Esercitazione 6

Esercizio 1. Resistori in parallelo
Un filo di rame (ρ1 = 1.7 · 10−8 Ωm) di raggio a = 0.25 mm ha un rivestimento di alluminio
(ρ2 = 2.8 · 10−8 Ωm) di raggio esterno b = 0.38 mm. Se la corrente nel filo `e i = 2 A, trovare
la corrente in ciascun materiale. Qual `e la lunghezza del filo se tale corrente `e mantenuta da una
d.d.p. pari a 12 V?
b a
l
Soluzione
Il filo centrale e la corona di rivestimento esterno possono essere visti come un sistema di due
resistori in parallelo. La resistenza del filo di rame sar`a R1 , quella del rivestimento di alluminio
sar`
a R2 , con:
l
l
R2 = ρ2
R1 = ρ1 2 ;
2
πa
π(b − a2 )
A questo punto avremo che:
i1
R1
=
R2
i2
→
R1 i1 = V = R2 i2
e
i1 + i2 = i
Risolvendo il sistema si ottiene:
i1 = 1.26i2 ;
→
i1 + i2 = 2 A
i1 = 1.12A;
i2 = 0.88 A
Per il calcolo della lunghezza del filo, consideriamo l’espressione di R1 , per esempio, avremo:
V = R1 i1 = i1 ρ1
l
πa2
→
l=
πa2 V
= 124 m
ρ1 i1
Esercizio 2. Conduzione assiale e radiale
Un conduttore cilindrico cavo di lunghezza d = 2 cm ha raggi a = 2 mm e b = 5 mm; esso `e
costituito da una sostanza con resistivit`
a ρ = 2 Ωm. Una f.e.m. E = 20 V pu`o essere applicata al
conduttore in modo che la corrente fluisca parallelamente all’asse del cilindro o radialmente dalla
superficie interna a quella esterna. Calcolare nei due casi l’intensit`a di corrente i che percorre il
conduttore, la potenza dissipata e la densit`a di corrente sulle superfici terminali.
Soluzione
Z
Ricordiamo che la resistenza `e definita come
0
diverse. Nel primo caso:
R1 =
l
ρ
dh, dunque avremo nei due casi due resistenze
S
ρd
= 606.3 Ω
π(b2 − a2 )
Nota la resistenza possiamo calcolare subito, corrente, potenza dissipata e densit`a di corrente:
i=
E
= 33 mA;
R1
P = R1 i2 = 0.66 W ;
j=
i
= 500 A/m2
π(b2 − a2 )
con la densit`
a di corrente j uguale su entrambe le facce.
Nel secondo caso:
Z b
ρ
b
ρdr
=
ln = 14.6 Ω
R2 =
2πrd
2πd
a
a
Nota la resistenza possiamo calcolare subito, corrente, potenza dissipata e densit`a di corrente:
i=
E
= 1.37 A;
R2
P = R1 i2 = 27.4 W ;
La densit`
a di corrente ora sar`
a diversa perch`e diverse sono le due superfici attraversate:
ja =
i
= 5.45 kA/m2 ;
2πad
jb =
i
= 2.17 kA/m2
2πbd
Esercizio 3. Potenza fornita al carico
Un generatore di resistenza interna r e f.e.m.=V `e collegato ad un carico resistivo R. Calcolare
quando la potenza dissipata come energia termica nella resistenza R `e massima e calcolarne il
valore.
r
R
V
Soluzione
Il circuito `e percorso da una corrente:
i=
V
r+R
e dunque la potenza trasferita al carico sar`a:
Pc = Ri2 =
R
V2
(r + R)2
Calcoliamone ora la derivata prima rispetto a R e poniamola uguale a 0:
dPc
r−R
=
V2 =0
dR
(r + R)3
→
R=r
Si `e dimostrato dunque che il massimo trasferimento di potenza al carico R si ha quando esso
presenta una resistenza uguale alla resistenza interna del generatore. In questo caso si dice che il
carico `e adattato.
In queste condizioni la potenza massima che pu`o essere trasferita al carico vale:
Pmax =
V2
4r
mentre la potenza fornita dal generatore sar`a:
Pg = V i =
V2
= 2Pmax
2r
2
ϱ1
f.e.m.
ri
ϱ2
C
R
L/2
L/2
Esercizio 4. Carica all’interfaccia fra due resistori
Nel circuito in figura il generatore `e in grado di fornire una f.e.m= 3 V e ha una resistenza interna
ri = 310 mΩ. Il resistore R `e costituito da un conduttore cilindrico di sezione S = 1 mm2 di
lunghezza L = 5 m, di cui la prima met`
a `e fatta di tungsteno (resistivit`a ρ1 = 5.6 · 10−8 Ωm) e la
seconda met`
a di piombo (resistivit`
a ρ2 = 22 · 10−8 Ωm).
Calcolare a regime:
PR
;
Pgen
a) l’efficienza di trasferimento di potenza sul carico R, η =
b) l’energia elettrostattica immagazzinata nel condensatore se C = 100 pF;
c) la densit`
a di carica σ depositata all’interfaccia tra tungsteno e piombo;
Soluzione
a)
R = ρ1
L/2
L/2
+ ρ2
= 140mΩ + 550mΩ = 690mΩ
S
S
η=
→
i=
f.e.m.
