住宅価格ヘドニック・モデルにおけ る時間効果，年齢効果および世代効果の 時間効 年齢効 よび世 効 分離：セミパラメトリック法による推定 2010 年 7 ⽉ 5 ⽇（⽉） 唐渡 広志（富⼭⼤学） モヴシュク・オレクサンダー（富⼭⼤学） 清⽔ 千弘（麗澤⼤学） 1 時間効果，年齢効果および世代効果 さまざまな年齢および出⽣年の⼈々の，さまざまな 時点における消費 貯蓄パタ ンに関する実証分析 時点における消費・貯蓄パターンに関する実証分析 ライフサイクル仮説の検証 Poterba (1994), Deaton and Paxson (1994), Borsch-Supan (2003) 住宅：ヴィンテージ効果（世代効果） 住宅：ヴィンテ ジ効果（世代効果） （古い）特定の時代に建築された住宅様式に対する選好 Ｕ字型の年齢効果 2 2次式で近似した住宅の年齢効果（従属変数=対数価格） Coulson and McMillen (2008)：シカゴの住宅価格 3 住宅の生命線 完全な線形関係 取引年( i ) = 建築後年数(age) 取引年(time) 建築後年数( ) + 竣⼯年(cohort) 竣⼯年( h ) 2000年に取引された築10年の物件の竣⼯年は 1990年 0 t−j 竣⼯年 建築後年数 j t 取引年 ヘドニック価格指数 例．2000-2004年の取引時点をカバーするデータによるヘドニック回帰モデル Pit Xi b 2001 Di , 2001 2002 Di , 2002 2003 Di , 2003 2004 Di , 2004 uit Pit logPrice it t 年に取引された物件 i の価格 時間ダミ 変数 （t 時間ダミー変数 （ 年に取引された場合1，それ以外0） 年に取引された場合 それ以外 ） Dit It Price P i it Price i 0 t 年の時間効果 （ ≈ 年あたり価格変化率: exp () – 1 ） t t 年の価格指数 推定 Iˆt exp Pˆit Pˆi 0 expˆ t t 年のヘドニック価格指数 年 ド ク価格指数 ・Sirmans et al. 2006（ ヘドニックアプローチを利⽤した78論⽂のサーヴェイ） ・ほとんどすべての研究で age か cohort のどちらかを含んでいる． ・ age と cohort の両⽅を含めて回帰式を特定化した研究は⼀つもない． ・リピートセールス法：コーホート効果は消えるが リピ トセ ルス法：コ ホ ト効果は消えるが，time time と age の間に線型関係． の間に線型関係 ・Coulson and McMillen 2008 （3つの効果をノンパラメトリック推定） 5 識別問題（1） 取引年次を（2000年に）固定したクロスセクション・データによるヘドニック回 帰モデル Pi b0 Ai Ci ui Pi : 住宅 i の 2000 年における（対数）価格 Ai : 住宅 i の 2000 年における建築後年数 Ci : 住宅 i の竣工年次 すべての i について Ai Ci 2000 多重共線性 線型関係を崩すことによる解決策 1. 定数項を落とす 2. A または C のどちらかを落とす 3. A または C のどちらか（あるいは両⽅）を⾮線型な項にする 4. 複数の取引年次データを利⽤する 6 識別問題（2） 解決策4: 時系列・クロスセクション・データによるヘドニック回帰モデル Pi b0 Yi Ai Ci ui Pi : 住宅 i の（対数）価格 Yi : 住宅 i の取引年次 Ai : 住宅 i の建築後年数 Ci : 住宅 i の竣工年次 竣 年次 すべての i について Ai Ci Yi 多重共線性 線型関係を崩すことによる解決策 2 Y, A, および C のうちどれか⼀つを落とす 3 Y, A, および び C のうちどれかを⾮線型な項にする ど ⾮線 5 Second difference approach （McKenzie 2006 ノンパラメトリック推定 Coulson and McMillen 2008 が応⽤）により識別する． 