CAPITOLO 6 CAMPIONAMENTO E RICOSTRUZIONE DI SEGNALI

CAPITOLO
6
CAMPIONAMENTO E RICOSTRUZIONE DI SEGNALI
Indice
6.1
Campionamento Uniforme di Segnali Analogici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
6.2
Ricostruzione di Segnali Analogici da Sequenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
6.3
Altre Interpolazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
6.3.1
Interpolazione Mediante Tenuta (Ordine Zero) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
6.3.2
Interpolazione Lineare (Ordine Uno) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
6.3.3
Interpolazione di Ordine n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
6.4
Conversioni C/D e D/C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
6.5
Analisi nel Dominio della Frequenza: Campionamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
6.6
Analisi nel Dominio della Frequenza: Conversione Discreto/Continuo . . . . . . . . . . . 160
6.6.1
Effetto Moir`e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
6.6.2
Ricostruzione Mediante DAC e Filtraggio Passabasso. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
6.7
Considerazioni Finali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
6.8
Descrizione Energetica di Segnali Campionati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
6.8.1
Trasferimento dell’Energia in Assenza di Aliasing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
6.8.2
Trasferimento della Potenza in Assenza di Aliasing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
6.8.3
Trasferimento dell’Energia in Presenza di Aliasing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
6.8.4
Trasferimento della Potenza in Presenza di Aliasing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
Appendice: Ricostruzione di Segnali Campionati per BTs < 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
6.9
6.10
Appendice: Elaborazione Discreta di Segnali Analogici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
6.10.1
Convoluzione di Segnali Ottenuti Mediante Interpolazione Cardinale . . . . . . . . . . 175
6.11
Esercizi Svolti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
6.12
Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
150
6.1. CAMPIONAMENTO UNIFORME DI SEGNALI ANALOGICI
6.1
151
Campionamento Uniforme di Segnali Analogici
D
a un segnale analogico, diciamo xa ( t ), e` sempre possibile ottenere una sequenza, diciamo x[ n ], per
mezzo dell’operazione di campionamento uniforme al ritmo6.1 di Fs = 1/Ts campioni al secondo:
= xa ( nTs)
x[ n ] = xa ( t )
t=nTs
Rappresenteremo graficamente la conversione Continuo-Discreto definita dall’operazione di campionamento
uniforme come in Fig.6.1.
xa (t)
x[n] = xa (nTs )
C /D
Ts
Figura 6.1: Generazione di sequenze per campionamento (Conversione C/D).
Occorre notare che nel passaggio da segnale analogico a sequenza si perde l’informazione sull’intervallo temporale tra campioni successivi, non necessario alla definizione del dominio discreto della sequenza xs [ n ],
nonostante quest’ultima sia stata ottenuta per campionamento uniforme al ritmo di 1/Ts campioni al secondo.
6.2
Ricostruzione di Segnali Analogici da Sequenze
La ricostruzione di segnali analogici a partire da una sequenza si effettua mediante l’operazione di interpolazione
con una generica funzione interpolatrice φ ( t ), opportunamente normalizzata.
Preliminarmente, per`o, occorre restaurare una metrica per definire l’intervallo temporale che sussiste tra
campioni consecutivi, in modo da restaurare la continuit`a del dominio di definizione del segnale analogico
che si vuole ottenere.
Detto allora Tr l’intervallo temporale che “riscala” l’asse dei tempi nel senso appena illustrato, l’operazione
di interpolazione della sequenza x[ n ] nel segnale ricostruito xr ( t ) e` definita come segue:
+∞
t − nTr
(φ )
(6.1)
xr ( t ) = ∑ x[ n ] · φ
Tr
n=−∞
In parole povere, il segnale analogico e` ottenuto sommando repliche, opportunamente traslate e scalate in
ampiezza, della funzione interpolatrice; per la generica replica traslata in t = nTr, il fattore d’ampiezza e´ pari
proprio all’n-esimo campione x[ n ].6.2
Quando φ ( t ) = sinc( t ) si parla di interpolazione cardinale e, omettendo l’indicazione della funzione interpolatrice, scriveremo piu` semplicemente:
+∞
t
t − nTr
xr ( t ) = xs ( t ) ∗ sinc
(6.2)
= ∑ x[ n ] · sinc
Tr
Tr
n=−∞
6.1 Nella letteratura in
lingua inglese troviamo rate, spesso tradotto con il termine tasso, e.g. si trova tasso di campionamento per significare
sampling rate.
6.2 Come meglio vedremo in seguito, la formula d’interpolazione (6.1) si puo
` riscrivere utilizzando il seguente segnale costituito solo da
impulsi matematici:
xs (t) =
+∞
∑
n=−∞
x[n] · δ(t − nTr )
Il segnale analogico xs (t) si riferisce anche come segnale campionato idealmente. Pur essendo un segnale tempo-continuo, l’informazione in
esso contenuta appare solo nell’insieme discreto degli istanti nTr , contenuta nelle aree degli impulsi matematici. Posto φTr (t) = φ(t/Tr ),
possiamo riscrivere la (6.1) come segue:
(φ)
xr (t) = xs ∗ φTr
(t)
Quindi, l’operazione di interpolazione sui campioni x[n] si rende anche come filtraggio sul segnale xs (t), e pertanto potremo usare tutti gli
(φ)
strumenti dell’analisi di Fourier per comprendere la relazione stabilita tra la sequenza dei campioni x[n] e il segnale interpolato xr (t).
152
CAPITOLO 6. CAMPIONAMENTO E RICOSTRUZIONE DI SEGNALI
Nella Fig.6.2 troviamo un grafico illustrativo del meccanismo insito nell’operazione d’interpolazione cardinale.
Figura 6.2: Ricostruzione di segnali analogici per interpolazione cardinale di sequenze. Al tempo t, il valore del segnale x(t) si ottiene
sommando i contributi delle funzioni interpolatrici, ciascuna pertinente a un singolo campione della sequenza x[n].
Notiamo che, nel generico istante t = nTr, le varie componenti sinc (·) non interferiscono con quella centrata
al tempo ( t − nTr). Quest’ultima replica e` proprio quella scalata in ampiezza della quantit`a x[ n ], ed e` facile
rendersi conto dalla (6.2), cos`ı come osservando la Fig.6.2, il campionamento uniforme dal segnale ricostruito
xr ( t ) allo stesso ritmo 1/Tr usato nella ricostruzione riottiene proprio i campioni della sequenza dalla quale
siamo partiti:
xr ( nTr) = x[ n ]
Tra l’altro, la (6.2) esprime il segnale analogico xr ( t ) come somma di segnali ortonormali,6.3 per cui l’energia del segnale ricostruito si ottiene sommando le energie delle singole componenti, i.e. possiamo scrivere
l’espressione del Teorema di Parseval o di conservazione dell’energia.6.4
Conservazione dell’Energia nell’Interpolazione Cardinale
(energia del segnale ricostruito)
Dim:
Exr =
+
∞
−∞
| xr (t)| 2 dt =
+∞
∑
+∞
∑
n=−∞ m=−∞
x[n] · x[m] ·
+
∞
−∞
E xr = E x
sinc
t − nTr
Tr
=
⎧
⎪
⎨E
(energia della sequenza)
sinc =1
⎪
⎩0
sinc
t − mTr
Tr
dt =
+∞
∑
n=−∞
| x[n]|2 = Ex
per n = m
per n = m
Nel seguito, indicheremo graficamente la trasformazione di conversione Discreto-Continuo, come definita dalla
interpolazione cardinale, mediante il blocco riportato in Fig.6.3.
x[n]
D/C
xr (t) =
F t - nT IJ
T
K
å x[n] × sincGH
+¥
n =-¥
r
r
Tr
Figura 6.3: Conversione D/C.
6.3
Infatti e` nulla l’energia incrociata tra i segnali sinc((t − nTr )/Tr ) e sinc((t − mTr )/Tr ) disallineati di multipli del tempo Tr :
+∞
1 per n = m
t − nTr
t − mTr
sinc
sinc
dt =
Tr
Tr
−∞
0 per n = m
6.4 E
´
facile rendersi conto che la propriet`a della conservazione dell’energia vale per qualsiasi sviluppo su componenti ortonormali.
6.3. ALTRE INTERPOLAZIONI
6.3
153
Altre Interpolazioni
ordine n
0 (DAC)
0 (tenuta)
1 (lineare)
n (B-Spline)
funzione interpolatrice φn (t)
rect(t − 1/2)
rect(t)
tri(t)
(φn−1 ∗ rect)(t)
Tabella 6.1: Interpolazioni per la ricostruzione di segnali.
6.3.1
Interpolazione Mediante Tenuta (Ordine Zero)
L’interpolazione mediante tenuta e` realizzata quando il segnale e` ricostruito mantenendo il valore x[ n ] per il
tempo Tr . L’andamento del segnale interpolato e` quindi costante per tratti di durata Tr , e la funzione interpolatrice e` φ0 ( t ) = rect( t ).
Figura 6.4: Ricostruzione di segnali analogici mediante tenuta (ordine zero).
La ricostruzione mediante tenuta e` operata concretamente dai dispositivi cosiddetti Convertitori Digitali-Analogici
(DAC), dove il tempo di ricostruzione Tr e` fissato dal clock al quale si fa operare il DAC e la funzione interpolatrice e` (idealmente): φDAC ( t ) = rect ( t − 1/2). Naturalmente, la precisione dei campioni x[ n ] e` limitata dal
numero di cifre binarie (bit) del registro all’ingresso del DAC; inoltre, la forma d’onda rettangolare e` realizzata
solo in modo approssimato, a causa dei tempi di carica e di scarica dei condensatori presenti nel DAC.
6.3.2
Interpolazione Lineare (Ordine Uno)
Il segnale ricostruito mediante interpolazione lineare presenta un andamento rettilineo per tratti di durata Tr ,
ottenuto congiungendo i punti x[ n − 1] e x[ n ] con un segmento. La funzione interpolatrice e´ φ1 ( t ) = tri( t ).
In questo caso si parla di interpolazione di ordine uno poich`e la funzione interpolatrice si ottiene mediante
convoluzione da quella di ordine zero: tri( t ) = (rect ∗ rect)( t). L’interpolazione lineare e` spesso impiegata dai
pacchetti di software grafico per la visualizzazione dell’andamento di funzioni i cui punti sono prelevati con
campionamento abbastanza fitto, in modo da non rendere percepibili i punti angolosi evidenti nella Fig.6.5.
