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Il consolidamento degli edifici in muratura.
Tecniche di intervento ed analisi.
(a cura di Michele Vinci)
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Tipologie di edifici in muratura
• Edifici di prima classe
Realizzati interamente in muratura.
Gli orizzontamenti sono costituiti da sistemi voltati e quindi soggetti a spinte
statiche orizzontali;
Edifici per cui si ha alta probabilità di perdita di equilibrio di parti di esse.
M. Pagano, Costruire in
muratura, Liguori Editore,
Napoli, 1990
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Tipologie di edifici in muratura
• Edifici di seconda classe
Gli elementi verticali sono costituiti da pareti in muratura.
Gli orizzontamenti sono generalmente costituiti da solai in legno o putrelle e
tavelloni con scarsa rigidezza nel proprio piano.
Edifici che non presentano un comportamento scatolare – comportamento a
“carciofo”.
M. Pagano, Costruire in
muratura, Liguori Editore,
Napoli, 1990
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Tipologie di edifici in muratura
• Edifici di terza classe
Gli elementi verticali sono costituiti da pareti in muratura.
Gli orizzontamenti sono generalmente costituiti da solai latero-cementizi con
buona rigidezza nel proprio piano e presentano cordoli di coronamento.
Edifici con comportamento scatolare con improbabile perdita di equilibrio di
parti di esso.
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Tipologie di analisi
• Verifiche fuori piano (meccanismi locali)
Adatta per edifici di prima e seconda classe in cui è molto probabile la perdita
di equilibrio fuori dal piano di parti di esso.
Poco adatta per edifici di terza classe in cui è improbabile la perdita di
equilibrio fuori dal piano.
• Analisi di tipo globale (pushover)
Adatta per edifici di seconda e terza classe che presentano un comportamento
d’insieme.
Poco adatta per edifici di prima classe che non presentano un comportamento
d’insieme.
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Analisi pushover per edifici in muratura
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Analisi pushover
Il metodo si articola nelle seguenti fasi:
1)
Definizione della curva di capacità della struttura reale;
2)
Definizione del sistema equivalente ad un solo grado di libertà;
3)
Definizione del sistema bilineare equivalente;
4)
Valutazione della capacità di spostamento della struttura (umax);
5)
Valutazione della domanda di spostamento della struttura (dmax);
6)
Confronto tra la capacità di spostamento e la domanda di
spostamento;
La verifica si ritiene soddisfatta quando risulta verificata la seguente (la “capacità di
spostamento” deve essere maggiore o uguale alla “domanda di spostamento”):
umax ≥ dmax
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Analisi pushover
1) Definizione della curva di capacità a più gradi di libertà
Ascissa: spostamento del
punto di controllo (dc)
Ordinata: tagliante alla base (Vb)
Incrementando
progressivamente i carichi
orizzontali aumenta lo stato
deformativo della costruzione.
Incrementando i carichi orizzontali
si osservano successive
plasticizzazioni e collassi di
elementi che modificano il grado
di vincolo della struttura.
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Analisi pushover
1) Definizione della curva di capacità a più gradi di libertà
Ascissa: spostamento del
punto di controllo (dc)
Ordinata: tagliante alla base (Vb)
Incrementando
progressivamente i carichi
orizzontali aumenta lo stato
deformativo della costruzione.
Incrementando i carichi orizzontali
si osservano successive
plasticizzazioni e collassi di
elementi che modificano il grado
di vincolo della struttura.
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Analisi pushover
2) Definizione del sistema equivalente ad un solo grado di libertà
Si approssima il sistema a più gradi di libertà (MDOF) in uno equivalente ad un solo
grado di libertà (SDOF) dividendo ascissa ed ordinata per il coefficiente di
partecipazione:
d
d* = c
Γ
F* =
Vb
Γ
Coefficiente di partecipazione
n
∑ mi ⋅ Φ i
Γ=
i=1
n
∑ mi ⋅ Φ i2
i=1
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Analisi pushover
3) Valutazione del sistema bilineare equivalente
Si approssima il sistema SDOF in uno equivalente ad un solo grado di libertà
elastico perfettamente plastico definito da una massa m*, una rigidezza k* e da un
periodo T*
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Analisi pushover
3) Valutazione del sistema bilineare equivalente
Massa
n
m* = ∑ mi ⋅ Φ i
i=1
Rigidezza
0.7 ⋅ Fmax
*
k * = tg(α ) =
d*A
Area 1+Area 3 = Area 2
Periodo
T* = 2π
m*
k*
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Analisi pushover
4) Valutazione della capacità di spostamento (umax)
a) Se la curva di capacità è sempre crescente
la capacità di spostamento (umax) coincide con
l’ascissa massima della curva di capacità.
b) Se la curva di capacità presenta dei rami
decrescenti, si assume come capacità di
spostamento (umax) l’ascissa che corrisponde
alla riduzione del 20% della forza massima
(Fmax). Non sono ammessi spostamenti che
riducono di più del 20% la forza massima.
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Analisi pushover
5) Valutazione della domanda di spostamento (dmax)
Caso in cui T* > TC
d max
*
= d *e, max = S De (T * )
dmax = Γ ⋅ d*max
⎛ 2π ⎞
(
)
(
)
S e T * = S De T * ⋅ ⎜
⎟
⎝T*⎠
2
2
F * ⎛ 2π ⎞
=⎜
⎟ d*
m* ⎝T*⎠
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Analisi pushover
5) Valutazione della domanda di spostamento (dmax)
Quantità maggiore di 1
Caso in cui T* ≤ TC
S De (T*) ⎡
TC ⎤
1 + (q * −1) ⋅
⎢
q*
T * ⎥⎦
⎣
*
d max
=
d max
= Γ ⋅ d*max
q* =
≥ S De (T*)
S e (T*)
Fy*
m*
Il fattore di struttura q* deve assumere
un valore non superiore a 3. Nel caso in
cui è maggiore di 3 la verifica è da
considerarsi non soddisfatta.
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Analisi pushover
6) Confronto tra “capacità di spostamento” e “domanda di
spostamento”
La verifica è da considerarsi soddisfatta quando la capacità di spostamento umax è
maggiore o uguale alla domanda di spostamento dmax. In definitiva deve essere
soddisfatta la seguente relazione:
umax ≥ dmax
Affinché la verifica sia soddisfatta è richiesto che sia verificata anche la seguente
relazione:
q* ≤ 3
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Analisi pushover
Parametri che influenzano l’esito della verifica
s = umax / dmax
A parità di m*, l’esito della verifica migliora quando:
1) aumenta la capacità di spostamento (umax);
2) aumenta la rigidezza del sistema bilineare equivalente (k*);
3) aumenta la resistenza del sistema bilineare equivalente (F*y).
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Analisi pushover
Parametri che influenzano l’esito della verifica
s = umax / dmax
A parità di m*, l’esito della verifica migliora quando:
1) aumenta la capacità di spostamento (umax);
2) aumenta la rigidezza del sistema bilineare equivalente (k*);
3) aumenta la resistenza del sistema bilineare equivalente (F*y).
Se le tre precedenti condizioni aumentano tutte, l’esito della verifica migliora
sicuramente.
Se alcune delle precedenti condizioni aumentano ed altre diminuiscono, l’esito
della verifica migliora se l’effetto positivo delle quantità che aumentano è
maggiore dell’effetto negativo delle quantità che diminuiscono.
Per ulteriori chiarimenti sulle precedenti affermazioni si rimanda al seguente articolo:
Analisi pushover per edifici in muratura (parametri che ne influenzano i risultati)
scaricabile dal sito www.edificiinmuratura.it
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Analisi pushover
Parametri che influenzano l’esito della verifica
Nel caso a) i consolidamenti adottanti sono sicuramente efficaci in quanto
aumentano le tre precedenti quantità. Nel caso b), si è in una condizione di efficacia
dubbia dei consolidamenti in quanto aumenta solo la resistenza e diminuiscono la
capacità di spostamento e la rigidezza.
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Meccanismi locali
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Meccanismi locali
Verifica locale che interessa solo parte della costruzione.
