esercizi ed esempi numerici

Sistemi di Telecomunicazione
Doppi bipoli rumorosi: esercizi ed esempi numerici
Universita’ Politecnica delle Marche
A.A. 2014-2015
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Esempio 1
Il segnale all’uscita dell’antenna di un ricevitore ha queste caratteristiche: 1)
frequenza portante fc = 150 MHz, 2) banda a radiofrequenza B = 10 MHz, 3)
potenza PR = −40 dBm . Tale segnale viene amplificato dall’ARF
(Amplificatore a RF) e inviato tramite cavo coassiale al ricevitore. Le
caratteristiche del sistema ricevente sono le seguenti:
I
temperatura di rumore d’antenna: TA = 500 K
I
guadagno dell’ARF: GRF = 10 dB
I
frequenza centrale dell’ARF: fc
I
banda passante dell’ARF: B, e risposta in frequenza di tipo passa-basso
ideale
I
cifra di rumore dell’ARF: FRF0 = 6 dB (riferita a T0 )
I
attenuazione specifica del cavo usato per la discesa d’antenna: α = 6
dB/100m
I
lunghezza del cavo per discesa d’antenna: Dc = 50 m
I
temperatura del cavo: T0
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(T )
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Esempio 1
Trovare:
1) l’attenuazione della discesa d’antenna L in dB, cifra di rumore del cavo
FcT0 riferita alla temperatura ambiente (T0 = 290 K) e cifra di rumore
T0
complessiva FTOT
del ricevitore, comprendente sia l’ARF che il cavo
(sempre riferita a T0 );
2) calcolare il rapporto segnale-rumore C /N all’uscita dell’ARF.
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Svolgimento
1) L = α · Dc ; α e’ dato per una lunghezza di 100 m quindi, essendo Dc = 50
6dB
m, avro’ L =
· 50m = 3 dB. Per il calcolo della cifra di rumore del
100m
cavo, riferita a T0 , considero che esso si trova a temperatura T0 per cui,
Teq
trovo F = 2 (in effetti, nel caso in cui Teq = T0 , si
essendo F = 1 +
T0
ha F = L = 3 dB ∼
= 2). La cifra di rumore complessiva del ricevitore,
comprendente ARF e cavo, e’ data da:
Fcavo − 1
2−1
T0
FTOT
= FARF +
=4+
= 4.1 = 6.13 dB. Questo risultato
AARF
10
si ottiene riportando le grandezze a valori in scala lineare, cioe’: FARF ∼
= 4,
Fcavo ∼
= 2, e AARF = 10 (quest’ultima calcolata da GARF ).
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Svolgimento
SNRinARF
(T )
= FARFA ,
ARF
SNRout
poiche’ la sorgente di rumore e’ l’antenna che si trova a temperatura TA .
PR
SNRinARF
ARF
=
; risulta che:
Quindi: C /NdB = SNRout
=
(T )
(T )
FARFA
KTA BFARFA
(T )
[F 0 − 1]T0
(4 − 1)290
Teq
(T )
FARFA = 1 +
= 1 + ARF
=1+
= 2.74 = 4.38
TA
TA
500
(T )
dB. Otteniamo quindi: C /NdB = PR,dBm − (kTA B)dBm − FARFA dB =
−40dBm − (−101.6dBm ) − 4.38dB = 57.22 dB, essendo:
kTA BdBW = (1.38 · 10−23 ) · 500 · 107 = −131.6 dBW (la B e’ la banda a
RF che non devo moltiplicare per 2).
2) Rapporto segnale/rumore all’uscita dall’ARF (C /NdB ):
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Esempio 2: ottimizzazione di sistemi multi-tratta
Calcoliamo il numero di tratte N da utilizzare in un sistema multi-tratta
affinche’ sia minimizzata la cifra di rumore complessiva, con le ipotesi seguenti:
I
distanza da coprire DTOT
I
attenuazione complessiva in dB: LTOT = α · DTOT dB
I
lunghezza di ogni tratta: D = DTOT /N
I
attenuazione di ogni tratta in cavo (unita’ lineari): L = LTOT
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1/N
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Svolgimento
Dalla formula che ci da’ la cifra di rumore in sistemi multi-tratta otteniamo:
F (N) = NLFa − (N − 1), essendo Fa la cifra di rumore dell’amplificatore. Da
1/N
cui si ricava: F (N) = NLTOT Fa − (N − 1). Se grafichiamo F (N) in funzione di
N otteniamo:
Esiste un valore di N che minimizza la F (N)!