Figura 6.5: Ricostruzione di segnali analogici mediante interpolazione lineare (ordine uno).
6.3.3
Interpolazione di Ordine n
La funzione interpolatrice e` ottenuta mediante n convoluzioni da quella di ordine zero, ed e` anche nota come
B-Spline di ordine n: φn ( t ) = (φn−1 ∗ rect )( t).
154
6.4
CAPITOLO 6. CAMPIONAMENTO E RICOSTRUZIONE DI SEGNALI
Conversioni C/D e D/C
Abbiamo visto nel par.6.2 che, da un segnale ricostruito per interpolazione cardinale di una sequenza, e` possibile riottenere i campioni della sequenza stessa mediante campionamento opportuno del segnale ricostruito:
basta che il ritmo di campionamento coincida con il fattore di espansione temporale operato nella ricostruzione
(cfr. Fig.6.6).
x[n]
xr (t)
D/C
y[n]
C /D
si riottiene sempre
y[n] = x[n]
T
Figura 6.6: Campionamento in cascata alla ricostruzione.
Scambiando di posto le conversioni nella cascata di Fig.6.6, si ottiene la situazione di Fig.6.7, dove si evidenzia
che, in generale, la ricostruzione da una sequenza generata per campionamento non necessariamente coincide
con il segnale analogico originale. Quando questo accade diciamo che non e` possibile operare una perfetta
ricostruzione.
x[n]
xa (t)
C /D
xr (t)
D/C
non necessariamente
xr (t) = xa (t)
T
Figura 6.7: Ricostruzione in cascata al campionamento.
Poich`e il segnale ottenuto per interpolazione cardinale si scrive come una serie di funzioni sinc(·):
+∞
t − nT
xr ( t ) = ∑ x[ n ] · sinc
T
n=−∞
(6.3)
per avere una perfetta ricostruzione, ossia xr ( t ) = xa ( t ), il segnale analogico xa ( t ) deve necessariamente potersi sviluppare in serie di funzioni sinc(·). Inoltre, non e` difficile verificare che questa condizione e` anche
sufficiente.
P ROPOSIZIONE 6.1 Sia xa ( t ) un segnale analogico sviluppabile in serie di funzioni seno cardinale, i.e. esistono coefficienti ξ n e un valore T con i quali sia possibile scrivere il seguente sviluppo:
+∞
t − nT
xa ( t ) = ∑ ξ n · sinc
T
n=−∞
Allora la sequenza dei campioni x[ n ] = xa ( nT ) presi al ritmo di 1/T campioni per secondo coincide con i coefficienti di
sviluppo ξ n . Infatti:
+∞
nT − mT
= ξn
x[ n ] = xa ( nT ) = ∑ ξ m · sinc
T
m=−∞
⎧ =
⎪
⎨1
per n = m
⎪
⎩0
per n = m
La sequenza x[ n ] costituisce una rappresentazione del segnale analogico xa ( t ), nel senso che la ricostruzione mediante
interpolazione cardinale dei campioni x[ n ] restituisce il segnale analogico xa ( t ) (ricostruzione perfetta). Inoltre, vale la
conservazione dell’energia, i.e. Exa = Ex .
6.4. CONVERSIONI C/D E D/C
155
Sulla sviluppabilit`a di un segnale analogico in serie di funzioni seno cardinale vale anche quest’altra proposizione.
P ROPOSIZIONE 6.2 Condizione necessaria e sufficiente affinch`e un segnale analogico xa ( t ) sia sviluppabile in serie di
funzioni seno cardinale e` che esso sia un segnale limitato nella banda base di larghezza B = 1/T:
xa ( t ) =
+∞
∑
t − nT
T
xa ( nT ) · sinc
n=−∞
⇐⇒
Xa ( jΩ ) = 0 per | Ω | > πB =
π
T
Dim: necessariet`a. Poich`e le funzioni sinc(t/T < gmenon) sono limitate nella banda base di larghezza B = 1/T, anche il segnale xa (t),
essendo somma di funzioni limitate tutte nella stessa banda, risulta limitato nella medesima banda base di larghezza B = 1/T.
Dim: sufficienza. Preliminarmente notiamo che, essendo il segnale xa (t) limitato in banda, esso non risulta alterato a valle di un filtraggio
passabasso ideale (con banda maggiore o uguale di quella del segnale). Per semplicit`a, ma senza perdit`a di generalit`a, prendiamo B = 1;
allora:
xa (t) = (xa ∗ sinc)(t) =
+
∞
xa (ϑ) sinc(t − ϑ) dϑ
(6.4)
−∞
Nel seguito della dimostrazione, faremo uso della seguente propriet`a delle funzioni seno cardinale:6.5
sinc(t − ϑ) =
+∞
∑
n=−∞
sinc(t − n) · sinc(n − ϑ)
Sviluppiamo la condizione (6.4):
+∞
xa (t) =
+∞
xa (ϑ) sinc(t − ϑ) dϑ =
−∞
xa (ϑ) dϑ
−∞
+∞
∑
n=−∞
sinc(t − n) sinc(n − ϑ) =
+∞
∑
n=−∞
sinc(t − n)
+
∞
xa (ϑ) sinc(n − ϑ) dϑ
−∞
xa (n) (per la (6.4))
=
+∞
∑
n=−∞
xa (n) · sinc (t − n)
dove abbiamo ipotizzato che sia lecito invertire la sommatoria con l’integrale.
Le proposizioni 6.1 e 6.2 costituiscono il Teorema del Campionamento, che riportiamo in una forma piu`
compatta.
Teorema del Campionamento
T EOREMA 6.1 L’interpolazione cardinale ricostruisce perfettamente un segnale dai suoi campioni se, e solo se, il segnale e` limitato nella banda base di larghezza B e, posto 1/T il ritmo al quale si effettua sia il campionamento che
l’interpolazione, si opera con BT ≤ 1.
Il Teorema del Campionamento sancisce delle condizioni ideali per effettuare campionamento e ricostruzione perfetta di segnali limitati in banda. Per quanto riguarda la valutazione quantitativa delle distorsioni
introdotte nel segnale ricostruito quando l’interpolazione differisce da quella cardinale,6.6 questa si effettua
convenientemente mediante l’analisi di Fourier nel dominio della frequenza. In tale dominio, sar`a anche possibile comprendere e valutare gli effetti distorcenti dovuti a un campionamento lento, i.e. quando operiamo con
BT > 1.
6.5 Ricordando
che sinc(t) =
+∞
∑
n=−∞
+1/2
−1/2
e j2π f t d f , abbiamo:
sinc(t − n) · sinc(n − ϑ) =
=
=
+1/2
−1/2
e j2π f t d f
+∞ +1/2
∑
k=−∞
−1/2
+1/2
−1/2
+∞ +1/2
∑
n=−∞
−1/2
e−j2πςϑ dς
e j2π f (t−n) d f
+∞
∑
n=− ∞
+1/2
−1/2
e−j2π ( f −ς)n =
e j2π f t rect( f ) e−j2π ( f −k)ϑ rect( f − k) d f
e j2πς(n−ϑ ) dς
+1/2
−1/2
=
(solo k=0)
e j2π f t d f
+1/2
−1/2
+1/2
−1/2
e−j2πςϑ
+∞
∑
k=−∞
δ( f − ς − k) dς
e j2π f (t−ϑ ) d f
= sinc(t − ϑ)
6.6 Vale la pena sottolineare che l’interpolazione cardinale ha soprattutto una valenza teorico-concettuale, visto anche il suo ruolo centrale
nel teorema del Campionamento; dispositivi fisici che ottengono segnali analogici mediante interpolazione possono solo approssimare
l’interpolazione cardinale, cfr. anche il par.6.6.2.
156
6.5
CAPITOLO 6. CAMPIONAMENTO E RICOSTRUZIONE DI SEGNALI
Analisi nel Dominio della Frequenza: Campionamento
In precedenza abbiamo discusso le operazioni di campionamento e di ricostruzione di segnali analogici nel
dominio del tempo. In questo capitolo, aumenteremo la comprensione di tali argomenti conducendo l’analisi
nel dominio della frequenza mediante gli strumenti analitici messi a disposizione dall’analisi di Fourier. Per
questo scopo, nel seguito faremo uso della seguente notevole trasformata.6.7
Trasformata di Fourier del Treno Periodico di Impulsi Matematici
⎧
2π +∞
2π
⎪
⎪
(
jΩ
)
=
δ
Ω
−
(pulsazione)
k
S
⎪
∑
⎪
⎨ T
+∞
T k=−
T
∞
FT
sT ( t ) = ∑ δ ( t − nT ) ⇐⇒
⎪
1 +∞
k
⎪
n=−∞
⎪
⎪ST ( f ) =
(frequenza)
∑ δ f−T
⎩
T k=−
∞
Al treno d’impulsi matematici sT ( t ) diamo il nome di segnale campionatore ideale; vale la pena notare come anche
la sua trasformata di Fourier si presenta come un treno di impulsi matematici, periodico modulo 2π/T lungo
l’asse delle pulsazioni Ω, ovvero periodico modulo 1/T lungo l’asse delle frequenze f .
Adesso possiamo definire il seguente segnale analogico xs ( t ), campionato idealmente al ritmo di 1/Ts campioni al secondo:
xs ( t ) = xa ( t ) · sTs ( t ) =
+∞
∑
n=−∞
xa ( nTs ) δ (t − nTs )
(6.5)
FT
Non e` difficile calcolare la trasformata di Fourier Xs ( jΩ ) ⇐⇒ xs ( t ): essa si ottiene come convoluzione, nel
dominio della frequenza, delle trasformate Xa ( jΩ ) e STs ( jΩ ):6.8
+∞
+∞
1
1
2π +∞
2π
Xs ( jΩ ) =
Xa ( jΨ ) · STs ( jΩ − jΨ ) dΨ =
Xa ( jΨ) ·
δ
Ω
−
Ψ
−
k
dΨ
∑
2π −∞
2π −∞
Ts k=−
Ts
∞
(6.6)
1 +∞
2π
=
∑ Xa jΩ − j Ts k
Ts k=−
∞
6.7 Ricordando
FT
che δ(t − nT) ⇐⇒ e−jΩ nT , e che la trasformazione di Fourier e` lineare, abbiamo:
F
6.8 La
+∞
∑
n=−∞
δ(t − nT)
=
+∞
∑
n=−∞
F {δ(t − nT)} =
+∞
∑
n=−∞
e−jΩT·n = 2π
=
+∞
−∞
1
Ts
Xa (ς)STs ( f − ς) dς =
+∞
∑
k=−∞
Xa
f−
k
Ts
+∞
−∞
Xa (ς) ·
∑
δ (Ω T − 2πk)
k=−∞
(6.6) si scrive anche in funzione di f [cicli/s]:
Xs ( f ) =
+∞
1
Ts
+∞
∑
k=−∞
δ
f −ς−
k
Ts
dς
6.5. ANALISI NEL DOMINIO DELLA FREQUENZA: CAMPIONAMENTO
157
Osserviamo, quindi, il seguente fatto notevole, fondamentale nella Teoria dei Segnali e spessissimo usato nelle
sue applicazioni.
