Sistemi_problemi

Sistemi. Approfondimento. Problemi da risolvere con sistemi lineari e rette parallele
PROBLEMI DI GEOMETRIA ANALITICA E PIANA
1. Scrivi l’equazione della retta s, che è parallela alla retta r d’equazione y = − 2x + 1 e passa per A(3, 4).
Completa i seguenti due procedimenti alternativi.
I. Procedimento.
• La retta s deve essere parallela ad r, perciò ha pendenza −2, ma termine q, che non conosco; scrivo
l’equazione y = ……. + q
• Per determinare q, richiedo che le coordinate di A soddisfino l’equazione scritta sopra
4 = …………… + q da cui ricavo q = ……………..
• L’equazione è quindi …………………
II. Procedimento.
• La retta s deve passare per A, ma non ne conosco la pendenza m; perciò scrivo l’equazione
y – 4 = m( ………..)
• Per determinare la pendenza ricordo che s deve essere parallela ad r, perciò deve essere m = – 2.
L’equazione è allora: y – 4 = −2 ( ………..)
• Svolgo i calcoli ed esplicito y, per scrivere l’equazione in forma esplicita …………………..
2. Scrivi l’equazione della retta s, che è parallela alla retta r d’equazione y = 2x + 4 e passa per A(0, 3).
Perché in questo caso il I procedimento è molto rapido?
3. Sono date le rette che hanno le seguenti equazioni:
1
y = −x , y = x , y = 2x + 3
2
a. Rappresenta le rette su un riferimento cartesiano e osserva che le tre rette formano un triangolo T.
b. Determina le coordinate dei vertici A, B, C del triangolo T.
c. Calcola il perimetro del triangolo T.
€
d. Verifica
che T è un triangolo isoscele.
e. Descrivi un procedimento per calcolare l’area di T e calcola l’area.
4. I lati di un quadrilatero ABCD si trovano sulle rette che hanno le seguenti equazioni:
y = 2x
y = 2x + 4
y=4
y = −2x
a. Rappresenta su un riferimento cartesiano le rette e il quadrilatero ABCD.
b. Spiega perché le equazioni delle rette permettono di stabilire che ABCD è un trapezio.
c. Calcola le coordinate dei vertici del trapezio.
d. Calcola il perimetro di ABCD.
e. Il trapezio è isocele? Motiva la tua risposta.
5. Sono date le rette che hanno le seguenti equazioni:
r) y = 2x + 4 e s) y = 2x − 2
a. Determina le coordinate dei seguenti punti:
A, intersezione di r con l’asse y e B , intersezione di r con l’asse x;
C, intersezione di s con l’asse y e D, intersezione di s con l’asse x.
b. Rappresenta su un riferimento cartesiano le rette e il quadrilatero ABCD.
c. Spiega perché ABCD è un trapezio isoscele.
d. Calcola il perimetro di ABCD.
6. I lati di un quadrilatero ABCD si trovano sulle rette che hanno le seguenti equazioni:
y = 2x
y = 2x + 6
y=−x
y = −x +6
a. Rappresenta su un riferimento cartesiano le rette e il quadrilatero ABCD.
b. Spiega perché le equazioni delle rette permettono di stabilire che il quadrilatero è un
parallelogramma.
c. Calcola le coordinate dei vertici del parallelogramma.
d. Calcola il perimetro del parallelogramma.
Daniela Valenti, Treccani Scuola
1
PROBLEMI VARI
7. Il motorino è rimasto senza carburante e in garage trovi due tipi di carburante:
T: carburante per il tosaerba, che contiene il 7% di olio;
P: carburante per una pompa, che contiene l’1% di olio.
Il carburante per il motorino deve contenere il 3% di olio.
Quanto carburante T e quanto P devi mescolare per avere 6 litri di carburante per il motorino?
Incognite: x litri di carburante T e y ………………………………..
⎧ 0,07x + ........... = 0,03... ⎧ y = ........
⎨
⇒ ⎨
⎩ x + y = ......
⎩ x + ......... = ...
Risposta
€
8. Un parcheggio propone ai clienti due tariffe:
- tariffa A: 1 euro l’ora
- tariffa B: la prima ora gratis e 1,20 euro per ogni ora successiva.
a. Qual è il numero h di ore di parcheggio per cui le tariffe A e B si equivalgono?
Scrivi i calcoli che hai fatto per trovare il risultato e poi riporta il risultato
b. Se usi il parcheggio per più di h ore, quale tariffa conviene?
c. Se usi il parcheggio per meno di h ore, quale tariffa conviene?
d. Motiva le due precedenti risposte.
9. Una dieta deve dare ogni giorno 2000 calorie e 90 grammi di proteine e hai le seguenti informazioni.
Alimento
100 grammi di carne
100 grammi di pasta condita
Calorie date dall’alimento
220
600
Proteine date dall’alimento
20 grammi
12 grammi
Quanti grammi di carne e quanti grammi di pasta deve mangiare chi segue la dieta?
