APPUNTI_quaderno geometria_2014

Appunti di geometria A.s. 2013-2014
1
Prof. Luigi Cai
APPUNTI
Angoli formati da due rette parallele tagliate da una trasversale (alterni interni ed
esterni, corrispondenti, coniugati).
In un triangolo l’angolo esterno è congruente alla somma degli angoli interni
non adiacenti ad esso.
Somma degli angoli interni ed esterni di un poligono di n lati:
Si = (n – 2)∙180°
Se = 360°
In un triangolo il segmento che congiunge i punti medi di due lati è parallelo al
terzo lato e congruente alla sua metà.
A
o
EF // BC
E
EF = ½ BC
F
o
B
C
Luoghi geometrici
Insiemi di punti che soddisfano tutti ad una stessa proprietà.

Asse di un segmento (retta perpendicolare al segmento e passante per il suo punto medio)
Luogo geometrico dei punti equidistanti dagli estremi di un segmento.
o
P
o
PA = PB
A

B
Bisettrice di un angolo (semiretta uscente dal vertice che divide l’angolo in due parti
congruenti).
Luogo geometrico dei punti equidistante dai lati dell’angolo.
A
o P
O
o
B
AOˆ P  POˆ B
AP = PB
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Prof. Luigi Cai
Punti notevoli dei triangoli

Circocentro
 Punto in cui si incontrano i tre assi di un triangolo
 È equidistante dai vertici del triangolo (luogo geometrico)
 È il centro della circonferenza circoscritta al triangolo
 Può essere interno o esterno al triangolo
A
B
C

Incentro
 Punto in cui si incontrano le tre bisettrici di un triangolo
 È equidistante dai lati del triangolo (luogo geometrico)
 È il centro della circonferenza inscritta al triangolo
 È sempre interno al triangolo.
A
B
C

Ortocentro
 Punto di incontro delle tre altezze del triangolo
 Può essere interno o esterno al triangolo

Baricentro
 Punto di incontro delle tre mediane di un triangolo
 Divide ciascuna mediana in due parti: quella che contiene il vertice è doppia della
altra.
Circonferenza
Luogo geometrico dei punti equidistanti da un punto fisso detto centro.

La perpendicolare condotta dal centro ad una corda divide sia la corda, sia l’arco, sia
l’angolo al centro in due parti congruenti.
A
o
O◦
o
B
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Prof. Luigi Cai

Corde congruenti equidistano dal centro e viceversa.

Retta tangente ad una circonferenza
 È una retta che tocca la circonferenza in due punti coincidenti
 La retta tangente è perpendicolare al raggio nel punto di tangenza.
O◦

A
Angoli al centro
Angoli aventi il vertice nel centro di una circonferenza
A
O◦
B

Angoli alla circonferenza
Angoli aventi il vertice sulla circonferenza e i lati o entrambi secanti o uno secante e l’altro
tangente.
V
V
A
A
B

In una circonferenza l’angolo al centro è sempre il doppio del corrispondente angolo alla
circonferenza.
V
AOˆ B  2  AVˆB
◦O
B
A

Angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arco o su archi congruenti sono
congruenti
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
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Angoli alla circonferenza che insistono su una semicirconferenza sono retti
C
◦
A

B
I segmenti di tangente condotti ad una circonferenza da un punto P esterno ad essa sono
congruenti.
A
P
O◦
B
Inoltre PO è bisettrice degli angoli AOˆ B e APˆ B .
Quadrilateri

Se un quadrilatero è circoscritto ad una circonferenza allora la somma di due lati opposti è
congruente alla somma degli altri due.
A
B
D
O◦
AB + DC = BC + AD
C