Trasformata di Fourier di un Segnale Analogico Campionato Idealmente
+∞
FT
• La trasformata di Fourier Xs ( jΩ ) ⇐⇒ xs ( t ) =
campionato idealmente e` periodica modulo 2π/Ts;
∑
n=−∞
xa ( NTs ) δ (t − nTs) di un segnale analogico
• Essa si ottiene periodicizzando la versione scalata di 1/Ts della trasformata di Fourier del segnale
originale:
Xs ( jΩ ) =
1
2π
1
=
Ts
+∞
−∞
+∞
∑
k=−∞
Xa ( jΨ)STs ( jΩ − jΨ ) dΨ =
Xa
2π
jΩ − j
k
Ts
1
2π
+∞
−∞
Xa ( jΨ ) ·
2π
Ts
2π
δ
Ω
−
Ψ
−
k
dΨ
∑
Ts
k=−∞
+∞
(6.7)
L’operazione di periodicizzazione modulo 2π/Ts e` illustrata in Fig.6.8, dove si configurano due situazioni
diverse:
S-I. Il segnale xa ( t ) e` limitato nella banda base di larghezza B ≤ 1/Ts: in questo caso, le varie repliche
spettrali Xa ( jΩ + j2πk/Ts), per k = − ∞, . . . , + ∞, non interferiscono, giacch´e risulta 2π/Ts − πB ≥ πB.
Da notare il fattore di scala delle ampiezze pari a 1/Ts. Pertanto, nella banda base di larghezza B
troviamo la sola replica spettrale per k = 0.
S-II. Il segnale x( t ) e` limitato nella banda base di larghezza B > 1/Ts (eventualmente B = + ∞): le varie
repliche spettrali Xa (jΩ + j2πk/Ts ), per k = − ∞, . . . , + ∞, interferiscono. In particolare, nella banda
base di larghezza B si sovrappongono piu` repliche spettrali.
Il fenomeno di sovrapposizione delle repliche genera situazioni curiose quando si considera la ricostruzione
del segnale mediante interpolazione cardinale. Specificatemente, questo fenomeno e` comunemente indicato
con il termine anglo-latino aliasing, per i motivi illustrati nell’es.6.1.
In ogni caso, alla luce di quanto gi`a discusso nel par.6.4, nella situazione S-II non e` possibile ricostruire
perfettamente il segnale xa ( t ) dai suoi campioni xa ( nTs).
Concludiamo offrendo una descrizione grafica dell’operazione di conversione Continuo/Discreto, ora rappresentabile come in Fig.6.9,6.9 dove abbiamo evidenziato la formazione del segnale analogico campionato
idealmente xs ( t ).
Per descrivere, nel dominio della frequenza, il legame tra il segnale analogico xa ( t ) e i suoi campioni espressi
come ampiezze della sequenza x[ n ], occorre dapprima valutare la trasformata di Fourier X( e jω ) della sequenza
x[ n ] = x a( nTs):
X( e jω ) = F { x[ n ]} =
+∞
∑
n=−∞
x[ n ] e− jωn =
+∞
∑
n=−∞
xa ( nTs ) e− jωn
Proseguiamo valutando la trasformata di Fourier Xs ( jΩ ) del segnale campionato xs ( t ) =
nTs ):
Xs ( jΩ ) = F { xs ( t )} =
+∞
∑
n=−∞
xa ( nTs)F { δ (t − nTs)} =
+∞
∑
n=−∞
(6.8)
+∞
∑
n=−∞
xa ( nTs) e− jΩTs n
xa ( nTs ) δ (t −
(6.9)
Confrontando la (6.8) con la (6.9), possiamo scrivere la seguente notevole relazione tra la trasformata di FouFT
rier del segnale da campionare Xa ( jΩ ) ⇐⇒ xa ( t ), e la trasformata di Fourier della sequenza dei campioni
FT
X( e jω ) ⇐⇒ x[ n ]:
6.9 La Fig.6.9 riporta una rappresentazione dell’operazione di campionamento particolarmente utile per gli scopi analitici di questo capitolo.
Si badi, pero,
` che essa non costituisce la descrizione di un particolare dispositivo fisico, e.g. un convertitore Analogico-Digitale (Analog to
Digital Converter, ADC), che non puo` certamente far uso d’impulsi matematici.
158
CAPITOLO 6. CAMPIONAMENTO E RICOSTRUZIONE DI SEGNALI
Xa ( jW)
1
pB
-pB
-4 p Ts
-2 p Ts
4 p Ts
2 p Ts
W
Xs ( jW)
Hr ( jW)
Ts
1 Ts
-4 p Ts
2 p Ts - pB
4 p Ts
W
Xa ( jW)
W
Xs ( jW)
Hr ( jW)
1 Ts
-p Ts
sovrapposizione
W
Figura 6.8: Il campionamento visto nel dominio della frequenza: periodicizzazione modulo 2π/Ts degli spettri. In alto e` rispettata la
condizione BTs ≤ 1; invece, in basso osserviamo la sovrapposizione tra le repliche spettrali dovuta a BTs > 1.
+¥
xs (t) =
xa (t)
x[n] º xa (nTs )
å x (nT )× d(t - nT )
a
s
s
n=-¥
sTs (t) =
STs ( jW) =
Misuratore d’Area
+¥
å d(t - nT )
n =-¥
(Impulsi Matematici
s
®
Ampiezze)
2 p +¥
å d(W - 2 pk Ts )
Ts k =-¥
xa (t)
C /D
x[n] = xa (nTs )
Ts
Figura 6.9: Campionamento di un segnale analogico. Notare la formazione del segnale campionato idealmente xs (t).
Le Trasformate di Fourier nel Campionamento
1 +∞
2π jω
=
X( e ) = Xs ( jΩ )
∑ Xa jΩ − j Ts k Ts k=−
Ω=ω/Ts
∞
Ω=ω/Ts
(6.10)
6.5. ANALISI NEL DOMINIO DELLA FREQUENZA: CAMPIONAMENTO
159
Vale la pena notare che la periodicizzazione modulo 2π/Ts nella variabile Ω dello spettro X( jΩ ) del segnale
campionato diventa modulo 2π nella variabile ω quando si considera lo spettro X( e jω ) della sequenza; infatti,
in quest’ultimo, ogni riferimento al tempo di campionamento e` andato perso nella normalizzazione ω = ΩTs ,
relazione che descrive il legame stabilito dall’operazione di campionamento tra gli assi della pulsazione, per
cos`ı dire, analogica Ω e quella discreta ω (cfr. Fig.6.10).
1
Xa ( jW)
-pB
-4 p Ts
pB
-2 p Ts
2 p Ts
4 p Ts
W
Xs ( jW)
1 Ts
W
X(e jw )
1 Ts
-4p
-2p
-pBTs
pBTs
2p
4p
w = WTs
Figura 6.10: Normalizzazione dell’asse delle frequenze nel campionamento.
Abbiamo cos`ı ritrovato il fatto che gli spettri di segnali campionati sono intrinsecamente periodici, e questo
fatto e` sempre essenzialmente dovuto al fenomeno dell’indistinguibilit`a di segnali sinusoidali sottoposti alla
discretizzazione del loro dominio di definizione, fenomeno gi`a discusso nel par.1.11. Per finire, osserviamo
che per BT ≤ 1, poich`e non si verifica alcuna sovrapposizione nella periodicizzazione dello spettro, possiamo
anche scrivere:
1
2π Xa jΩ mod j
Xs ( jΩ ) =
Ts
Ts
Ω=ω/Ts
Gli argomenti sopra esposti permettono di enunciare la cosiddetta condizione di Nyquist riguardo il rapporto
tra ritmo di campionamento 1/Ts e larghezza di banda del segnale B.
Condizione di Nyquist
Per un segnale limitato nella banda base di larghezza B e campionato al ritmo di 1/Ts campioni per secondo,
non si verifica sovrapposizione delle repliche spettrali quando risulta:
B · Ts ≤ 1
Il segno uguale vale solo se il segnale non presenta componenti sinusoidali1 alle pulsazioni Ω = ± π/Ts.
1 In questo caso, infatti, avremmo due impulsi matematici alle pulsazioni Ω = ±π/T ; nella periodicizzazione modulo 2π/T dello
s
s
spettro, questi impulsi interferiscono tra loro per BTs = 1.
Come detto in precedenza, il fenomeno di sovrapposizione delle repliche spettrali, che si verifica quando si
opera il campionamento violando la condizione di Nyquist, si chiama anche con il termine aliasing, per i motivi
illustrati nell’es.6.1.
160
6.6
CAPITOLO 6. CAMPIONAMENTO E RICOSTRUZIONE DI SEGNALI
Analisi nel Dominio della Frequenza: Conversione Discreto/Continuo
L’operazione di conversione Discreto/Continuo, ossia l’operazione di ricostruzione di un segnale analogico
xr ( t ) mediante interpolazione cardinale di una sequenza x[ n ] si scrive
xr ( t ) =
+∞
∑
n=−∞
x[ n ] sinc
t − nTr
Tr
(6.11)
e` rappresentata nella Fig.6.11, dove si evidenzia il ruolo giocato dal segnale
xs ( t ) =
+∞
∑
n=−∞
x[ n ] δ (t − nTr )
(6.12)
costituito da impulsi matematici spaziati Tr .6.10 Esso e` generato associando le ampiezze dei campioni x[ n ] alle
aree degli impulsi δ ( t − nTr ), la cui spaziatura e` determinata dal parametro di ricostruzione Tr .
