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APPUNTI DI IDRAULICA
vers#3B - by Prof.A.Tonini - www.andytonini.com
1°PARTE – STATICA E DINAMICA
1. IDROSTATICA: studio del comportamento dei liquidi in quiete.
La statica dei fluidi studia il comportamento dei fluidi in quiete ovvero in condizioni d’equilibrio statico. Possiamo avere
fluidi incomprimibili, quando il volume di una massa di fluido è indipendente dalla pressione applicata (p.es. liquidi), o fluidi
comprimibili, quando il volume dipende dalla pressione.
1.1.DEFINIZIONI BASE
La pressione rappresenta la forza applicata sull’unità di superficie (p=F/Sup). (vedi unità).
La pressione esercitata da un liquido, calcolata ad una certa profondità si definisce pressione idrostatica.
La densità di un liquido rappresenta la massa per unità di volume (ρ oppure d= m/Vol);
il peso specifico rappresenta il peso per unità di volume (γ=P/Vol).
1.2.LEGGI FONDAMENTALI
-LEGGE DI STEVINO:
la pressione esercitata dal peso di una colonna di fluido in un suo punto di profondità h (distanza dal pelo
libero del fluid, a contatto con l'ambiente esterno) è direttamente proporzionale a h; la pressione su superficie immersa in
fluido risulta: p=peso liq./superf = γVol/Sup=γ(Sup x h)/A= γ x h; la pressione idrostatica è quindi definita come:
→p = γ · h. (è funzione solo della profondità h e del peso specifico del liquido);
-PRINCIPIO DI PASCAL:
I fluidi presentano l’importante proprietà di trasmettere in tutte le direzioni la pressione
applicata in un punto del liquido.
Definizione: la pressione esercitata in un punto di un liquido si trasmette con la stessa intensità
in ogni parte del liquido; (applicazioni: martinetto idraulico; freno idraulico; pressa idraulica).
-PRINCIPIO DI ARCHIMEDE:
un corpo immerso in un fluido riceve una spinta, dall’alto verso il basso, pari al peso del volume di fluido
spostato; peso P=γPVol ; spinta S=γLVol; risultante R= S – P = V(γγL - γP); →se γL>γP il corpo sale.
PRESSIONE ASSOLUTA E RELATIVA:
La misura della pressione può essere effettuata, a prescindere dall’unità di misura impiegata, secondo una scala assoluta o
una scala relativa. Nella scala assoluta (pASSOL)si attribuisce un valore zero al vuoto assoluto, mentre nella scala relativa
(pREL)si attribuisce il valore zero alla pressione atmosferica: P ASS = P REL + pATM
(in atm: 1 ATA = 1ATE + 1; o 1bar ass.= 1barg + 1)
La misura della pressione può essere effettuata con l’ausilio di semplici
strumenti: barometri o manometri; ambedue sono dei semplici tubi
connessi ad un’estremità con l’ambiente dove si deve misurare la
pressione: l’altra estremità è aperta o chiusa nei manometri e chiusa nei
barometri. All’interno è contenuto un liquido che presenta un elevato peso
specifico (p.es.Hg). La differenza di livello del liquido tra i due rami rappresenta la pressione
interna, che viene misurata nella scala relativa per il manometro ed in quella assoluta per barometro.
MISURA DI PRESSIONE IDROSTATICA :
- TUBI MANOMETRICI ad U aperti/chiusi:
Inseriamo, sul fondo di un serbatoio contenente un liquido di peso specifico γ, chiuso con pressione
sul pelo liquido p1, un tubo ad U aperto (manometro), contenente mercurio (Hg).
Liquido γ e mercurio sono in equilibrio fra loro, rispetto alla sezione A/A: scriviamo la relazione di
uguaglianza della pressione nelle sezioni A a sinistra e A a destra, che sono alla stessa quota:
(tubo U aperto)
pA = p1 + γ h1 = patm + γHg hHg
nel caso di p1= p atm, →h1 = hHg (γγHg /γγ) ovvero pA = k . h2 , misura della pressione esercitata dal liquido sul fondo, e anche
(in opportuna scala) del livello di liquido nel serbatoio.