Se un quadrilatero è inscritto in una circonferenza allora gli angoli opposti sono
supplementari.
A
Aˆ  Cˆ  180 0
B
O◦
D
C
Bˆ  Dˆ  180 0
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
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Teoremi di Euclide
A
H
B
C
1° Euclide:
AB2 = AH∙AC
BC2 = CH∙AC
2° Euclide:
BH2 = AH∙HC
I teoremi di Euclide possono anche essere enunciati nel modo seguente:
Un cateto è medio proporzionale tra
la sua proiezione sull’ipotenusa e
l’ipotenusa stessa:
L’altezza relativa all’ipotenusa è media
proporzionale tra le proiezioni dei
cateti sull’ipotenusa:
AH : AB = AB : AC
oppure
CH : BC = BC : AC
AH : BH = BH : HC
Teorema di Talete
Un fascio di rette parallele determina su due trasversali due classi di segmenti direttamente
proporzionali, cioè il rapporto tra due segmenti sulla prima trasversale è uguale al rapporto dei
segmenti corrispondenti sull’altra trasversale.
t
t’
A
A’
Ad esempio : AB : CD = A’B’ : C’D’
B
B’
C
C’
D
D’
Il teorema di Talete trova applicazione nei triangoli :
Una retta parallela ad un lato di un triangolo divide gli altri due in parti direttamente proporzionali.
A
E
B
Hp:
Th:
F
C
EF // BC
AE : EB = AF : FC
oppure
AE : AB = AF : AC
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TEOREMA DELLA BISETTRICE DELL’ANGOLO INTERNO
In un triangolo la bisettrice di un angolo interno divide il lato opposto in due parti direttamente
proporzionali agli altri due lati.
A
AD : DC = AB : BC
D
B
C
FIGURE PARTICOLARI
Triangolo isoscele inscritto in una circonferenza
Si prolunga l’altezza CH fino ad incontrare la
circonferenza in D. Si ottiene il triangolo rettangolo CBD
al quale si possono applicare i teoremi di Euclide.
Trapezio circoscritto ad una circonferenza
A
Si hanno le seguenti proprietà:
 I segmenti di tangenza sono congruenti
 AB+DC = AD+BC (proprietà dei quadrilateri
circoscritti ad una circonferenza)
 COB e AOD sono triangoli rettangoli, ai quali si
possono applicare i teoremi di Euclide
Trapezio circoscritto ad una semicirconferenza
I triangoli ADK e AHO sono congruenti  AD = AO
I triangoli CMB e LBO sono congruenti  CB = BO
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Trapezio o rettangolo inscritto in una semicirconferenza
semicirconferenza
oppure un punto preso sulla
Si congiunge un punto che si trova sulla
semicirconferenza con gli estremi del diametro ,
ottenendo così un triangolo rettangolo, al quale
applicare i teoremi di Euclide.
Triangolo isoscele circoscritto ad una semicirconferenza
Al triangolo COB si possono applicare i teoremi di
Euclide
Triangolo isoscele circoscritto ad una circonferenza
I triangoli CHB e COD sono simili, pertanto
si possono applicare le proprietà della
similitudine.
TRIANGOLI RETTANGOLI CON GLI ANGOLI PARTICOLARI DI 30° , 60° , 45°
A
F
G
o
0
60
45
30o
B
450
C
1
 AC
2
3
 AC
BC = cateto opposto all’angolo di 60° è :
2
2
 EF
DE = cateto opposto all’angolo di 45° è :
2
quindi : EF  lato  2
D
E
AB = cateto opposto all’angolo di 30° è :
oppure EF diagonale del quadrato DEGF e
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RELAZIONI TRA I LATI E I RAGGI DEI POLIGONI REGOLARI INSCRITTI IN UNA
CIRCONFERENZA
Quadrato inscritto
ABC è un triangolo rettangolo con gli angoli di 45° ,
pertanto:
2
2
l4 
 AC 
 2r  r 2 
l4  r 2
2
2
Triangolo equilatero inscritto
Si prolunga l’altezza CH, ottenendo il triangolo
rettangolo CBD con gli angoli particolari di 30° e
60° :
3
3
l3 
 DC 
 2r  r 3  l 3  r 3
2
2
Esagono inscritto
A
r
l6
60°
60°
O
Il triangolo AOB è equilatero, pertanto
ha i lati congruenti:
l6  r
60°
r
B
OSSERVAZIONI
Le tre proprietà appena descritte si ritrovano nei problemi sotto la seguente forma:
 In una circonferenza di raggio r si chiede di tracciare una corda congruente al lato del
triangolo equilatero inscritto.
B
30°
A
C
Si hanno due informazioni:
 AB = r 3
 La corda AB forma con il diametro AC
un angolo di 30°
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 In una circonferenza di raggio r si chiede di tracciare una corda congruente al lato
dell’esagono inscritto.
B
Si hanno due informazioni:
 AB = r
 La corda AB forma con il diametro AC
un angolo di 60°
60°
A
C
 In una circonferenza di raggio r si chiede di tracciare una corda congruente al lato del
quadrato inscritto.
B
Si hanno due informazioni:
 AB = r 2
 La corda AB forma con il diametro
AC un angolo di 45°
45°
A
C
O
SEZIONE AUREA DI UN SEGMENTO
E’ la parte di segmento che è media proporzionale tra l’intero segmento e la sua parte restante.
a
A
B
x
C a-x
AC = x è la sezione aurea di AB  AB : AC = AC : CB
Sostituendo nella proporzione i valori in figura: a : x = x : (a-x)  x2=a(a-x)  x2 + ax –a2 = 0
Risolvendo l’equazione si trova che la sezione aurea è:
x=
5 1
 a  0,61803...  a
2
RAPPORTO AUREO
E’ il rapporto tra la misura del segmento e la sua sezione aurea (si indica con la lettera  ):
5 1
 1,61803...
2
Osservazione: il rapporto aureo è un numero puro.