Generatore d’Impulsi
(Ampiezze
® Impulsi Matematici)
+¥
xs (t) =
x[n]
å x[n] d(t - nT )
r
n=-¥
a f
sinc t Tr
xr (t)
Tr
+¥
x[n]
xr (t) =
D/C
æ
ö
å x[n]×sincçè t -TnT ÷ø
r
r
n=-¥
Tr
Figura 6.11: Ricostruzione mediante interpolazione cardinale
def
Utilizzando il segnale xs ( t ), e posto sincTr ( t ) = sinc( t/Tr), possiamo riscrivere la (6.11) come un filtraggio:
xr ( t ) = xs ∗ sincTr ( t )
(6.13)
Lo spettro del segnale xs ( t ) e` parente stretto dello spettro della sequenza x[ n ]; mediante semplici calcoli, si
dimostra che esso si ottiene per semplice normalizzazione dell’asse delle frequenze ω = ΩTr. Infatti, abbiamo:
X( e jω ) =
e
Xs ( jΩ ) = F { xs ( t )} =
+∞
∑
n=−∞
+∞
∑
n=−∞
x[ n ] e− jωn
x[ n ]F { δ (t − nTs )} =
(6.14)
+∞
∑
n=−∞
x[ n ] e− jΩTs n
(6.15)
Confrontando la (6.14) con la (6.15), possiamo infine scrivere:
Xs ( jΩ ) = X( e jω ) ω=ΩTr
Vale la pena notare che entrambi gli spettri sono periodici, precisamente X( e jω ) e` periodico modulo 2π, mentre
Xs ( jΩ) e` periodico modulo 2π/Tr.
6.10 Con un piccolo abuso di notazione, abbiamo usato lo stesso simbolo x (t) per denotare il segnale analogico campionato al ritmo di
s
1/Ts campioni/s (6.5) e il segnale analogico (6.12) che ripristina la spaziatura temporale Tr fra i campioni della sequenza x[n], pur essendo
in generale Ts = Tr .
6.6. ANALISI NEL DOMINIO DELLA FREQUENZA: CONVERSIONE DISCRETO/CONTINUO
161
Con l’aiuto del segnale xs ( t ) possiamo comprendere l’effetto del filtro ricostruttore nel dominio della frequenza, in tutta analogia a quanto gi`a fatto nel paragrafo precedente. Allora, denotando con Br = 1/Tr la
banda del filtro passabasso ricostruttore ideale, possiamo scrivere:
(B )
(B )
· Tr HLPr ( jΩ )
(6.16)
Xr ( jΩ ) = Xs ( jΩ ) · Tr HLPr ( jΩ ) = X( e jω ) ω=ΩTr
La (6.16) e` illustrata nella Fig.6.12, dove abbiamo considerato anche un ulteriore filtro ricostruttore hr ( t ) non
ideale, i cui effetti distorcenti sono discussi nel par.6.6.1.
6.6.1
Effetto Moir`e
(B )
Considerato un filtro ricostruttore hr ( t ) non ideale, i.e. Hr ( jΩ) = HLPr ( jΩ ), le (6.13) e (6.16) diventano:6.11
+∞
t − nTr
xr ( t ) = ∑ x[ n ] h r
= xs ( t ) ∗ hr ( t/Tr)
T
r
n=−∞
Xr ( jΩ ) = Xs ( jΩ ) · Tr Hr ( jΩ · Tr ) = X( e jω ) · Tr Hr ( jΩ · Tr )
ω=ΩTr
Come illustrato nella Fig.6.12, notiamo che le imperfezioni sul segnale ricostruito prodotte dall’andamento
della risposta armonica Hr ( jΩ · Tr ) sono dovute a due cause:
1. mancato rigetto delle componenti sinusoidali esterne alla banda di larghezza Br = 1/Tr, per questo dette
spurie, causato della scarsa selettivit`a in frequenza del filtro ricostruttore;
2. imperfetta ricostruzione nella banda di larghezza Br = 1/Tr, causata dal guadagno non costante nella
banda passante del filtro ricostruttore.
1
-4p
X(e jw )
-2p
4p
2p
w
Xs (jW)
ricostruttore
passabasso ideale
Tr×H r' ( jWTr )
Tr
-2p Tr
-4p Tr
2p Tr
Xr (jW)
4p Tr
W = w Tr
Tr
Xr' (jW)
effetto
moiré
effetto
moiré
-p Tr
p Tr
W = w Tr
2 pBr = 2 p Tr
Figura 6.12: La ricostruzione nel dominio della frequenza: in evidenza le componenti spurie dovute all’effetto moir`e.
6.11 Nell’indicare l’operazione di convoluzione x (t) ∗ h ( t/T ), usiamo la notazione x (t) per intendere l’intera forma d’onda , e altrettanto
s
r
s
r
per hr ( t/Tr ). Questo implica che non si puo` operare formalmente sulla variabile t, e.g. il valore del segnale ricostruito al tempo t = 3 non
si puo` scrivere come xr (3) = xs (3) ∗ hr (3/Tr ), non avendo significato l’operatore di convoluzione applicato su quantit`a scalari.
162
CAPITOLO 6. CAMPIONAMENTO E RICOSTRUZIONE DI SEGNALI
Considerando il legame stabilito dal convertitore D/C tra la sequenza in ingresso x[ n ] e il segnale ricostruito
all’uscita xr ( t ), l’imperfetta ricostruzione nella banda di larghezza Br = 1/Tr e` propriamente causa di distorsione
lineare, i.e. alla generica sinusoide discreta a pulsazione ω in ingresso corrisponde una sinusoide continua in
uscita con ampiezza complessa modificata dalla risposta del filtro ricostruttore Hr ( jΩ ) alla pulsazione Ω =
ωTr. Invece, la scarsa selettivit`a in frequenza del filtro ricostruttore e` causa di distorsione nonlineare, i.e. alla
generica sinusoide discreta a pulsazione ω in ingresso corrispondono piu` sinusoidi in uscita; ergo, all’uscita
del convertitore D/C si genera un particolare fenomeno d’interferenza, che vede partecipare sia le componenti
sinusoidali spurie interne che quelle esterne alla banda di larghezza Br = 1/Tr. Tale fenomeno d’interferenza e`
noto come effetto moir`e;6.12 un esempio relativo al caso sinusoidale e` riportato nell’esempio 6.2.
Pertanto, poich`e nella pratica siamo costretti a operare interpolazioni diverse da quella cardinale, l’effetto
moir`e e` sempre potenzialmente osservabile, specialmente nell’interpolazione per tenuta (ordine 0):
(0)
FT
h r ( t ) = φ0 ( t ) = rect ( t )
⇐⇒
(0)
Hr ( jΩ ) =
e nell’interpolazione lineare
(1)
hr ( t ) = φ1 ( t ) = tri( t )
6.6.2
FT
⇐⇒
(1)
Hr ( jΩ ) =
sin Ω/2
Ω/2
sin Ω/2
Ω/2
2
Ricostruzione Mediante DAC e Filtraggio Passabasso.
Come illustrato nella Fig.6.13, ponendo in cascata un convertitore digitale analogico (DAC, cfr. par.6.3.1), e un
filtro analogico passabasso si realizza un semplice ricostruttore, sufficientemente accurato in diverse situazioni
di interesse applicativo.
( Br )
H LP
( jW)
HPC (e jw )
x[n]
xr (t)
DAC
-p
p
w
Tr
filtraggio numerico per la
precompensazione delle distorsioni introdotte
dal filtro passabasso analogico
nella sola banda di ricostruzione
-p / Tr
p / Tr
W
filtro passabasso analogico
Figura 6.13: Ricostruzione mediante DAC e filtraggio passabasso.
Infatti, l’effetto moir`e introdotto dal DAC, che realizza l’interpolazione di ordine 0, e` mitigato dal filtraggio
passabasso. Riguardo quest’ultimo, poich`e le attenuazioni di banda oscura introdotte dal DAC e dal filtro
passabasso vanno a moltiplicarsi, possiamo considerare anche una semplice implementazione mediante rete
RC (cfr. Fig.3.14). Scegliendo RC = Tr /π, la risposta in frequenza del cascata DAC-filtro passabasso si scrive
come segue:
sin Ω/2
1
Hr(DAC−RC) ( jΩ ) =
·
Ω/2
1 + jΩ/π
6.12 Dalla parola francese moir´e, un tipo di tessuto, tradizionalmente di seta ma oggigiorno anche in cotone o fibra sintetica, che presenta un effetto che ricorda le onde o l’acqua. L’intreccio tipico di tale tessuto si osserva sovrapponendo sinusoidi bidimensionali, il che e`
equivalente a ricostruire imperfettamente un segnale sinusoidale bidimensionale campionato, e spesso si osserva sui monitor televisivi
quando si visualizzano strutture a righe verticali, per esempio presenti su una giacca o altro indumento. A sua volta, il nome di tale
tessuto risale al mito delle Moire, le tre figlie di Zeus e Temi che eseguivano il destino di ciascun essere umano: Cloto, che filava lo stame
della vita, Lachesi, che lo svolgeva sul fuso e Atropo che lo recideva. Per estensione, e questo vale anche nel caso di segnali monodimensionali, un generico fenomeno d’interferenza tra segnali e` spesso riferito come effetto moir`e, anche quando esso coinvolge andamenti non
rigorosamente sinusoidali.
6.6. ANALISI NEL DOMINIO DELLA FREQUENZA: CONVERSIONE DISCRETO/CONTINUO
163
Nella Fig.6.14 troviamo l’andamento delle riposte in frequenza del DAC, del filtro RC e della loro cascata.
Figura 6.14: Ricostruzione mediante DAC e filtraggio passabasso RC: andamento delle risposte in frequenza per RC = Tr /π.
Notiamo che l’effetto moir`e e` stato maggiormente attenuato rispetto a quello misurabile a valle del solo DAC
(il primo lobo laterale della 2 sin( Ω/2)/Ω e` stato portato sotto − 50dB), a spese di una maggiore distorsione
nella banda di ricostruzione | ΩTr | ≤ π.
In ogni caso, comunque scelto il filtro analogico a valle del DAC, possiamo sempre supporre di conoscere
l’attenuazione nella banda di ricostruzione,6.13 che pu`o essere recuperata in maniera sufficientemente accurata mediante filtraggio numerico di precompensazione HPC ( e jω ) a monte del DAC, come illustrato anche in
Fig.6.13.6.14
6.13 Al
di la` della mera conoscenza analitica, la risposta in frequenza della catena DAC-filtro si ottiene molto semplicemente iniettando
sequenze sinusoidali e misurando ampiezza e fase del segnale sinusoidale ricostruito.
