Logica
1 Theologie: godsbewijs .......................................................................................................................... 3
1.1 Anselmus ....................................................................................................................................... 3
1.1.1 Godel ontologische argumenten ............................................................................................ 3
1.2 Bekijk dit ........................................................................................................................................ 5
2 Axiomata van Spinoza (logica om indruk te maken) ............................................................................ 6
2.1 Omnia quae sunt vel in se vel in alio sunt ..................................................................................... 6
2.2 Duits............................................................................................................................................... 7
2.3 Frans .............................................................................................................................................. 8
3 Propositie logica ................................................................................................................................. 10
3.1 Logische implicatie ...................................................................................................................... 10
3.1.1 Modus ponens ...................................................................................................................... 11
3.1.2 Modius nollens ..................................................................................................................... 12
3.2 Regels .......................................................................................................................................... 13
3.3 Voorbeelden ................................................................................................................................ 16
3.3.1 Alice in wonderland .............................................................................................................. 16
3.3.2 The Spanisch Inquisition ....................................................................................................... 16
Sketch ........................................................................................................................................ 16
3.3.3 Lewis Carroll: Achilles en de schildpad ................................................................................. 16
Verklaring .................................................................................................................................. 16
4 Intuitionisme ...................................................................................................................................... 17
4.1 Wet van de uitgesloten derde ..................................................................................................... 17
5 Relevante logica ................................................................................................................................. 17
6 Paraconsistent logica .......................................................................................................................... 18
7 Predicatenlogica ................................................................................................................................. 18
8 Intermezzo .......................................................................................................................................... 19
8.1 Leibniz law of identity................................................................................................................. 19
8.1.1 identity of indiscernibles ...................................................................................................... 19
8.2 Euclid infinitaly prime numbers .................................................................................................. 20
8.3 Wiskundige logica ........................................................................................................................ 20
8.3.1 Frege ..................................................................................................................................... 21
8.3.2 Russell ................................................................................................................................... 22
Principia Methematica .............................................................................................................. 23
1
Paradox ...................................................................................................................................... 23
9 Role of logic ........................................................................................................................................ 25
9.1 Famous paradoxes....................................................................................................................... 25
9.1.1
Peano curve .......................................................................................................... 25
Constructie ................................................................................................................................ 26
9.1.2
Mysterious square.................................................................................................. 27
9.1.3
Paradox Zeno ....................................................................................................... 28
9.1.4 Rumsfeld quotes................................................................................................................... 29
Life ............................................................................................................................................. 29
10 Mark Tansey ..................................................................................................................................... 29
10.1 Interpretatie .............................................................................................................................. 29
2
1 Theologie: godsbewijs
1.1 Anselmus
See document(s): Anselmus_van_Canterbury
Anselmus van Canterbury was de eerste die een logisch bewijs van het bestaan van God formuleerde. Dit
zogeheten ontologisch godsbewijs laat zich als volgt samenvatten:
God is, per definitie, het volmaaktste wezen dat denkbaar is. In Proslogion, hoofdstukken 2-4, wordt dit in 2
varianten verwoord: God is 'iets, groter dan hetwelk niets gedacht kan worden' (aliquid quo nihil maius cogitari
possit/potest/non valet) en God is 'datgene, groter dan hetwelk niets gedacht kan worden' (id quo maius
cogitari nequit/non potest).
Het is beter te bestaan dan niet te bestaan, dus iets wat niet bestaat kan nooit volmaakt zijn.
Een niet bestaande God is minder volmaakt dan een bestaande.
Dus moet God bestaan.
Dit bewijs werd in de twintigste eeuw geformaliseerd met behulp van de modale logica door Kurt Gödel.
Hoewel de constructie logisch juist is, volgt de conclusie niet logisch, nu uit het enkele feit dat men zich iets
perfects kan voorstellen niet logisch volgt dat hetgeen voorgesteld wordt ook daadwerkelijk moet bestaan.
1.1.1 Godel ontologische argumenten
See document(s): ontological-arguments
Gödel's Ontological Argument
There is a small, but steadily growing, literature on the ontological arguments which Gödel developed in his
notebooks, but which did not appear in print until well after his death. These arguments have been discussed,
annotated and amended by various leading logicians: the upshot is a family of arguments with impeccable
logical credentials. (Interested readers are referred to Sobel 1987, Anderson 1990, Adams 1995b, and Hazen
1999 for the history of these arguments, and for the scholarly annotations and emendations.) Here, I shall give
a brief presentation of the version of the argument which is developed by Anderson, and then make some
comments on that version. This discussion follows the presentation and discussion in Oppy 1996, 2000.
Definition 1: x is God-like if and only if x has as essential properties those and only those properties which are
positive
Definition 2: A is an essence of x if and only if for every property B, x has B necessarily if and only if A entails
B
Definition 3: x necessarily exists if and only if every essence of x is necessarily exemplified
3
Axiom 1: If a property is positive, then its negation is not positive.
Axiom 2: Any property entailed by—i.e., strictly implied by—a positive property is positive
Axiom 3: The property of being God-like is positive
Axiom 4: If a property is positive, then it is necessarily positive
Axiom 5: Necessary existence is positive
Axiom 6: For any property P, if P is positive, then being necessarily P is positive.
Theorem 1: If a property is positive, then it is consistent, i.e., possibly exemplified.
Corollary 1: The property of being God-like is consistent.
Theorem 2: If something is God-like, then the property of being God-like is an essence of that thing.
Theorem 3: Necessarily, the property of being God-like is exemplified.
Given a sufficiently generous conception of properties, and granted the acceptability of the underlying modal
logic, the listed theorems do follow from the axioms. (This point was argued in detail by Dana Scott, in lecture
notes which circulated for many years and which were transcribed in Sobel 1987 and published in Sobel 2004.
It is also made by Sobel, Anderson, and Adams.) So, criticisms of the argument are bound to focus on the
axioms, or on the other assumptions which are required in order to construct the proof.