7 Second difference approach （1） McKenzie 2006 デ タを疑似パネル化して分析 データを疑似パネル化して分析 Pi t , j ,t j : t 年に取引された建築後年数 j 年 の物件 i の対数価格 • 平均価格 Pt , j ,t j n t , j ,t j 1 P i t , j ,t j n t , j ,t j i 1 ダミ 変数モデル ダミー変数モデル • ダミー変数でも線型関係は残る t j Pt , j , b0 t j t , j , 時間 効果 b0 T t 1 年齢 効果 t DtY plim t , j , 0 世代 効果 J j 0 j D jA L 1 DC t , j , Eq. 1 8 平均データ Pt , j ,1982 Pt ,8,t 8 Log Price 8.676 8.657 8.385 8 407 8.407 8.263 8.238 8.349 8.217 8.155 7.960 7.760 8.000 7.894 8 000 8.000 8.169 8.124 8.211 8.434 8.470 Year of sale 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 Age Cohort n 8 1982 47 8 1983 116 8 1984 129 8 1985 99 8 1986 88 8 1987 128 8 1988 84 8 1989 50 8 1990 61 8 1991 26 8 1992 38 8 1993 25 8 1994 19 8 1995 50 8 1996 36 8 1997 48 8 1998 43 8 1999 47 8 2000 64 Log Price 8.676 8.513 8.410 8 343 8.343 8.232 8.031 8.027 7.894 7.867 7.816 7.732 7.640 7.669 7 687 7.687 7.647 7.719 7.732 7.856 7.894 Year of sale 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 Age Cohort n 8 1982 47 9 1982 90 10 1982 150 11 1982 173 12 1982 184 13 1982 216 14 1982 180 15 1982 151 16 1982 168 17 1982 167 18 1982 182 19 1982 179 20 1982 127 21 1982 144 22 1982 112 23 1982 135 24 1982 120 25 1982 110 26 1982 124 9 Second difference approach （2） 例．コーホート効果 1984 1983 1983 1982 ~1984 : 効果の差の差分 i . Pt , j , Pt , j 1, 1 j j 1 1 ii . Pt 1, j , 1 Pt 1, j 1, 2 j j 1 1 2 取引年次を固定した差分 i ii : 1 1 2 ~ ˆ 1 T i ii , t 1,, L 例．ˆ 1984 : 83 ~ 84年の効果の差 82 ~ 83年の効果の差 10 Second difference approach （3） 例．年齢効果 ~ 8 7 7 6 8 : 効果の差の差分 i . Pt , j 1,t j 1 Pt 1, j ,t j 1 t t 1 j 1 j ii . Pt , j ,t j Pt 1, j 1,t j t t 1 j j 1 竣⼯年を固定した差分 i ii : ~ j j 1 j j j 1 j 1 2 j j 1 1 ˆ j T i ii , t j 1 2,, J 例．ˆ 8 : 7 ~ 8年の効果の差 6 ~ 7年の効果の差 11 Second difference approach （4） 例．年齢効果の first difference （傾き） ある j について j j 1 が成立すると仮定 Bj j ˆ m , j 2,, J m2 8 m2 の制約についてWald 検定 ˆ m 8 2 7 6 7 2 6 5 6 2 5 4 5 2 4 3 4 2 3 2 3 2 2 1 2 2 1 0 8 7 1 0 1 0 0と仮定するとき，B8 8 7 Coulson and McMillen 2008では 42 41 0 を仮定 12 Coulson and McMillen 2008 の問題点 McKenzie (2006)：年次効果，年齢効果， コ ホ ト効果を識別するために強い仮定 コーホート効果を識別するために強い仮定 ある j について j j 1 が成立すると仮定 にはさまざまな組み合わせが考えられる． 