Una rassegna parziale delle funzioni continue ma non derivabili

Paolo Perfetti, Dipartimento di matematica, II Universit`
a degli Studi di Roma, facolt`
a di Ingegneria
§19
Appendice 10: Una rassegna parziale sulle funzioni continue
ma non derivabili in nessun punto
P∞
1) f (x) = k=0 bk cos(ak πx) 0 < b < 1, ab > 1 + 23 π e a intero dispari. Si pu`o trovare in: [H],
[T] pag. 351, [GO] pag.46 (1.15) , [GO1] pag.50, [G] pag. 46. [H] `e la referenza pi`
u accurata.
L’autore G.H.Hardy (Godfrey Harold, Cranleigh (Inghilterra) 1877 – Cambridge (Inghilterra)
1947) estende la condizione 0 < b < 1, ab > 1 + 32 π e a intero dispari alla condizione ab ≥ 1 e
0 < b < 1 se ci si accontenta di non avere derivata finita.
k
P∞
x)
2) f (x) = k=0 f (10
dove f (x) = inf k∈Z |k − x| = min{x − [x], [x] + 1 − x} =
10k
n x 0 ≤ x ≤ 1/2
` la funzione di B.L. Wan der
=
ed estesa con periodo 1 a tutta la retta. E
1 − x 1/2 ≤ x ≤ 1
Waerden e si trova in [W], [T] pag.351, [RS] pag. 4, [C] pag.17–18
P∞ f (2k x)
` una semplificazione della
3) F (x) =
dove f (x) `e la funzione definita prima. E
k=0
2k
funzione di Wan der Waerden ed il primo a scriverla o quantomeno a pubblicarla sembra sia
stato T.H.Hildebrandt in [Hi]. Altre referenze sono [G], [GO1]. In [S] l’autore considera la
k
P∞
funzione F (x) = k=0 f (44k x)
2k
P∞
4) f (x) = k=0 f (22k x) dove f (x) `e quella funzione definita e periodica su tutto R che vale
1 + x per −2 ≤ x ≤ 0, e 1 − x per 0 ≤ x ≤ 2. Si veda [Mc]
P∞ sin n2 πx
5) f (x) =
. La congettura che tale funzione sia non derivabile pare risalga a
n=1
n2
Riemann che per`o non `e riuscito a dimostrarla ed infatti detta cos`ı `e falsa. La funzione `e
derivabile con derivata finita in un sottoinsieme numerabile dei razionali e non derivabile altrove
(nel senso che non esiste la derivata bilatera finita). Referenze sono [H], [Ge], [Ge1], [Sm], [HS]
p.260, [GO1] pag.51. Stranamente in questi due ultimi casi si afferma che essa non `e derivabile
in nessun punto contrariamente a quanto se ne sa
Cominciamo a dimostrare che F (x) =
la
P∞
k=0
f (4k x)
4k
non `e derivabile. Precisamente dimostriamo
k
P∞
Proposizione 1.15 La funzione F (x) = k=0 f (44k x) `e continua ma non ammette derivata in
alcun punto
Osservazione Con derivata si intende limite finito del rapporto incrementale
k
Dimostrazione La continuit`a deriva da f (44k x) ≤ 4−k . I massimi ed i minimi di fk (x) sono dati
.
dai punti xkp = 4pk che al variare k e p costituiscono un insieme denso.
Sia dato ora un punto xo Prendiamo una successione hn = 4−n
∞
n−1
1 X 1 k
1 X 1 k
F (xo ± hn ) − F (xo )
k−n
k
f (4 xo ±4
)−f (4 xo ) =
f (4 xo ±4k−n )−
=
±hn
±hn
4k
±hn
4k
k=0
k=0
∞
1 X
1
f (4k xo )
f (4k xo ± 4k−n ) − f (4k xo ) . Ora se k − n ≥ 0 allora f (4k xo ± 4k−n ) −
±hn
4k
k=n
n−1
1 X 1
k
f (4k xo ±
f (4 xo ) = 0 per periodicit`a e quindi della somma rimane solamente
k
±hn
4
k=0
4k−n ) − f (4k xo ) . Il punto centrale `e ora osservare che il periodo di fn−1 (x) `e quattro volte
(1.15)
` il celebre (nonch´
La condizione ivi data 0 < a < 1 `
e errata. Certamente gli autori volevano dire 0 < b < 1. E
e
primo) esempio dato da Karl W.T. Weierstrass (Ostenfelde (Germania) 1815 – Berlino 1897)
18/aprile/2014;
Esclusivamente per uso personale; `
e vietata qualsiasi forma di commercializzazione
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a degli Studi di Roma, facolt`
a di Ingegneria
il periodo di fn (x) e quindi almeno uno due intervalli (xo − 4−n , xo ) (xo , xo + 4−n ) appartiene
interamente ad uno dei semiperiodi della funzione fn−1 (x). Lo stesso intervallo appartiene ad
uno dei semiperiodi delle altre funzioni f1 (x), . . . , fn−2 (x). Passando da n ad n + 1 pu`o accadere
la medesima cosa oppure che l’intervallo interessato sia l’altro.