Some philosophers have denied the acceptability of the underlying modal logic. And some philosophers have
rejected generous conceptions of properties in favour of sparse conceptions according to which only some
predicates express properties. But suppose that we adopt neither of these avenues of potential criticism of the
proof. What else might we say against it?
One important point to note is that no definition of the notion of “positive property” is supplied with the proof.
At most, the various axioms which involve this concept can be taken to provide a partial implicit definition. If
we suppose that the “positive properties” form a set, then the axioms provide us with the following
information about this set:
If a property belongs to the set, then its negation does not belong to the set.
The set is closed under entailment.
4
The property of having as essential properties just those properties which are in the set is itself a member of
the set.
The set has exactly the same members in all possible worlds.
The property of necessary existence is in the set.
If a property is in the set, then the property of having that property necessarily is also in the set.
On Gödel's theoretical assumptions, we can show that any set which conforms to (1)–(6) is such that the
property of having as essential properties just those properties which are in that set is exemplified. Gödel
wants us to conclude that there is just one intuitive, theologically interesting set of properties which is such
that the property of having as essential properties just the properties in that set is exemplified. But, on the one
hand, what reason do we have to think that there is any theologically interesting set of properties which
conforms to the Gödelian specification? And, on the other hand, what reason do we have to deny that, if there
is one set of theologically interesting set of properties which conforms to the Gödelian specification, then there
are many theologically threatening sets of properties which also conform to that specification?
In particular, there is some reason to think that the Gödelian ontological argument goes through just as well—
or just as badly—with respect to other sets of properties (and in ways which are damaging to the original
argument). Suppose that there is some set of independent properties {I, G1, G2, …} which can be used to
generate the set of positive properties by closure under entailment and “necessitation”. (“Independence”
means: no one of the properties in the set is entailed by all the rest. “Necessitation” means: if P is in the set,
then so is necessarily having P. I is the property of having as essential properties just those properties which are
in the set. G1, G2, … are further properties, of which we require at least two.) Consider any proper subset of
the set {G1, G2, …}—{H1, H2, …}, say—and define a new generating set {I*, H1, H2, …}, where I* is the property
of having as essential properties just those properties which are in the newly generated set. A “proof” parallel
to that offered by Gödel “establishes” that there is a being which has as essential properties just those
properties in this new set. If there are as few as 7 independent properties in the original generating set, then
we shall be able to establish the existence of 720 distinct“God-like” creatures by the kind of argument which
Gödel offers. (The creatures are distinct because each has a different set of essential properties.)
Even if the above considerations are sufficient to cast doubt on the credentials of Gödel's “proof”, they do not
pinpoint where the “proof” goes wrong. If we accept that the role of Axioms 1, 2, 4, and 6 is really just to
constrain the notion of “positive property” in the right way—or, in other words, if we suppose that Axioms 1, 2,
4, and 6 are “analytic truths” about “positive properties”—then there is good reason for opponents of the
“proof” to be sceptical about Axioms 3 and 5. Kant would not have been happy with Axiom 5; and there is at
least some reason to think that whether the property of being God-like is “positive” ought to depend upon
whether or not there is a God-like being.
1.2 Bekijk dit
See document(s): watch
5
2 Axiomata van Spinoza (logica om indruk te maken)
2.1 Omnia quae sunt vel in se vel in alio sunt
6
Bron
Leiden, 1973
2.2 Duits
I. Omnia, quae sunt, vel in se, vet in alio sunt.
II. Id, quod per aliud non potest concipi, per se concipi debet.
III. Ex data causa determinata necessario sequitur effectus, & contra, si nulla detur determinata causa,
impossibile est, ut effectus sequatur.
IV. Effectus cognitio a cognitione causae dependet, & eandem involvit.
7
V. Quae nihil commune cum se invicem habent, etiam per se invicem intelligi non possunt, sive conceptus unius
alterius conceptum non involvit.
VI. Idea vera debet cum suo ideato convenire.
VII. Quicquid, ut non existens, potest concipi, ejus essentia non involvit existentiam.
Duitse vertaling
1. Alles, was ist, ist entweder in sich oder in einem anderen.
2. Was durch ein anderes nicht begriffen werden kann, muß durch sich selbst begriffen werden.
3. Aus einer gegebenen bestimmten Ursache folgt notwendig eine Wirkung; und umgekehrt, wenn keine
bestimmte Ursache gegeben ist, kann unmöglich eine Wirkung erfolgen.
4. Die Erkenntnis der Wirkung hängt von der Erkenntnis der Ursache ab und schließt diese ein.
5. Dinge, die nichts miteinander gemein haben, können auch nicht wechselseitig auseinander erkannt werden,
oder der Begriff des einen schließt den Begriff des anderen nicht ein.
6. Eine wahre Idee muß mit ihrem Gegenstand übereinstimmen.
7. Was als nicht existierend begriffen werden kann, dessen Wesen schließt die Existenz nicht ein.
2.3 Frans
See document(s): Spinoza_et_Nous:%C3%89thique_traduction_SN
Latin
Traduction Saisset
Traduction S&N
1. Omnia, quae sunt, vel in
se, vel alio sunt.
I. Tout ce qui est, est en soi ou
en autre chose.
I. Tout ce qui est, est ou bien en
soi ou bien en autre chose.
2. Id, quod per aliud non
potest concipi, per se concipi
debet.
II. Une chose qui ne peut se
concevoir par une autre doit
être conçue par soi.
II. Ce qui ne peut se concevoir par
autre chose doit se concevoir par
soi.
3. Ex datâ causâ determinatâ
necessariò sequitur effectus,
et contrà, si nulla detur
determinata causa,
impossibile est, ut effectus
sequatur.
III. Étant donnée une cause
déterminée, l'effet suit
nécessairement ; et au
contraire, si aucune cause
déterminée n'est donnée, il est
impossible que l'effet suive.
III. Étant donnée une cause
déterminée, un effet s'ensuit
nécessairement et si, au contraire,
aucune cause déterminée n'est
donnée, il est impossible qu'un
effet s'ensuive.
4. Effectûs cognitio à
cognitione causae dependet,
et eandem involvit.