6.14 Osservando l’andamento della risposta in frequenza nella banda di ricostruzione, ci accorgiamo che se la sequenza x[n] risulta limitata
(B )
nella banda di larghezza 2πB π, la banda passante del filtro passa-basso ricostruttore HLPr (jΩ) si riduce al solo intervallo di larghezza
|ΩTr | < 2πB π; conseguentemente, le distorsioni introdotte dalla cascata DAC-LP diminuiscono ulteriormente, sia nella banda di
ricostruzione che esternamente ad essa.
Per ridurre di un fattore M la larghezza di banda della sequenza x[n], possiamo operare dapprima un’espansione, con fattore pari proprio
a M, e successivamente un filtraggio passabasso nella banda di larghezza 2π/M. Operando in questo modo, tra l’altro, si ricade nel problema
della ricostruzione di segnali campionati piu` velocemente rispetto alla frequenza di Nyquist, i.e. con BTs < 1, illustrato nel par.6.9.
164
CAPITOLO 6. CAMPIONAMENTO E RICOSTRUZIONE DI SEGNALI
L’andamento del segnale ricostruito e` riportato al centro della Fig.6.15; notiamo che le discontinuit`a introdotte dal meccanismo di tenuta del DAC (Fig.6.15 in alto), sono state smussate, e l’andamento del segnale
ricostruito si e` avvicinato a quello ottenuto mediante interpolazione cardinale (Fig.6.15 in basso), anche se,
per la causalit`a dell’implementazione in tempo reale, nel generico istante t sono presenti i contributi dei soli
campioni convertiti dal DAC nei tempi precedenti.
Figura 6.15: Ricostruzione mediante DAC e filtraggio passabasso (al centro). In alto troviamo l’andamento del segnale ricostruito
mediante tenuta, e in basso l’andamento del segnale ricostruito mediante interpolazione cardinale.
Inoltre, nel grafico al centro della Fig.6.15 possiamo notare anche il ritardo introdotto dalla cascata DAC-filtro
passabasso, in accordo alla risposta impulsiva che si scrive nella forma seguente:
(DAC−RC)
hr
( t ) = 1 − e−t/RC u ( t ) − 1 − e−(t−1)/RC u ( t − 1)
6.7. CONSIDERAZIONI FINALI
6.7
165
Considerazioni Finali
• Il fenomeno dell’aliasing e` dovuto alla violazione della condizione di Nyquist BTs ≤ 1 nel campionamento uniforme di segnali analogici. In presenza di aliasing non e´ possibile ricostruire perfettamente il
segnale analogico mediante interpolazione cardinale dei suoi campioni.
Occorre sottolineare per`o che un segnale fisico non sar`a mai perfettamente limitato in banda, anche
prendendo la precauzione di filtrare passabasso prima di effettuare il campionamento,6.15non fosse altro per le imperfezioni dell’implementazione fisica del filtro passabasso (cfr. anche quanto discusso nel
par.3.6.4).
Nella realt`a delle cose, quindi, avremo sempre presenza di aliasing, i cui effetti siamo in grado di valutare
mediante gli strumenti acquisiti mediante l’analisi del campionamento nel dominio della frequenza. Ad
esempio, se l’energia del segnale contenuta nella banda di Nyquist di larghezza BN = 1/Ts:
(B )
Ex N
1
=
2π
+πBN
| X( jΩ)|2 dΩ
−πBN
differisce di qualche percento dall’energia totale:
( BN )
Ex − Ex
Ex
[0.01 ÷ 0.05]
possiamo affermare che gli effetti distorcenti dovuti all’aliasing risultano trascurabili, i.e. il segnale pu`o
considerarsi praticamente limitato nella banda di larghezza BN e quindi praticamente ricostruibile senza
imperfezioni apprezzabili dai suoi campioni presi al ritmo 1/Ts.
• In caso di aliasing non trascurabile, possiamo calcolare la porzione di energia di segnale non distorto da
aliasing. Detta B la larghezza di banda del segnale, dalla Fig.6.8 osserviamo che la larghezza della banda
non affetta da aliasing vale
2
Bna =
−B
Ts
e quindi la porzione d’energia di segnale non distorto si calcola come segue:
(B )
Ex na
1
=
2π
+
πBna
| X( jΩ)|2 dΩ
−πBna
Allora, la porzione d’energia di segnale distorto risulta:
( Ba )
Ex
( Bna )
= Ex − Ex
Alternativamente, ove risultasse piu` semplice l’integrazione, possiamo anche scrivere
(B )
Ex a
1
=
2π
−
πBna
| X( jΩ)|2 dΩ +
−πB
1
2π
+
πB
+πBna
e piu` semplicemente per segnali reali:
( Ba )
Ex
6.15 in
questo caso si parla di filtraggio anti-aliasing.
=
1
π
+
πB
+πBna
| X( jΩ )|2 dΩ
| X( jΩ )|2 dΩ
166
CAPITOLO 6. CAMPIONAMENTO E RICOSTRUZIONE DI SEGNALI
• L’effetto moir`e e` dovuto alla non perfetta limitazione nella banda di larghezza 1/Tr del filtro ricostruttore usato nella ricostruzione di segnali analogici mediante interpolazione dei loro campioni. Poich`e
solo il filtro passabasso ideale e` limitato in banda, in realt`a avremo sempre presenza di effetto moir`e.
Anche in questo caso, siamo in grado di eseguire delle valutazioni quantitative operando nel dominio
della frequenza. Detta Hr ( jΩ ) la risposta in frequenza del filtro interpolatore, l’energia dovuta all’effetto
moir`e:
−
π/Tr +∞ 2
2
(M)
E x =
Hr ( jΩ ) X (e jΩTr ) dΩ +
Hr ( jΩ ) X (e jΩTr ) dΩ
r
−∞
+π/Tr
si pu`o confrontare con l’energia del segnale ricostruito:
Exr =
+
∞
2
Hr ( jΩ ) X (ejΩTr ) dΩ
−∞
6.8. DESCRIZIONE ENERGETICA DI SEGNALI CAMPIONATI
6.8
167
Descrizione Energetica di Segnali Campionati
Il calcolo della funzione di autocorrelazione o della densit`a spettrale di energia/potenza a valle dell’operazione di campionamento nasconde diverse insidie dovute al fenomeno dell’aliasing, occorrente quando non si
rispetta la condizione di Nyquist.6.16
Per fissare le idee, iniziamo prima con il caso d’assenza di aliasing.
6.8.1
Trasferimento dell’Energia in Assenza di Aliasing
Consideriamo la sequenza dei campioni x[ n ] ottenuta mediante campionamento del segnale xa ( t ) avente energia finita Exa e limitato nella banda di larghezza B. Operando con spaziatura Ts , la condizione di Nyquist e`
rispettata per BTs < 1, e la trasformata di Fourier della sequenza x[ n ] assume la forma che sappiamo:
X( e jω ) =
2
+∞
∑
k=−∞
Xa
jω − j2πk
Ts
jω − j2πk
jω − j2πl
Xa
∑ ∑ Xa
Ts
Ts
k=−∞ l =−∞
jω − j2πk 2
jω − j2πk
jω − j2πl
1 +∞ 1 +∞ +∞
= 2 ∑ Xa
Xa
+ T 2 ∑ ∑ Xa
Ts k=−∞
Ts
Ts
Ts
s k=−∞ l =−∞
l =k
+∞
1
| X( e )| = 2
Ts
jω
1
Ts
=
1
Ts
1
Ts
+∞
+∞
∑
k=−∞
(6.17)
repliche non sovrapposte ⇒ 0
2 Xa jω − j2πk Ts
Nel mondo delle trasformate di Fourier, la (6.17) esprime quanto in fondo potevamo sperare:
R x [m] =
6.8.2
1
· R xa ( mTs)
Ts
=⇒
Ex =
1
· E xa
Ts
(6.18)
Trasferimento della Potenza in Assenza di Aliasing
Consideriamo la sequenza dei campioni x[ n ] ottenuta mediante campionamento del segnale xa ( t ) avente potenza finita Pxa e limitato nella banda di larghezza B. Operando con spaziatura Ts , la condizione di Nyquist e`
rispettata per BTs < 1, Per riportare i risultati ottenuti nel par.6.8.1 per il caso di segnali aventi energia finita,
consideriamo T = (2N + 1) Ts e dividiamo per (2N + 1) entrambi i membri della (6.17):
jω − j2πk 2
1 1 +∞ 1
jω 2
· | X( e )| =
(6.19)
∑ Xa
2N + 1
Ts T k=−
Ts
∞
Trasformiamo la (6.19) operando le sostituzioni formali:
1
· | X( e jω )|2 ⇒ Px ( e jω )
2N + 1
Otteniamo:
1
Px ( e ) =
Ts
jω
+∞
∑
k=−∞
;
1
| Xa ( jΩ )|2 ⇒ Pxa ( jΩ )
T
Pxa
jω − j2πk
Ts
(6.20)
Anche in questo caso, nel mondo delle trasformate di Fourier, la (6.20) esprime quanto in fondo potevamo
sperare:
1
R x [ m ] = R xa ( mTs) =⇒ Px =
· P xa
(6.21)
Ts
6.16 Il
campionamento operato senza rispettare la condizione di Nyquist e` di particolare interesse nella ricezione di segnali numerici
modulati PAM, cfr. il par.17.6.
168
6.8.3
CAPITOLO 6. CAMPIONAMENTO E RICOSTRUZIONE DI SEGNALI
Trasferimento dell’Energia in Presenza di Aliasing
Operando con con BTs > 1, la condizione
di Nyquist non e` piu` rispettata, con conseguente sovrapposizione
jω − j2πk
tra le varie repliche Xa
che compongono X( e jω ). Pertanto, la densit`a spettrale di energia della
Ts
sequenza x[ n ] assume ora la forma seguente:
jω − j2πk
jω − j2πl
1 +∞ +∞
| X( e jω )|2 = 2 ∑ ∑ Xa
Xa
Ts k=−∞ l=−∞
Ts
Ts
jω − j2πk 2
jω − j2πk
jω − j2πl
1 +∞ 1 +∞ +∞
= 2 ∑ Xa
Xa
+ T 2 ∑ ∑ Xa
Ts k=−∞
Ts
Ts
Ts
s k=−∞ l =−∞
(6.22)
l =k
repliche sovrapposte
jω − j2πk 2
jω − j2πk
j ( ω − 2πβ ) − j2πk
1
1 +∞ +∞
= 2 ∑ Xa
Xa
+ T 2 ∑ ∑ Xa
Ts k=−∞
Ts
Ts
Ts
s k=−∞ β=−∞
+∞
β=0
( β)
def
Posto xa ( t ) = xa ( t )· ej2πβt/Ts , diamo uno sguardo piu` accurato alla quantit`a:
+∞
FT
( β)
(τ ) =
xa ( t ) · xa ( t − τ ) e− j2πβ(t−τ)/Ts dt (6.23)
Xa ( jΩ) · Xa ( jΩ − j2πβ/Ts) ⇐⇒ R (β) ( τ ) = xa xa
xa xa
−∞
Essa misura la“somiglianza” che sussiste tra sinusoidi dello spettro di xa ( t ) distanti tra loro multipli di 2π/Ts.