Verifica adatta per edifici di prima e seconda classe, per i quali è probabile la
perdita di equilibrio di parti di esso per effetto delle azioni fuori dal piano della
stessa parete.
Tipologie di analisi previste dalla normativa (punto C.8.A.4 della Circolare
617/2009):
1) Analisi cinematica lineare;
2) Analisi cinematica non lineare;
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Tipologie di meccanismi locali
Ribaltamento semplice
La parete investita dal sisma ruota intorno ad una cerniera cinematica orizzontale;
Connessione scadente tra pareti ortogonali;
Carenza di elementi resistenti a trazione che ne impediscono il ribaltamento.
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Tipologie di meccanismi locali
Flessione verticale
La parete investita dal sisma risulta vincolata sia in testa che al piede;
Il meccanismo è generalmente attivato da forze orizzontali inerziali (per esempio
solai a quote intermedie);
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Tipologie di meccanismi locali
Flessione orizzontale
La parete investita dal sisma risulta efficacemente vincolata alle pareti ortogonali;
Il meccanismo può essere innescato da elementi orizzontali (per esempio travi e
travetti di solai);
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Tipologie di meccanismi locali
Ribaltamento composto
La parete investita dal sisma è ben vincolata alle pareti ortogonali (ammorsamento
efficace tra pareti);
Al meccanismo partecipano anche porzioni di pareti ortogonali;
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Tipologie di meccanismi locali
Sfondamento del timpano
Il meccanismo è attivato dalla trave di colmo che sotto gli effetti del sisma tende a
destabilizzare il timpano;
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Tipologie di meccanismi locali
Ribaltamento del cantonale
Il meccanismo è attivato da travi del tetto che gravano direttamente sul cantonale;
La presenza di aperture in prossimità del cantonale favorisce la formazione del
meccanismo.
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Meccanismi locali – analisi lineare
Verifica
Se la parete che partecipa al meccanismo è a contatto con la fondazione, la
verifica si ritiene soddisfatta se è verificata la seguente condizione:
a0*
≥
ag ⋅ S
q
Se la parete che partecipa al meccanismo non è a contatto con la fondazione
occorre verificare anche la seguente:
Se (T1) ⋅ ψ (Z ) ⋅ γ
a 0* ≥
q
Poiché i secondi membri delle precedenti si mantengono costanti, per migliorare
l’esito della verifica occorre far aumentare il primo membro.
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Meccanismi locali – analisi lineare
Verifica
ag è l’accelerazione sismica al suolo, funzione dello stato limite scelto;
S è il coefficiente funzione del suolo di fondazione;
Se(T1) è lo spettro di risposta elastico in corrispondenza del periodo fondamentale
dell’intera struttura T1;
ψ(Z) è il primo modo di vibrazione nella direzione considerata, normalizzato ad uno
in sommità all’edificio; in assenza di valutazioni più accurate, può essere assunto
ψ(Z) = Z/H, dove H è l’altezza della struttura rispetto alla fondazione;
Z è l’altezza, rispetto alla fondazione dell'edificio, del baricentro delle linee di vincolo
(cerniera cinematica del meccanismo) tra i blocchi interessati dal meccanismo ed il
resto della struttura;
γ è il corrispondente coefficiente di partecipazione modale (in assenza di valutazioni
più accurate può essere assunto γ = 3N / (2N + 1), con N numero di piani
dell’edificio);
T1 è il primo periodo di vibrazione dell’intera struttura nella direzione considerata.
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Meccanismi locali – analisi lineare
Verifica
a0*
=
e* =
α0 ⋅ g
(accelerazione spettrale di attivazione del meccanismo)
e * ⋅ FC
g⋅M *
(frazione di massa partecipante – quantità costante)
n
∑P
i
i =1
⎛
⎜
⎜
⎝
M* =
n
∑
i=1
n
⎞
Pi ⋅ δ x, i ⎟
⎟
⎠
∑P ⋅ δ
g
i
2
(massa partecipante al cinematismo – quantità costante)
2
x,i
i=1
L’accelerazione spettrale aumenta se aumenta il moltiplicatore di attivazione del
meccanismo α0.
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Meccanismi locali – analisi lineare
Verifica
Equilibrio alla rotazione intorno a C di tutte le forze che partecipano al cinematismo
n
α0
m
p
n
∑P ⋅ h + ∑F_inst ⋅ a − ∑P ⋅ d − ∑F_stab ⋅ a = 0
i
i
i
i =1
i
i
i =1
i
i
i =1
i
i =1
Moltiplicatore di attivazione del meccanismo
∑ P ⋅ d − ∑ F_inst ⋅ a + ∑ F_stab ⋅ h
i
α0
=
p
m
n
i
i
i =1
i =1
i
i
i
i =1
n
∑P ⋅ h
i
i
i =1
Principio dei lavori virtuali
n
α0
n
∑P ⋅ δ + ∑P ⋅ δ + ∑F
i
i=1
x,i
i
i=1
p
m
y,i
x,i
i=1
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⋅ δ x,i +
∑F
y,i
⋅ δ y,i
=0
i=1
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Meccanismi locali – analisi non lineare
Analogie con analisi pushover
L’analisi cinematica non lineare presenta parecchie analogie con l’analisi pushover:
1) Si determina la curva di capacità del sistema reale;
2) Si determina la curva di capacità del sistema equivalente;
3) Si valuta la capacità di spostamento (d*u);
4) Si valuta la domanda di spostamento (Δd(Ts));
5) Si confronta la “capacità di spostamento” con la “domanda di spostamento”.
La verifica si ritiene soddisfatta se è verificata la seguente:
d*u ≥ Δd(Ts)
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Meccanismi locali – analisi non lineare
Configurazione
indeformata
Curva di capacità
Primo punto della curva: si fa l’equilibrio alla rotazione
intorno a C nella configurazione indeformata del sistema
α0 =
W ⋅ x1 + Ps ⋅ x 2
W ⋅ y1 + Ps ⋅ y 2
Primo punto della curva di capacità
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Meccanismi locali – analisi non lineare
Curva di capacità
Si attribuisce al sistema una rotazione finita
α1 =
W ⋅ x'1 +Ps ⋅ x'2
W ⋅ y'1 +Ps ⋅ y'2
y'1 ≈ y1
y'2 ≈ y 2
Configurazione
deformata
Il numeratore diminuisce
Il denominatore rimane
pressoché costante
Il moltiplicatore α diminuisce
x'1 < x1
x'2 < x 2
α 0 > α1
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Meccanismi locali – analisi non lineare
Curva di capacità
Il processo di deformazione continua fino a quando si annulla il moltiplicatore dei
carichi (α = 0).
dk,0 è lo spostamento del punto di
controllo in corrispondenza del
moltiplicatore dei carichi nullo (α = 0)
α0 è il moltiplicatore dei carichi
nella configurazione indeformata
del sistema
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Meccanismi locali – analisi non lineare
Passaggio dal sistema reale al sistema spettrale (equivalente)
Si passa da sistema reale a quello spettrale attraverso le seguenti:
n
d* = dk
∑ Pi ⋅ δ2x,i
i =1
n
δ x, k
∑
i =1
a*
Pi ⋅ δ x,i
Sistema reale
=
α⋅g
e * ⋅ FC
Sistema spettrale
⇒
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Meccanismi locali – analisi non lineare
Capacità di spostamento
(da Circolare 617/2009): dallo spostamento spettrale d*u, corrispondente al minore
fra gli spostamenti definiti dalle due seguenti condizioni:
a) il 40% dello spostamento per cui si annulla l’accelerazione spettrale a*,
valutata su una curva in cui si considerino solamente le azioni di cui è
verificata la presenza fino al collasso;
b) lo spostamento corrispondente a situazioni localmente incompatibili con la
stabilità degli elementi della costruzione (ad esempio, sfilamento di travi),
nei casi in cui questo sia valutabile.