Nel caso di manometro a tubo U chiuso, con liquido che sale in quel ramo all’altezza h2*, si avrà →p1 +
γ h1 = γHg h2*
- PIEZOMETRI:
sono tubi inseriti sopra una tubazione, di solito aperti all’estremità; il liquido in essi contenuto si
innalza in modo proporzionale alla pressione interna alla tubazione.
tubo aperto: press.effettiva p1=γγ x h1; assoluta p1=γ x h1+ patm; tubo chiuso: press.assoluta p2=γ x h2
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1.3. EQUAZIONE DELLA STATICA DEI LIQUIDI
L’equazione fondamentale della statica mette in relazione le forme di ENERGIA possedute da un liquido in quiete.
Un liquido in quiete possiede le seguenti forme di energia:
• Energia interna: dipende, nei sistemi in cui non sono in atto reazioni chimiche, solamente dalle
variabili di stato temperatura e pressione. Per i liquidi incomprimibili non dipende dalla pressione,
per cui per tutte le trasformazioni a temperatura costante la sua variazione sarà nulla.
• Energia potenziale: l’energia posseduta da una massa di liquido posta ad una quota z rispetto ad
un piano di riferimento. Si esprime nella formula: Epot = m · g · z.
• Energia di pressione. Rappresenta il lavoro che può effettuare il liquido posto ad una certa
pressione: E press= m. g . p/γγ
.
. 2
• Energia cinetica: rappresenta l’energia di moto del liquido con massa m: Ecin = ½ m v
In un liquido in quiete, (Ecin = 0 per liquido in quiete), le varie forme di energia possono trasformarsi
vicendevolmente ma la loro somma deve rimanere costante. L’equazione fondamentale della statica (per unità di peso di
fluido) è la seguente:
Etot = z + p/γγ = costante
2. IDRODINAMICA: studio delle trasformazioni di energia dei liquidi in movimento
portata e equazione di continuità
Un flusso di liquido in moto viene chiamato corrente. Tra le grandezze che caratterizzano una corrente
abbiamo la portata volumetrica e la portata di massa. La portata rappresenta la quantità di volume che
attraversa, nell’unità di tempo, una sezione traversale al flusso. Un’altra grandezza che caratterizza una
corrente è la velocità media di flusso (nei liquidi ideali è costante nella sezione).
La portata volumetrica e la velocità sono legate dalla relazione: Qv = v · Sez (p.es. m3/h).
La portata volumetrica è anche legata alla portata di massa dalla relazione: ρ · Qv = Qm(p.es. Kg/h) .
Una corrente si definisce stazionaria o permanente, o anche in regime stazionario, quando la portata, la velocità, il peso
specifico (o altre grandezze) non variano nel tempo e nella sezione. Si ha un regime transitorio quando vi sono punti in cui
non è verificata la costanza nel tempo.
In regime stazionario e liq.ideale la portata è costante, quindi fra 2 sezioni vale l’EQUAZIONE DI CONTINUITA’:
→ Q1 = Q2 ovvero Sez1 . v1 = Sez2 . v2 e quindi Sez1 / Sez2 = v2 / v1 (sez. e velocità sono inversamente proporzionali).
2.1.DINAMICA DEI LIQUIDI IDEALI
L’idrodinamica studia le trasformazioni di energia che si manifestano nei liquidi in movimento. I liquidi ideali sono liquidi
che non oppongono resistenza o attrito interno (viscosità) o esterno durante il movimento e quindi presentano viscosità
nulla (vedi in seguito).
Un liquido in movimento possiede energia sotto diverse forme: quelle già viste per un fluido
statico più l’energia cinetica, l’energia relativa ad una massa m che si muove con velocità v.
Nell’ipotesi che il liquido si comporti in maniera ideale, in regime stazionario, e non ci siano
entrate (pompe) o uscite (turbine) di energia, l’energia totale dovrà rimanere costante
durante il moto del liquido, da cui l’equazione per unità di peso di liquido, in ogni sezione:
Etot = z + p/γγ + v2/2g
questo è il TEOREMA BERNOULLI per liq. ideali.