例えば，j 例えば = 0,…,50 のとき，制約の置き⽅は複 とき 制約 置き⽅は複 数ある（論⽂では 42 – 41 = 0 を仮定）． McKenzie (2006) のノンパラメトリック推定は制 約の置き⽅によって結果が安定しない．（ 約 置 ⽅ 結果 安定 な （ Fu 2008によるモンテカルロ実験） 13 本研究の提案 Y, A, および C のうちどれかを⾮線型な項にする． ⾮線型式の問題点関数特定化，多重共線性の問題⾃体はつ ⾮線型式の問題点関数特定化 多重共線性の問題⾃体はつ きまとう． コ コーホート効果：事前に関数型の想像がつかない． ホ ト効果：事前に関数型の想像がつかない． 関数型を特定化せず 関数型を特定化せず，年齢 年齢 A や世代 C をスムージングし をスム ジングし たセミパラメトリック・モデルでフィッティング． Coulson and McMillen のように制約をおかない⽅法を提案． のように制約をおかない⽅法を提案 ⼀般化加法モデル (Wood 2006) のアルゴリズム (MGCV) を利 ⽤して 時間 年齢および世代効果を識別 ⽤して，時間，年齢および世代効果を識別． 多重共線性が引き起こす問題に対して安定的な推定を得るた めのアルゴリズムを採⽤． 14 本研究の主要な結論 コーホート効果を除外した従来のヘドニック価格モデルから計測 できる価格指数とすべての効果を識別したセミパラメトリックモ デルから計測できる価格指数には違いがある． デルから計測できる価格指数には違いがある 従来型はコーホート効果の除外によって上⽅にバイアスをもつ可能 性がある（ 1990-2008年の期間において 1990 2008年の期間において ）． ） コ コーホート効果は⾼度に⾮線型．年齢効果をコントロールすると， ホ ト効果は⾼度に⾮線型 年齢効果をコントロ ルすると 古い竣⼯年の物件（1960年代）と1980年代後半の物件は価格に対 して正の効果をもつ． スムージングの⻑所が活かされている． 竣⼯年次によって 竣⼯年次によって，年齢効果（住宅の経年減価率）が異なる可能 年齢効果（住宅の経年減価率）が異なる可能 性がある．年齢と世代の結合効果の導⼊は定式化として好ましい． 15 16 線型モデルと一般化加法モデル H 0 : Pt , j , t A j Xt , j ,t j b ut , j ,t j Eq. 6 vs. H1 : Pt , j , t s A j Ct j Xt , j ,t j b ut , j ,t j Eq. 2 Model 1 対⽴モデル： Age A を⾮線型化（スムージング）+ を⾮線型化（スム ジング）+ コーホート・トレンド項を追加 コ ホ ト トレンド項を追加 t 時間効果 Aj 年齢（建築後年数） 0,1,…,50 s Ct j 平滑化（スムージング）を⾏うスプライン関数，ノンパラメトリック項 世代（竣⼯年） 1954,…,2008 1954 2008 X t , j ,t j その他の住宅属性ベクトル 17 スプライン関数の推定方法 典型的な推定⽅法 Backfitting アルゴリズム (Hastie and Tibshirani 1990) 多重共線性がある場合は安定性に⽋ける可能性 (Schimek, forthcoming の指摘) スプライン関数の選択があらかじめ決められている．⾃ 由度の固定． 由度の固定 本研究の⽅法 MGCV アルゴリズムを利⽤ (Modified Generalized Cross Validation, Wood 2006) 多重共線性があっても， backfitting よりも安定している． 最適なスプライン関数を選択できる ⾃由度の選択 最適なスプライン関数を選択できる．⾃由度の選択 18 例．3次スプライン関数による平滑化 内節点（knot） 効率性を失わないようにペナル テ （制約）をつけて 0, 1,…を ティ（制約）をつけて， を 最⼩2乗推定する． 0 -1 -2 ⾃由度が低下して推定 効率性が ⾃由度が低下して推定の効率性が 失われる． y L 内節点の数が極限まで多くなると， 点と点を補間しただけの折れ線グラ フになってしまう． 