la versiera di Agnesi. - Curve-da-capogiro

Curve e funzioni celebri: la versiera di Agnesi.
-Che cos’è la versiera?
La versiera è il luogo dei punti P di intersezione di una retta parallela all´asse x e passante
per M e una retta perpendicolare all´asse x e passante per N al variare del punto M sulla
circonferenza avente raggio variabile a.
-Perché questo nome?
Il primo nome attribuito alla curva fu versoria che,derivante dal latino sinus versus,
significa curva con seno verso, cioè contrario, opposto. Solamente dal 1748 venne
introdotto da Maria Gaetana Agnesi, celebre matematica italiana, il nome di versiera,
termine che significa appunto “avversa” o “avversaria” ed era usato al tempo per indicare
le streghe. Questo spiega perché la curva sia nota in molti Paesi anglofoni come witch of
Agnesi (strega di Agnesi).
-Un po’ di storia…
La funzione designata si trovava già in un passo di Fermat (1666) che si occupò però poco
di essa cercando solamente di quadrarla (la curva è infatti una cubica); il nome con cui ora
ci si riferisce ad essa si trova per la prima volta nel 1718 nelle note al "Trattato del Galileo
del moto naturalmente accelerato" di Guido Grandi, secondo matematico ad
interessarsene. Egli fa riferimento al fatto che la curva fu ottenuta da lui stesso nell´opera
"Quadratura circuli et hyperbolae" nel quale si legge il nome versoria. In seguito ci si può
imbattere in questa curva nelle "Istituzioni analitiche ad uso della gioventù italiana"
di Maria Gaetana Agnesi (1718-1799), testo in italiano di carattere didattico e divulgativo,
nel quale affronta gli argomenti di algebra, geometria analitica e calcolo infinitesimale (che
figurano anche nel programma del triennio dei nostri licei) in termini puramente
geometrici, senza le applicazioni alle altre scienze; e dove compare infine il nome versiera.
-Come costruirla?
Riferendosi alla figura sopra si procede così: come primo passo si traccia la circonferenza di
raggio “a” e centro C. Sia “l” una retta, parallela all´asse x e tangente alla circonferenza nel
punto B a distanza 2a dal centro degli assi. Tracciare ora una linea passante per l´origine
degli assi e un qualsiasi punto M della circonferenza. Questa retta intersecherà la retta l in
un punto N. Infine tracciamo una retta perpendicolare all´asse x passante per il punto N.
La versiera di Agnesi è il luogo dei punti P di intersezione di una retta parallela all´asse x e
passante per M e una retta perpendicolare all´asse x e passante per N al variare del
punto M sulla circonferenza. Questa costruzione è la stessa compiuta M.G.Agnesi nella sua
opera sopra citata.
-Le sue equazioni…
Dalla costruzione precedente si nota che i due triangoli ODM e OBN sono triangoli simili e
quindi si deduce: OD:DM = OB:BN. Inoltre BN può essere sostituito con DP perché di
uguale lunghezza. Detta x tale lunghezza e y quella del segmento OD, si ottiene per il
teorema di Euclide che il segmento DM è uguale a
da cui si ricava l´equazione
cartesiana della versiera:
Da qui si ottengono poi le seguenti equazioni polari
e parametriche
-Ha qualche applicazione?
La versiera di Agnesi è una curva con numerose proprietà interessanti. Vediamone le
principali: l’equazione cartesiana della curva è una cubica razionale con interessanti
proprietà: ha come asintoto l’asse x ed è simmetrica rispetto all’asse delle y, quindi
funzione pari. Inoltre l’area sottesa dal suo grafico è quattro volte l’area della
circonferenza usata per descriverla e il volume di rotazione intorno all’asse x è il doppio del
volume di rotazione della stessa circonferenza intorno all’asse x. La versiera trova molte
applicazioni anche nella fisica, soprattutto nei fenomeni di risonanza: essa si verifica
quando un´oscillazione esterna è esercitata su un sistema con una certa "frequenza di
risonanza". Altre applicazioni si trovano nei circuiti elettrici e in fluidodinamica.
Gioele Racca, V A Sc - a.s.2013/14

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