Matematica Finanziaria AK 7 luglio 2014

Matematica Finanziaria AK
7 luglio 2014
1. Considera la legge di capitalizzazione dello sconto commerciale, al tasso di sconto
annuo del 7%.
• Presenta la relativa funzione di attualizzazione, la funzione di capitalizzazione e l’intervallo di valori ammissibili per t.
• Calcola lo sconto applicato su un capitale di 8· 000e disponibile fra 2 mesi e 12 giorni
(anno commerciale).
• Calcola il netto ricavo ottenuto scontando un capitale di 2· 500e disponibile fra 7 mesi.
• funzione di attualizzazione v(t) = 1 − 0, 07 t
funzione di capitalizzazione
f (t)�= 1/(1 − 0, 07 t)
�
1
con t espresso in anni e t ∈ 0,
.
0, 07
�
�
12
2
·
= 112.
+
• Lo sconto applicato `e D = 8 000 × 0, 07 ×
12
�
� 360
7
• Il netto ricavo ottenuto `e 2· 500 1 − 0, 07
= 2· 397, 92
12
2. Dispongo di 5· 000e e desidero investirli per ottenere un montante di 6· 000e. Quale
delle seuguenti alternative consente di ottenere il montante desiderato nel pi`
u breve
tempo?
A: Impiego in capitalizzazione semplice al tasso trimestrale del 2,5%.
B: Impiego in capitalizzazione composta, convenzione esponenziale, al tasso semestrale
del 4%.
Calcolo il tempo necessario nei due casi:
�
A: 5 000 (1 + 0, 025 t) = 6 000, quindi t =
·
·
�
6· 000
1
−1
= 8 trimestri (il tasso `e
·
5 000
0, 025
trimestrale), cio`e 2 anni.
ln 6· 000 − ln 5· 000
≃ 4, 6486 semestri (il tasso `e
B: 5 000 × 1, 04 = 6 000, quindi t =
ln 1, 04
semestrale), cio`e 2,3243 anni.
L’impiego A consente di ottenere il montante desiderato nel tempo pi`
u breve.
·
t
·
3. Una rendita trimestrale, prevede 20 rate di importo 500e; la prima rata sar`a pagata fra 2 anni. Calcola il valore attuale della rendita, in capitalizzazione composta,
convenzione esponenziale, al tasso annuo del 6%.
Siccome la rendita `e trimestrale, conviene calcolare il tasso trimestrale equivalente al 6%
1
annuo: i4 = 1, 06 4 − 1 ≃ 1, 47%, quindi il valore attuale `e
500 a 20 0,0147 1, 06−(1+ 4 ) ≃ 7· 775, 10 oppure 500 a 20 0,0147 1, 0147−7 ≃ 7· 773, 69.
3
4. Un ﬁnanziamento di 60· 000e `e ammortizzato in 60 anni con rate annue, immediate,
1
posticipate. L’importo delle rate `e R nei primi 10 anni e R in seguito.
2
• Calcola l’importo delle rate in capitalizzazione composta, convenzione esponenziale al
7,2% annuo.
• Scomponi la 9a rata in quota capitale e quota interessi.
• Dopo 8 anni dall’inizio dell’operazione, il debito `e estinto versando, oltre alla rata
prevista per quella data, il debito residuo maggiorato del 7,5%. Calcola il tasso interno
di costo dell’operazione cos`ı conclusa. (metodo di bisezione, erore massimo tollerato
0,2%)
• Per la determinazione delle rate uso la seguente relazione di chiusura
1
1
60· 000 = R a 10 0,072 + R 1, 072−10 a 50 0,072 ,
R = 2· 907, 86
R ≃ 5· 815, 72;
2
2
a
• Per scomporre la 9 rata, calcolo D8 usando una delle seguenti
1
R a 2 0,072 + R 1, 072−2 a 50 0,072 = 60· 000 × 1, 0728 − R s 8 0,072 ≃ 44· 543, 18
2
per cui I9 = 0, 072 D8 ≃ 3· 207, 11 e C9 = R − I9 = 2· 608, 61.
• Per l’estinzione anticipata a t = 8 occorre versare 1, 075 × D8 , cio`e 47· 883, 92. L’operazione cos`ı conclusa prevede i seguenti ﬂussi di cassa
t
0
1
2
···
8
·
·
·
·
·
e 60 000 −5 815, 72 −5 815, 72 · · · −(5 815, 72 + 47 883, 92) = −53· 699, 64
L’equazione del tasso interno `e
60· 000 − 5· 815, 72 a 8 x − 47· 883, 92 (1 + x)−8 = 0,
la cui soluzione `e x ≃ 7, 7734%.
5. Sul mercato sono quotati i seguenti
� 6 � titoli ZCB, tutti con valore nominale C = 100:
− vita residua 6 mesi, prezzo P 0, 12
= 98, 869;
− vita residua 12 mesi, prezzo P (0,
� 1)
�= 97, 752;
18
− vita residua 18 mesi, prezzo P � 0, 12� = 95, 942.�
�
� 6 �
6
,1 .
, h (0, 1), h 0, 18
ed il tasso a termine h 0, 12
5.a Determinare i tassi a pronti h 0, 12
12
5.b Sullo stesso mercato `e quotato il titolo A: CB, un anno e sei mesi di vita residua,
cedole annue al 4% annuo, rimborso alla pari. Calcola il valore di mercato del titolo.
5.c Si scriva e commenti la relazione di coerenza (o parit`a) fra tassi a pronti e a termine.
5.a
� �
� 126
�
100
6
=
h 0,
− 1 ≃ 2, 3%,
12
98, 869
100
h (0, 1) =
− 1 ≃ 2, 3%,
97, 752
� �
� 12
�
18
100
18
=
− 1 ≃ 2, 8%,
h 0,
12
95, 942
�
� 12
� �
6
98, 869 6
h 0, , 1 =
− 1 ≃ 2, 3%.
12
97, 752
Le cedole annue previste dal titolo A sono pari a 100 × 0, 04 = 4 per ogni 100 di v.n.,
l’ultima sar`a incassa ta alla scadenza del titolo fra 18 mesi, la penultima sar`a incassata
un anno prima, cio`e fra 6 mesi, quindi
��− 12
��− 18
�
�
�
�
12
18
1
+ 104 1 + h 0,
5.b
VA = 4 1 + h 0,
2
12
1
VA = 4 × 1, 023− 2 + 104 × 1, 028−1,5 ≃ 103, 735
5.c Vedi testi.

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