IV. La connaissance de l'effet
IV. La connaissance de l'effet
dépend de la connaissance de la dépend de la connaissance de la
cause, et elle l'enveloppe.
cause, et elle l'enveloppe.
5. Quae nihil commune cum
se invicem habent, etiam per
se invicem intelligi non
possunt, sive conceptus unius
V. Les choses qui n'ont entre
elles rien de commun ne
peuvent se concevoir l'une par
l'autre, ou en d'autres termes, le
V. Les choses qui n'ont entre elles
rien de commun ne peuvent pas
plus se comprendre l'une par
l'autre ; en d'autres termes, le
8
alterius conceptum non
involvit.
concept de l'une n'enveloppe
pas le concept de l'autre.
concept de l'une n'enveloppe pas
le concept de l'autre.
6. Idea vera debet cum suo
ideato convenire.
VI. Une chose vraie doit
s'accorder avec son objet.
VI. L'idée vraie doit s'accorder
avec ce dont elle est l'idée.
7. Quicquid, ut non existens,
potest concipi, ejus essentia
non involvit existentiam.
VII. Quand une chose peut être
conçue comme n'existant pas,
son essence n'enveloppe pas
l'existence.
VII. Quand on peut concevoir
qu'une chose, quelle qu'elle soit,
n'existe pas, son essence
n'enveloppe pas l'existence.
Proposition 1
Latin
Traduction Saisset
Substantia prior est naturâ
suis affectionibus.
La substance est antérieure en
nature à ses affections.
Demonstratio : Patet ex Def.
3 et 5.
Démonstration : Cela est
évident par les Déf. 3 et 5*.
Traduction S&N
La substance précède par nature
ses affections. Démonstration
: C'est évident d'après les
définitions 3 et 5.
Proposition 2
Latin
Traduction Saisset
Traduction S&N
Duae substantiae, diversa
attributa habentes, nihil inter
se commune habent.
Entre deux substances qui ont
des attributs divers, il n'y a rien
de commun.
Deux substances ayant des
attributs différents n'ont rien de
commun entre elles.
Demonstratio : Patet etiam
ex Def. 3. Unaquaeque enim
in se debet esse, et per se
debet concipi, sive conceptus
unius conceptum alterius non
involvit.
Démonstration : Cela résulte
aussi de la Déf. 3. Chacune de
ces substances, en effet, doit être
en soi et être conçue par soi ; en
d'autres termes, le concept de
l'une d'elles n'enveloppe pas
celui de l'autre.
Démonstration : C'est également
évident d'après la définition 3.
Chacune, en effet, doit être en soi
et doit être conçue par soi, en
d'autres termes le concept de
l'une n'enveloppe pas le concept
de l'autre.
Traduction Saisset
Traduction S&N
Proposition 3
Latin
Quae res nihil commune inter
se habent, earum una alterius
causa esse non
potest. Demonstratio : Si nihil
commune cum se invicem
habent, ergo (per Ax. 5) nec
Si deux choses n'ont rien de
Des choses qui n'ont rien de
commun, l'une d'elles ne peut être commun entre elles ne peuvent être
cause de l'autre.
cause l'une de l'autre.
Démonstration : Et en effet,
Démonstration : Si elles n'ont rien
n'ayant rien de commun, elles ne de commun entre elles, elles ne
peuvent être conçues l'une par
peuvent donc être comprises l'une à
9
per se invicem possunt
intelligi, adeóque (per Ax. 4)
una alterius causa esse non
potest. Q.E.D.
l'autre (en vertu de l'axiome 5)*, et partir de l'autre (par l'axiome 5) et
par conséquent, l'une ne peut être dès lors l'une ne peut être cause de
cause de l'autre (en vertu de
l'autre (par l'axiome 4). C.Q.F.D.
l'axiome 4*). C. Q. F. D.
3 Propositie logica
3.1 Logische implicatie
See document(s): Logische_implicatie
De logische implicatie is in de logica een bewering die stelt dat als P waar is, Q ook waar is. Deze bewering is
alleen onwaar als het antecedent P waar is en het consequent Q onwaar is. De waarheid van het geheel hangt
alleen af van de waarheidswaarden van de samenstellende delen en niet van hun betekenis, wat soms tot
tegenintuïtieve resultaten leidt. Om dit te benadrukken wordt de implicatie ook wel materiële implicatie
genoemd.
De implicatie wordt aangegeven met een pijl. "Als P dan Q" wordt bijvoorbeeld geschreven als P → Q. De
samenstelling P → Q → R dient gelezen te worden als P → (Q → R).
De waarheidstabel van de implicatie is als volgt:
Een logische implicatie \scriptstyle P \rightarrow Q is logisch equivalent aan \scriptstyle \neg P \lor Q. Dit wil
zeggen dat beide formules dezelfde waarheidswaarde hebben voor alle mogelijke toekenningen van waar en
onwaar aan P en Q.
Valkuilen van de implicatie
Stel dat gegeven zijn de uitspraken A→B en A. Hieruit valt B te concluderen. Immers, als gegeven is dat we
morgen gaan picknicken, in het geval dat morgen de zon schijnt (A→B) en bovendien dat morgen de zon
schijnt, is de conclusie dat we morgen gaan picknicken.
Stel nu dat gegeven zijn de uitspraken A→B en ¬B. Hieruit valt ¬A te concluderen. Immers, stel dat morgen de
zon schijnt. Gegeven is dat áls morgen de zon schijnt, dat we dan gaan picknicken morgen. Dus we gaan
morgen picknicken. Het was echter ook gegeven dat we morgen niet gaan picknicken (¬B). Hier hebben we
10
blijkbaar te maken met een tegenspraak. De aanname dat morgen de zon schijnt is hier foutief. De geldige
conclusie is dus ¬A. Deze manier van bewijzen wordt overigens een 'bewijs uit het ongerijmde' genoemd.
Conversationele implicatuur
Stel dat gegeven zijn de uitspraken A→B en ¬A. Hieruit valt logisch gezien niets te concluderen. Het is een
misverstand te denken dat A→B impliceert dat ¬A → ¬B. In het dagelijkse taalgebruik echter, is dat vaak wel zo.