Tenendo presente quanto espresso nel mondo delle trasformate di Fourier dalla (6.22), ora siamo pronti per
scrivere la relazione di campionamento della funzione di autocorrelazione:
R x [m] =
1
1
· R xa ( mTs) +
Ts
Ts
+∞
∑
R
β=−∞
β=0
( β)
xa xa
( mTs)
Naturalmente, per segnali limitati nella banda B < 1/Ts, risulta sempre Xa ( jΩ) · Xa ( jΩ − j2πβ/Ts) = 0, e
quindi R (β) ( τ ) = 0, per β ∈ {Z − 0}, il che a sua volta riporta la (6.23) nella forma (6.18).
xa xa
6.8.4
Trasferimento della Potenza in Presenza di Aliasing
Riprendiamo la (6.22) e dividiamo entrambi i membri per (2N + 1) = T/Ts:
2
jω − j2πk
j ( ω − 2πβ ) − j2πk
Xa jω − j2πk Xa
Xa
| X( e jω )|2
1 +∞ 1 +∞ +∞
Ts
Ts
Ts
=
+
∑
∑
∑
2N + 1
Ts k=−∞
T
Ts k=−∞ β=−∞
T
β=0
(6.24)
( β)
def
Come in procedenza, poniamo xa ( t ) = xa ( t )· ej2πβt/Ts , e trasformiamo la (6.24) operando le solite sostituzioni
formali:
1
1
· | X( e jω )|2 ⇒ Px ( e jω ) ;
| Xa ( jΩ )|2 ⇒ Pxa ( jΩ )
2N + 1
T
Cos`ı facendo, otteniamo:
1 +∞
1 +∞ +∞
jω − j2πk
jω − j2πk
Pa ( e jω ) =
P
+
P
xa
∑ xa x(aβ)
(6.25)
Ts ∑
Ts
Ts ∑ β=−
Ts
∞
k=−∞
k=−∞
β=0
Nel mondo delle trasformate di Fourier, la (6.22) esprime la relazione di campionamento per la funzione di
autocorrelazione di segnali di potenza:
R x [ m ] = R xa ( mTs) +
+∞
∑
β=−∞
β=0
R
( β)
xa xa
( mTs)
(6.26)
6.8. DESCRIZIONE ENERGETICA DI SEGNALI CAMPIONATI
Ma adesso la funzione di correlazione incrociata R
R
( β)
xa xa
( β)
xa xa
169
( τ ) riguarda segnali di potenza:6.17
( τ ) = A xa ( t ) · xa ( t − τ ) e− j2πβ(t−τ)/Ts
Naturalmente, per segnali limitati nella banda B < 1/Ts, continua a risultare R
(6.27)
( β)
xa xa
( τ ) = 0, per β ∈ {Z − 0}, e
quindi la (6.27) ritorna nella forma (6.21).
Ma questa volta, proprio perch`e segnali di potenza, pu`o accadere che si verifichi R
( β)
xa xa
( τ ) = 0 anche per
segnali non limitati nella banda B < 1/Ts, e questo possibilmente anche per tutti i valori β ∈ Z \ 0
Quindi, il fenomeno dell’aliasing genera i termini della somma a secondo membro della (6.26) se e solo se
porzioni diverse dello spettro del segnale xa ( t ) presentano qualche forma di correlazione capace di rendere
diversa da zero R (β) ( τ ) per qualche valore di β.6.18
xa xa
Trasferimento di Potenza nel Campionamento
Se il segnale xa ( t ) non ha porzioni dello spettro correlate tra loro, l’operazione di campionamento si
trasferisce direttamente sulla funzione di autocorrelazione:
1 +∞
jω − j2πk
FT
(6.28)
P
R x [ m ] = R xa ( mTs) ⇐⇒ Pa ( e jω ) =
∑ xa
Ts k=−
Ts
∞
( β)
def
Posto xa ( t ) = xa ( t )· ej2πβt/Ts , piu` in generale il trasferimento della potenza nel campionamento contempla anche la correlazione tra porzioni diverse dello spettro del segnale xa ( t ), ed e` regolato dalle seguenti
relazioni:
+∞
jω − j2πk
1 +∞ +∞
FT
jω
(6.29)
R x [ m ] = ∑ R (β) ( mTs) ⇐⇒ Pa ( e ) =
∑ ∑ Pxa x(aβ)
xa xa
Ts k=−
Ts
β=−∞
∞ β=−∞
6.17 Nella descrizione
stocastica dei processi aleatori ciclostazionari modulo Ts , le condizioni di cicloergodicit`a stabiliscono l’uguaglianza,
nel senso della legge dei grandi numeri, tra la (6.26) e i cosiddetti momenti ciclici del II ordine, i.e. i coefficienti di Fourier del momento
misto di ordine (1, 1)
(1,1)
mxa
Lo svilippo in serie di Fourier di
(1,1)
mxa (τ; (t
(τ; t mod Ts ) = E { xa (t) · x(t − τ)}
mod Ts ) definisce i momenti ciclici del II ordine:
(1,1,β)
mxa
(τ) =
1
Ts
Ts /2
−Ts /2
(1,1)
mxa
(τ; t mod Ts ) e−j2πβt/Ts dt
Se il processo ciclostazionario e` anche cicloergodico, allora vale, nel senso della legge dei grandi numeri, la seguente uguaglianza:
R
(β)
xa xa
6.18 Nella
(1,1,β)
(τ) = mxa
(τ) · e−j2πβτ/Ts
descrizione probabilistica di segnali aperiodici di potenza come membri di processi aleatori, l’ipotesi di stazionariet`a implica
l’assenza di correlazione tra porzioni diverse dello spettro. Tale correlazione, se presente, rende il processo non stazionario; in particolare,
la struttura di segnale PAM risulta in una specifica forma di non stazionariet`a, detta ciclostazionariet`a, nella quale la dipendenza della
descrizione probabilistica dipende in maniera periodica dal tempo t considerato nella meccanismo di estrazione delle variabili aleatorie
oggetto della descrizione probabilistica, cfr. il Cap.10.
170
6.9
CAPITOLO 6. CAMPIONAMENTO E RICOSTRUZIONE DI SEGNALI
Appendice: Ricostruzione di Segnali Campionati per BTs < 1
Quando il campionamento si opera piu` veloce di quanto strettamente richiesto dalla condizione di Nyquist,
i.e. per BTs < 1, e` possibile rilassare le specifiche sulla risposta in frequenza del filtro ricostruttore.
Xa ( jW)
1
pB
-pB
-4 p Ts
-2 p Ts
2 p Ts
4 p Ts
W
Xs ( jW)
1 Ts
-4 p Ts
2 p Ts - pB
1 Ts
-4p
W
X(e jw )
-2p
-pBTs
pBTs
Xs ( jW)
Ts
4 p Ts
4p
2p
w = WTs
ricostruttore
passabasso reale
1 Ts
-4 p Tr
-2 p Tr
2 p Tr
Xr ( jW)
-pB
4 p Tr W = w Tr
2p
(1 - BTs )
Ts
pB
W = w Tr
Figura 6.16: Analisi spettrale della ricostruzione di segnali campionati con eccesso di ritmo.
Infatti, osservando l’andamento dei vari spettri riportati nella Fig.6.16, ci accorgiamo che il filtro ricostruttore,
pur dovendo mantere guadagno costante nella banda di largezza 2πB del segnale, pu`o decadere con pendenza
2π
rilassata nella banda di transizione, avente larghezza pari a
(1 − BTs). Insomma, l’eccesso di velocit`a di camTs
pionamento, misurato proprio dalla quantit`a 1 − BTs, costituisce proprio la specifica sulla banda di transizione
del filtro passabasso ricostruttore. Lo schema di principio e` illustrato nella Fig.6.17, dove riconosciamo che il
ritmo di generazione degli impulsi matematici e` pari a 1/Ts come in una normale interpolazione cardinale, ma
non e´ piu` necessario che il filtro ricostruttore sia un passabasso ideale.
6.9. APPENDICE: RICOSTRUZIONE DI SEGNALI CAMPIONATI PER BTS < 1
xa (t)
C /D
Ts
171
x[n] = xa (nTs )
BTs < 1
Generatore d’Impulsi
(Ampiezze
® Impulsi Matematici)
2 pB
x[n]
W
2p
(1- BTs )
Ts
+¥
xs ( t ) =
å x[n] d(t - nT )
s
filtro ricostruttore
passabasso reale
n=-¥
Ts
xr (t)
Figura 6.17: Ricostruzione di segnali campionati con eccesso di ritmo.
Se tale eccesso non e` disponibile, i.e. il campionamento e` stato operato per BTs = 1, e` possibile ricondursi a una
situazione equivalente operando solo sulla sequenza x[ n ] (cfr. [6.1, 2]). Infatti, dopo avere espanso di un fattore
L e avere susseguentemente filtrato (numericamente) passabasso nella banda di larghezza 2π/L, la sequenza
ha interamente conservato il suo contenuto energetico, concentrato per`o nella banda base di larghezza ridotta
a 2π/L. Quindi, complessivamente tutto va come se la sequenza xL [ n ] misurata all’uscita del filtro passabasso
numerico fosse stata ottenuta direttamente mediante campionamento del segnale xa ( t ) con eccesso (1 − 1/L),
i.e. xL [ n ] = xa ( nTs /L ); infatti, xL [ n ] e` limitato nella banda base di larghezza 2π/L.
ì x[n / L] per n mod L = 0
xe [n] = í
î 0 altrove
xe [n]
x[n]
L
( )
(1/ L ) jw
L × H LP
e
xL [n]
filtro passabasso
numerico
Xe (e jw ) = X (e jwL )
L
1
M
-p
-
p
L
p
L
p
w
( )
XL e jw
Figura 6.18: Interpolazione numerica per recuperare eccesso di ritmo di campionamento.