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Meccanismi locali – analisi non lineare
Domanda di spostamento
a) Se la parete che partecipa al cinematismo è a
contatto con la fondazione:
Δ d (Ts ) = SDe (Ts )
b) Se la parete che partecipa al meccanismo non è
a contatto con la fondazione occorre verificare
anche la seguente:
2
⎛ Ts ⎞
⎜T ⎟
⎝ 1⎠
Δ d (Ts ) = SDe (T1 ) ⋅ ψ(Z) ⋅ γ ⋅
B
Aumento della domanda
di spostamento
A
2
⎛ 1 − Ts ⎞ + 0.02 Ts
⎜ T ⎟
T1
⎝
1⎠
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Meccanismi locali – analisi non lineare
Valutazione del periodo Ts
d *s = 0.4 ⋅ du*
Ts = 2π
d*s
a*s
Esito della verifica
L’esito della verifica si ritiene soddisfatto se la “capacità di spostamento” è
maggiore della “domanda di spostamento”:
du* ≥ Δ d (Ts )
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Meccanismi locali – analisi non lineare
Parametri che influenzano l’esito della verifica
s=
du*
Δd
Coefficiente di sicurezza
della verifica
Curva per struttura non consolidata:
A-B
Curva per struttura consolidata
(per esempio con tiranti):
A-D-E-F-B
A parità di d*s si ottiene un valore più
alto di a*s e di conseguenza un
valore più basso della domanda di
spostamento (positivo ai fini della
verifica):
Δ d ≥ Δ d, c
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Tiranti metallici
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Consolidamento – tiranti
Resistenza del sistema tirante
La resistenza del tirante è governata dal valore minimo delle tre quantità sotto
riportate:
T = min(Tt, Tm, Tc)
dove
Tt è la resistenza del cavo
Tm è la resistenza della muratura (punzonamento)
Tc è la resistenza della chiave
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Consolidamento – tiranti
Resistenza del cavo
Tt = f yd ⋅ A t
fyd è la resistenza di calcolo dell’acciaio
At è l’area della sezione trasversale del cavo
Tt = f yd
π ⋅ d2
4
Tt = f yd ⋅ a ⋅ b
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(sezione circolare)
(sezione rettangolare)
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Consolidamento – tiranti
Resistenza della muratura - trazione
Capochiave con sezione circolare
Tm, a =
2
⋅ N = π ⋅ fctd ⋅ t ⋅ (t + D )
2
Capochiave con sezione quadrata
Tm, a = 2 ⋅ fctd ⋅ t ⋅ (a + b + 2t )
Capochiave a paletto
Tm, a = 2 ⋅ fctd ⋅ t ⋅ (a + b + 2t )
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Consolidamento – tiranti
Resistenza della muratura – taglio
Capochiave con sezione circolare
Tm,t
= t ⋅ (D + t) ⋅ ( π ⋅ fvd0 + 2 ⋅ n ⋅ σo )
Capochiave con sezione quadrata
[
]
Tm, t = 2 ⋅ t ⋅ fvd0 ⋅ (a + b + 2 ⋅ t ) + n ⋅ σo ⋅ (a + t )
Capochiave a paletto
[
[
]]
Tm, t = 2 ⋅ t ⋅ fvd0 (a + b + 2 ⋅ t ) + n ⋅ σ0 (a + t ) ⋅ cos(θ ) + (b + t ) ⋅ sen(θ )
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Consolidamento – tiranti
Resistenza della chiave
La tensione σ trasmessa dal tirante
si considera uniformemente ripartita
sulla superficie della chiave.
La sezione di verifica è quella
baricentrica lungo l’asse x-x.
Si calcolano le sollecitazioni di taglio
e flessione sulla sezione x-x
Si calcolano le tensioni massime
σ(x, y ) =
M ⋅ ymax
I
τ(x, y ) =
V ⋅S
I⋅b
Si effettua la verifica secondo la
nota espressione di Von Mises
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σid (x, y ) = σ 2 (x, y ) + 3 ⋅ τ2 (x, y ) ≤ fyd
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Consolidamento – tiranti
Deformabilità del tirante
La deformabilità del tirante è importante nel caso in cui si risolve il cinematismo
secondo l’analisi cinematica non lineare.
Deformabilità elastica
Δl e =
f yd ⋅ l
E
Deformabilità plastica
Δl p = 0.01 ⋅ l
(Deformabilità del 10‰)
Per aumentare la duttilità del sistema spesso si progetta il tirante in modo che a
cedere sia il cavo (a tale fine la resistenza del cavo deve essere inferiore a quella
della muratura e della chiave).
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Consolidamento – tiranti
Esempio di calcolo
Dimensionare un tirante affinché resista ad una forza di trazione pari a 6000 daN.
Dati
Muratura in mattoni pieni e malta di calce
Spessore della muratura
= 50 cm
Livello di conoscenza
= LC1
Coefficiente di sicurezza della muratura (γm)
=2
Acciaio (S235) - fyk
= 2350 daN
Tensione normale in corrispondenza del tirante – σ0
= 1.2 daN/cm2
Soluzione
Si sceglie sia il cavo che il capochiave con sezione circolare
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Consolidamento – tiranti
Esempio di calcolo
Dimensionamento del cavo
Tt = fyd
π ⋅ d2
4
⇒
d=
4 ⋅ Tt
4 ⋅ 6000
= 1.85 cm
=
π ⋅ 2238
π ⋅ f yd
Si progetta il cavo con un φ 20
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Consolidamento – tiranti
Esempio di calcolo
Resistenza della muratura
Definizione dei parametri meccanici del materiale muratura (poiché il livello di
conoscenza è LC1, si assumono i valori minimi per le resistenze ed i valori medi
per i moduli elastici – Punto C8A.2 della Circolare 617/2009)
fd =
fm
24
=
= 8.89 daN/cm2
γ m ⋅ FC 2 ⋅ 1.35
fctd =
1.5 ⋅ τ0
1.5 ⋅ 0.6
= 0.33 daN/cm2
=
γ m ⋅ FC
2 ⋅ 1.35
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Consolidamento – tiranti
Esempio di calcolo
Resistenza della muratura
Si considera il diametro della chiave pari a 40 cm
Resistenza a trazione
Tm, a =
2
⋅ N = π ⋅ fctd ⋅ t ⋅ (t + D ) = π ⋅ 0.33 ⋅ 50 ⋅ (50 + 40 ) = 4665 daN
2
Resistenza a taglio
Tm, t = t ⋅ (D + t) ⋅ ( π ⋅ fvd0 + 2 ⋅ n ⋅ σ o ) = 50 ⋅ (40 + 50) ⋅ ( π ⋅ 0.22 + 2 ⋅ 0.4 ⋅ 1.2) =
= 7430 daN
La resistenza della muratura (4665 daN) non è sufficiente per affidare
al tirante una resistenza di 6000 daN
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Consolidamento – tiranti
Esempio di calcolo
Resistenza della muratura
Per aumentare la resistenza della muratura spesso si procede con il consolidamento
della stessa in prossimità del punto di applicazione del tirante.
I parametri meccanici possono essere
moltiplicati per il coefficinete riportato in tabella
(consolidamento con perforazioni armate)
Punto C8A.2 della Cicolare 617/2009
Tm, a = 6064 daN (Verifica soddisfatta)
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Consolidamento – tiranti
Esempio di calcolo
Resistenza della chiave
M=
Tc
T
yG = c
2
2
σ(x, y ) =
⎛ 2 ⋅ D ⎞ = Tc ⋅ D
⎜ 3⋅π ⎟ 3⋅π
⎝
⎠
M ⋅ ymax
I
τ(x, y ) =
V=
V ⋅S
I⋅b
Tc
2
σid (x, y ) = σ 2 (x, y ) + 3 ⋅ τ2 (x, y ) ≤ fyd
Aumentando iterativamente Tc (per
esempio attraverso l’utilizzo di un
foglio elettronico) si raggiungerà il
punto in cui la tensione ideale (σid)
è maggiore di quella limite (fyd).
Per la chiave in figura si raggiunge
una forza Tc = 6120 daN
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Consolidamento – tiranti
Esempio di calcolo
Sull’argomento è possibile scaricare gratuitamente il software CdT dal sito
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Il software risolve l’esempio appena svolto.