Bijvoorbeeld als een vader tegen zijn kind zegt: "Als je je gedraagt, krijg je een snoepje". Hiermee bedoelt de
vader doorgaans ook: "Als je je niet gedraagt, krijg je geen snoepje". In de formele logica is dat echter niet zo.
A→B zegt niet meer dan dat A B impliceert.
Een dergelijke gevolgtrekking die niet geldig is in de propositielogica, maar in het alledaagse taalgebruik wel
gangbaar is, wordt een conversationale implicatuur genoemd.
3.1.1 Modus ponens
See document(s): Modus_ponens
Modus ponendo ponens (Latijn: wijs die door te stellen (bevestigen) [iets] stelt (bevestigt), ponere→"(neer)
zetten") is een geldige propositionele redeneringsvorm (wel afgekort tot MP) met twee premissen, waarvan de
eerste een voorwaardelijke uitspraak is:
Als P, dan Q.
P.
Dus Q.
of in logische operatornotatie:
P→Q
P
Q
De redenering heeft twee premissen. De eerste is de "als-dan"- of voorwaardelijke uitspraak, namelijk dat P Q
impliceert. De tweede premisse is dat P, het antecedent van het syllogisme, waar is. Uit deze twee premissen
leid je af dat Q, het consequent van de eerste premisse, waar is.
Een voorbeeld van een syllogisme in de vorm van een modus ponens is:
11
Als democratie de beste staatsvorm is, moet iedereen stemmen.
Democratie is de beste staatsvorm.
Iedereen moet stemmen.
Het feit dat de redenering geldig is, verzekert ons er niet van dat de gebruikte stellingen waar zijn. De
geldigheid van de modus ponens vertelt ons enkel dat de conclusie waar moet zijn, indien alle premissen waar
zijn.
3.1.2 Modius nollens
Modus tollendo tollens
Modus tollendo tollens (Latijn: "modus die wegneemt (ontkent) door weg te nemen (ontkennen)") is een
geldige propositionele afleidingsregel met twee premissen, waarvan de eerste een voorwaardelijke uitspraak is
waarvan de consequens door de tweede premisse wordt ontkend, en wordt wel afgekort tot MT.
Als P, dan Q.
Niet Q.
Dan niet P.
of in logische-operatornotatie:
P→Q
¬Q
¬P
De redenering heeft twee premissen. De eerste is de voorwaardelijke "als-dan"-bewering, namelijk dat P Q
impliceert. De tweede premisse is dat Q onwaar is. Uit deze twee premissen moet logisch worden afgeleid dat
P onwaar is. (Namelijk: als P waar was, zou Q ook waar zijn, op grond van premisse 1, maar op grond van
premisse 2 is Q onwaar).
Een voorbeeld:
Als hier brand is, is er hier zuurstof.
12
Er is hier geen zuurstof.
Dan is er geen brand.
Het feit dat de redenering geldig is, verzekert ons er niet van dat de gebruikte stellingen waar zijn. De
geldigheid van de modus tollens vertelt ons enkel dat de conclusie waar moet zijn, indien alle premissen waar
zijn.
Modus ponendo tollens
Modus ponendo tollens (Latijn: "modus die wegneemt (ontkent) door te stellen (bevestigen)") is een geldige
propositionele afleidingsregel met twee premissen, waarvan de eerste twee (elkaar uitsluitende)
mogelijkheden geeft en de tweede een van deze mogelijkheden bevestigt, waardoor de andere mogelijkheid
wordt uitgesloten. Deze modus wordt soms afgekort tot MPT.[1]
P en Q zijn niet beide het geval
P
Dus niet Q
of in logische-operatornotatie:
¬(P ∧ Q)
P
¬Q
Een concreet voorbeeld:
Barcelona en Manchester kunnen niet beide de finale winnen.
Barcelona wint.
Dus Manchester wint niet.
3.2 Regels
See document(s): Propositielogica
13
De propositielogica gaat over het redeneren met proposities. Een propositie is een uitspraak die waar of
onwaar kan zijn. Proposities kunnen enkelvoudig zijn ("Morgen schijnt de zon." of "We gaan morgen
picknicken."), maar ook samengesteld zijn uit twee of meer andere proposities met behulp van voegwoorden,
in deze context ook connectieven genoemd ("Morgen schijnt de zon en we gaan morgen picknicken", "Als
morgen de zon schijnt, gaan we morgen picknicken").
In de propositielogica worden de volgende connectieven gebruikt om proposities samen te stellen:
negatie (ontkenning): ~A of ¬A (niet A)
conjunctie: A ∧ B (A en B)
disjunctie: A ∨ B (A of B)
implicatie (gevolgtrekking): A → B (als A, dan B)
equivalentie (gelijkwaardigheid): A ↔ B (A dan en slechts dan als B)
In de propositielogica hangt de waarheid van samengestelde proposities alleen af van het gebruikte connectief
en van de waarheid van de samenstellende delen. Zo is A∧B waar, als A en B beide waar zijn, terwijl A ∨ B waar
is, als A waar is, B waar is, of zowel A als B waar zijn.
Stel bijvoorbeeld dat A voor de enkelvoudige propositie "Morgen schijnt de zon" staat, en B voor "We gaan
morgen picknicken". Dan geldt:
A ∨ B is de uitspraak: Morgen schijnt de zon of we gaan morgen picknicken. Deze uitspraak is waar als
morgen inderdaad de zon schijnt of als we gaan picknicken of allebei, en onwaar als morgen de zon niet schijnt
en we ook niet gaan picknicken.
A ∧ B is de uitspraak: Morgen schijnt de zon en we gaan morgen picknicken. Deze uitspraak is waar als
morgen de zon schijnt en we ook gaan picknicken. Als de zon morgen niet schijnt, of het niet het geval is dat we
gaan picknicken, is de uitspraak onwaar.