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Svolgimento
Per trovare il valore di N che minimizza la F (N), cioe’ Nmin devo imporre:
d(F (N))
d(F (N))
d
1/N
= 0. Risulta quindi:
=
[NLTOT Fa − (N − 1)] =
dN N=Nmin
dN
dN
1 1/N
lnLTOT
1/N
1/N
Fa LTOT + NFa (− 2 )LTOT (lnLTOT ) − 1 ∼
], avendo
= Fa LTOT [1 −
N
N
trascurato il termine -1. Imponendo l’annullamento della derivata otteniamo:
N = lnLTOT ∼
= 0.23 · LTOT dB . Il valore numerico trovato (reale) va arrotondato
all’intero piu’ vicino, dato che rappresenta il numero di tratte N. Possiamo
trovare la cifra di rumore complessiva minima (ovvero ottima):
1/N
F (N)ottima = [NLTOT Fa − (N − 1)]N=Nmin =
1
lnL
lnLTOT · LTOTTOT · Fa − (lnLTOT − 1) ∼
= e · Fa lnLTOT , avendo trascurato il
termine (lnLTOT − 1).
Supponendo di coprire la stessa distanza complessiva con un sistema a singola
tratta, otterremmo: F = Fa · LTOT ovvero F ∝ LTOT quindi F ∝ e distanza ,
mentre nel caso multi-tratta appena visto, essendo F ∝ lnLTOT abbiamo
F ∝ distanza. Nel sistema multi-tratta, quindi, la cifra di rumore complessiva
varia linearmente con la distanza, quindi ottengo migliori prestazioni, a fronte,
pero’, di un maggior costo realizzativo.
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Esempio 3.1: cascata di doppi bipoli
Calcolare la temeperatura equivalente di rumore del sistema mostrato in figura.
Si ha: Tin = 500 K , G1 = 8 dB, F1 = 4 dB (fattore di rumore); il cavo di
antenna, che ha una lunghezza D = 10 m, attenua il segnale di αl = 0.1
dB/m, valore misurato a 300 K ; G3 = 20 dB, ed F3 = 8 dB.
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Svolgimento
1) per l’amplificatore si assume T1 = T0 = 290 K , non essendo diversamente
(1)
specificato. Otteniamo: Teq = T0 (F1 − 1) dove F1 va espresso in scala
(1)
lineare. Ovvero: Teq = 290 · (104/10 − 1) = 290(2.51 − 1) = 438 K .
2) per il cavo, la cifra di rumore equivale alla attenuazione complessiva e
vale: F2 = αl · D = 0.1 · 10 = 1 dB, ovvero F2 = 101/10 = 1.26, da cui
(2)
Teq = T2 (F2 − 1) = 300(1.26 − 1) = 77 K .
3) per l’ultimo amplificatore risulta:
(3)
Teq = 290 · (F3 − 1) = 290 · (108/10 − 1) = 1540 K .
Da questi valori otteniamo:
sistema
Teq
= Tin +
(1)
Teq
1
(2)
+
Teq
A1
(3)
+
Teq
A1 A2
= 500 + 438 +
77
6.3
+
1540
6.3·0.79
= 1260 K ,
−1/10
dove il valore 0.79 equivale a A2 = 10
= 0.79, essendo G2 = −10
dB. Tale valore equivale anche a 1/L con L = 1.26 che e’ il valore di F2 in
scala lineare.
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Esempio 3.2: cascata di doppi bipoli
Si assuma ora di ricevere un segnale utile di potenza PS (in mW) e banda B.
Determinare il rapporto segnale-rumore in uscita e in ingresso al circuito.
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Svolgimento
I
Il SNR in ingresso al circuito, calcolato a valle dell’antenna ricevente, e’
dato da: SNRin = kTPinS B , essendo N1 = kTin B. All’uscita dal primo stadio
avremo: SNR 1st =
(1)
A1 P S
(1)
A1 (N1 +kTeq B)
, dove A1 (N1 + kTeq B) = N2 . N2 e’ il
rumore in ingresso amplificato (A1 N1 ) e sommato al contributo di rumore
del primo stadio.