La conseguenza `e che per ogni valore intero n,
−
n−1
X
4
n−k
k
(f (4 xo − 4
k−n
k
) − f (4 xo )) `e uguale a
n−1
X
4n−k (f (4k xo + 4k−n ) − f (4k xo )) oppure
k=0
n−1
X
(±1) e quindi lim
n→+∞
n−1
X
(±1) non converge.
k=0
k=0
k=0
.
Dal precedente ragionamento segue che esiste una successione {kn = (±)σn 4−n } (σn ∈ {0, 1} a
F (xo + kn ) − F (xo )
.
seconda del valore di n) tale che non esiste il limite lim
n→+∞
kn
Non si `e in grado di dire se non esiste una sola delle derivate ed infatti `e interessante rispondere
alle seguenti domande: 1) esiste nel punto xo la derivata sinistra oppure destra finite? 2) sempre
nel punto xo , esiste la derivata destra e sinistra entrambe uguali a +∞ oppure −∞?
La precedente dimostrazione non pu`o essere ripetuta nel caso in cui 2k sia sostituito a 4k in
quanto non `e detto che almeno uno dei due intervalli (xo − 2−n , xo ) (xo , xo + 2−n ) appartenga
interamente ad uno dei semiperiodi della funzione fn−1 (x). Bisogna adottare la dimostrazione
data in [B] che `e simile a quella data da T.H.Hildebrandt. Si fa uso del seguente Lemma e
dimostrato nell’esercizio 31.7, punto 2)
Lemma 1.15
f : R → R `e derivabile in x se e solo se lim(ξ,η)→(x,x)
Proposizione 2.15
punto
La funzione F (x) =
∞
X
f (2k x)
k=0
2k
f (ξ)−f (η)
ξ−η
= f ′ (x), ξ ≤ x ≤ η
non ammette derivata finita in nessun
Dimostrazione Dato quindi il punto x, siano 2in e i+1
i due punti pi`
u vicini a x con deno2n
i+1
i
n
n
minatore 2 tali che 2n ≤ x ≤ 2n e costruiamola funzione 2 F ((i + 1)2−n ) − F (i2−n ) =
P∞
P∞
2n k=0 2−k f (2k x+(i+1)2k−n )−f (2k x+i2k−n ) . 2n k=n 2−k f (2k x+(i+1)2k−n )−f (2k x+
Pn−1
i2k−n ) = 0 per periodicit`a della funzione f. Rimane 2n k=0 2−k f (2k x + (i + 1)2k−n ) −
Pn−1
f (2k x + i2k−n ) = k=0 (±1) in quanto il periodo della funzione f (2k x) `e Tk = 2−k e quindi
nell’intervallo [i2−n , (i + 1)2−n ] ciascuna delle funzioni f (2k x) con 0 ≤ k ≤ n − 1 `e lineare
crescente oppure decrescente. Ne segue che la derivata non esiste nel senso che il limite del
rapporto incrementale non pu`o essere un numero finito.
Sulla stessa falsariga dimostrare il seguente
∞
X
f (2k x)
non ammette derivata destra n´e sinistra
Proposizione 3.15 La funzione F (x) =
2k
k=0
finite in nessun punto
Dimostrazione Si fa uso dell’esercizio 31.7 punto 4). Facciamo vedere che esistono due suc−ξn
−xo
≤ a, ηξnn−x
≤ a e non esiste
cessioni ξn → 0+ e ηn → 0+ tale che xo ≤ ξn < ηn , ηξnn −x
o
o
P+∞ xk
F (ηn )−F (ξn )
. Prendiamo lo sviluppo in base 2 del punto x ossia x =
limn→+∞
k=1 2k con
ηn −ξn
P
n
x
xk = 0, 1. Sia x(n) = k=1 2kk , ξn = x(n) + 21n > x e ηn = ξn + 21n . Risulta ηn − ξn = 2−n ,
Pn−1
ηn −xo
ηn −ξn
n
≤
2,
≤
1
per
cui
a
=
2.
