Quantummechanica 1

Quantummechanica 1
Uitwerkingen werkcollege 1
1. Er geldt:
Z∞
−αx2
e
dx =
−∞
a)
Z∞
−λ(x−a)2
Ae
−∞
b)
r
π
α
voor iedere re¨ele α > 0
r
π
dx = A
=1
λ
dus: A =
r
λ
π
hxi = a
(gebruik symmetrie)
r Z+∞
1
λ
2
2
x2 e−λ(x−a) dx = a2 +
hx i =
π
2λ
−∞
σ=
p
1
hx2 i − hxi2 = √
2λ
2. a) Schrijf V = V0 − iΓ, met Γ een re¨ele constante. Dan volgt:
2
∂
i¯
h
∂ 2 Ψ∗
2Γ 2
∗∂ Ψ
2
Ψ
|Ψ| =
−
Ψ −
|Ψ|
2
2
∂t
2m
∂x
∂x
h
¯
Z+∞
dP (t)
2Γ
Laat P (t) =
|Ψ|2dx, dan geldt:
= − P (t)
dt
h
¯
−∞
b) Oplossing van de differentiaalvergelijking:
2Γ
P (t) = P0 e− h¯ t = P0 e−t/τ
met τ =
h
¯
2Γ
2
3. Als E < Vmin , dan hebben ψ en ddxψ2 altijd hetzelfde teken. Dit betekent dat op een
gebied waar ψ(x) > 0 de golffunctie convex is: de helling neemt toe naarmate x
toeneemt. Daar waar ψ(x) < 0 is de functie concaaf: de helling neemt alsmaar af
met toenemende x.
We nemen een aantal gevallen:
• Stel ψ(x) > 0 en ψ ′ (x) > 0 voor zekere x, dan is de functie monotoon stijgend
vanaf dat punt en daalt nooit naar nul.
• Stel ψ(x) > 0 en ψ ′ (x) < 0 voor zekere x, dan is de functie monotoon stijgend in
de negatieve x−richting en daalt nooit naar nul.
1
• Stel ψ(x) < 0 en ψ ′ (x) > 0 voor zekere x, dan is de functie monotoon dalend in
de negatieve x−richting en stijgt nooit naar nul.
• Stel ψ(x) < 0 en ψ ′ (x) < 0 voor zekere x, dan is de functie monotoon dalend
vanaf dat punt en stijgt nooit naar nul.
Al deze gevallen leiden dus tot golffuncties die niet normaliseerbaar zijn. Merk verder
op dat een constante functie (ψ ′ (x) overal 0) ook niet normaliseerbaar is. Conclusie:
Een stationaire toestand ψ met energie E < Vmin is niet normaliseerbaar en geen
accepteerbare fysische toestand voor een deeltje.
4.
ψn (x) =
hxi =
2
hx2 i =
a
Za
a
2
r
nπ 2
sin
x
a
a
(gebruik symmetrie)
x2 sin2 (
nπ
a2
a2
x)dx =
−
a
3
2(nπ)2
0
hpi = 0
(stationaire toestand)
2
nπ 2 Za
2
nπ¯
h
2
2
2 nπ
hp i =
sin ( x)dx =
h
¯
a a
a
a
0
s
s
2
2
2
p
a
1
a
a
1
−
−
=a
−
σx = hx2 i − hxi2 =
2
3
2(nπ)
4
12 2(nπ)2
p
nπ¯
h
σp = hp2 i − hpi2 =
a
s
r
1
1
n2 π 2 1
−
=
h
¯
−
σx σp = nπ¯
h
12 2(nπ)2
12
2
σx σp is het kleinst voor de grondtoestand. Voor n = 1 geldt:
r
h
¯
h
¯
h
¯ π2
− 2 ≈ (1.136) >
σx σp =
2 3
2
2
Extra opgaven
5. a)
Ψ(x, t) = Ae−λ|x| e−iωt ,
2
|Ψ|2 = |A|2 e−2λ|x|
Z+∞
Z+∞
|A|2
e−2λx dx =
e−2λ|x| dx = 2|A|2
|A|2
=1
λ
0
−∞
√
Neem A re¨eel: A = λ.
b)
hxi = 0
(Gebruik symmetrie)
Z+∞
1
1
2
hx i = λ
x2 e−2λ|x| dx = 2 σx = √
2λ
2λ
−∞
c) De waarschijnlijkheid dat het deeltje buiten het gebied h−σx , σx i gevonden wordt
is:
Z∞
√
2
λe−2λx dx = e− 2 ≈ 0.243
√1
2λ
6. a) Gegeven: ρ(θ) = C voor 0 ≤ θ ≤ π, en ρ(θ) = 0 anderzijds. De constante C kan
gevonden worden door normalisatie.
(
1
als 0 ≤ θ ≤ π,
Antwoord:
ρ(θ) = π
0 anderzijds.
b)
Zπ 1
π
hθi = θ
dθ =
π
2
0
π2
1
dθ =
hθ i = θ
π
3
0
r
p
π2 π2
π
σ = hθ2 i− hθi2 =
−
=√
3
4
12
2
c)
Zπ
hsin θi =
hcos θi =
2
hcos θi =
2
Zπ
0
2
1
dθ =
sin θ
π
π
Zπ
0
1
cos θ
dθ = 0
π
Zπ
1
1
dθ =
cos θ
π
2
0
3
2

Download Report