Per quanto riguarda la concreta implementazione dell’operazione di ricostruzione mediante interpolazione
di ordine 0 effettuata tramite un DAC, poich`e la sequenza xL [ n ] e` quella dei campioni xa ( nTs/L ) prelevati
piu` velocemente per il fattore L, occorrer`a adeguare anche la frequenza del clock del DAC, che adesso dovr`a
operere al ritmo di L/Ts campioni/s; poi, in accordo a quanto gi`a discusso nel par.6.6.2, il filtro passabasso
analogico potr`a essere disegnato con specifiche meno severe, e.g. volendo usare una rete RC, potremo ancora
fissare RC = Ts/π ). Infine, vale la pena ricordare che l’attenuazione introdotta dal DAC e dal filtro passabasso
analogico nella banda B pu`o essere precompensata sagomando opportunamente il filtro passabasso numerico
interpolatore di Fig.6.18.
172
CAPITOLO 6. CAMPIONAMENTO E RICOSTRUZIONE DI SEGNALI
E SEMPIO 6.1 Violazione della condizione di Nyquist e aliasing per segnale sinusoidale
Oltre al caso generale illustrato nella Fig.6.8, per illustrare il fenomeno susseguente alla violazione della condizione di
FT
Nyquist, consideriamo il campionamento e la ricostruzione cardinale del segnale sinusoidale xa (t) = e jΩ0 t ⇐⇒ 2πδ(Ω −
Ω0 ). Per π/Ts < Ω0 , osserviamo il fenomeno illustrato nella Fig.6.19 (abbiamo omesso il passaggio equivalente all’identit`a
Xs (jΩ) → X(e jω )→ Xs (jΩ)).
Xa ( jW)
-4 p Ts
-2 p Ts
Ts Xs ( jW)
Hr ( jW)
-4 p Ts
aliasing
W0
2 p Ts
W
p Ts < W0
W0
W0'
4 p Ts
4 p Ts
W
Figura 6.19: Aliasing nel campionamento di un segnale sinusoidale.
Infatti, nella trasformata di Fourier del segnale campionato
Xs (jΩ) =
2π +∞
∑ δ(Ω − Ω0 − 2πk/Ts )
Ts k=−
∞
la replica per k =−1 e` costituita da un impulso matematico posto alla pulsazione Ω0 = Ω0 − 2π/Ts , con |Ω0 | < π/Ts . A
valle della ricostruzione mediante interpolazione cardinale con Tr = Ts , i.e. filtrando passabasso nella banda di larghezza
2π/Ts , sopravvive solo l’impulso posto in Ω0 :
FT
xr (t) = e jΩ0 t ⇐⇒ 2πδ(Ω − Ω0 )
Tale fenomeno prendo il nome di aliasing proprio per significare che, quando si viola la condizione di Nyquist BTs ≤ 1 nel
processo di campionamento e ricostruzione, la pulsazione Ω0 va a occupare il posto della pulsazione Ω0 .
Nel caso di segnali non sinusoidali, il fenomeno di aliasing risulta dalla sovrapposizione delle varie repliche dello
spettro Xs (jΩ), come gi`a illustrato nella Fig.6.8, e introduce nel segnale campionato una distorsione non piu` recuperabile
tramite interpolazione cardinale.
6.9. APPENDICE: RICOSTRUZIONE DI SEGNALI CAMPIONATI PER BTS < 1
173
E SEMPIO 6.2 Ricostruzione imperfetta ed effetto moir`e per sinusoidi
Come abbiamo visto nel par.6.6.1, quando la banda del filtro ricostruttore e` tale da coinvolgere nel filtraggio anche repliche
spettrali non desiderate di Xs (jΩ), sul segnale ricostruito e` presente l’effetto moir`e. Come esempio, consideriamo ancora il
campionamento e la ricostruzione del segnale sinusoidale
FT
xa (t) = e jΩ0 t ⇐⇒ 2πδ(Ω − Ω0 )
con un filtro ricostruttore passabasso ideale con banda di larghezza Br tale che πBr > 2π/Ts − Ω0 . Allora, come si vede
dalla Fig.6.20, il filtro ricostruttore cattura sia la replica per k = 0 che quella per k =−1 risultando:
xr (t) = e jΩ0 t + e− j(Ω0 −2π/Ts )t
Xa ( jW)
Area = 2 p
-4 p Ts
-2 p Ts
W0
Hr ( jW)
Xs ( jW)
2 p Ts
4 p Ts
W
p Ts < W0
Area = 2 p Ts
effetto
moirè
W0
W
4 p Ts
2 p Ts -W0
pBr > 2 p Ts -W0
Figura 6.20: Effetto moir`e nella ricostruzione: caso particolare di segnale sinusoidale.
-4 p Ts
Il segnale ricostruito soffrir`a del fenomeno d’interferenza tra le due sinusoidi, delle quali quella a pulsazione Ω0 − 2π/Ts
e` da considerarsi spuria (indesiderata).6.19
6.19 Nel caso di sinusoidi reali nella banda audio, l’effetto moir`
e si presenta come quando si pizzicano due corde di chitarra che dovrebbero
emettere la stessa nota ma non lo fanno a causa di una non perfetta accordatura. In questo caso, si sente il battimento delle due note, i.e. si
sente la nota alla frequenza media tra le due, modulata in intensit`a dalla frequenza semi-differenza. Quando la modulazione scompare,
l’accordatura e` perfetta. Infatti, per la nota formula di prostaferesi, abbiamo:
Ω1 + Ω2
Ω1 − Ω2
· cos
cos(Ω1 t) + cos(Ω2 t) = 2 cos
2
2
174
6.10
CAPITOLO 6. CAMPIONAMENTO E RICOSTRUZIONE DI SEGNALI
Appendice: Elaborazione Discreta di Segnali Analogici
Il filtraggio di segnali analogici limitati nella banda base di larghezza B = 1/T pu`o convenientemente eseguirsi
FT
secondo lo schema di Fig.6.21. La risposta armonica equivalente a tempo continuo Ha ( jΩ ) ⇐⇒ h a ( t ) risulta
FT
legata alla risposta armonica H ( ejω ) ⇐⇒ h [ n] del filtro discreto o numerico dalla seguente relazione, indotta
dalle propriet`a delle conversioni C/D e D/C:
Ω
Ha ( jΩ ) = H ( e jω ) · rect
(6.30)
ω=ΩT
2πB
xa (t)
yr (t)
y[n]
C /D
h[n]
D/C
T
T
ha (t)
xa (t)
yr (t)
Figura 6.21: Elaborazione numerica di segnali analogici.
Ad esempio, oggigiorno l’elaborazione di segnali audio con qualit`a da studio di registrazione si esegue su
segnali discreti ottenuti al ritmo di 48.000 campioni/s, per ciascuno dei due canali stereo. La qualit`a HiFi per
divulgazione su Dischi Ottici (CD) si ottiene al ritmo di 44.100 campioni/s per canale stereo. Riduzioni di
qualit`a si ottengono man mano ai ritmi di 32.000, 22.050, 16.000, 11.025 campioni/s.
Sintesi di Filtri Numerici:
Principio dell’Invarianza della Risposta Impulsiva
La relazione (6.30) permette di disegnare un filtro numerico che inserito nello schema di Fig.6.21 realizzi un
FT
assegnato filtraggio tempo continuo Ha ( jΩ ) ⇐⇒ h a ( t ), limitato nella banda B = 1/T. La risposta impulsiva
tempo discreto si determina molto semplicemente osservando la (6.30) (principio dell’invarianza della risposta
impulsiva):
h [ n ] = T · h a ( nT )
Se il filtro analogico non e` limitato in banda, rispetto alla classe dei segnali d’ingresso limitati nella banda
( B)
( B)
base di larghezza B e` sufficiente considerare la versione passabasso h a ( t ) = (h a ∗ h LP )( t):
( B)
h [ n ] = T · h a ( nT )
Per quanto riguarda le risposte in frequenze, tenendo in mente lo scalamento che il campionamento induce
sugli spettri, abbiamo:
( B)
H ( ejω ) = Ha ( jΩ)
Ω=(ω mod 2π)/T
Notiamo che, mantenendo la forma di h [ n] e variando il tempo di campionamento T, si realizza lo stesso tipo
di filtraggio, e.g. passabasso, ma la banda di larghezza B = 1/T su cui insiste la risposta armonica cambia. La
sintesi del filtro numerico, allora, pu`o condursi rispetto a un tempo di campionamento nominale qualsiasi,
per esempio T = 1.
6.10. APPENDICE: ELABORAZIONE DISCRETA DI SEGNALI ANALOGICI
6.10.1
175
Convoluzione di Segnali Ottenuti Mediante Interpolazione Cardinale
Come abbiamo visto, l’interpolazione cardinale stabilisce un legame tra l’insieme delle sequenze e una sottoclasse di segnali analogici. Per sottolineare questo legame, vediamo come l’operazione di convoluzione possa
effettuarsi convenientemente in un insieme o nell’altro.