La
funzione
2
F
(η
)
−
F
(ξ
)
`e pari a k=0 (±1) e
n
n
ξn −xo
ξn −xo
quindi la derivata non esiste nel senso che il limite del rapporto incrementale non pu`o essere un
numero finito.
In merito all’esempio 3) vogliamo dimostrare la seguente proposizione
18/aprile/2014;
Esclusivamente per uso personale; `
e vietata qualsiasi forma di commercializzazione
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a di Ingegneria
Proposizione 4.15
La funzione F (x) =
∞
X
f (2k x)
k=0
Lα |h|α per qualsiasi 0 < α < 1
(2.15)
2k
verifica la stima |F (x + h) − F (x)| ≤
Dimostrazione Sia dapprima |h| < 1. Esiste un numero intero n tale che 2−n−1 ≤ |h| ≤ 2−n ;
n−1
+∞
X
X
F (x + h) − F (x) =
2−k (f (2k x + 2k h) − f (2k x)) +
2−k (f (2k x + 2k h) − f (2k x)). Nella
k=0
k=n
prima sommatoria abbiamo 2k |h| ≤ 2k−n ≤ 21 da cui il fatto che (f (2k x+2k h)−f (2k x)) = 2k h e
n−1
n−1
X
X
−k
k
k
k
quindi
2 |f (2 x+2 h)−f (2 x)| =
2−k 2k |h|. Se ora dividiamo per |h|α allora otteniamo
k=0
n−1
X
k=0
+∞
X
2−k |h|−α |f (2k x+2k h)−f (2k x)| ≤
k=0
n−1
X
2−k 2k |h|1−α ≤ n2−n(1−α) ≤ Lα . Per quanto riguarda
k=0
+∞
X
1
2−k |h|−α = 2−n |h|−α ≤ 2|h|1−α ≤ 21−n(1−α) ≤ L′α .
2
k=n
k=n
Sommando le due quantit`a si arriva al risultato.
2−k |h|−α |f (2k x+2k h)−f (2k x)| ≤
Se |h| ≥ 1 abbiamo |F (x + h) − F (x)| ≤ 1 (fatto questo vero indipendentemente dal valore di
h) allora abbiamo |F (x + h) − F (x)| ≤ 1 ≤ |h|α .
Si sar`a notato che tutto il ragionamento cade se α = 1 e ci`o non sorprende perch´e altrimenti la
funzione sarebbe lipschitziana e quindi derivabile quasi ovunque (fatto questo che gi`a sappiamo
essere falso).
Sempre con la funzione di Wan der Waerden si pu`o ottenere il seguente risultato
Proposizione 5.15 Definire un insieme C ⊂ I = [0, 1] ed una funzione F (x): I → R tale che
µ(C) > 0, F |C ≡ 0, F continua e non derivabile in nessun punto (3.15)
Dimostrazione Prendiamo un insieme di Cantor a misura positiva µo > 0 in I. Cµo si ottiene da
I togliendo una quantit`a numerabile di intervalli aperti disgiunti ossia Cµo = I\ ∪∞
n=0 (an , bn ) e
∞
X
` necessario dare qualche dettaglio
(bn − an ) = 1 − µo ; sia an che bn appartengono a Cµo . E
n=0
in pi`
u per capire il risultato. Al primo passo, dall’intervallo I, togliamo l’intervallo aperto
I1 = ( 12 − λ6 , 21 + λ6 ) ossia togliamo un intervallo centrato in x = 12 e di lunghezza λ3 . Sia
def
I\I1 = J1 = (0, 12 − λ6 ) ∪ ( 12 + λ6 , 1). Al secondo passo, da J1 togliamo due intervalli di lunghezza
ciascuno λ9 e centrati rispettivamente nei punti mediani dei due intervalli che compongono J1 .