1 内節点 の数を増やすことでフィッ ティングが⾼まる． ティングが⾼まる 0 2 4 6 8 10 xK 19 0 -2 -1 s(K,8.64) 1 MGCVアルゴリズムによる平滑化（1） 0 2 4 6 8 10 x 残差分散の（概算）⾃由度: n − (8.64+1) (8 64+1) （線型回帰モデルは n − 2 ） 20 0.0 -1.0 -0.5 s(K,1.35) 0.5 1.0 MGCVアルゴリズムによる平滑化（2） 0 2 4 6 8 10 x 残差分散の（概算）⾃由度: n − (1.35+1) (1 35+1) （線型回帰モデルは n − 2 ） 21 他の代替モデル H 1 : Pt , j , t s A j s Ct j X t, j ,t j b ut , j ,t j Eq. 3 Model 2 Age と cohort の両⽅をスムージング H 1 : Pt , j , t s A j s Ct j s A j , Ct j X t, j ,t j b ut , j ,t j Eq. 4 Model 3 M d l 2 に Age Model A と cohort h t の結合効果を導⼊ H 1 : Pt , j , t A j s Ct j s A j , Ct j X t, j ,t j b ut , j ,t j Eq E . 5 Model 4 Model 3 のうち Age を線型パラメトリック項に変更 22 データ（1）生データの記述統計 （株）リクルート「週刊住宅情報」 サンプル・サイズ: ズ 39,218 期間: 1990 – 2008 年 23 データ（2）: 建築後年数と竣工年の結合分布 24 データ（3）平均値による疑似パネルデータ 25 データ（4）平均値データ[Age = 8, Cohort = 1982] Age constant log price Log Price Year of sale Age Cohort 8.676 1990 8 1982 8.657 1991 8 1983 8.385 1992 8 1984 8 407 8.407 1993 8 1985 8.263 1994 8 1986 8.238 1995 8 1987 8.349 1996 8 1988 8.217 1997 8 1989 8.155 1998 8 1990 7.960 1999 8 1991 7.760 2000 8 1992 8.000 2001 8 1993 7.894 2002 8 1994 8 000 8.000 2003 8 1995 8.169 2004 8 1996 8.124 2005 8 1997 8.211 2006 8 1998 8.434 2007 8 1999 8.470 2008 8 2000 n 47 116 129 99 88 128 84 50 61 26 38 25 19 50 36 48 43 47 64 Cohort constant log price Log Price Year of sale Age Cohort 8.676 1990 8 1982 8.513 1991 9 1982 8.410 1992 10 1982 8 343 8.343 1993 11 1982 8.232 1994 12 1982 8.031 1995 13 1982 8.027 1996 14 1982 7.894 1997 15 1982 7.867 1998 16 1982 7.816 1999 17 1982 7.732 2000 18 1982 7.640 2001 19 1982 7.669 2002 20 1982 7 687 7.687 2003 21 1982 7.647 2004 22 1982 7.719 2005 23 1982 7.732 2006 24 1982 7.856 2007 25 1982 7.894 2008 26 1982 n 47 90 150 173 184 216 180 151 168 167 182 179 127 144 112 135 120 110 124 26 1 2 1 0.9 1.0 平均値による価格指数（図.1） 1 2 2 I d 1 Index 1: A Age constant t t att 8 Index 2: Cohort constant at 1982 2 1 1 1 0.7 2 1 1 0.6 1 2 1 1 1 2 0.5 Average price index 0.8 1 1 1 2 1 1 2 1 1 2 2 0.4 4 2 1 2 2 1990 1995 2000 2 2 2 2 2 2 2005 Year of sale 1. Age ⼀定： 2. Cohort ⼀定： コーホート効果が残る 年齢効果が残る 27 H0: スムージング項がゼロ 表4 スムージング項がゼロであるという帰無仮説は棄却できる． 