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Consolidamento – tiranti
Comportamento fuori dal piano
I tiranti costituiscono un’ottima tecnica di consolidamento per incrementare la
resistenza delle pareti fuori dal proprio piano. La disposizione ottimale è quella di
collocarli in prossimità dei solai e su pareti tra di loro ortogonali (vedi figura).
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Consolidamento – tiranti
Comportamento fuori dal piano
I tiranti contribuiscono a migliorare il comportamento scatolare di un edificio.
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Consolidamento – tiranti
Comportamento fuori dal piano – Ribaltamento semplice
Il tirante fornisce un vincolo
efficace, sia per rottura a flessione
(vedi “a” in figura) che per rottura a
taglio (vedi “b” in figura).
Nel caso di rottura a flessione il
tirante è efficace se collocato
ortogonalmente alla parete che
ribalta (vedi “c” in figura).
Nel caso di rottura a taglio il tirante è
efficace se collocato, con
pretensione, parallelamente alla
parete che ribalta (vedi “d” in figura).
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Consolidamento – tiranti
Comportamento fuori dal piano – Flessione verticale
Il tirante fornisce un vincolo
efficace per contrastare il verificarsi
di un meccanismo a flessione
verticale.
Il tirante può far variare la
geometria dei macroelementi che
partecipano al meccanismo (“a” e
“b” di figura).
Il tirante si oppone al meccanismo
attraverso la forza di trazione del
tirante stesso (“c” e “d” di figura).
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Consolidamento – tiranti
Comportamento fuori dal piano – Flessione orizzontale
Il tirante collocato parallelamente alla parete che tende a ribaltate, attraverso la
presenza delle chiavi alle estremità della parete, ostacola la formazione del
cinematismo in quanto ne limita l’allontanamento (punti A e B in Figura).
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Consolidamento – tiranti
Comportamento fuori dal piano – Ribaltamento composto
La presenza dei tiranti tende ad ostacolare la formazione del cinematismo
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Consolidamento – tiranti
Comportamento fuori dal piano – Ribaltamento composto
La presenza dei tiranti tende ad ostacolare la formazione del cinematismo
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Consolidamento – tiranti
Comportamento fuori dal piano – Ribaltamento composto
La presenza dei tiranti tende ad ostacolare la formazione del cinematismo
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Consolidamento – tiranti
Comportamento fuori dal piano – Ribaltamento del cantonale
I tiranti collocati nei due muri ortogonali
tendono ad ostacolare l’attivazione del
meccanismo.
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Consolidamento – tiranti
Comportamento fuori dal piano – Analisi cinematica lineare
α0 =
t
⎞
⎛
+ Ps ⎜⎜ t − x s ⎟⎟
⎠
⎝
2
⎛ W +P ⎞⋅h
⎜2
s⎟
⎝
⎠
W⋅
α 0, C =
W⋅
(senza tirante)
⎛
⎞
t
+ Ps ⎜⎜ t − x s ⎟⎟ + T ⋅ ht
⎝
⎠
2
⎛⎜ W + P ⎞⎟ ⋅ h
s
⎝2
⎠
α0,C >> α0
a*0,C >> a*0
Contributo tirante
(con tirante)
a ⋅S
⎧ a 0* ≥ g
q
⎪
Aumenta il
primo membro⎨
Se (T1) ⋅ ψ (Z ) ⋅ γ
⎪a 0* ≥
q
⎩
L’esito della verifica migliora se aumenta α0.
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Consolidamento – tiranti
Comportamento fuori dal piano – Analisi cinematica non lineare
A-E (curva di capacità in assenza di tiranti)
A-B (acciaio in fase elastica)
B-C (acciaio in fase plastica)
C-D (rottura del tirante)
D-E (curva dopo la rottura del tirante)
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Consolidamento – tiranti
Comportamento fuori dal piano – Analisi cinematica non lineare
Affinché l’esito della verifica
migliori occorre far diminuire la
domanda di spostamento (Δd)
Senza tiranti
0-C Î domanda di spostamento Δd
Con tiranti
0-C’ Î domanda di spostamento Δd,C
Riduzione domanda
di spostamento
Δd,C < Δd
(migliorativo ai fini della verifica)
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Consolidamento – tiranti
Comportamento nel piano – Modellazione della parete
I tiranti contribuiscono a migliorare anche nel piano il comportamento di una parete
a) Comportamento in assenza di tiranti (o altri elementi resistenti a trazione)
b) Comportamento con elementi resistenti a trazione
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Consolidamento – tiranti
Comportamento nel piano – Modellazione della parete
Nel caso in cui non sono presenti
elementi resistenti a trazione (tiranti)
nelle fasce di piano, non possono
trasmettere sollecitazione flessionali e
taglianti provenienti da azioni
orizzontali (nel modello di calcolo le
fasce devono essere considerate
incernierate agli estremi)
a) Comportamento a mensola
(cerniere agli estremi delle fasce).
b) Comportamento a telaio
(incastri agli estremi delle fasce).
In presenza di tiranti il comportamento
della parete cambia radicalmente.
Generalmente i maschi sono meno
sollecitati, mentre le fasce lo sono di più.
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Consolidamento – tiranti
Comportamento nel piano – Modellazione della parete
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Consolidamento – tiranti
Comportamento nel piano – Modellazione della parete
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Consolidamento – tiranti
Comportamento nel piano – Analisi pushover
s=
umax
s=
u max
dmax
d max
=
=
2.85
4.73
2.34
2.33
= 0.60 (coefficiente di sicurezza della parete senza tiranti)
= 1.001 (coefficiente di sicurezza della parete con tiranti)
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Consolidamento – tiranti
Comportamento in presenza di elementi spingenti
I tiranti contribuiscono a ridurre la spinta statica orizzontale su archi e volte.
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Consolidamento – tiranti
Comportamento in presenza di elementi spingenti
I tiranti contribuiscono ad aumentare la resistenza nel proprio piano dei piedritti. Nel
caso senza tiranti si raggiungono alla base dei piedritti tensioni più alte rispetto al
caso con tiranti.
Sotto l’effetto del sisma i piedritti hanno più risorse.
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Intonaco armato
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Consolidamento – Intonaco armato
La tecnica di consolidamento dell’intonaco armato consiste nel realizzare due lastre
in calcestruzzo (spessore 3-5 cm) affiancate sui due lati della muratura, armate con
una rete metallica e rese solidali alla muratura stessa tramite connettori trasversali.
Affinché il consolidamento sia efficace, le lastre in calcestruzzo devono essere
presenti su entrambi i lati della parete (“b” in figura).
Il consolidamento
realizzato su un solo lato
non è consentito neanche
dalla normativa (vedi
punto C8A.5.6 della
Circolare 617/2009)
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Consolidamento – Intonaco armato
Devono essere posti in opera i necessari collegamenti trasversali (barre iniettate)
bene ancorati alle reti di armatura (almeno 4/mq)
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Consolidamento – Intonaco armato
È fondamentale curare l’adeguata sovrapposizione dei pannelli di rete elettrosaldata,
in modo da garantire la continuità dell’armatura in verticale ed in orizzontale.
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Consolidamento – Intonaco armato
Prescrizioni di normativa
Per le diverse tipologie di muratura, la normativa fornisce dei coefficienti correttivi da
applicare sia ai parametri di resistenza che ai moduli elastici (Tabella riportata nel
punto C8A.2 della Circolare 617/2009).