I
All’uscita del secondo stadio che agisce come attenuatore avremo:
(2)
A1 P S A2
, dove A2 (N2 + kTeq B) = N3 .
SNR 2st =
(2)
A2 (N2 +kTeq B)
I
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All’uscita avremo:
PS
i,
SNRout = A1 PS A2 A(3)3 = 1 h (3)
(2)
(1)
A3 (N3 +kTeq B)
kTeq B+A2 kTeq B+A2 A1 kTeq B+A2 A1 Tin kB
A1 A2
h
i
(1)
(2)
essendo: N3 = A2 A1 kB(Tin + Teq ) + kBTeq . Quindi SNRout e’
funzione delle temperature di rumore di ogni componente nella catena di
ricezione.
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Svolgimento
I
Possiamo anche scrivere: SNRout =
(3)
kTeq B =
(N3 +kTeq B)
A 1 A2
PS A1 A2
(3)
(N3 +kTeq B)
(1)
= k · Tin + Teq +
=
PS
kTeq B
dove
(2)
Teq
G1
PS
(3)
(N3 +kTeq B)
A1 A2
(3)
Teq
=
+
G 1 G2
· B e il termine tra
parentesi rappresenta la temperatura equivalente di sistema.
Quindi la temperatura equivalente di rumore dell’intero sistema permette di
valutare la densita’ spettrale di potenza equivalente generata dall’intera catena
di ricezione, ai fini del calcolo del SNR di uscita al ricevitore. La densita’
spettrale monolatera di potenza del rumore (equivalente) in uscita, N0 , si
esprime in dBm /Hz, ed e’ data da:
T
N0 (dBm /Hz) = 10log10 (kTeq ) = 10log10 (k Teq0 T0 ) = 10log10 (kT0 ) +
T
10log10 ( Teq0 ) = −174dBm /Hz + 10log10 (1260/290) = −167.6dBm /Hz.
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Esempio 3.3: cascata di doppi bipoli
I
I
I
Si assuma ora di ricevere un segnale utile con potenza PS = −80 dBm e
banda BW = B = 7 MHz. Dimensionare il primo amplificatore per avere
un SNR = PS /PN > 20 dB.
Calcolo PN = N0 (dBm /Hz) + B(dBHz ) = N0 + 10log10 (7 · 106 ) = −99
dBm . Quindi, con l’attuale dimensionamento, si avrebbe:
SNR = PS /PN = −80 + 99 = 19 dB, che non soddisfa il requisito
richiesto. Infatti, come richiesto, deve risultare: PS − PN > 20 dB, ovvero
PN < −100 dBm (non posso variare PS quindi posso solo cercare di
ridurre PN ).
Per ridurre PN , non potendo variare B, devo ridurre N0 , ovvero posso solo
tentare di ridurre Teq , aumentando A1 , dato che:
sistema
Teq
= Tin +
I
I
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(1)
Teq
1
(2)
+
Teq
A1
(3)
+
Teq
.
A1 A2
T (F ,A )
PN = B · N0 ; PN (dBm ) = 68 − 174 + 10log10 eq 2901 1 < −100(dBm )
T (F ,A )
T (F ,A )
da cui ricavo: 10log10 eq 2901 1 < 6, ovvero: eq 2901 1 < 4,
Teq (F1 , A1 ) < 1160 K .
Teq (F1 , A1 ) ∼
= 500 + 290(10F1 /10 − 1) + 77/6.3 + 1540/(6.3 · 0.79) < 1160
K . Dato che A1 = 6.3, la somma degli ultimi due termini frazionari la
posso vedere come 2026/A1 .
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Esempio 3.3: cascata di doppi bipoli
Ho due possibilita’:
I
Posso aumentare A1 cioe’ il guadagno dell’amplificatore: lascio invariato
F1 , e aumento A1 in modo che 500 + 438 + 2026/A1 < 1160 da cui
2026/A1 < 222, ottenendo A1 > 9.12, che approssimo con A1 > 10
ovvero G1 > 10 dB, quindi G1 deve aumentare di almeno 2 dB rispetto al
valore originariamente dato;
I
se lascio invariato A1 (ovvero G1 ) devo ridurre F1 :
290(10F1 /10 − 1) < 1160 − 500 − 321 = 339, da cui F1 < 3.3 dB, rispetto
ai 4 dB originali.
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