiste un vettore unitario v0 ∈ R3
tale che α(s) ⋅ v0 = 0 e derivando due volte si ottiene T (s) ⋅ v0 = N (s) ⋅ v0 = 0. Poich´e anche il vettore
unitario B(s) e` ortogonale a T (s) ed N (s), concludiamo
B(s) = ±v0 ∈ α(s)⊥ = Tα(s) S 2 .
Viceversa, se il vettore binormale B(s) appartiente a Tα(s) S 2 per ogni s allora B(s) ⋅ α(s) = 0 per
ogni s. Derivando rispetto ad s abbiamo
˙
(1)
0 = B(s)
⋅ α(s) + B(s) ⋅ T (s) = −τ (s)N (s) ⋅ α(s) per ogni s.
Poich´e α(I) ⊂ S 2 , abbiamo T (s) ⋅ α(s) = 0 per ogni s, e derivando rispetto ad s otteniamo
0 = T˙ (s) ⋅ α(s) + T (s) ⋅ T (s) = κ(s)N (s) ⋅ α(s) + 1.
Poich´e stiamo supponendo κ(s) > 0, questo mostra che N (s) ⋅ α(s) ≠ 0 per ogni s ∈ I , quindi la (1)
implica τ (s) = 0, e dunque B(s) e` un vettore costante B0 ortogonale ad α(s) per ogni s. Dunque α(I)
e` una porzione di cechio massimo.
1
Si ricorda che non si possono consultare libri n´e appunti
Esercizio 2
Sia x∶ R2 → R3 la mappa data da
x(u, v) = (u −
u3
v3
+ uv 2 , v − + u2 v, u2 − v 2 )
3
3
e sia (u0 , v0 ) ∈ R2 .
(1) Dimostrare che esiste un aperto U ⊂ R2 contenente (u0 , v0 ) tale che
x∣U ∶ U → R3
e` una parametrizzazione regolare;
(2) calcolare i coefficienti della prima forma fondamentale della superficie x(U ) nel punto x(u0 , v0 );
(3) verificare che la superficie x(U ) ha solo punti iperbolici e curvatura media nulla;
(4) determinare le rette invarianti dell’operatore forma e le rette isotrope della seconda forma fondamentale nel punto x(u0 , v0 ).
Soluzione. (1)√Osserviamo incidentalmente che la mappa x non e` globalmente iniettiva. Infatti, si ha ad
esempio x(± 3, 0) = (0, 0, 3). Calcolando le derivate prime si ottiene
xu = (1 − u2 + v 2 , 2uv, 2u), xv = (2uv, 1 − v 2 + u2 , −2v), xu × xv = (1 + u2 + v 2 )2 (−2u, 2v, (1 − u2 − v 2 )),
ed e` immediato verificare che xu × xv (u0 , v0 ) ≠ 0. Questo implica che il rango della matrice Jacobiana
di x ha rango due, e quindi esistono un aperto U contenente (u0 , v0 ) e una proiezione p∶ R3 → R2 su
uno dei piani coordinati tali che p ○ x∣U e` un diffeomorfismo su un aperto di R2 . Il fatto che x∣U e` una
parametrizzazione regolare segue subito. (2) I coefficienti della prima forma fondamentale in (u0 , v0 )
risultano:
E = xu ⋅ xu = (1 + u20 + v02 )2 = xv ⋅ xv = G, F = xu ⋅ xv = 0.
(3) Calcolando le derivate seconde nel punto (u0 , v0 ) si ottiene:
xuu = 2(−u0 , v0 , 1),
xuv = 2(v0 , u0 , 0),
xvv = 2(u0 , −v0 , −1).
Il versore normale a x(U ) in x(u0 , v0 ) risulta:
xu × xv
1
n=
=
(−2u0 , 2v0 , 1 − u20 − v02 ),
2
∣xu × xv ∣ (1 + u0 + v02 )2
e i coefficienti della seconda forma fondamentale sono:
` = n ⋅ xuu = 2,
m = n ⋅ xuv = 0,
n = n ⋅ xvv = −2.
Dunque la matrice dell’operatore forma rispetto alla base xu , xv e`
−1
2
E F
` m
1 0
)=
S=(
) (
(
).
2
2
2
m n
F G
(1 + u0 + v0 ) 0 −1
2
Da questo segue che le curvature principali in x(u0 , v0 ) sono ±
, e quindi la curvatura
2
(1 + u0 + v02 )2
Gaussiana K e media H risultano, rispettivamente,
4
K=−
< 0, H = 0.
2
(1 + u0 + v02 )4
(4) Dalla forma di S si vede subito che xu , xv sono una base di autovettori per S , cio`e generano le
direzioni principali nel punto x(u0 , v0 ). Daltra parte, si verifia immediatamente che la seconda forma
fondamentale IIx(u0 ,v0 ) nel punto x(u0 , v0 ) soddisfa:
IIx(u0 ,v0 ) (xu ± xv ) = 0,
e questo implica che i vettori xu ± xv generano le rette isotrope di IIx(u0 ,v0 ) .

Download Report