Da applicare:
• Resistenze (fm, τ0);
• Moduli elastico (E, G)
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Consolidamento – Intonaco armato
Comportamento nel piano dei maschi murari
Aumenta la rigidezza
k=
1
h3
12EI
+
1.2 ⋅ h
(Aumenta E, I e G)
GA
Aumenta la resistenza a pressoflessione
Vf =
Mu
=
h0
σ0 ⎞
⎟ (Aumenta t e fd)
⎜1 ⎜ 0.85 ⋅ f ⎟
d ⎠
⎝
σ 0 ⋅ l2 ⋅ t ⎛
2 ⋅ h0
Aumenta la resistenza a taglio
Vs =
l ⋅ t ⋅ 1.5 ⋅ τ 0d
b
1+
σ0
1.5 ⋅ τ 0d
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(Aumenta t e τ0d)
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Consolidamento – Intonaco armato
Comportamento nel piano
Pressoflessione: efficace per grandi valori dello sforzo normale
Taglio: efficace per tutti i valori dello sforzo normale
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Consolidamento – Intonaco armato
Esempio
Effettuare la verifica del seguente maschio per le seguenti sollecitazioni:
Dati
Muratura
Lunghezza della parete (l)
Altezza della parete (h)
Spessore della parete (t)
Livello di conoscenza
Coefficiente di sicurezza (γm)
Spessore delle lastre di intonaco armato (tI)
Sforzo normale (NS)
Momento (MS)
Taglio (TS)
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= Mattoni pieni e malta di calce
= 200
cm
= 300
cm
= 50
cm
= LC1
=2
=3
cm
= 50000 daN
= 22000 daNm
= 9554 daN
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Consolidamento – Intonaco armato
Esempio
Parametri meccanici della parete non consolidata
fd =
τ 0d =
24
γ m ⋅ FC
0.6
γ m ⋅ FC
=
=
24
2 ⋅ 1.35
0.6
2 ⋅ 1.35
= 8.89 daN/cm 2
= 0.22 daN/cm 2
E = 15000 daN/cm2
G = 5000 daN/cm2
Parametri meccanici della parete consolidata
fd
= 1.5 · 8.89
= 13.33
daN/cm2
τ0d = 1.5 · 0.22
= 0.33
daN/cm2
E = 1.5 · 15000
= 22500 daN/cm2
G = 1.5 · 5000
= 7500
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(Parametro riportato nella tabella
del punto C8A.2 della Circolare
617/2009)
daN/cm2
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Consolidamento – Intonaco armato
Esempio
Momento e taglio resistente senza intonaco armato:
MR =
VR =
5 ⋅ 200 2 ⋅ 50 ⎛
⎜1 ⎝
2
⎞
⎟ = 16915 daNm (Verifica non soddisfatta)
0.85 ⋅ 8.89 ⎠
200 ⋅ 50 ⋅ 1.5 ⋅ 0.22
1.5
5
1+
5
1.5 ⋅ 0.22
= 8842 daN (Verifica non soddisfatta)
Momento e taglio resistente con intonaco armato:
MR = 30304 daNm > MS = 22000 daNm
(Verifica soddisfatta)
VR = 11699 daN > VS = 9554 daN
(Verifica soddisfatta)
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Consolidamento – Intonaco armato
Esempio
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Consolidamento – Intonaco armato
Comportamento nel piano delle fasce
Le fasce possono essere considerate nel modello strutturale se dotate di elementi
resistenti a trazione. Le armature dell’intonaco armato possono essere elementi
resistenti a trazione per le fasce se ben ancorate a quelle dei maschi adiacenti.
In questo caso le fasce possono essere considerati nel modello e si assume come
resistenza dell’elemento a trazione, la somma delle resistenze di tutte le armature.
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Consolidamento – Intonaco armato
Incremento di resistenza di un’intera parete
Poiché il consolidamento con intonaco armato incrementa la resistenza di maschi
murari e fasce, ne consegue che anche la resistenza nel piano di un’intera parete
aumenta.
Parete non consolidata
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Consolidamento – Intonaco armato
Incremento di resistenza di un’intera parete
Prima ipotesi progettuale
Poiché il meccanismo si forma al secondo piano f.t., si inizia a consolidare con
intonaco armato gli elementi dello stesso piano.
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Consolidamento – Intonaco armato
Incremento di resistenza di un’intera parete
Seconda ipotesi progettuale
Poiché il meccanismo si forma al primo piano f.t., si consolidano con intonaco armato
gli elementi dello stesso piano.
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Consolidamento – Intonaco armato
Incremento di resistenza di un’intera parete
Terza ipotesi progettuale
Poiché il meccanismo si forma al terzo piano f.t., si consolidano con intonaco armato
gli elementi dello stesso piano.
Si ottiene un incremento di resistenza del 47.4% ed un incremento della capacità
di spostamento del 6.9%.
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Consolidamento – Intonaco armato
Incremento di resistenza fuori dal piano
L’intonaco armato può essere efficace nell’incrementare la resistenza fuori piano di
una parete solo nei casi in cui le armature sono ben ancorate con quelle delle pareti
ortogonali e con il cordolo superiore ed inferiore.
E’ possibile considerare le forze Fp ed
Fe dovute alla resistenza a trazione
delle armature nella valutazione del
moltiplicatore di attivazione del
meccanismo.
Fp =
Fe =
h − he
p ⋅ γF
fyd
he ⋅ γ F
f yd ⋅ A
∑
i
hi ⋅ A i =
fyd ⋅ A
he ⋅ γ F
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∑h
i
i
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Consolidamento – Intonaco armato
Criteri di intervento
E’ consigliabile intervenire in modo da mutare il meno possibile la posizione del
baricentro di masse e rigidezze cercando di applicare il consolidamento quanto più
possibile simmetrico.
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Consolidamento – Intonaco armato
Criteri di intervento
Nei casi in cui si ha l’esigenza di consolidare i piani superiori della struttura, è
opportuno riportare la continuità del consolidamento fino in fondazione.
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Consolidamento – Intonaco armato
Particolari costruttivi
È opportuno inoltre, nei limiti del
possibile, rendere il consolidamento
sempre solidale con gli altri elementi
circostanti, garantendo la continuità con
i muri ortogonali, con le travi di
fondazione e con i cordoli.
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Iniezioni di malta
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Consolidamento – Iniezioni di malta
La tecnica è indicata per murature
costituite da pietrame, dotate di
elevate percentuali di vuoti interni o
per murature di altra natura in
presenza di lesioni diffuse.
Alla luce di quanto detto, per poter
applicare questa tecnica di
consolidamento è necessario che
esista la possibilità fisica di poter
iniettare la malta all’interno della
muratura.
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Consolidamento – Iniezioni di malta
Tecnica di esecuzione
Fase A. Pulitura della parete: viene messa a nudo la parete e si effettua la pulitura
con una delle seguenti tecniche:
• Pulitura con getti d’acqua ad alta o bassa pressione;
• Pulitura con getti di vapore saturo a 150°–200° e pressione a 5-10 atm;
• Pulitura con acqua nebulizzata in grado di sciogliere depositi a base di
solfato di calcio;
• Pulitura con getti ad aria compressa;
• Pulitura con sabbiatura;
• Pulitura tramite l’utilizzo di spazzole;
• Pulitura tramite l’utilizzo di particolari sostanze chimiche.
Fase B. Stilatura dei giunti e sigillatura delle fessure: per evitare fuoriuscite
di miscele da eventuali lesioni o dai giunti deteriorati è opportuno procedere con
operazioni di sigillatura.
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Consolidamento – Iniezioni di malta
Tecnica di esecuzione
Fase C. Ubicazione dei fori: prima di procedere con la realizzazione dei fori
occorre fare degli studi accurati per stabilire la distanza che deve intercorre tra i fori
stessi, ossia la distanza che la miscela riesce a raggiungere partendo dal foro in cui
viene iniettata.
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Consolidamento – Iniezioni di malta
Tecnica di esecuzione
Fase D. Realizzazione dei fori:
• Generalmente i fori per le iniezioni si
applicano tutti dallo stesso lato della parete;
• La lunghezza deve essere compresa tra i
2/3 ed i 3/4 dello spessore del muro;
• Vengono realizzati dando una pendenza
dall’alto verso il basso per meglio favorire il
processo di iniezione;
• Per la loro realizzazione occorre utilizzare
perforatrici a rotazione, mentre sono da
evitare perforatrici a percussione per non
danneggiare ulteriormente la muratura.
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Consolidamento – Iniezioni di malta
Tecnica di esecuzione
Fase E. Posizionamento dei tubetti di rabbocco:
• Nei fori vanno inseriti i tubetti per poter praticare le iniezioni;
• Devono essere sigillati alla parete con malta a presa rapida per evitare l’espulsione e
la fuoriuscita di miscela durante la fase di iniezione;
• Generalmente sono costituiti da rame, alluminio o resine sintetiche. All’estremità
sono previsti particolari attacchi per il collegamento con il tubo di mandata.