10. In un tiro al bersaglio Giovanna acquista 20 cartucce con la condizione di pagare 2 euro per ogni
colpo fallito e di riceverne 3,50 per ogni colpo centrato. Giovanna gioca e vince 26 euro. Quanti colpi
ha centrato Giovanna?
PROBLEMI DI FISICA
11. Le seguenti coppie di leggi rappresentano il movimento di un motorino e di una bicicletta; rispondi
alle seguenti domande:
• In quale caso il motorino e la bicicletta non possono incontrarsi?
• Negli altri casi trova dove e quando bicicletta e motorino si incontrano.
A. s = 10 + 20t e s = 30t
B. s = 10 + 20t e s = 20t
C. s = 10 + 20t e s = 30 + 10t
12. Francesca e Paolo si trovano sulla stessa strada rettilinea a una distanza di 500 m e si muovono a
velocità costante:
• Francesca si trova dietro a Paolo e va alla velocità di 130 km/h;
• Paolo va alla velocità di 90 km/h.
a. Indica con t il tempo (misurato in ore), con s la distanza percorsa (in metri) e scrivi le leggi che
descrivono il moto di Paolo (P) e Francesca (F)
P. s = ……………………. F. s = ……………………..
b. Determina dove e quando Francesca raggiunge Paolo e mostra i calcoli svolti per rispondere.
c. Visualizza il problema sul piano cartesiano.
Daniela Valenti, Treccani Scuola
2
13. Due treni percorrono a velocità costante la linea Roma – Venezia, approssimativamente rettilinea:
• Eurostar passa per Roma a mezzanotte e, alle 2, si si è allontanato di 400 km da Roma verso
Venezia.
• Freccia bianca a mezzanotte passa per una stazione che dista da Roma 600km e, dopo 6 ore, è
arrivato a Roma.
a. Indica con t il tempo (misurato in ore, a partire da mezzanotte), con s la distanza da Roma (in
chilometri) e scrivi le leggi che descrivono il moto di Eurostar (E) e Freccia bianca (F)
E. s = ……………………. F. s = ……………………..
b. Determina dove e quando i due treni si incontrano e mostra i calcoli svolti per rispondere.
c. Visualizza il problema sul piano cartesiano.
14. Il rombo di un cannone percorre in 1 secondo 344,64 metri quando si propaga nello stesso verso in cui
soffia il vento; percorre invece 336,12 metri in 1 secondo, quando si propaga in verso opposto a quello
del vento. Indica con x la velocità del suono, con y la velocità del vento e risolvi i seguenti quesiti:
⎧ 344,64 = x + y
a. Spiega perché per trovare x e y risolvi il sistema ⎨
⎩ 336,12 = x − y
b. Determina le velocità del suono e del vento.
PROBLEMI DI ECONOMIA
€
15. Un turista italiano vuole andare in Svizzera e, prima di cambiare i suoi euro in franchi, esamina le
seguenti proposte fatte da due banche A e B:
A. 1 euro viene scambiato con 1,412 franchi senza spese.
B. 1 euro viene scambiato con 1,416 franchi, ma la banca richiede una commissione fissa di 2 franchi.
Indica con x la somma in euro da cambiare, con y la somma in franchi ottenuta e rispondi alle seguenti
domande:
• Quale somma S in euro devi cambiare per ottenere la stessa somma in franchi dalle due banche?
• Se cambi una somma inferiore a S, quale banca conviene di più?
• Se cambi una somma superiore a S, quale banca conviene di più?
Motiva le tue risposte con calcoli o con grafici.
16. Una ricerca di mercato ha trovato i seguenti risultati:
I. Un’industria produttrice di tablet ha offerto in vendita 1000 computer quando il prezzo era 500 euro;
ma, quando il prezzo è salito a 700 euro, l’offerta è diventata di 1300 tablet.
II. Sono stati acquistati 900 tablet al prezzo di 500 euro; ma quando il prezzo è salito a 700 euro, sono
stati venduti 800 tablet.
In economia si indica:
• con p il prezzo di un tablet;
• con s (dall’inglese supply, per indicare l’offerta) il numero di tablet offerti in vendita;
• con d (domanda), il numero di tablet richiesti, ossia acquistati.
E si utilizzano le ricerche di mercato per prevedere il prezzo d’equilibrio, cioè il prezzo al quale i
consumatori acquistano tutti i tablet prodotti dall’industria. Adotta un modello semplice: la domanda e
l’offerta variano linearmente al variare del prezzo.
a. Scrivi la legge lineare che lega la domanda d al prezzo p.
b. Scrivi la legge lineare che lega l’offerta s al prezzo p.
c. Determina il prezzo d’equilibrio e scrivi i calcoli eseguiti per rispondere.
d. Rispondi alle seguenti domande con un procedimento grafico o algebrico:
- Perché il prezzo tende a salire, se è inferiore al prezzo di equilibrio?
- Perché il prezzo tende a scendere, se è superiore al prezzo di equilibrio?
Daniela Valenti, Treccani Scuola
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