Chiamiamo I11 e I12 i nuovi intervalli ottenuti e sia I (2) = I11 ∪ I12 ; J2 = J1 \I (2) . In J2 vi sono
quattro intervalli ed in ciascuno di essi si ripete la procedura togliendo intervalli aperti centrati
λ
di lunghezza 27
che chiamiamo I111 , I112 , I121 , I122 . Sia I (2) = I111 ∪ I112 ∪ I121 ∪ I122 . e via
∞
∞
X
λX 2 k
∞
(k)
(k)
(∞) def ∞
(k)
( ) = λ. L’insieme
dicendo. Sia I
= ∪k=1 I . Abbiamo | ∪k=1 I | =
|I | =
3
3
k=0
k=1
I\I (∞) ha misura 1 − λ e prendiamo λ = 1 − µo per cui Cµo = I\I (∞) . Come ogni insieme
o
di Cantor che si rispetti Cµo soddisfa le relazioni Cµ′ o = Cµo , C µo = ∅, I (∞) = [0, 1]. Ciascun
1 − µo
intervallo di quelli eliminati viene chiamato Ii1 i2 ...in , `e aperto e |Ii1 i2 ...in | =
.
3n
A partire dalla funzione F (x) data in 3), in ogni intervallo Ii1 i2 ...in definiamo Fi1 i2 ...in : Ii1 i2 ...in →
(2.15)
(3.15)
Proposizione presa da [SS]
la misura µ `
e quella di Lebesgue ed inoltre per derivabilit`
a si intende derivata finita bilatera. L’esercizio `
e preso
da [Sc]
18/aprile/2014;
Esclusivamente per uso personale; `
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∞
X
x − ai1 i2 ...in
) e εi1 i2 ...in = n1 . Chiaramente abbiamo
bi1 i2 ...in − ai1 i2 ...in
k=0
1
1
1
Fi1 i2 ...in (ai1 i2 ...in ) = Fi1 i2 ...in (bi1 i2 ...in ) = 0 e Fi1 i2 ...in ( ai1 i2 ...in + bi1 i2 ...in ) = εi1 i2 ...in
2
2
2
(
Fi1 i2 ...in (x) x ∈ Ii1 i2 ...in
Definiamo la funzione W (x): [0, 1] → R, W (x) =
0
x ∈ Cµo
La funzione W (x) cos`ı costruita soddisfa le condizioni richieste.
R, Fi1 i2 ...in (x) = εi1 i2 ...in
2−k f (2k
o
Continuit`a . Se x ∈ Ii1 i2 ...in = I i1 i2 ...in allora W (x) = Fi1 i2 ...in (x) e sappiamo che quest’ultima
`e continua. Sia x ∈ Cµo e sia U ∋ x un intervallo contenente x. In tale intervallo, per costruzione
dell’insieme di Cantor, vi sono solamente punti di Cµo e intervalli aperti appartenenti all’insieme
I\Cµo . Se y ∈ Cµo allora W (y) = 0. Inoltre se la lunghezza dell’intervallo U tende a zero, vuol
dire che gli intervalli di I\Cµo contenuti in esso diventano progressivamente pi`
u piccoli e ci`
o
equivale a dire che n → +∞ dove Ii1 i2 ...in ⊂ U. Ne segue che se y ∈ Ii1 i2 ...in allora W (y) ≤ n1
da cui segue la continuit`a .
Non derivabilit`a . Nei punti x ∈ I\Cµo la funzione non `e derivabile in quanto negli aperti in
questione la funzione `e quella di Wan Der Waerden. Sia ora x ∈ Cµo . Per costruzione vi `e una
successione, detta Sx , di intervalli aperti Ii1 i2 ...in tale che x `e punto limite dell’insieme degli
estremi di tali intervalli che sono rappresentati con ai1 i2 ...in per l’estremo sinistro e bi1 i2 ...in per
l’estremo destro. Sia mi1 i2 ...in = 12 (ai1 i2 ...in + bi1 i2 ...in ) il punto medio di tali intervalli contenuti
W (mi1 i2 ...in )
nell’insieme Sx . Si vuole dimostrare che
non `e una quantit`a limitata e quindi
mi1 i2 ...in − x
non pu`o tendere a zero. In particolare si vuole dimostrare che |mi1 i2 ...in − x| ≤ 2−n e quindi
W (mi1 i2 ...in )
2n−1
|
|≥
da cui il risultato.
