compito 15-09-14

Cognome
Nome
Matricola
FONDAMENTI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA
Chiarellotto, Garuti
Appello del 15 settembre 2014
Dire se `e vero o falso (giustificare le risposte. Bisogna necessariamente rispondere ai quesiti):
a) L’insieme di tutti i vettori che hanno la prima componente uguale a 1 ´e un sottospazio.
b) Ogni matrice diagonalizzabile ha determinante diverso da zero.
c) Una matrice ridotta in forma a scalini ha determinante non nullo.
∗∗∗
4
Esercizio 1. Nello spazio vettoriale R , si considerino i sottospazi U =< (1, 2, 7, 1), (0, 1, 2, 0), (1, 0, 3, 1) >
e W =< (1, −1, 2, 0), (0, 2, 3, 1) >.
a) Determinare un base di U ed una di W .
b) Determinare un base di U + W ed una di U ∩ W . La somma U + W `e diretta?
c) Determinare, se esiste, un sottospazio non nullo T ⊆ R4 tale che U + T = W + T = R4 . Un tale
sottospazio `e unico?
d) Determinare, se esiste, un sottospazio T 0 ⊆ R4 tale che U ⊕ T 0 = W ⊕ T 0 = R4 . Un tale sottospazio
`e unico?
Esercizio 2. Sia f : R3 → R3 la funzione lineare
f (x, y, z) = (2y + 3z, 3x + 5y + 9z, −2x − 4y − 7z).
a) Scrivere la matrice di f rispetto alle basi canoniche.
b) Determinare una base di Im f ed una di ker f .
c) Al variare di a ∈ R, determinare i vettori del sottoinsieme f −1 (1, a, −a).
d) Determinare, se possibile, una funzione lineare g : R3 → R3 tale che Im g = ker f e ker g = Im f .
Scrivere le matrici di f ◦ g e g ◦ f nelle basi canoniche.
e) Determinare, se possibile, una base ortonormale di R3 formata da autovettori di f .

1
Esercizio 3. Si considerino le matrici A = 2
3
2
−4
−2


0
3
−2 e B = 0
1
0

b+2
0
b2
b2 − 4  .
0
2 − 2b2
a) Calcolare autovalori ed autovettori della matrice A. La matrice A `e diagonalizzabile?
b) Determinare, se possibile, una matrice ortogonale H tale che H T AH sia diagonale.
c) Determinare per quali valori di b ∈ R le matrici A e B sono simili.
d) Determinare per quali valori di b ∈ R esiste una matrice ortogonale K tale che K T AK = B.
Esercizio 4. Nello spazio euclideo A3 si consideri la retta
(
x + 2y = 0
r:
z = 1.
a) Determinare il piano π che contiene la retta r e che ´e parallelo alla vettore (1, 1, 1).
b) Determinare il piano σ che contiene la retta r e che contiene il punto (1, 1, 1).
c) Determinare le equazioni cartesiane di tutti i piani dello spazio aventi distanza
contenenti la retta r.
2
3
dell’origine e
Cognome
Nome
Matricola
FONDAMENTI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA
Chiarellotto, Garuti
Appello del 15 settembre 2014
Dire se `e vero o falso (giustificare le risposte. Bisogna necessariamente rispondere ai quesiti):
a) L’insieme di tutti i vettori che hanno la prima componente uguale a −1 ´e un sottospazio.
b) Ogni matrice diagonalizzabile ha determinante uguale da zero.
c) Il polinomio caratteristico ´e nullo se zero `e autovalore della matrice.
∗∗∗
4
Esercizio 1. Nello spazio vettoriale R , si considerino i sottospazi U =< (2, 1, 7, 1), (1, 0, 2, 0), (0, 1, 3, 1) >
e W =< (−1, 1, 2, 0), (2, 0, 3, 1) >.
a) Determinare un base di U ed una di W .
b) Determinare un base di U + W ed una di U ∩ W . La somma U + W `e diretta?
c) Determinare, se esiste, un sottospazio non nullo T ⊆ R4 tale che U + T = W + T = R4 . Un tale
sottospazio `e unico?
d) Determinare, se esiste, un sottospazio T 0 ⊆ R4 tale che U ⊕ T 0 = W ⊕ T 0 = R4 . Un tale sottospazio
`e unico?
Esercizio 2. Sia f : R3 → R3 la funzione lineare
f (x, y, z) = (2x + 3z, 5x + 3y + 9z, −4x − 2y − 7z).
a) Scrivere la matrice di f rispetto alle basi canoniche.
b) Determinare una base di Im f ed una di ker f .
c) Al variare di a ∈ R, determinare i vettori del sottoinsieme f −1 (a, 1, −a).
d) Determinare, se possibile, una funzione lineare g : R3 → R3 tale che Im g = ker f e ker g = Im f .
Scrivere le matrici di f ◦ g e g ◦ f nelle basi canoniche.
e) Determinare, se possibile, una base ortonormale di R3 formata da autovettori di f .