= 3A
ri + R
Ri2
= 0.69
(f.e.m.)i
b)
U=
1
1
C∆V 2 = C(Ri)2 = 0.21nJ
2
2
c) Poich`e la sezione `e costante, nei due materiali il campo elettrico vale rispettivamente:
E1 = ρ1 j;
E 2 = ρ2 j
ΦS (E) = (E2 − E1 )S = (ρ2 − ρ1 )jS = (ρ2 − ρ1 )i =
Q
0
Si ricava dunque:
Q = 0 i(ρ2 − ρ1 ) = 4.35 · 10−18 C;
σ=
Q
= 4.35 · 10−12 C/m2
S
Esercizio 5. Resistivit`
a variabile
Una corrente stazionaria i fluisce attraverso un conduttore cilindrico di lunghezza L e raggio a.
La resistivit`
a ϕ del conduttore varia linearmente secondo l’espressione ϕ(x) = ϕ1 + (ϕ2 − ϕ1 )x/L.
Calcolare la densit`
a di carica ρ(x) lungo il conduttore.
Soluzione
Data una corrente i che fluisce nel conduttore di sezione A = πa, e di conducibilit`a σ = 1/ϕ, la
~ sar`a ~j = i u
~
densit`
a di corrente corrispondente ~j = σ E
A ˆE . Il campo elettrico E che impone la
corrente nel conduttore sar`
a dunque:
h
i
~ = ϕ~j = I ϕ1 + (ϕ2 − ϕ1 ) x u
E
ˆx
πa2
L
3
ricordando che:
~ =
∇·E
ρ
0
→
∂E
ρ(x)
=
∂x
0
→
ρ(x) = 0
i
πa2
ϕ2 − ϕ1
L
Esercizio 6. Scarica di un condensatore
Un condensatore di capacit`
a C = 100 pF viene caricato fino ad avere una differenza di potenziale
tra le armature pari a 2 V. All’istante t = 0 l’interruttore in figura viene chiuso e il condensatore
comincia a scaricarsi. Determinare l’istante tQ a cui la carica si `e ridotta al 10% del valore iniziale e
l’instante tU in cui l’energia immagazzinata dal condensatore si `e ridotta al 10% del valore iniziale.
Qual `e la differenza di potenziale tra le armature agli istanti tQ e tU ?
Soluzione
La carica sulle armature in funzione del tempo sar`a:
Q(t) = Q0 e−t/τ = CV e−t/(Req C)
La resistenza equivalente sar`
a:
Req = R +
3
R
= R = 15 Ω
2
2
Ricaviamo dunque tQ :
CV
= CV e−tQ /(Req C)
10
→
tQ = ln(10)Req C ' 3.45 ns
L’energia immagazzinata in funzione del tempo `e invece:
U (t) =
1 Q2 (t)
1
= CV 2 e−2t/(Req C)
2 C
2
Ricaviamo dunque tU :
CV 2
1
= CV 2 e−2tU /(Req C)
20
2
→
tU =
ln(10)
Req C ' 1.725 ns
2
Per quanto riguarda le tensioni:
V (tQ ) = V e−tQ /(Req C) ' 0.2 V
(la tensione evolve proprio come la carica!)
V (tU ) = V e−tU /(Req C) ' 0.633 V
Esercizio 7. Carica di un condensatore
Si consideri il circuito in figura. Il condensatore `e costituito da una coppia di armature piane
parallele di superficie S = 10−3 m2 distanti d = 0.12 mm ed `e riempito con un dielettrico di
costante k = 5.7. All’istante t0 = 0 viene chiuso l’interruttore 1, mentre all’istante t1 = 1 µs
viene aperto l’interruttore 2. Calcolare la densit`a di carica di polarizzazione presente sulle facce
del dielettrico all’istante di tempo t1 e la tensione ai capi del condensatore all’istante t2 = 2 µs.
4
t0
t1
f1=10 V
1
2
R1=
R2=
30 kΩ
20 kΩ
C
Soluzione
Prima fase di carica:
C = 0 k
S
' 420 [pF ];
d
Req =
R1 R2
= 12 kΩ
R1 + R2
→
τ1 = Req C ' 5 µs
La d.d.p. ai capi del condensatore durante la prima fase di carica sar`a:
V1 (t) = f1 (1 − e−t/τ1 )
→
V (t1 ) = f1 (1 − e−t1 /τ1 ) ' 1.81 V
→
Q(t1 ) = CV (t1 ) ' 761 pC
Calcoliamo a partire dalla carica libera all’istante t1 la densit`a di carica di polarizzazione:
σp (t1 ) =
k−1
k − 1 Q(t1 )
σ0 (t1 ) =
' 628 nC/m2
k
k
S
Seconda fase di carica: τ2 = R2 C =' 8.4 µs
2.73 V
→
5
V (t2 ) = V (t1 )+[f1 −V (t1 )](1−e−(t2 −t1 )/τ2 ) '

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