Siano x( t ) e h ( t) due segnali analogici, limitati nella banda base di larghezza B = 1/T, quindi ottenibili per
interpolazione cardinale delle sequenze x[ n ] e h [ n ] dei loro campioni prelevati a ritmo 1/T:
+∞
t − nT
x( t ) = ∑ x[ n ] sinc
T
n=−∞
+∞
t − nT
h ( t) = ∑ h [ n] sinc
T
n=−∞
P ROPOSIZIONE 6.3 Presi x( t ) e h ( t) segnali analogici limitati nella banda base di larghezza B = 1/T, tale risulter`a il
segnale analogico y ( t) = ( x ∗ h )( t), quindi esprimibile anch’esso mediante interpolazione cardinale:
+∞
t − nT
y ( t) = T ∑ y [ n] sinc
T
n=−∞
La sequenza y [ n ] si ottiene mediante convoluzione discreta delle sequenze x[ n ] e h [ n]:
+∞
∑
y [ n] = ( x ∗ h )[n ] =
k=−∞
x[ n − k ] h [ k ]
Dim: sostituendo le espressioni dei segnali interpolati abbiamo:
y(t) =
Sostituendo ϑ =
+∞
−∞
x(t − ϑ) h(ϑ) dϑ =
+∞
+∞
∑
∑
m=−∞ k=−∞
ϑ − kT
otteniamo:
T
y(t) = T ∑ ∑ x[m]h[ k]
m
x [ m] h [ k ]
+∞
−∞
sinc
t − ϑ − mT
T
sinc
ϑ − kT
T
dϑ
sinc t/T − m − k − ϑ sinc ϑ dϑ
k
Ponendo t = t/T − m − k, l’integrale e` ricondotto alla forma di cui alle propriet`a della funzione seno cardinale; si ha infatti
sinc t − ϑ sinc ϑ dϑ = (sinc ∗ sinc)(t ) = sinc(t )
e quindi
y(t) = T
+∞
∑
+∞
∑
m=− ∞ k=−∞
x[m]h[k ] sinc t = T
∑
+∞
∑
m=− ∞ k=−∞
Infine, sostituendo m = n− k, otteniamo:
y(t) = T
+∞
+∞
∑
n=−∞
+∞
∑
k=−∞
x[m]h[k ] sinc
x [ n − k] h [ k ]
sinc
t
−m−k
T
t
−n
T
x[n ]∗h[ n ]=y[ n ]
Il Teorema del Campionamento stabilisce un legame anche tra segnali analogici ottenuti per convoluzione
(continua) e corrispondenti sequenze anch’esse ottenute per convoluzione (discreta). La notevole conseguenza di questo fatto consiste nella possibilit`a di implementare numericamente, su elaboratori elettronici, la convoluzione discreta,6.20 e di utilizzare il risultato per rappresentare un segnale analogico, in accordo appunto al
Teorema del Campionamento.
Vale la pena osservare che la realizzazione concreta della convoluzione tra segnali analogici e` implementabile mediante un circuito elettrico che trasforma grandezze analogiche quali tensione e/o corrente in funzione
del tempo.
Invece, avendo a disposizione i campioni, ossia i valori numerici, dei segnali, occorre solo computare le
somme e i prodotti coinvolti nella definizione della somma di convoluzione. In conclusione, grazie al Teorema del Campionamento, possiamo scambiare un’operazione di natura analogica, implementabile mediante
un circuito elettrico, con un’operazione di natura numerica, implementabile mediante programmazione di un
elaboratore numerico.
6.20 Per
l’implementazione di una somma di convoluzione occorre soltanto computare somme di prodotti.
176
CAPITOLO 6. CAMPIONAMENTO E RICOSTRUZIONE DI SEGNALI
Dal punto di vista della sintesi dei sistemi, i vantaggi offerti dall’implementazione discreta, rispetto a una
analogica, sono sostanziali; per ricordarne i proncipali:
• uso di dispositivi programmabili, e.g. microelaboratori, sia generici che specifici per l’elaborazione numerica (i cosiddetti Digital Signal Processor (DSP), Programmable Gate Array (PGA), etc.;
• maggiore approssimazione della risposta impulsiva di filtri selettivi in frequenza;
• implementazione di filtraggi con risposta in frequenza anche molto variegata (estremamente difficile, se
non impossibile da realizzare in analogico);
• implementazione di trasformazioni nonlineari, con e senza memoria (estremamente difficile, se non
impossibile da realizzare in analogico);
• emulazione al calcolatore, anche con precisione in virgola fissa;
• assenza del rumore termico assente;
• sostanziale indipendenza dall’invecchiamento dei componenti.
Per contro, occorre tener conto degli effetti di quantizzazione dovuti alla precisione finita con la quale si
rappresentano gli operandi e i risultati parziali nelle operazioni di addizione e moltiplicazione.
Riferimenti Bibliografici
[6.1] A.V. Oppenheim, R.W. Schafer, Discrete Time Signal Processing, 3nd, Prentice-Hall, 2009.
[6.2] D.G. Manolakis, V.K. Ingle, Applied Digital Signal Processing, Cambridge University Press, 2011.
6.11. ESERCIZI SVOLTI
6.11
177
Esercizi Svolti
Esercizio 6.11.1. Sia x(t) un segnale impulsivo, reale e simmetrico pari, avento spettro X( f ) riportato in Fig.6.22.
B2
B2
X(f )
1
f0 = 2B
-f0
f
f0
Figura 6.22: Pertinente all’esercizio 6.11.1.
Sia x[n] la sequenza ottenuta da x(t) per campionamento uniforme al ritmo di 2B campioni/s. Disegnare lo spettro di densit`a d’ampiezza
X (e jω ) = F { x[n]} (sugg.: si lavori graficamente nel dominio della frequenza f o pulsazione Ω).
Soluzione: il campionamento induce la seguente relazione tra gli spettri, cfr. anche la Fig.6.23:
1 +∞
k X f−
X (e jω ) =
∑
T k=−∞
T f =ω/2πT
La forma dello spettro e il fatto che T = 1/2B danno luogo alla singolare situazione illustrata in Fig.6.23, dove sono disegnati gli spettri
delle repliche X ( f − k/T) per k = −1, 0, 1.
B2
X(f )
(k = 0)
-f0
(k = -1)
f
f0
f0 = 2B
T = 1 2B
X(f + 2B)
f
B2
X(f - 2B)
(k = 1)
-B
f
B
-B 2
Figura 6.23: Porzioni dello spettro del segnale campionato.
Il periodo |ω | < π corrisponde alla banda | f | < B, nella quale contribuiscono solo le repliche k = −1 e k = 1, ma non la replica per k = 0 (e
ovviamente le repliche per k = ±2, ±3, · · ·). Componendo, si ottiene lo spettro di Fig.6.24
X (e jw )
2B
w=
-p
-p 2
p2
pf
B
p
Figura 6.24: Spettro della sequenza ottenuta per campionamento.
178
CAPITOLO 6. CAMPIONAMENTO E RICOSTRUZIONE DI SEGNALI
Esercizio 6.11.2.
• Si consideri il filtro descritto dalla seguente risposta impulsiva
h(t) = sinc2 (Bt)
Calcolare la potenza dell’uscita y(p) (t) quando all’ingresso e` applicato il seguente segnale periodico modulo T = 2/B
3
2π
( p)
k·t
x(p) (t) = ∑ Xk exp j
T
k=−3
• Si consideri un convertitore continuo/discreto, operante campionamento uniforme al ritmo di 1/Ts campioni al secondo, posto in
cascata alla trasformazione non lineare (quadratore)
y = x2
La sequenza ottenuta in uscita al convertitore C/D e` trasformata mediante filtraggio con risposta impulsiva
h[n] = 2 · sinc(n/2 )
Calcolare la potenza della sequenza z[n] in uscita al filtro quando all’ingresso del quadratore e` applicato il seguente segnale
sinusoidale:
1
xa (t) = √ · cos(2π f0 t)
2
Si consideri Ts f0 = 1/6 (sugg: si esprima la sinusoide reale mediante esponenziali complessi).
Soluzione: rapidamente abbiamo la risposta in frequenza del filtro:
H( f ) =
1
tri
B
f
2B
La situazione del fitraggio e` illustrata in Fig.6.25 per T = 2/B.
( p)
-3
X
-3 B
2
X-( p2)
-B
( p)
-1
X
2
B
-B
2
X0( p )
1
B
X1( p )
2
B
B
2
X2( p )
B
X3( p )
3B
2
f
Figura 6.25: Pertinente all’esercizio 6.11.2.
All’uscita del filtro ritroviamo solo le armoniche alle frequenze 0, e ±1/T = ± B/2, ovviamente scalate opportunamente dalla risposta
armonica alla stessa frequenza:
1
1
( p)
( p)
( p)
X1 exp ( j2πt/T) + H −
X−1 exp (− j2πt/T )
y(p) (t) = H (0)X0 + H
T
T
risultando
1
1
1
1
;
H
=H −
=
B
T
T
2B
Mettendo in evidenza il guadagno in continua 1/B, abbiamo quindi la potenza espressa come segue:
⎛
⎞
( p)
( p)
|X−1 |2
1 ⎝ ( p ) 2 | X1 | 2
⎠
Py(p) = 2 |X0 | +
+
B
4
4
H (0) =
6.11. ESERCIZI SVOLTI
179
Proseguendo nella soluzione, posto
1 j2π f 0 t
+ e−j2π f 0 t
e
2
cos (2π f0 t) =
otteniamo facilmente l’uscita del quadratore:
⎞
⎛
1
1⎜
1
⎟
ya (t) = cos2 (2π f0 t) = ⎝e j4π f 0 t + e−j4π f 0 t + 2⎠ = (cos (4π f0 t) + 1)
2
8 4
cos( 4π f 0 t)
Il campionamento per Ts = 1/6 f0 genera la sequenza
y[n] = ya (nTs ) =
1
4
cos
2
πn + 1
3
Il filtro e` un filtro passa-basso con taglio a ωc = πB = π/2, i.e. B = 1/2, e guadagno dato dalla relazione
1
Area H (e jω ) = h(0)
2π
Detto K tale guadagno, risolviamo
Area H (e jω ) = K · 2ωc
;
h(0) = 2
⇒
K=4
π
e scriviamo
(1/2)
H (e jω ) = 4 · HLP
(e jω )
Essendo la pulsazione dell’armonica in ingresso al filtro maggiore del taglio del passa-basso, i.e.
ω0 =
2
π
π > ωc =
3
2
all’ucita del filtro avremo soltanto la componente continua, amplificata quattro volte:
z[n] = 4 ·
1
=1
4
per cui
Pz = 1
180
CAPITOLO 6. CAMPIONAMENTO E RICOSTRUZIONE DI SEGNALI
6.12
Esercizi
1. Descrivere il campionamento e la ricostruzione mediante interpolazione cardinale del segnale analogico
xa ( t ) = A0 cos (2π f 0t )
anche illustrando in forma grafica i vari passaggi, considerando i due casi Ts < 1/2 f 0, Ts > 1/2 f 0 e con
Tr = Ts.
Ripetere considerando la ricostruzione mediante interpolazione mediante tenuta (ordine zero), e mediante interpolazione linare (ordine 1)
2. Ottenere la funzione di autocorrelazione della serie aleatoria x[ n ] ottenuta per campionamento uniforme
del processo aleatorio stazionario ed ergodico xa ( t ) avente la seguente funzione di autocorrelazione:
R xa ( τ ) = Bσx2a sinc( Bτ ) + ηx2a
Si calcolino, inoltre, la componente continua e la potenza di x[ n ].
Discutere i due casi Ts < B e Ts > B nel dominio della frequenza.

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