0
−4 2 −2
Esercizio 3. Si considerino le matrici A =  2 1 3  e B = 0
−2 3 1
0

b−2
0
b2
b2 − 4  .
0
2 − 2b2
a) Calcolare autovalori ed autovettori della matrice A. La matrice A `e diagonalizzabile?
b) Determinare, se possibile, una matrice ortogonale H tale che H T AH sia diagonale.
c) Determinare per quali valori di b ∈ R le matrici A e B sono simili.
d) Determinare per quali valori di b ∈ R esiste una matrice ortogonale K tale che K T AK = B.
Esercizio 4. Nello spazio euclideo A3 si consideri la retta
(
2x + y = 0
r:
z = 1.
a) Determinare il piano π che contiene la retta r e che ´e parallelo alla vettore (1, 1, 1).
b) Determinare il piano σ che contiene la retta r e che contiene il punto (1, 1, 1).
c) Determinare le equazioni cartesiane di tutti i piani dello spazio aventi distanza
contenenti la retta r.
2
3
dell’origine e
Cognome
Nome
Matricola
FONDAMENTI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA
Chiarellotto, Garuti
Appello del 15 settembre 2014
Dire se `e vero o falso (giustificare le risposte. Bisogna necessariamente rispondere ai quesiti):
a) L’insieme di tutti i vettori che hanno l’ultima componente uguale a 1 `e un sottospazio.
b) Ogni matrice con determinante diverso da zero ´e diagonalizzabile.
c) Due Vettori in R3 con una entrata uguale sono linearmente dipendenti.
∗∗∗
4
Esercizio 1. Nello spazio vettoriale R , si considerino i sottospazi U =< (7, 2, 1, 1), (2, 1, 0, 0), (3, 0, 1, 1) >
e W =< (2, −1, 1, 0), (3, 2, 0, 1) >.
a) Determinare un base di U ed una di W .
b) Determinare un base di U + W ed una di U ∩ W . La somma U + W `e diretta?
c) Determinare, se esiste, un sottospazio non nullo T ⊆ R4 tale che U + T = W + T = R4 . Un tale
sottospazio `e unico?
d) Determinare, se esiste, un sottospazio T 0 ⊆ R4 tale che U ⊕ T 0 = W ⊕ T 0 = R4 . Un tale sottospazio
`e unico?
Esercizio 2. Sia f : R3 → R3 la funzione lineare
f (x, y, z) = (3x + 2y, 9x + 5y + 3z, −7x − 4y − 2z).
a) Scrivere la matrice di f rispetto alle basi canoniche.
b) Determinare una base di Im f ed una di ker f .
c) Al variare di a ∈ R, determinare i vettori del sottoinsieme f −1 (−a, a, 1).
d) Determinare, se possibile, una funzione lineare g : R3 → R3 tale che Im g = ker f e ker g = Im f .
Scrivere le matrici di f ◦ g e g ◦ f nelle basi canoniche.
e) Determinare, se possibile, una base ortonormale di R3 formata da autovettori di f .