A → B is de uitspraak: Als morgen de zon schijnt, gaan we morgen picknicken. Aangezien de waarheid van
deze uitspraak alleen af mag hangen van de waarheid van de samenstellende delen, vinden veel mensen de
implicatie tegenintuïtief. Als de zon schijnt en we niet gaan picknicken, is de uitspraak uiteraard niet waar. In
alle andere gevallen, als de zon niet schijnt, of als de zon wel schijnt en we ook gaan picknicken, is de uitspraak
waar. Zo komen we tot de conclusie dat de uitspraak hetzelfde betekent als "Morgen schijnt de zon niet of we
gaan morgen picknicken".
¬A is de uitspraak: Morgen schijnt de zon niet. Deze uitspraak is waar als de zon niet schijnt, en onwaar als de
zon wel schijnt.
14
De bewering A∨B is waar als ten minste een van de twee beweringen waar is. De bewering is dus ook waar als
beide beweringen waar zijn, iets wat in natuurlijke taal vaak niet zo bedoeld wordt. Dus er geldt:
"1=1" \lor "2=2" is waar,
"1=1" \lor "1=2" is waar, maar
"1=2" \lor "2=1" is niet waar.
Hoewel waarheid een basisbegrip van de propositielogica is, richt ze zich ook vooral op geldigheid en
onvervulbaarheid. Een propositie is geldig wanneer ze altijd waar is, onafhankelijk van welke
waarheidswaarden aan de enkelvoudige proposities wordt toegekend. Zo is de propositie (A ∧ B) ↔ ¬(¬A ∨ ¬B)
altijd waar. Een propositie is onvervulbaar wanneer ze altijd onwaar is. Ook onderzoekt de logica de geldigheid
van redeneerstappen. Als A een ware propositie is en A → B ook, dan is een B ook een ware propositie. Dit
geldt voor alle waarheidswaarden van A en B. Uit de premissen A en A → B kunnen we dus de conclusie B
afleiden (deze redeneerregel wordt ook modus ponens genoemd).
Syntaxis en semantiek
Als men over propositielogica spreekt, heeft men het meestal over de klassieke propositielogica. Hieronder
wordt de syntaxis en semantiek van deze logica gegeven.
Formules
Laat een aftelbaar oneindige verzameling van enkelvoudige proposities, ook propositievariabelen genoemd,
gegeven zijn. Dan definiëren we de verzameling van formules als de kleinste verzameling waarvoor geldt:
propositievariabelen: als p een propositievariabele is, dan is p ook een formule;
conjunctie: als A en B formules zijn, dan is ook (A ∧ B) een formule;
disjunctie: als A en B formules zijn, dan is ook (A ∨B) een formule;
negatie: als A een formule is, dan is ook ¬A een formule.
Bovendien definiëren we de volgende afkortingen:
implicatie: (A → B) betekent:¬A ∧ B.
15
equivalentie: (A <> B) betekent: (A → B) ∧ (B → A).
3.3 Voorbeelden
3.3.1 Alice in wonderland
See document(s): 2933712-alice-s-adventures-in-wonderland
“Take some more tea," the March Hare said to Alice, very earnestly.
"I've had nothing yet," Alice replied in an offended tone, "so I can't take more."
"You mean you can't take less," said the Hatter: "it's very easy to take more than nothing."
"Nobody asked your opinion," said Alice.”
― Lewis Carroll, Alice in Wonderland
3.3.2 The Spanisch Inquisition
See document(s): The_Spanish_Inquisition
The Spanish Inquisition is een van de populairste Monty Python sketches uit het televisieprogramma Monty
Python's Flying Circus. De belangrijkste catchphrase in deze sketch is: Nobody expects the Spanish Inquisition!
(Niemand verwacht de Spaanse Inquisitie).
Niemand die gezond van geest is zou deze vorm van Spaanse Inquisitie verwacht hebben. De inquisiteurs
gebruiken extreme martelmethoden als prikken met zachte kussens (poking with soft cushions) en gedwongen
zitten in een comfortabele stoel (comfy chair) om een bekentenis van een ketter (een huisvrouw) af te
dwingen. De inquisitie heeft veel problemen met het starten van hun onderzoek omdat ze verzanden in
recitaties van hun belangrijkste wapens (chief weapons), waaronder angst, verrassing, meedogenloze
doelmatigheid, een bijna fanatieke toewijding aan de paus en mooie rode uniformen (fear, surprise, ruthless
efficiency, an almost fanatical devotion to the Pope, and nice red uniforms).
Dit was een gedurende de aflevering steeds terugkerende sketch, altijd voorafgegaan door een ongerelateerde
sketch waarin een van de figuren geïrriteerd reageert op ondervraging: Ik had die Spaanse Inquisitie niet
verwacht. (I didn't expect a kind of Spanish Inquisition!). Op dat punt stormt de Inquisitie - bestaande uit de
kardinaals Ximinez (Michael Palin), Biggles (Terry Jones) en Fang (Terry Gilliam) - de kamer binnen. Ximinez
roept dan uit Níemand verwacht de Spaanse Inquisitie met bijzondere nadruk op de eerste lettergreep
(Nobody expects the Spanish Inquisition!). Deze uitspraak is een veelgebruikte catch phrase.
Sketch
See document(s): watch
3.3.3 Lewis Carroll: Achilles en de schildpad
See document(s): achilles.htm
Verklaring
See document(s): What_the_Tortoise_Said_to_Achilles
16
4 Intuitionisme
See document(s): Intu%C3%AFtionisme
Intuïtionistische uitgangspunten
Grondvestend principe in het intuïtionisme is de menselijke ervaring van tijd. Hieruit volgt onder andere dat
wiskundige objecten in de loop van de tijd worden geconstrueerd (in de menselijke geest). De tijd wordt hierbij
gezien als een stap-voor-stap proces: 0, 1, 2, ...enzovoorts. De zogeheten 'natuurlijke getallen' (0, 1, 2, ...)
kunnen we op deze manier in gedachten construeren. Ook de verzameling van de natuurlijke getallen
\mathbb{N} kunnen we construeren, alleen is de constructie nooit klaar. Deze visie van potentieel oneindig
contrasteert met het klassieke oneindigheidsbegrip. In de klassieke wiskunde gaat men ervan uit dat men ook
oneindige verzamelingen zoals \mathbb{N} in één keer kan overzien.