Fase F. Lavaggio e saturazione della parete:
• Attraverso i tubetti si procede al lavaggio della parete. Tale operazione consente di
asportare i detriti creati durante la realizzazione dei fori;
• Questa fase mette in evidenza anche eventuali vie di fuga che non sono state
individuate durante la fase di sigillatura (Fase B);
• Inoltre, se la miscela da iniettare è a base di calce o cemento, è opportuno portare
a saturazione la parete per evitare che in una fase successiva alle iniezioni, parte
dell’acqua della miscela venga assorbita dalla muratura.
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Consolidamento – Iniezioni di malta
Tecnica di esecuzione
Fase G. Esecuzione delle iniezioni: a secondo delle caratteristiche della parete e
delle miscele utilizzate per le iniezioni, ci sono tre metodi diversi di procedere:
•
•
•
Metodo di iniezione
per pressione
Metodo di iniezione
per gravità
Metodo di iniezione
per depressione
Si procede dalle zone laterali inferiori della parete per poi proseguire verso il centro.
Successivamente si ripete l’operazione per gli strati superiori.
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Consolidamento – Iniezioni di malta
Prescrizioni di normativa
Per le diverse tipologie di muratura, la normativa fornisce dei coefficienti correttivi da
applicare sia ai parametri di resistenza che ai moduli elastici.
Da applicare:
• Resistenze (fm, τ0);
• Moduli elastico (E, G)
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Consolidamento – Iniezioni di malta
Incremento di resistenza nel piano di maschi murari
Pressoflessione: efficace per grandi valori dello sforzo normale. Poco efficace
per valori bassi dello sforzo normale.
Taglio: efficace per tutti i valori dello sforzo normale
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Consolidamento – Iniezioni di malta
Incremento di resistenza nel piano di una parete
Consolidando i primi tre piani della parete con iniezioni di malta si ottiene un
incremento di resistenza del 56.7% (curva “d” in figura).
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Consolidamento – Iniezioni di malta
Incremento di resistenza nel piano di una parete
Tuttavia è possibile aumentare ancora la resistenza della parete combinando le
iniezioni di malta con altre tipologie di consolidamento. Per esempio, si possono
applicare tiranti a livello dei solai. Questi ultimi consentono di considerare nel
modello anche le fasce di piano. Con questo ulteriore consolidamento si incrementa
la resistenza della parete del 78.8%.
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Consolidamento – Iniezioni di malta
Incremento di resistenza fuori dal piano di una parete
L’iniezioni di malta è una tipologia di consolidamento che fa aumentare la
resistenza nel proprio piano della parete. Di contro, non contribuisce ad aumentare
la connessione tra due pareti ortogonali, per cui nelle verifiche fuori piano
(meccanismi locali) non si ha alcun vantaggio.
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Materiali compositi – FRP
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Consolidamento – FRP
Da circa vent’anni, l’utilizzo di materiali compositi nel consolidamento di edifici in
muratura è aumentato notevolmente, sia per le ottime prestazioni offerte dai materiali
sia per l’abbassamento dei costi dovuto ad una maggiore domanda.
Le applicazioni con materiali compositi, nel caso di edifici in muratura, sono molteplici.
In particolare si possono utilizzare:
• Per incrementare la resistenza nel piano di un pannello murario (contribuiscono
ad incrementare sia la resistenza a taglio che a flessione);
• Per incrementare la resistenza fuori piano di un pannello murario
(contribuiscono ad incrementare la resistenza per molte tipologie di meccanismi).
Prescrizioni di normativa
La normativa italiana, tramite il punto C8.7.1.8 della Circolare 617/2009 cita: “Nel
caso in cui nell’intervento si faccia uso di materiali compositi (FRP), ai fini delle
verifiche di sicurezza degli elementi rinforzati si possono adottare le Istruzioni CNRDT 200/2004 e ss.mm.ii.”.
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Consolidamento – FRP
Caratteristiche dei materiali
I materiali compositi presentano le seguenti caratteristiche:
• sono costituiti da due materiali (fasi) di natura diversa: la fibra di carbonio e la
matrice polimerica;
• le due “fasi” presentano proprietà fisiche e meccaniche “sufficientemente”
diverse tra loro, in modo da impartire al composito proprietà differenti da quelle
delle fasi stesse;
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Consolidamento – FRP
Caratteristiche dei materiali
Il composito ha comportamento elastico
lineare fino a collasso
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Consolidamento – FRP
Caratteristiche meccaniche del composito
Visto l’andamento lineare del materiale composito, le grandezze che definiscono il
legame costitutivo sono:
• Ef : Modulo elastico a trazione del composito nella direzione delle fibre;
• ffu: Resistenza a trazione del composito;
• εfu: Deformazione a rottura del composito (coincidente con quella delle fibre).
Legate dalla seguente relazione:
ffu = Ef · εfu
Spessore di calcolo
I parametri meccanici sopra riportati vengono riferiti ad una sezione nominale. Data
la larghezza del composito, la suddetta sezione è definita dallo spessore, detto
“spessore di calcolo (tf)”. Lo spessore nominale si ottiene dal peso delle fibre nella
direzione considerata:
pf
(pf è il peso delle fibre per unità di superficie nella direzione
tf =
γ fib considerata, mentre γfib è il peso specifico delle fibre)
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Consolidamento – FRP
Caratteristiche meccaniche
I parametri meccanici del rinforzo dipendono da due fattori:
1) Dalla resistenza dei materiali di cui sono composti gli FRP
2) Dalla delaminazione
Si adottano come parametri quelli forniti dalla condizione più cautelativa:
ε fd = min{ε fRd , ε fdd }
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(ffd = Ef · εfd )
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Consolidamento – FRP
Caratteristiche meccaniche (resistenza del composito)
Resistenza a trazione e deformazione del rinforzo:
f
f
ε fRd = fRd
ffRd = η fk ;
Ef
γf
dove
• ffk è il valore caratteristico della resistenza a trazione del composito;
• γf è il coefficiente parziale di sicurezza del materiale;
• η è il fattore di conversione.
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Consolidamento – FRP
Caratteristiche meccaniche (delaminazione)
La delaminazione si verifica quando si ha il distacco di un sottile strato di muratura
a contatto con il composito.
ΓFk = c 1 ⋅ fmk ⋅ fmkm
c1 = 0.015
fmk, fmkm resistenza a
compressione e trazione
della muratura
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Consolidamento – FRP
Delaminazione
Forza massima trasferibile per aderenza
Fmax, u = b f ⋅ 2 ⋅ ΓFk ⋅ E f ⋅ t f
Tensione limite
fu =
Fmax, u
bf ⋅ t f
=
2 ⋅ ΓFk ⋅ E f
tf
Deformazione limite
εu =
fu
Ef
=
2 ⋅ ΓFk
t f ⋅ Ef
Lunghezza incollaggio
le =
Ef ⋅ t f
2 ⋅ fmtm
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Consolidamento – FRP
Delaminazione – grandezze di calcolo
Le grandezze ultime devono essere divise per gli opportuni coefficienti di sicurezza
parziali, ottenendo così le grandezze di calcolo per delaminazione.
ΓFd = c 1 ⋅
Fmax, d =
ffdd =
fu
γ fd
ε fdd =
fmk fmkm
Γ
⋅
= Fk
γm γm
γm
bf
bf
⋅ 2 ⋅ ΓFd ⋅ E f ⋅ t f =
⋅ 2 ⋅ ΓFk ⋅ E f ⋅ t f
γ fd
γ fd ⋅ γ m
=
1
γ fd
2 ⋅ ΓFd ⋅ E f
tf
1 2 ⋅ ΓFd
εu
=
γ fd γ fd t f ⋅ E f
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Consolidamento – FRP
Delaminazione – connettori meccanici
La deformazione per delaminazione è generalmente, per le più comuni tipologie di
composito e muratura, molto bassa, la quale compromette l’efficacia del
consolidamento.
