OPERAZIONI CON LE FRAZIONI ADDIZIONE : prima di eseguire l’operazione si riducono le frazioni (se è possibile) ai minimi termini. Si riconoscono tre situazioni: 1. Le frazioni hanno lo stesso denominatore : si traccia una linea lunga di frazione come denominatore si mette lo stesso denominatore e per numeratore si scrive l’addizione tra i numeratori:, quindi si esegue la somma 3 1 3 1 4 8 8 8 8 2. Le frazioni hanno denominatore diverso: si traccia una linea lunga di frazione, come 2 Le frazioni hanno denominatore diverso si traccia una linea lunga di frazione come denominatore si mette il m.c.m. dei denominatori (m.c. d.) e per numeratore si divide l’m.c.d. trovato per ogni denominatore e si moltiplica il quoto ottenuto per ogni numeratore poi si esegue l’addizione tra i numeratori così trasformati (in pratica si p g ( p trasformano le frazioni date in altre equivalenti con lo stesso denominatore) 1 2 7 10 17 5 7 35 35 35:7=5; 5 x2 =10 m.c.d (5;7) =35 35:5=7; 7 x1 =7 3. Il numero misto cioè un numero intero + una frazione propria. Per risolverlo basta ricordare che il numero intero ha per denominatore 1 quindi si procede come Per risolverlo basta ricordare che il numero intero ha per denominatore 1 quindi si procede come per il caso 2. Il risultato è sempre una frazione impropria 2 3 2 15 2 17 3 5 1 5 5 5 IlIl numero misto consente anche l’operazione inversa cioè il passaggio da una frazione it t h l’ i i i è il i d f i impropria al numero misto: si scompone il numeratore della frazione in due addendi tali che uno sia un multiplo del denominatore, si passa quindi alla situazione con 2 frazioni che hanno lo stesso denominatore e per denominatore ognuno dei due addendi quindi che hanno lo stesso denominatore e per denominatore ognuno dei due addendi, quindi si semplifica quella apparente e si arriva al numero misto. 4 23 20 3 20 3 3 4 5 5 5 5 5 1 SOTTRAZIONE : prima di eseguire l’operazione si riducono le frazioni (se è possibile) ai minimi termini. Si riconoscono due situazioni: Si riconoscono due situazioni 1. Le frazioni hanno lo stesso denominatore : si traccia una linea lunga di frazione come denominatore si mette lo stesso denominatore e per numeratore si scrive la sottrazione tra i numeratori, poi si esegue la differenza: p g 3 1 3 1 2 8 8 8 8 2. Le frazioni hanno denominatore diverso: si traccia una linea lunga di frazione, come denominatore si mette il m.c.m. dei denominatori (m.c. d.) e per numeratore si divide l’m.c.d. trovato per ogni denominatore e si moltiplica il quoto ottenuto per ogni numeratore poi si esegue La differenza tra i numeratori così trasformati (in pratica si trasformano le frazioni date in altre equivalenti con lo stesso denominatore) trasformano le frazioni date in altre equivalenti con lo stesso denominatore) 4 2 28 10 18 5 7 35 35 35:7=5; 5 x2 =10 m.c.d (5;7) =35 35:5=7; 7 x4 =28 La frazione complementare di una frazione propria è la parte frazionaria che manca per formare l’intero per formare l’intero 3 1 2 Es: la frazione complementare di è ; la frazione complementare di è 4 4 7 MOLTIPLICAZIONE IlIl prodotto tra due frazioni è una frazione che ha per numeratore il prodotto tra i numeratori e prodotto tra due frazioni è una frazione che ha per numeratore il prodotto tra i numeratori e per denominatore il prodotto dei denominatori; se si può prima si semplifica a croce, questo tipo di semplificazione si può fare solo nella moltiplicazione 1 5 3 25 2 1x5 5 x 5 21 1x7 7 1 7 La frazione reciproca o inversa di una frazione data si ottiene scambiando il numeratore con il denominatore ( non si può fare se il denominatore è 0). Il prodotto tra una frazione e la sua reciproca è 1. Es 5 la reciproca è Es 7 7 5 3 7 la reciproca è Es : 3 la reciproca è 1 7 3 3 DIVISIONE IlIl quoziente tra due frazioni è la frazione che moltiplicata alla seconda dà come quoziente tra due frazioni è la frazione che moltiplicata alla seconda dà come prodotto la prima; operativamente per eseguire il quoziente tra due frazioni , di cui la seconda diversa da 0 si deve moltiplicare la prima frazione per l’inverso della seconda; Es: 1 1 3 9 3 2 1x1 1 : x 8 2 8 9 4 x3 12 4 3 Nell’insieme Q si può sempre calcolare il quoziente, esso è quindi chiuso rispetto alla divisione a meno di due casi: m : 0 (impossibile) e 0 :0 (indeterminata) n FRAZIONI A TERMINI FRAZIONARI Sono frazioni che hanno come numeratore e come denominatore altre frazioni. Poiché la linea di frazione corrisponde alla divisione basterà dividere la frazione del numeratore con quella del denominatore del numeratore con quella del denominatore. 3 1 4 3:5 3x2 3 5 4 2 4 5 10 2 2 ELEVAMENTO A POTENZA Per elevare a potenza una frazione bisogna moltiplicare sia il numeratore che il denominatore per se stessi tante volte quante sono le unità dell’esponente. 3 3 3 x3x3 27 x x 5 5 5 5 125 Per l’elevamento a potenza delle frazioni valgono le stesse proprietà studiate per l’insieme N: 0 1. Una frazione elevata a 0 è uguale a 1 2 1 7 1 2 2 7 7 2. Una frazione elevata a 1 è uguale a se stessa 3. Il prodotto tra frazioni che hanno la stessa base è una potenza con la stessa base che ha per esponente la somma degli esponenti. 4 3 2 2 2 x 7 7 7 7 4. Il quoto tra frazioni che hanno la stessa base è una potenza con la stessa base che ha per esponente la differenza degli esponenti. 4 3 1 2 2 2 : 7 7 7 5. Una potenza elevata ad altra potenza ha per base la stessa base e per esponente il prodotto tra gli esponenti. 2 2 3 2 6 7 7 6. Il prodotto tra potenze con basi diverse ma lo stesso esponente è uguale a 6. Il prodotto tra potenze con basi diverse ma lo stesso esponente è uguale a una potenza che ha per base il prodotto tra le basi e per esponente lo stesso esponente 4 4 2 3 6 x 7 5 35 4 7. Il quoto tra potenze con basi diverse ma lo stesso esponente è uguale a una potenza che ha per base il quoto tra le basi e per esponente lo stesso h h b il l b i l esponente 4 4 4 4 2 3 2 14 4 : x 7 14 7 3 3 4
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