1
Esercizio 3. Si considerino le matrici A = −2
3


0
−2 3
−4 2 e B = 0
2 1
0

b+2
0
b2
b2 − 4  .
0
2 − 2b2
a) Calcolare autovalori ed autovettori della matrice A. La matrice A `e diagonalizzabile?
b) Determinare, se possibile, una matrice ortogonale H tale che H T AH sia diagonale.
c) Determinare per quali valori di b ∈ R le matrici A e B sono simili.
d) Determinare per quali valori di b ∈ R esiste una matrice ortogonale K tale che K T AK = B.
Esercizio 4. Nello spazio euclideo A3 si consideri la retta
(
2y + z = 0
r:
x = 1.
a) Determinare il piano π che contiene la retta r e che ´e parallelo alla vettore (1, 1, 1).
b) Determinare il piano σ che contiene la retta r e che contiene il punto (1, 1, 1).
c) Determinare le equazioni cartesiane di tutti i piani dello spazio aventi distanza
contenenti la retta r.
2
3
dell’origine e
Cognome
Nome
Matricola
FONDAMENTI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA
Chiarellotto, Garuti
Appello del 15 settembre 2014
Dire se `e vero o falso (giustificare le risposte. Bisogna necessariamente rispondere ai quesiti):
a) L’insieme di tutti i vettori che hanno l’ultima componente uguale a −1 `e un sottospazio.
b) Ogni matrice con determinante uguale da zero ´e diagonalizzabile.
c) Due Vettori in R3 con una entrata diversa sono linearmente indipendenti.
∗∗∗
4
Esercizio 1. Nello spazio vettoriale R , si considerino i sottospazi U =< (1, 7, 2, 1), (0, 2, 1, 0), (1, 3, 0, 1) >
e W =< (1, 2, −1, 0), (0, 3, 2, 1) >.
a) Determinare un base di U ed una di W .
b) Determinare un base di U + W ed una di U ∩ W . La somma U + W `e diretta?
c) Determinare, se esiste, un sottospazio non nullo T ⊆ R4 tale che U + T = W + T = R4 . Un tale
sottospazio `e unico?
d) Determinare, se esiste, un sottospazio T 0 ⊆ R4 tale che U ⊕ T 0 = W ⊕ T 0 = R4 . Un tale sottospazio
`e unico?
Esercizio 2. Sia f : R3 → R3 la funzione lineare
f (x, y, z) = (3y + 2z, 3x + 9y + 5z, −2x − 7y − 4z).
a) Scrivere la matrice di f rispetto alle basi canoniche.
b) Determinare una base di Im f ed una di ker f .
c) Al variare di a ∈ R, determinare i vettori del sottoinsieme f −1 (1, a, −a).
d) Determinare, se possibile, una funzione lineare g : R3 → R3 tale che Im g = ker f e ker g = Im f .
Scrivere le matrici di f ◦ g e g ◦ f nelle basi canoniche.
e) Determinare, se possibile, una base ortonormale di R3 formata da autovettori di f .

1
Esercizio 3. Si considerino le matrici A = 3
2
3
1
−2


0
2
−2 e B = 0
−4
0

b−2
0
b2
b2 − 4  .
0
2 − 2b2
a) Calcolare autovalori ed autovettori della matrice A. La matrice A `e diagonalizzabile?
b) Determinare, se possibile, una matrice ortogonale H tale che H T AH sia diagonale.
c) Determinare per quali valori di b ∈ R le matrici A e B sono simili.
d) Determinare per quali valori di b ∈ R esiste una matrice ortogonale K tale che K T AK = B.
Esercizio 4. Nello spazio euclideo A3 si consideri la retta
(
x + 2z = 0
r:
y = 1.
a) Determinare il piano π che contiene la retta r e che ´e parallelo alla vettore (1, 1, 1).
b) Determinare il piano σ che contiene la retta r e che contiene il punto (1, 1, 1).
c) Determinare le equazioni cartesiane di tutti i piani dello spazio aventi distanza
contenenti la retta r.
2
3
dell’origine e

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