Per aumentare le prestazioni (la deformazione per delaminazione), si utilizzano i
connettori meccanici, i quali consentono di raggiungere (cautelativamente)
deformazioni del 3-5‰
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Consolidamento – FRP
Delaminazione – capacità di deformazione del rinforzo
La capacità di deformazione del rinforzo si ottiene dal minimo tra la capacità di
deformazione del composito (εfRd) e la capacità di deformazione per delaminazione
(εfRd):
ε fd = min{ε fRd , ε fdd }
Nota la capacità di deformazione è possibile determinare anche la resistenza del
rinforzo:
ffd = Ef · εfd
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Consolidamento – FRP
Esempio – Parametri meccanici di calcolo
Dati
- Larghezza del nastro di materiale composito (bf)
- Peso delle fibre per metro quadro (pf)
- Peso specifico delle fibre (γfib)
- Resistenza media a compressione della muratura (fm)
- Livello di conoscenza LC1, fattore di confidenza FC
- Coefficiente di sicurezza della muratura (γm)
- Modulo elastico del composito (Ef)
- Resistenza caratteristica del composito (ffk)
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= 200 mm;
= 350 g/m2;
=1.85 g/cm3;
= 2.4
N/mm2;
= 1.35;
= 2;
= 230.000N/mm2;
= 1500 N/mm2.
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Consolidamento – FRP
Esempio – Parametri meccanici di calcolo
Soluzione
Spessore nominale
tf =
pf
γ fib
=
350
1.85 ⋅ 10 6
= 0.189 mm
Resistenza del composito
f fRd = 0.95
ε fRd =
1500
= 1295.4 N/mm 2
1.10
1295.4
= 5.63 ‰
230000
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Consolidamento – FRP
Esempio – Parametri meccanici di calcolo
Delaminazione
ΓFd =
0.015
⋅ 2.4 ⋅ 0.24 = 0.0042
1.35 ⋅ 2
Fmax, d =
f fdd =
200
⋅ 2 ⋅ 0.0042 ⋅ 230000 ⋅ 0.189 = 3184.8 N
1.2
1
1.2
ε fdd =
1
1.2
2 ⋅ 0.0042 ⋅ 230000
= 84.25 N/mm 2
0.189
2 ⋅ 0.0042
= 0.366 ‰
0.189 ⋅ 230000
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Consolidamento – FRP
Esempio – Parametri meccanici di calcolo
Grandezze di calcolo
ε fd = min{5.63, 0.366} = 0.366‰
ffdd = 84.25 N/mm 2
A causa della delaminazione, la resistenza del consolidamento è modesta. Le
caratteristiche meccaniche possono migliorare se si considerano connettori meccanici
(deformazione 3‰). In questo caso si ha:
ε fd = 3.0‰
f fdd = 230000 ⋅ 0.003 = 690 N/mm 2
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Consolidamento – FRP
Resistenza nel piano di un maschio murario
Comportamento assimilabile ad un elemento in cemento armato
Fasce verticali = Ferri longitudinali
Fasce orizzontali = Staffe
Muratura = Calcestruzzo
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Consolidamento – FRP
Resistenza nel piano di un maschio murario – Verifica a pressoflessione
La verifica dell’elemento si considera soddisfatta quando le sollecitazioni di calcolo NSd
ed MSd sono minori o uguali alle resistenza NRd ed MRd. In formule, devono essere
soddisfatte le seguenti relazione:
⎧ NSd ≤ NRd
⎨
⎩MSd ≤ MRd
Nel calcolo agli Stati Limite Ultimi (SLU), si fanno le seguenti ipotesi:
• Mantenimento delle sezioni piane;
• Perfetta aderenza tra muratura e materiale composito;
• Resistenza nulla a trazione per la muratura;
• Resistenza nulla a compressione per il composito;
• Comportamento elastico-perfettamente plastico per la muratura;
• Comportamento elastico lineare fino a rottura per il composito.
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Consolidamento – FRP
Resistenza nel piano di un maschio murario – Verifica a pressoflessione
Legame costitutivo dei materiali
Muratura
⎧ σ = Em ⋅ ε
⎨
⎩σ = fd
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Composito
per ε ≤ ε m0
per ε m0 < ε ≤ ε mu
σ = Ef ⋅ ε
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per ε ≤ ε fd
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Resistenza nel piano di un maschio murario – Verifica a pressoflessione
Campi di rottura
In funzione del legame costitutivo del materiale, si ottengono 5 campi di rottura
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Consolidamento – FRP
Resistenza nel piano di un maschio murario – Verifica a pressoflessione
Campo 1
Ff1 = σ f1 ⋅ A1 = E f ⋅ ε f1 ⋅ A1
Ff2 = ffd ⋅ A 2 = E f ⋅ ε fd ⋅ A 2
NRd
= Ff1 + Ff2
MRd =
1
2
[Ff2 ⋅ (2 ⋅ d − h) - Ff1 ⋅ (h − 2 ⋅ c )]
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Resistenza nel piano di un maschio murario – Verifica a pressoflessione
Campo 2 (yn < c)
Ff1 = σ f1 ⋅ A1 = E f ⋅ ε f1 ⋅ A1
Ff2 = ffd ⋅ A 2 = E f ⋅ ε fd ⋅ A 2
⎧1
⎪ 2 b ⋅ Em ⋅ ε m ⋅ y n
Fm = ⎨
1
⎪ b ⋅ Em ⋅ εm0 2y n − y m0
⎩2
(
)
NRd = −Fm + Ff1 + Ff2
⎛h
⎞
⎛ h⎞
⎛h ⎞
− c + ym ⎟ + Ff2 ⋅ ⎜ d − ⎟ − Ff1 ⋅ ⎜ − c ⎟
⎝2
⎠
⎝ 2⎠
⎝2 ⎠
MRd = Fm ⋅ ⎜
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Consolidamento – FRP
Resistenza nel piano di un maschio murario – Verifica a pressoflessione
Campo 2 (yn > c)
NRd = −Fm + Ff2
⎛h
⎞
⎛ h⎞
− y n + y m ⎟ + Ff2 ⋅ ⎜ d − ⎟
⎝2
⎠
⎝ 2⎠
MRd = Fm ⋅ ⎜
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Consolidamento – FRP
Resistenza nel piano di un maschio murario – Verifica a pressoflessione
Campo 3
NRd = −Fm + Ff2
⎛h
⎞
⎛ h⎞
MRd = Fm ⋅ ⎜ − y n + y m ⎟ + Ff2 ⋅ ⎜ d − ⎟
⎝2
⎠
⎝ 2⎠
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Consolidamento – FRP
Resistenza nel piano di un maschio murario – Verifica a pressoflessione
Campo 4
NRd = −Fm
⎛h
⎞
MRd = Fm ⋅ ⎜ − y n + y m ⎟
⎝2
⎠
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Consolidamento – FRP
Resistenza nel piano di un maschio murario – Verifica a pressoflessione
Campo 5
NRd = −Fm
⎛h
⎞
MRd = Fm ⋅ ⎜ − y n + y m ⎟
⎝2
⎠
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Consolidamento – FRP
Resistenza nel piano di un maschio murario – Verifica a pressoflessione
Dominio M - N
Note le relazioni che definiscono tutti i campi di rottura, è possibile definire il dominio.
Ad ogni stato deformativo corrisponde un punto del diagramma del dominio.
Partendo dalla condizione deformativa di trazione pura, percorrendo tutti i
campi di rottura (risolvendo per un numero finito di punti) fino a raggiungere
la compressione pura, è possibile diagrammare il dominio M-N.
