Logaritmen en getal e 7/12/2014 dr. Brenda Casteleyn Met

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts
Wiskunde: Logaritmen en getal e
7/12/2014
dr. Brenda Casteleyn
Met dank aan:
Atheneum van Veurne
(http://www.natuurdigitaal.be/geneeskunde/fysica/wiskunde/wiskunde.htm),
Leen Goyens (http://users.telenet.be/toelating)
1. Inleiding
Dit oefeningenoverzicht is opgebouwd vanuit de vragen van de vorige examens,
gerangschikt per thema.
De vragen komen van diverse sites. Vooral de site van Leen Goyens was handig en het
atheneum van Veurne heeft een prachtige website met uitgewerkte antwoorden en extra
oefeningen.
2. Oefeningen uit vorige examens
2000 – Vraag 6
Voor grote waarden van n, kan n! = 1.2.3...n goed benaderd worden met de formule van
Stirling: n! = 2
( )
Het rechterlid van deze formule is bijzonder geschikt voor logaritmische benadering. Welke
van de volgende uitdrukkingen kan hieruit als benadering voor log(100!/50!) afgeleid
worden?
A.
B.
C.
D.
½ log2 + 50 log(50e)
½ log2 + 50 log (200/e)
½ log 2π + 100 log(100 e)
½ log 2π + 50 log (100/e)
2011 – Juli Vraag 6
Gegeven: log 4 = 0,602
Bereken de volgende uitdrukking: 16 log 4 + 16 log 2 + 16 log 8
A.
B.
C.
D.
28,9
31,3
33,7
53,0
2011 – Augustus Vraag 7
Hoeveel bedraagt de waarde van de uitdrukking
A. 7e
B. 9e
C. e9
dr. Brenda Casteleyn
.
( )
www.keu6.be
Page 2
D. e7
2012 – Juli Vraag 4
Gegeven is de volgende uitdrukking:
(
.
)
Hoeveel bedraagt deze uitdrukking?
A.
B.
C.
D.
-7
–
–log 3
-3
2012 – Augustus Vraag 5
Gegeven is een logaritme met grondgetal 4:
Hoeveel bedraagt deze uitdrukking?
A.
B.
C.
D.
4
/
/
.
1/5
14/3
12/15
1/3
2013 - Juli Vraag 9 versie 1
Los de volgende vergelijking op naar x: 3x-1 = 83x
A. x =
B. x =
C. x =
D. x =
2013 - Juli Vraag 9 versie 2
Los de volgende vergelijking op naar x: 3x-1 = 8x
A. x =
B. x =
C. x =
dr. Brenda Casteleyn
www.keu6.be
Page 3
D. x =
2013 - Augustus Vraag 2
Gegeven is de volgende vergelijking 52x-1 = 2x
Welke uitdrukking voor x is correct?
A. x =
B. x =
C. x =
D. x =
2014 – Juli – Vraag 4 versie 1
We beschouwen de volgende ongelijkheid met absolute waarden:
│log2 (5x – 4) - 3│ ≤ 1
Om aan deze ongelijkheid te voldoen,
A. voldoet alleen x =0
B. voldoen zowel strikt positieve getallen als strikt negatieve getallen
C. voldoen geen strikt positieve getallen
D. voldoen geen strikt negatieve getallen
2014 – Juli – Vraag 4 versie 2
We beschouwen de volgende ongelijkheid met absolute waarden:
│log2 (5x + 4) - 3│ ≤ 1
Om aan deze ongelijkheid te voldoen,
A. voldoet alleen x =0
B. voldoen zowel strikt positieve getallen als strikt negatieve getallen
C. voldoen geen strikt positieve getallen
D. voldoen geen strikt negatieve getallen
3. Oplossingen oefeningen
2000 – Vraag 6
Gegeven: Voor grote waarden van n, kan n! = 1.2.3...n goed benaderd worden met de
formule van Stirling: n! = 2
( )
Het rechterlid van deze formule is bijzonder geschikt voor logaritmische benadering.
dr. Brenda Casteleyn
www.keu6.be
Page 4
Gevraagd: Welke van de volgende uitdrukkingen kan hieruit als benadering voor
log(100!/50!) afgeleid worden?
n! = 2
( )
 log n! = log( 2
log n! = 1/2 log (2
( ) )
log n! = 1/2 log (2
) + n log (n/e)
) + n log n – n log e
Bereken met deze formule: log(100!/50!) of log 100! – log 50!
= (½ log (2 100) + 100 log 100 – 100 log e) - (½ log (2 50) + 50 log 50 – 50 log e)
= ½ log (2 100) + 100 log 100 – 100 log e - ½ log (2 50) - 50 log 50 + 50 log e
= ½ log (2 100) + 100 log 100 – 50 log e - ½ log (2 50) - 50 log 50
= ½ log (2 100) + 100 log 100 – 50 log e - ½ log (2 100/2) - 50 log (100/2)
= ½ log (2 100) + 100 log 100 – 50 log e - ½ log (2 100) + ½ log2- 50 log 100 + 50log2
= 50 log 100+ ½ log2 – 50log e + 50 log2
= ½ log2 + 50 (log 100 – log e + log2)
= ½ log2 + 50 (log 100.2/e)
 Antwoord B
2011 – Juli Vraag 6
Gegeven: log 4 = 0,602
Gevraagd: Bereken de volgende uitdrukking: 16 log 4 + 16 log 2 + 16 log 8
Oplossing:
16 log 4 + 16 log 2 + 16 log 8 = 16(log4 + log 2 + log 8)
= 16 (log (4.2.8))
= 16 (log 4.4.4)
=16 (log 4 +log 4 + log 4
= 16(0,602 + 0.602 + 0.602)
dr. Brenda Casteleyn
www.keu6.be
Page 5
= 16 (1,806) = 28,896
 Antwoord A
2011 – Augustus Vraag 7
.