L’aumento di sezione determina una diminuzione di velocità e, di conseguenza, di energia
cinetica. Per conto deve aumentare l’energia di pressione. La misura dell’energia di
pressione in metri è strettamente associata al tipo di liquido.Tra 2 sezioni sarà:
Etot = z + p/γγ + v2/2g= E1 = E2 quindi tra sez.1 e sez.2: E1 = z1 + p1/ + v12/2g = E2 = z2 + p2/ + v22/2g
I termini dell’equazione si chiamano “altezze” di colonna di liquido, in realtà energie per unità di peso, e rispettivamente:
z: altezza geodetica; p/ =altezza piezometrica; v2/2g = altezza cinetica. Tutte quindi espresse in metri di liquido.
2.2. DINAMICA DEI LIQUIDI
REALI
2.2.1.LA VISCOSITÀ:
Quando un fluido reale è in movimento si manifestano su di esso delle sollecitazioni che si
oppongono al moto: la natura e l’entità di tale resistenza è determinata dalla viscosità. Come
da figura, immaginiamo due strati di superficie A, a distanza h, uno (inferiore) fisso l’altro
(superiore) mobile che si muove a velocità v costante, sotto azione di forza F parallela alla
superficie, con strati intermedi in moto a velocità decrescenti da v a 0 a seconda della
variabile y (da 0 a h); F è equilibrata dall’attrito del liquido.
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Per liquidi omogenei vale la legge Newton che relaziona le grandezze in gioco: F/A = τ = µ ∆v/∆
∆y, cioè la tensione
tangenziale τ è direttamente proporzionale al gradiente di velocità; la costante di proporzionalità è la viscosità µ; a maggior
viscosità corrisponde maggiore resistenza del liquido al moto, quindi maggiore tensione da esercitare τ [liquidi
newtoniani].La viscosità diminuisce all’aumentare della temperatura.[es.viscosità acqua 20°C: µ= 1cp = 0,001 kg/m.s = 0,001
Pa.s; olio µ=0,079; alcool et. µ=0,0012 Pa.s].
2.2.2. MOTO LAMINARE E TURBOLENTO - NUMERO DI REYNOLDS Re
Quando un fluido scorre in una tubazione o in un canale il flusso può assumere caratteristiche differenti in funzione delle
proprietà fisiche, della velocità di flusso e della geometria del sistema. Per ogni liquido si verificano due tipi di moto:
• Moto laminare: a velocità relativamente basse il liquido assume una traiettoria rettilinea parallela all’asse del tubo,
indicando con ciò che il flusso avviene sotto forma di traiettorie parallele che non
interferiscono tra loro; il moto avviene per traiettorie parallele; la velocità di ogni singola
particella di liquido è in ogni istante ed in ogni punto parallela all’asse della tubazione (vedi
nella fig. l’andamento delle velocità nella sezione); non ci sono spostamenti di massa in
direzione trasversale.
• Moto turbolento: superato una certa velocità il flusso di liquido si disperde su tutta la
sezione del tubo; durante il moto si hanno trasferimenti di massa in direzioni
perpendicolare a quella del flusso; la velocità di ogni singola particella del liquido varia continuamente nel tempo in
modulo direzione e verso; il profilo di velocità è più schiacciato e la velocità si mantiene vicina al valore massimo anche
in prossimità della parete.
Reynolds accertò che l’instaurarsi di un moto laminare o turbolento dipende:
•
Dalla velocità del flusso
• Dalla caratteristiche fisiche del fluido (densità e viscosità)
•
Dalla geometria del sistema (diametro)
Re = (ρ · v · d)/μ
Il NUMERO DI REYNOLDS (adimensionale se calcolato in unità coerenti) si definisce:
.
-3
-3
con ρ = Kg/m3; v= m/sec; d=m; µ =Kg/m sec= 10 cp (centipoise)= 10 Kg/ms;
Per valori di Re inferiori a 2100 il moto si presenta laminare, mentre per valori superiori a 4000 il moto è turbolento.
2.2.3. I LIQUIDI REALI E LE DISSIPAZIONI di ENERGIA
- PERDITE DI CARICO Il principio di Bernoulli dice che l’energia totale è uguale nella sezione 1 e nella sezione 2
solo per i liquidi ideali.