In het intuïtionisme bestaan wiskundige objecten alleen als ze in de loop van de tijd geconstrueerd kunnen
worden, en het enige geldige bewijs van bestaan is een recept voor een dergelijke constructie. Dat wil zeggen,
het intuïtionisme verwerpt de bewijsmethode van het bewijs uit het ongerijmde: Indien men aanneemt dat iets
niet bestaat, en daaruit een tegenspraak afleidt, geldt dat niet als een bewijs dat het bestaat. Immers, uit de
tegenspraak volgt nog geen recept voor constructie.
Intuïtionistische formele logica
In de intuïtionistische formele logica, die contrasteert met de klassieke logica, is derhalve de regel van de
uitgesloten derde (voor elke uitspraak P geldt: P is waar OF 'niet P ' is waar) niet geldig. Deze regel, die sinds de
klassieke oudheid in de wiskunde is toegepast, werd door Brouwer bestreden. De eerste formalisering van het
intuïtionisme werd voltooid in 1928 door Arend Heyting. Brouwer zelf was niet onder de indruk; hij noemde
Heytings werk een 'steriele exercitie'.[1]
Intuïtionistische formele logica wordt veel gebruikt in de informatica. Een van de redenen hiervoor is dat
algoritmische berekenbaarheid van wiskundige entiteiten samenhangt met een bewijs van bestaan in de
intuïtionistische logica. Een andere reden is dat correctheidsbewijzen van algoritmen makkelijker verlopen via
intuïtionistische logica.
4.1 Wet van de uitgesloten derde
See document(s): Wet_van_de_uitgesloten_derde
De wet van de uitgesloten derde of van het uitgesloten midden, ook wel tertium non datur (Lat., "een derde is
niet gegeven"), is een logische wet die inhoudt dat iedere uitspraak waar of onwaar is; een andere, derde,
mogelijkheid is er niet. De 'uitgesloten derde' is dus iedere andere denkbare waarheidswaarde. Een logica die
voldoet aan de wet heet klassiek. Logica's die niet voldoen aan de wet zijn de intuïtionistische en de
verschillende meerwaardige logica's.
5 Relevante logica
See document(s): logic-relevance
Relevance logics are non-classical logics. Called ‘relevant logics’ in Britain and Australasia, these systems
developed as attempts to avoid the paradoxes of material and strict implication. Among the paradoxes of
material implication are
17
p → (q → p).
¬p → (p → q).
(p → q) ∨(q → r).
Among the paradoxes of strict implication are the following:
(p & ¬p) → q.
p → (q → q).
p → (q ∨¬q).
Many philosophers, beginning with Hugh MacColl (1908), have claimed that these theses are counterintuitive.
They claim that these formulae fail to be valid if we interpret → as representing the concept of implication that
we have before we learn classical logic. Relevance logicians claim that what is unsettling about these so-called
paradoxes is that in each of them the antecedent seems irrelevant to the consequent.
6 Paraconsistent logica
See document(s): logic-paraconsistent
7 Predicatenlogica
See document(s): Predicatenlogica
Predicatenlogica is wiskundig-formele logica waarin expliciet predicaten voorkomen, waarmee eigenschappen
van en relaties tussen verzamelingen objecten worden beschreven. Vaak wordt met de term meer specifiek
de eerste-orde-predicatenlogica bedoeld.
Eerste-orde-predicatenlogica
De eerste-orde-predicatenlogica is een uitbreiding van de propositielogica. De taal is uitgebreid met
constanten, variabelen, predicaten en soms ook functiesymbolen. Een propositie is een speciaal geval van een
predicaat, namelijk een predicaat met ariteit nul. De taal van de predicatenlogica bevat verder twee
kwantoren: de universele kwantor \forall
en de existentiële kwantor \exists
.
18
In de propositielogica kan een propositie als Wikipedia is een encyclopedie uitgedrukt worden met een letter,
bijvoorbeeld P. In de predicatenlogica kan dit worden uitgedrukt met een predicaat dat een encyclopedie zijn
vertegenwoordigt, bijvoorbeeld met de letter E aangegeven, en een constante voor Wikipedia, bijvoorbeeld w.
De bewering Wikipedia is een encyclopedie kan dan worden uitgedrukt met de formule: E(w). Een atomaire
propositie is in de predicatenlogica een formule zonder voegtekens (connectieven).
Als we het predicaat nuttig zijn uitdrukken met de letter N, kunnen we de zin Als Wikipedia een encyclopedie
is, is Wikipedia nuttig als volgt met een predicaatlogische formule representeren: E(w) → N(w).
Ook een uitdrukking als Alle encyclopedieën zijn nuttig kan in predicatenlogica worden uitgedrukt, bijvoorbeeld
als: \forallx: (E(x) → N(x)). De formele taal waarin de logica werkt, legt het aantal constanten, relaties en
functies en de ariteit van de relaties en functies vast. Deze gegevens vormen het similariteitstype.
Hogere-orde-predicatenlogica
Men onderscheidt predicatenlogica's van verschillende ordes:
binnen de eerste orde predicatenlogica kan enkel geprediceerd worden over constanten en variabelen;
binnen de tweede orde predicatenlogica kan ook over eerste-orde-predicaten geprediceerd worden;
in het algemeen kan in n-de-orde predicatenlogica's geprediceerd worden over predicaten van orde ten
hoogste n-1.
Deze ordening wordt aangebracht om de Russellparadox te vermijden.
Een eenvoudig voorbeeld van prediceren over een predicaat, is als belangrijk zijn wordt uitgedrukt met B, en
we nuttig zijn is belangrijk uitdrukken met: B(N). De zin Wikipedia is nuttig en nuttig zijn is belangrijk zouden we
vervolgens kunnen weergeven als: N(w) \land B(N). Het voegteken \land is de conjunctie. Het symbool & wordt
hier ook wel voor gebruikt.