Gevraagd: Hoeveel bedraagt de waarde van de uitdrukking
Oplossing:
( )
Door gebruik te maken van eigenschappen van machten:
( )
.
=
.
( )
.
=
( )
.
=
( )
.
( )
Of ook door gebruik te maken van eigenschappen van logaritmen
.
( )
=
 Antwoord B
=
.
= 3.3. = 9
= 9.
2012 – Juli Vraag 4
Gegeven is de volgende uitdrukking:
(
.
)
Gevraagd: Hoeveel bedraagt deze uitdrukking?
Oplossing:
Het gaat over logaritme met grondgetal 1/3, dus de uitkomst is de macht die je aan 1/3 moet
geven om 81. 3 27 te bekomen.
.
(
.
)
.
.
= -3
dr. Brenda Casteleyn
www.keu6.be
Page 6
 Antwoord D
2012 – Augustus Vraag 5
Gegeven is een logaritme met grondgetal 4:
4
Gevraagd: Hoeveel bedraagt deze uitdrukking?
Oplossing:
4
/
/
4
/
4
/
4
/
4
/
4
/
= 14/3
/
.
.
/
.
/
.
.
/
 Antwoord B
2013 - Juli Vraag 9 versie 1
Gevraagd: Los de volgende vergelijking op naar x: 3x-1 = 83x
Oplossing:
ln(3x-1) =ln(83x)
(x-1) ln3= 3x ln8 (eigenschap)
x.ln 3 - ln3 = 3x. ln8
x.ln 3 - ln3 = 3x. ln23
x.ln 3 - ln3 = 3x.3 ln 2 (eigenschap)
x.ln 3 - 9x.ln 2 = ln3
x(ln3 - 9 ln2 )= ln3
dr. Brenda Casteleyn
www.keu6.be
Page 7
x =
 Antwoord A
2013 - Juli Vraag 9 versie 2
Gevraagd: Los de volgende vergelijking op naar x: 3x-1 = 8x
Oplossing:
Neem ln van elk lid:
ln(3x-1) = ln(8x)
(x-1)ln3 = x.ln8 (eigenschap)
xln3 - ln3 = x.ln8
xln3 - xln23 = ln3
xln3 - 3xln2 = ln3
x(ln3 - 3ln2) = ln3
x=
 Antwoord A
2013 - Augustus Vraag 2
Gegeven: vergelijking 52x-1 = 2x
Gevraagd: uitdrukking voor x?
Oplossing:
ln(52x-1) = ln(2x)
(2x-1) ln5 = x ln2
2x ln5 - ln5 = x ln2
2xln5 - x ln2 = ln5
x=
 Antwoord A
dr. Brenda Casteleyn
www.keu6.be
Page 8
2014 – Juli – Vraag 4 versie 1
Gegeven: We beschouwen de volgende ongelijkheid met absolute waarden:
│log2 (5x – 4) - 3│ ≤ 1
Gevraagd: waaraan moet x voldoen?
Oplossing:
We kunnen enkel een logaritme nemen van een positief getal, dus 5x-4 >0 of x >4/5
Opdat de absolute waarde ≤ 1 is, moeten we de negatieve en de positieve uitkomst van het
geheel berekenen:
Positief: log2 (5x – 4) – 3 ≤ 1
log2 (5x – 4) ≤ 1 + 3
log2 (5x – 4) ≤ 4
Dit betekent volgens definitie van logaritme dat: (5x-4) ≤ 2 4; dus (5x – 4) ≤ 16  x ≤ 4
Negatief: -( log2 (5x – 4) – 3) ≤ 1
log2 (5x – 4) – 3 ≥ -1 (ongelijkheid vermenigvuldigen met negatief getal, in dit geval met -1
verandert het ongelijkheidsteken)
log2 (5x – 4) ≥ -1 +3
log2 (5x – 4) ≥ 2
Dit betekent volgens definitie van logaritme dat: (5x-4) ≥ 2 2  x ≥ 8/5
X is dus groter of gelijk aan 8/5 en kleiner of gelijk aan 4, dus in ieder geval strikt positief
 Antwoord D
2014 – Juli – Vraag 4 versie 2
Gegeven: We beschouwen de volgende ongelijkheid met absolute waarden:
│log2 (5x + 4) - 3│ ≤ 1
Gevraagd: waaraan moet x voldoen?
Oplossing:
We kunnen enkel een logaritme nemen van een positief getal, dus 5x+4 >0 of x > -4/5
Opdat de absolute waarde ≤ 1 is, moeten we de negatieve en de positieve uitkomst van het
geheel berekenen:
Positief: log2 (5x + 4) – 3 ≤ 1
log2 (5x + 4) ≤ 1 +3
log2 (5x + 4) ≤ 4
Dit betekent volgens definitie van logaritme dat: (5x+4) ≤ 24; dus (5x + 4) ≤ 16  x ≤ 12/5
Negatief: - (log2 (5x + 4) – 3 )≤ 1
- log2 (5x + 4) + 3 ≤ 1 (haakjes weggewerkt)
- log2 (5x + 4) ≤ -2
log2 (5x + 4) ≥ 2 (ongelijkheid vermenigvuldigen met negatief getal verandert het
ongelijkheidsteken)
Dit betekent volgens definitie van logaritme dat: (5x+4) ≥ 22  x ≥ 0
dr. Brenda Casteleyn
www.keu6.be
Page 9
X is dus groter of gelijk aan 0 en kleiner of gelijk aan 12/5, dus in ieder geval strikt positief
 Antwoord D
dr. Brenda Casteleyn
www.keu6.be
Page 10

Download Report