La caratteristica dei liquidi reali è quella di avere una viscosità diversa da zero, cosa che
comporta, durante il movimento, la dissipazione di energia per attriti(interni e esterni) e
la progressiva diminuzione dell’energia totale posseduta del liquido via via che procede
nel suo moto.
Il bilancio di energia per il liquidi reali segue l’equazione di Bernoulli dove ΣY rappresenta
l’energia dispersa dalle perdite di carico; esse si misurano in metri (cioè energia per unità
di peso di liquido, p.es. Kg.m/Kg o kJ.m/kJ) e sono sempre positive; le perdide di carico non abbassano tutte le forma di
energia ma influenzano solamente l’energia di pressione lasciando inalterate le altre forme di energia.
Per i liquidi REALI l’equazione, tra 2 sezioni 1 e 2, sarà modificata considerando (con ΣY ) le perdite di energia per attriti o
perdite di carico:
z1 + p1/γγ + v12/2g = z2 + p2/γγ + v22/2g + ΣY tot
Nel disegno si evidenzia l’andamento di pressione nella tubazione; si evidenziano anche tre linee: a=linea dei carichi
statici; b= linea dei carichi dinamici; c= linea dei carichi reali; v1=v2 causa sezione costante.
LA DETERMINAZIONE DELLE PERDITE DI CARICO
Le perdite di carico di distinguono in:
- distribuite o continue, che si manifestano in maniera continua lungo la tubazione;
- accidentali o localizzate, determinate da cause locali, come accessori di linea, giunti valvole gomiti raccordi....;
1 - PERDITE DISTRIBUITE O CONTINUE
L’espressione usata per per il calcolo delle perdite di carico è quella di Fanning: la somma perdite ΣY distrib = f .[L/d].v2/2g
Il FATTORE DI ATTRITO f dipende da Re e dalla scabrezza o rugosità relativa del condotto.
La scabrezza caratterizza lo strato superficiale (rugosità o microrilievi) del condotto e dipende del tipo di materiale (vedi
tabelle). La scabrezza relativa si indica come: ε/d, con: ε =scabrezza assoluta; d= diametro della tubazione;
[p.es. ε =0,03 - 0,06mm tubi acciaio nuovi =0,2-0,4mm tubi ghisa nuovi]
Nel moto laminare f non dipende dalla scabrezza relativa ma da Re: f = 64 / Re;
invece nel moto turbolento f si ricerca tramite l’abaco di Moody (vedi in appendice) o con formule empiriche.
Per il calcolo delle perdite continue o distribuite si può velocemente calcolare f con la formula DARCY:
f = 0,316/ Re 0,25
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2 - PERDITE ACCIDENTALI O LOCALIZZATE
La valutazione delle perdite di carico localizzate può essere effettuata tramite l’espressione di Fanning,
attribuendo ad ogni particolare perdita per accessori di linea una lunghezza equivalente Leq. La lunghezza
equivalente è un modo per convertire perdite localizzate in continue: rappresenta una lunghezza fittizia,
in metri, di tubazione che darebbe le stesse perdite di energia (continua) di quelle dell’accessorio.
La determinazione della Leq si effettua utilizzando un nomogramma, avendo come dati il diametro della
tubazione e il tipo di elemento di linea, o con la tabella seguente come Leq/D.
Per ognuno degli accessori di linea si calcola il valore Leq/D, si sommano e si riportano nella formula di Fanning delle Σy
. 2
accidentali o localizzate, come Σ(Leq/d): ΣY accid= f .[Σ(Leq/d)]
v /2g
Σ(
IL RISULTATO FINALE DELLE PERDITE DI CARICO SARA’ :
. 2
ΣY tot = ΣYdistr + ΣYaccid = f .[L/d+Σ(
Σ(Leq/d)]
v /2g
Σ(
e verrà immesso nella formula generale:
z1 + P1/γ + v12/2g = z2 + P2/γ + v22/2g+ ΣY tot
Da questa equazione si possono determinare le incognite di ogni
problema di idrodinamica.