mi1 i2 ...in − x
n
λ
1
Sia I1 il primo intervallo tolto da I. sup ρ(x, I1 ) ≤ (1 − )
2
3
x∈J1
1
λ
λ 1
Se I (2) = I11 ∪ I12 si ha sup ρ(x, I (2)) ≤ ( (1 − ) − )
2
3
9 2
x∈J2
λ
λ 1
1
Se I (3) = I111 ∪ I112 ∪ I121 ∪ I122 si ha sup ρ(x, I (3)) ≤ ( (1 − ) − )
2
3
9 2
x∈J3
1
λ
In generale abbiamo sup ρ(x, I (n) ) ≤ n (1 − )
2
3
x∈Jn
Ne segue che la distanza di x dai punti medi degli intervalli che via via vengono eliminati `e
λ
λ
1
minore o uguale a n (1 − ) + 3−n ≤ 2−n+1 e quindi il risultato.
2
3
2
Esercizio Si avrebbe lo stessa conclusione se invece della misura di Lebesgue si prendesse la
misura di Peano–Jordan? (indicata con m(·))
Risposta: No in quanto un insieme A `e misurabile secondo Peano–Jordan se e solo se m(A) =
o
o
m(A) = m(A). Quindi si dovrebbe avere F |A (x) ≡ 0 e al contempo A 6= ∅; Ne seguirebbe che
esiste un intervallo in cui F (x) `e costante. Ma allora `e derivabile all’interno dell’intervallo con
derivata nulla
Referenze
[B] Billingsley P.: Van Der Waerden’s Continuous Nowhere Differentiable Function, American
Mathematical Monthly, Vol. 89, Issue 9 (Nov.,1982), 691
[C] Chierchia L.: Lezioni di Analisi Matematica, Aracne Editrice 1996
[G] Giusti E.: Esercizi e Complementi di Analisi Matematica, volume secondo, seconda edizione riveduta e ampliata, Boringhieri 1989, ristampa del 1994
18/aprile/2014;
Esclusivamente per uso personale; `
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a di Ingegneria
[Ge] Gerver J.: The Differentiability of the Riemann Function at certain Rational Multiples,
American Journal of Mathematics, Volume 92, Issue 1 (Jan., 1970), pp.33–55,
[Ge1] Gerver J.: More on the Differentiability of the Riemann Function, American Journal of
Mathematics, Volume 93, Issue 1 (Jan., 1971), pp.33–41,
[GO] Gelbaum B.R., Olmsted J.M.H.: Controesempi in analisi matematica, Edizioni Mursia,
1964
[GO1] Gelbaum B.R., Olmsted J.M.H.: Theorems and Counterexamples in Mathematics,
Springer–Verlag Ed.1990
[H] Hardy G.H.: Weierstrass’s Non–Differentiable Function , Transactions of the
American Mathematical Society, Volume 17, Issue 3 (Jul.,1916), pag.301–325
[Hi] Hildebrandt T.H.: A Simple Continuous Function with a Finite Derivative at No Point,
American Mathematical Monthly, Volume 40, Issue 9 (Nov.,1933), 547–548
[HS] Hewitt E., Stromberg K.: Real and Abstract Analysis, Springer–Verlag Eds., 1965 pp.260
[Mc] McCarthy J.: An Everywhere Continuous Nowhere Differentiable Function, American
Mathematical Monthly, Volume 60, Issue 10 (Dec.,1953), 709
ˇ
[S] Silov
G.E.: Analisi Matematica - Funzioni di una variabile e Funzioni di pi`
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Edizioni Mir, pag.240,
[Sc] Schubert S.R.: On a Function of Van Der Waerden, American Mathematical Monthly,
Volume 70, Issue 4 (Apr.,1963), 402
[RS] Riesz F.:, Sz.–Nagy B.: Functional Analysis, Frederick Ungar Publishing Co. (N.Y.)
[Sm] Smith A.: The Differentiability of the Riemann’s Function , Proceedings of the American
Mathematical Society, Volume 34, Issue 2 (Aug., 1972), pp.463–468.
[SS] Shidfar A., Sabetfakhri K.: On the Continuity of Van Der Waerden’s Function in the
Holder Sense, American Mathematical Monthly, Volume 93, Issue 5 (May,1986), 375–376
[T] Titchmarsh E.C.: The theory of functions, Oxford University Press, stampa del 1988:
seconda edizione del 1939 corretta nel 1968
[W] Wan der Waerden B.L.: Ein einfaches Beispiel einer nichtdifferenzierbaren stetigen Funktion, Math. Zeitschrift, 32 (1930).
18/aprile/2014;
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