28 推定結果（表3） [ 1列⽬ ] 線形モデル（世代効果なし） パラメトリックな年齢効果：年あたり価格減価率 1.69% [2列⽬] 列⽬ Model 1 : s(A) + C + extras Age ge のスプライン曲線は図 のスプライン曲線は図2 パラメトリックな世代効果は有意，切⽚が⼤きく低 下 [3列⽬] Model 2 : s(A) + sC) + extras スプライン曲線: Age=図3，Cohort=図5 世代効果は⾼度に⾮線型 29 推定結果（表3）続き [4列⽬] Model 3 : s(A) + sC) + s(A,C) + extras 時間効果が低下 時 効 が低 スプライン曲線（図4 6）は標準誤差が⼤きい スプライン曲線（図4, 6）は標準誤差が⼤きい． 結合効果（図8）は平坦でない． [5列⽬] Model 4 : A + sC) + s(A,C) + extras Model 3 とほぼ同じだが，時間効果の標準誤差 と ぼ同じだが 時間効果 標準誤差 が⼤きい． 世代効果のスプライン曲線（図7）は標準誤差が ⼤きい． ⼤きい 30 モデル選択 表5 Model 3 は相対的に好ましい． s(A) + sC) + s(A,C) + extras 31 Age effect 0.0 95% confidence limits -0.5 -0.5 0.0 s(ag ge,4.25) 1.0 （コーホート効果あり） （コ ホ ト効果あり） 0.5 （コーホート効果なし） （コ ホ ト効果なし） 1.0 Model 3 0.5 線形モデル -1.0 0 -1.00 Ag e Effect 年齢効果の比較 0 10 20 30 Age 40 50 0 10 20 30 40 50 Age 32 年齢効果と世代効果（Model 3） Pt , j , t s A j s Ct j s A j , Ct j X t, j ,t j b ut , j ,t j Eq. 4 図6. コーホート効果 1.0 0 1.0 0 図4. 年齢効果 0.5 -0.5 5 0.0 95% confidence lim -1.0 -0.5 5 0.0 95% confidence limits s(cohort,12.7 75) Age effect -1.0 s(age,4.25)) 0.5 Cohort effect 0 10 20 30 Age 40 50 1960 1970 1980 1990 2000 2010 Year built 33 2 1 0 4 3 2 1 0 4 3 0.7 2 0 1 4 3 2 1 0 4 3 0 Linear regression model 1 Model 1 P = sA) + C + extras 2 Model 2 P = sA) + sC) + extras 3 Model 3 P = sA) + sC) + s(A,C) + extras 4 Model 4 P = A + sC) + s(A,C) + extras 0.6 2 0 1 4 3 0.4 0.5 5 2 1 0 4 3 2 0 1 4 3 2 1 0 4 3 2 0 1 4 3 2 0 1 4 3 2 0 1 2 0 1 2 0 1 4 3 4 3 4 3 0.3 Hedonic P Price Index 0.8 0 0.9 1.0 図.9 ヘドニック価格指数の比較 1990 1995 2000 2 0 1 3 4 2 0 1 2 0 1 3 4 3 4 2 0 1 2 0 1 2 0 1 3 3 4 4 3 4 2005 Year of Sale 34 結論 ヘドニック・アプローチにおけるセミ・パラメトリックモデルに よる時間，年齢および世代効果の分離⽅法を提案． 関数型を特定化せず，Coulson and McMillen のように制約をおか ない⼿法を利⽤した． コーホート効果の除外はバイアスをもつ可能性がある． コーホート効果は⾼度に⾮線型．年齢効果をコントロールすると， 古い竣⼯年の物件（1960年代）と1980年代後半の物件は価格に対 して正の効果をもつ． ⽣き残っている古い物件はそれだけよくメンテナンスされている？ ⽣ 残 古 物件 だ く 竣⼯年次によって，年齢効果（住宅の経年減価率）が異なる可能 性がある 年齢と世代の結合効果の導⼊は定式化として好ましい 性がある．年齢と世代の結合効果の導⼊は定式化として好ましい （Model 3）． 35
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