→
TABELLA per calcolo delle PERDITE ACCIDENTALI/LOCALIZZATE a lato
ΣY accid= f .[Σ(Leq/d)]. v2/2g
p.es. diam d=100 mm; v=1,5 m/s; f=0,014; 2valvole farfalla,5 saracin aperte:
ΣY accid=0,014 [2x20 + 5x13] (1,5)2/(2x9,8) = 0,169 m.
DIAGR. MOODY: CALCOLO FATTORE f (noti Re e ε/d):
p.es. noto Re= 1 X 106; ε/d= 0.002; → f=0.025
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2° PARTE - approfondimenti di IDRAULICA
1- MISURATORI DI PORTATA/VELOCITA’: VENTURIMETRO
Il venturimetro, apparecchio di misura statico, si compone di due rami: il primo
convergente e l'altro divergente.
Questo strumento, attraverso una diminuzione della sezione della condotta, provoca
l'accelerazione del fluido e una diminuzione di pressione. Infatti, a causa della
proporzionalità inversa che lega la velocità alla sezione della condotta, a portata
costante una diminuzione della sezione provoca un aumento della velocità.
Il venturimetro si compone anche di un manometro differenziale, che misura la
differenza di pressione prima del tratto convergente e subito dopo, cioè nella sezione
contratta della condotta.
Rispetto alla sezione A/A si possono scrivere le seguenti equazioni:
a) Equilibrio statico sez A/A:
p1 + γ h1 = p2 + γh2 + γHg ∆h
b) Equazione di moto tra sez 1/2: (stessa quota e assenza di perdite di carico per
attriti)
p1/γ + v12/2g = p2/γ + v22/2g
c) Equazione di continuità tra le sez. 1/2:
v1 πd12/4 = v2 πd22/4 ovvero v1 d12 = v2 d22 con v2= v1 d12 / d22 = v1 m2 (con m= sez1/sez2 = d12/d22
rapporto di strozzamento dell’apparecchio);
ricavando ∆p= p1- p2 , uguagliando e sostituendo si ottiene una relazione finale di misura di VELOCITA’ E PORTATA:
v1 = k √ ∆h, e quindi Q = v1 x Sez1 = k’ √ ∆h ; con caratteristica del venturimetro k=RADQ[(γ Hg-γ)(2x 9,8)/((m2-1)xγ )]
2- MISURA DI VELOCITA’ (e PORTATA): TUBO PITOT
Consiste di una testa sagomata munita di due ingressi:
- in quello frontale 1 la corrente fluida entra per effetto dell'energia cinetica e di quella di
pressione : energia E = v2 / 2g + p / γ;
- in quella laterale 2 entra per il solo effetto dell'energia di pressione: E = p / γ.
La differenza di quota nei tubicini fra le sezioni 3 e 4 misura quindi l'energia cinetica v2 / 2g che
è proporzionale alla portata Q. Tenendo conto delle dimensioni dei tubi, e trascurando le
perdite di carico, si giunge a scrivere una relazione che lega la velocità e la portata alla
suddetta differenza di quota (con k , k’ opportune costanti, che tengono conto di perdite di
carico e geometria dello strumento):
v1 = k √ ∆h e Q= k’ √ ∆h (con ∆h=h1-h2; h1 = v2 / 2g + p / γ ; h2 = p / γ )
Per migliorare le precisione si procede al tracciamento di una curva di taratura. Questa
operazione viene effettuata immettendo il tubo di Pitot in una corrente di fluido di cui sono note le caratteristiche e la
velocità e registrando le differenze di pressione, statica e dinamica, tra le due prese del tubo di Pitot; disponendo di un
numero sufficiente di valori di velocità si ottiene una successione di punti che rappresentano la funzione di trasferimento
dello strumento.
In fase di utilizzo del tubo di Pitot invece della formula si potrà utilizzare questa curva per associare a ogni valore di ∆p la
velocità corretta; con un’opportuna strumentazione elettronica si può implementare una funzione di interpolazione
automatica della curva di taratura.
APPENDICI ---------------------------------------------------------------ESEMPI APPARECCHIATURE:
TUBO VENTURI
TUBO PITOT
( VEDI ESERCIZI E ESERCITAZIONI SU ALTRO DOCUMENTO)
APPLICAZIONE DEL TUBO PITOT

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