8 Intermezzo
8.1 Leibniz law of identity
See document(s): identity-indiscernible
8.1.1 identity of indiscernibles
See document(s): Identity_of_indiscernibles
19
8.2 Euclid infinitaly prime numbers
See document(s): Euclid%27s_theorem
Euclid offered the following proof published in his work Elements (Book IX, Proposition 20),[1] which is
paraphrased here.
Consider any finite list of prime numbers p1, p2, ..., pn. It will be shown that at least one additional prime
number not in this list exists. Let P be the product of all the prime numbers in the list: P = p1p2...pn. Let q = P +
1. Then q is either prime or not:
If q is prime, then there is at least one more prime than is in the list.
If q is not prime, then some prime factor p divides q. If this factor p were on our list, then it would divide P
(since P is the product of every number on the list); but p divides P + 1 = q. If p divides P and q, then p would
have to divide the difference[2] of the two numbers, which is (P + 1) − P or just 1. Since no prime number
divides 1, this would be a contradiction and so p cannot be on the list. This means that at least one more prime
number exists beyond those in the list.
This proves that for every finite list of prime numbers there is a prime number not on the list, and therefore
there must be infinitely many prime numbers.
Euclid is often erroneously reported to have proved this result by contradiction, beginning with the assumption
that the set initially considered contains all prime numbers, or that it contains precisely the n smallest primes,
rather than any arbitrary finite set of primes.[3] Although the proof as a whole is not by contradiction (it does
not assume that only finitely many primes exist), a proof by contradiction is within it, which is that none of the
initially considered primes can divide the number q above.
8.3 Wiskundige logica
See document(s): Wiskundige_logica
De wiskundige logica is een deelgebied van de wiskunde. De wiskundige logica wordt onderverdeeld in de vier
deelgebieden verzamelingenleer, bewijstheorie, modeltheorie en berekenbaarheid. Zo is in de wiskunde de
groepentheorie verbonden met de verzamelingenleer, de getaltheorie met de bewijstheorie en is de
berekenbaarheid een onderdeel van de computationele complexiteitstheorie. Onderzoek op het gebied van de
wiskundige logica heeft bijgedragen aan de grondslagen van de wiskunde, die weer de logica in het algemeen
ondersteunden. Maar er zijn ook onderdelen van de wiskundige logica die zich niet met grondslag van de
wiskunde bezig houden. De wiskundige logica geeft de voorwaarden aan, waaraan een wiskundig bewijs moet
voldoen.
Vroeger werd de wiskundige logica ook wel symbolische logica genoemd en op één lijn getrokken met
disciplines waar qua onderzoeksgebied enige overlap mee is, met name met de filosofische logica en de
metawiskunde. De eerste discipline betreft vooral de algemene logica, maar wordt soms ook nog gebruikt voor
de wiskundige logica. Metawiskunde heeft vooral betrekking op bepaalde aspecten van de bewijstheorie.
Geschiedenis
18e eeuw
20
Wiskundigen met een filosofische achtergrond, zoals Gottfried Leibniz en Johann Heinrich Lambert probeerden
al in de 18e eeuw de formele wiskunde vanuit een symbolische of algebraïsche benadering te behandelen,
maar hun werk bleef grotendeels onbekend.
19e eeuw
In het midden van de 19e eeuw kwamen George Boole en Augustus De Morgan met een systematische logica.
Dit werk was gebaseerd op eerder onderzoek van algebraci, zoals George Peacock. De traditionele,
aristotelische logica werd hervormd en uitgebreid als instrument om de grondslagen van de wiskunde]te
onderzoeken. Aristoteles' leer van het syllogisme en Euclides' vlakke meetkunde vormden de voornaamste
uitgangspunten. Charles Peirce ging verder met het werk van Boole en ontwikkelde en publiceerde een logisch
systeem voor relaties en kwantoren. Gottlob Frege publiceerde in 1879 een eigen uitwerking van de logica met
kwantoren in zijn Begriffsschrift. Dit werk bleef onopgemerkt totdat Bertrand Russell het rond de
eeuwwisseling meer bekendheid gaf. De door Frege gehanteerde tweedimensionale notatie heeft echter nooit
veel ingang gevonden en wordt tegenwoordig niet gebruikt. Van 1890 tot 1905 publiceerde Ernst Schröder in
drie delen zijn Vorlesungen über die Algebra der Logik, waarin het werk van Boole, De Morgan en Peirce werd
samengevat.
Symbolische logica werd door Giuseppe Peano wiskundige logica genoemd. De klassieke versie ervan is
vergelijkbaar met de logica van Aristoteles, hoewel men symbolen in plaats van natuurlijke taal gebruikt.
Terwijl tijdens de Griekse ontwikkeling van de logica grote waarde werd gehecht aan de
argumentatieformuleringen, kan men de huidige wiskundige logica omschrijven als de studie van de inhoud
door het leggen van combinaties. Daaronder vallen zowel de syntactische, het onderzoek van de formele
tekenreeksen, als ook de semantische, het toewijzen van betekenis aan deze tekenreeksen, combinaties.
Historische publicaties van betekenis zijn het Begriffsschrift (Beschrijving der Begrippen) van Gottlob Frege,
Studies in Logic (Studie in de Logica) van Charles Peirce, Principia Mathematica van Bertrand Russell en Alfred
North Whitehead en Onvolledigheidsstellingen van Kurt Gödel. Voluit heet het werk van Gödel: On Formally
Undecidable Propositions of Principia Mathematica and Related Systems.
In de vorige eeuw was het programma van Hilbert, genoemd naar David Hilbert en het onderzoek van de
consistentie binnen de wiskunde door onder meer Kurt Gödel van belang.
8.3.1 Frege
Begriffsschrift (German for, roughly, "concept-script") is a book on logic by Gottlob Frege, published in 1879,
and the formal system set out in that book.