LATO DEL DECAGONO REGOLARE INSCRITTO AD UNA CIRCONFERENZA
Il lato di un decagono regolare è la sezione aurea del raggio della circonferenza circoscritta
5 1
l10 
r
2
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RAGGIO DELLA CIRCONFERENZA INSCRITTA IN UN TRIANGOLO
di cui si conoscono le misure dei lati
Dati:
AB = c
BC = a
Verificare che r 
Dove
AC = b
A
p
p = semiperimetro
A = area del triangolo da calcolare con la
formula di Erone
RAGGIO DELLA CIRCONFERENZA CIRCOSCRITTA AD UN TRIANGOLO
di cui si conoscono le misure dei lati
Dati:
AB = c
BC = a
Verificare che r 
AC = b
a bc
4 A
Dove
A = area del triangolo da calcolare con la
formula di Erone
SIMILITUDINE DEI TRIANGOLI
Definizione: Due triangoli si dicono simili se hanno gli angoli ordinatamente congruenti e i lati,
opposti agli angoli congruenti, in proporzione.
C
C’
A
ABC
B
A’B’C’

A’
Aˆ  Aˆ ' , Bˆ  Bˆ ' , Cˆ  Cˆ '
B’
AB : A' B'  BC : B' C'  AC : A' C'
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 In due triangoli simili si dicono corrispondenti o omologhi i lati opposti agli angoli
congruenti
 Si chiama rapporto di similitudine il rapporto tra due lati omologhi.
Criteri di similitudine
Permettono di stabilire se due triangoli sono simili.
1° criterio: Due triangoli sono simili se hanno due angoli rispettivamente congruenti.
2° criterio: Due triangoli sono simili se hanno un angolo rispettivamente congruente compreso tra
lati proporzionali (ad esempio: Aˆ  Aˆ ' e AB : A' B'  AC : A' C' ).
3° criterio: Due triangoli sono simili se hanno i tre lati rispettivamente proporzionali
.
AB : A' B'  BC : B' C'  AC : A' C'
Proprietà dei triangoli simili
1) In due triangoli simili le basi stanno fra loro come le rispettive altezze
C
C’
Hp:
ABC
A’B’C’
Th: AB : A’B’ = CH : C’H’
B
A
A’
H
B’
H’
2) In due triangoli simili i perimetri stanno fra loro come due lati omologhi.
C
C’
Hp: ABC
Th:
A
B
A’
A’B’C’
2p : 2p’ = AB : A’B’
B’
3) In due triangoli simili le aree stanno fra loro come i quadrati di due lati omologhi.
C
C’
Hp: ABC
Th:
A
B
A’
B’
A’B’C’
A : A’ = AB : A’B’
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4) Teorema delle corde
Se due corde di una circonferenza si intersecano, i segmenti che si formano su una di esse
sono i medi di una proporzione e i segmenti sull’altra sono gli estremi della stessa
proporzione.
A
Hp : AB e CD corde
D
Th:
AE : DE = EC : BE
E
C
B
5) Teorema delle secanti
Se da un punto esterno ad una circonferenza si conducono due secanti, la parte esterna e
l’intera secante di una secante sono i medi di una proporzione e la parte esterna e l’intera
secante dell’altra secante sono gli estremi della stessa proporzione.
A
Hp: PC e PA secanti
B
P
Th:
PB : PD = PC : PA
D
C
6) Teorema della secante e della tangente
Se da un punto esterno ad una circonferenza si conducono una tangente e una secante, il
segmento di tangenza è medio proporzionale tra l’intera secante e la sua parte esterna.
T
Hp: PA secante e PT tangente
P
B
A
Th:
PB : PT = PT : PA

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