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Consolidamento – FRP
Resistenza nel piano di un maschio murario – Verifica a taglio
Analogamente agli elementi in c.a., il comportamento dell’elemento in muratura
consolidato con FRP, e assimilabile a quello del traliccio di Ritter-Morsch
Il comportamento a
traliccio è garantito se
sono presenti elementi
in FRP sia orizzontali
che verticali
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Consolidamento – FRP
Resistenza nel piano di un maschio murario – Verifica a taglio
Qualora sia garantita la formazione del traliccio resistente, la resistenza di progetto a
taglio della muratura rinforzata (VRd), è calcolata come somma della resistenza della
muratura (VRd,m) e del rinforzo di FRP (VRd,f), fino al valore limite VRd,max che provoca
la rottura delle bielle compresse del traliccio. In formule si ha:
{
VRd = min VRd, m + VRd, f , VRd, max
}
VRd,m è la resistenza a taglio della muratura
VRd, f =
1 0.6 ⋅ d ⋅ ffd ⋅ A fw
γRd
VRd, max
pf
(resistenza delle aste di parete tese)
h ⋅ t ⋅ d (resistenza dell’asta compressa di parete)
= 0.3 ⋅ fmd
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Consolidamento – FRP
Resistenza delle fasce di piano
Poiché il materiale composito è resistente a trazione, se presenti nelle fasce di piano
(vedi figura sotto), è possibile considerare queste ultime nel modello di calcolo.
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Consolidamento – FRP
Resistenza nel piano di una parete
La resistenza della parete aumenta per il composito collocate nelle fasce in quanto
consentono di considerare queste ultime nel modello e per il composito collocate nei
maschi in quanto aumenta sia la resistenza a flessione che a taglio.
Parete non consolidata
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Consolidamento – FRP
Resistenza nel piano di una parete
Prima ipotesi progettuale
Si consolidano le fasce tra il primo ed il secondo livello e tra il secondo ed il terzo.
Con la disposizione scelta non si forma il traliccio di Ritter-Morsch.
Si possono considerare le fasce nel modello in quanto dotate di elementi resistenti a
trazione.
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Consolidamento – FRP
Resistenza nel piano di una parete
Seconda ipotesi progettuale
Si consolidano le fasce tra il terzo ed il quarto livello.
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Consolidamento – FRP
Resistenza nel piano di una parete
Terza ipotesi progettuale
Si consolidano i maschi murari del primo livello a pressoflessione e taglio.
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Consolidamento – FRP
Resistenza nel piano di una parete
Quarta ipotesi progettuale
Si consolidano i maschi murari del secondo livello a pressoflessione e taglio.
In assenza di connettori meccanici si ottiene la curva “f”.
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Consolidamento – FRP
Resistenza fuori dal piano di una parete – Ribaltamento semplice
Consolidamento efficace nei confronti del meccanismo di ribaltamento semplice
(cerchiature esterne).
Le fasce di FRP ostacolano la rotazione della parete.
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Consolidamento – FRP
Resistenza fuori dal piano di una parete – Ribaltamento semplice
Il composito si oppone alla rotazione attraverso la forza Fa
(minimo tra delaminazione e rottura del composito):
Fa = min(Fa,d, Fa,r)
Aumenta il valore del moltiplicatore:
α 0,1 =
(P2 + Ps2 ) t22 − So ⋅ h2 + 2 ⋅ Fa ⋅ ha
Ps2 ⋅ h2 + P2 ⋅ y G2
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Consolidamento – FRP
Resistenza fuori dal piano di una parete – Flessione verticale
Il materiale composito può essere utilizzato anche per rafforzare la parete in termini
di meccanismo a flessione verticale.
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Consolidamento – FRP
Resistenza fuori dal piano di una parete – Flessione verticale
Il materiale composito si oppone alla rotazione attraverso forze di trazione (Fa)
dovute all’aderenza tra composito e muratura.
α0 =
2 ⋅ n ⋅ Fa
2⋅t
2⋅N
N
+
+
+
h1
γ ⋅ h1 ⋅ h ⋅ l γ ⋅ (h - h1 ) ⋅ h ⋅ l γ ⋅ l ⋅ (h - h1 ) ⋅ h1
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Consolidamento – FRP
Resistenza fuori dal piano di una parete – Flessione orizzontale
Il materiale composito può essere utilizzato anche per rafforzare la parete in termini
di meccanismo a flessione orizzontale.
α0 =
(H + Fa )⎛⎜ 1 + ll1 ⎞⎟ ⋅ t - So1 ⋅ s1 − So2 ⋅ s2 ⋅ ll1 − So3 ⋅ s3 ⋅ ll1
⎝
2
⎠
2
l
P1 ⋅ x G1 + P2 ⋅ x G2 1 + PS1 ⋅ s1 + PS2 ⋅ s 2
l2
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l1
+ PS3 ⋅ s3
l2
2
l1
l2
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Esempio di calcolo di un edificio reale
Software utilizzato: VEMNL- STACEC
L’esempio è sviluppato per intero sul sito www.edificiinmuratura.it
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Esempio di calcolo di un edificio reale
Obbiettivi
Ricostruire la parte di struttura crollata
Rifacimento del tetto in quanto in
pessime condizioni
Consolidare l’edificio da renderlo più
sicuro nei confronti dei carichi statici e
sismici
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Esempio di calcolo di un edificio reale
Stato di fatto – Meccanismi locali
Nella figura che segue si evidenzia la parete analizzata.
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Esempio di calcolo di un edificio reale
Stato di fatto – Meccanismi locali
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Esempio di calcolo di un edificio reale
Stato di fatto – Meccanismi locali
Verifica negativa
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Esempio di calcolo di un edificio reale
Stato di fatto – Pushover
Esito della verifica non soddisfatto
Coefficiente di sicurezza minimo (s): 0.63
Fattore di struttura massimo (q*): 5.64
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Esempio di calcolo di un edificio reale
Stato di fatto – Verifica locale del sistema voltato
Esito della verifica non soddisfatto
Volte fortemente parzializzate in mezzeria
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Esempio di calcolo di un edificio reale
Prima ipotesi progettuale
• Si ricostruisce la parte di edificio
crollata
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Esempio di calcolo di un edificio reale
Prima ipotesi progettuale
• Si ricostruisce la parte di edificio
crollata
• Si sostituisce il tetto in quanto in
pessime condizioni
• Si realizza un cordolo metallico in
corrispondenza del nuovo tetto
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Esempio di calcolo di un edificio reale
Prima ipotesi progettuale
• Si ricostruisce la parte di edificio
crollata
• Si sostituisce il tetto in quanto in
pessime condizioni
• Si realizza un cordolo metallico in
corrispondenza del nuovo tetto
• Si consolidano le volte con tiranti
• Si eliminano le fessure con la tecnica del
cuci-scuci
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Esempio di calcolo di un edificio reale
Prima ipotesi progettuale – Meccanismi locali
• Forze stabilizzanti dovute ai cordoli
• Minore intensità della forza statica orizzontale della volta dovuta
all’effetto dei tiranti
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Esempio di calcolo di un edificio reale
Prima ipotesi progettuale – Meccanismi locali
s = 0.452 / 0.379 = 1.19
Verifica positiva
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Esempio di calcolo di un edificio reale
Prima ipotesi progettuale – pushover
Esito della verifica non soddisfatto
Coefficiente di sicurezza minimo (s): 0.69
(0.63 ante operam)
Fattore di struttura massimo (q*): 4.99
(5.64 ante operam)
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Esempio di calcolo di un edificio reale
Prima ipotesi progettuale – conclusioni
Si raggiunge la condizione di adeguamento nei confronti dei meccanismi locali
Ante operam: 0.31
Post operam: 1.19
Si raggiunge la condizione di miglioramento nei confronti dell’analisi pushover
Rapporto tra spostamenti
Fattore di struttura q*
Ante operam: 0.63
Ante operam: 5.64
Post operam: 0.69
Post operam: 4.99
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Esempio di calcolo di un edificio reale
Seconda ipotesi progettuale
Vista la scarsa qualità della muratura esistente, si consolida con iniezioni di malta.
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Esempio di calcolo di un edificio reale
Seconda ipotesi progettuale – pushover
Esito della verifica non soddisfatto
Coefficiente di sicurezza minimo (s): 1.12
(0.63 ante operam)
Fattore di struttura massimo (q*): 3.12
(5.64 ante operam)
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Bibliografia
Metodi di calcolo e tecniche di consolidamento per edifici in
muratura – Michele Vinci – Dario Flaccovio Editore
I tiranti in acciaio nel calcolo delle costruzioni in muratura –
Michele Vinci – Dario Flaccovio Editore
Per chiarimenti: [email protected]
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Grazie per l’attenzione
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