Begriffsschrift is usually translated as concept writing or concept notation; the full title of the book identifies it
as "a formula language, modeled on that of arithmetic, of pure thought." Frege's motivation for developing his
formal approach to logic resembled Leibniz's motivation for his calculus ratiocinator (despite that, in his
Foreword Frege clearly denies that he reached this aim, and also that his main aim would be constructing an
ideal language like Leibniz's, what Frege declares to be quite hard and idealistic, however, not impossible task).
Frege went on to employ his logical calculus in his research on the foundations of mathematics, carried out
over the next quarter century.
21
Notation
8.3.2 Russell
See document(s): Principia_Mathematica
Principia Mathematica (Lat., "wiskundige grondslagen") is de titel van een driedelig werk over de grondslagen
van de wiskunde, geschreven door de Britse wiskundigen en filosofen Bertrand Russell en Alfred North
Whitehead. De drie delen werden gepubliceerd in respectievelijk 1910, 1912 en 1913. De Principia, een poging
de wiskunde te funderen in de symbolische logica, vormde het hoogtepunt van het logicistische
onderzoeksprogramma. Het werk geldt in de logica als het invloedrijkste na Aristoteles' Organon.
22
Principia Mathematica bevat axioma's en afleidingen van belangrijke stellingen in een formeel systeem,
gebaseerd op eerste-ordelogica uitgebreid met Russells typentheorie. Het werk dekt de verzamelingenleer en
de getaltheorie (kardinalen, ordinalen en reële getallen).
De onvolledigheid van het formele systeem van de Principia Mathematica (en aanverwante systemen),
aangetoond door Kurt Gödel in 1931, betekende vrijwel het einde van het logicisme: het einddoel van een
volledig en bewijsbaar consistent formeel systeem dat de gehele wiskunde beschrijft, bleek onmogelijk te
realiseren.
Principia Methematica
See document(s): WhiteheadRussell-PrincipiaMathematicaVolumeI
Paradox
See document(s): Russellparadox
Beschrijving van de paradox
23
Verzamelingen die zichzelf niet resp. wel bevatten
In de paradox gaat het om verzamelingen waarvan de elementen op zichzelf ook verzamelingen zijn.
Een voorbeeld van een dergelijke verzameling is de verzameling BV, bestaande uit bloemenverzamelingen:
BV = {tulpenverzameling, hyacintenverzameling, rozenverzameling, narcissenverzameling, ...}.
Elk element van BV is zelf ook weer een verzameling.
Het blijkt dat BV de volgende eigenschap bezit: BV \notin BV.
Met andere woorden: BV is zelf geen element van BV. Immers, een verzameling bestaande uit
bloemenverzamelingen is zelf geen bloemenverzameling.
Maar we zouden ook verzamelingen kunnen bedenken die wel zichzelf bevatten, bijvoorbeeld de verzameling
van alle verzamelingen.
De Russellverzameling
Er zijn dus verzamelingen die zichzelf bevatten en andere die zichzelf niet bevatten. We bekijken speciaal de
verzameling die bestaat uit alle verzamelingen V die niet zichzelf bevatten; deze verzameling heet de Russellverzameling R:
Ten eerste stellen we vast dat R niet de lege verzameling is, want de bovengenoemde verzameling BV bevat
zichzelf niet en is dus een element van R.
Een interessante vraag is nu: "bevat R zichzelf?", dus geldt er dat
?
24
Stel dat het antwoord 'ja' is. In dat geval moet R voldoen aan de eigenschappen die alle elementen van de
verzameling R bezitten en dus geldt dan dat
Dus een tegenspraak. Dus kan R zichzelf niet bevatten.
. Maar dan is het antwoord dus geen 'ja', maar 'nee'!
Het antwoord op de vraag moet dus 'nee' zijn:
Dat betekent echter dat R voldoet aan de eigenschap die geldt voor de elementen van R, dus dat
dus dat 'ja' het correcte antwoord op de vraag is. Ook een tegenspraak.
,
We zien dat geen van de twee mogelijkheden
en
juist is. We hebben dus een
verzameling geconstrueerd waarvan het zowel onmogelijk is dat een bepaald object er wel in zit als dat het er
niet in zit. Een paradoxale situatie: de paradox van Russell.
9 Role of logic
9.1 Famous paradoxes
9.1.1
Peano curve
See document(s): Peano_curve
In geometry, the Peano curve is the first example of a space-filling curve to be discovered, by Giuseppe Peano
in 1890.[1] Peano's curve is dense in the unit square, and was used by Peano to construct a continuous function
from the unit interval to the unit square, motivated by an earlier result of Georg Cantor that these two sets
have the same cardinality. Because of this example, some authors use the phrase "Peano curve" to refer more
generally to any space-filling curve.[2]
Construction
Peano's curve may be constructed by a sequence of steps, where the ith step constructs a set Si of squares, and
a sequence Pi of the centers of the squares, from the set and sequence constructed in the previous step. As a
base case, S0 consists of the single unit square, and P0 is the one-element sequence consisting of its center
point.
In step i, each square s of Si − 1 is partitioned into nine smaller equal squares, and its center point c is replaced
by a contiguous subsequence of the centers of these nine smaller squares. This subsequence is formed by
grouping the nine smaller squares into three columns, ordering the centers contiguously within each column,
and then ordering the columns from one side of the square to the other, in such a way that the distance
between each consecutive pair of points in the subsequence equals the side length of the small squares. There
are four such orderings possible:
25
Left three centers bottom to top, middle three centers top to bottom, and right three centers bottom to top
Right three centers bottom to top, middle three centers top to bottom, and left three centers bottom to top
Left three centers top to bottom, middle three centers bottom to top, and right three centers top to bottom
Right three centers top to bottom, middle three centers bottom to top, and left three centers top to bottom
Among these four orderings, the one for s is chosen in such a way that the distance between the first point of
the ordering and its predecessor in Pi also equals the side length of the small squares. If c was the first point in
its ordering, then the first of these four orderings is chosen for the nine centers that replace c.[3]
The Peano curve itself is the limit of the curves through the sequences of square centers, as i goes to infinity.
Constructie
See document(s): PeanoComplete.shtml
The second step of Peano curve construction, when the unit square is split into 9 small squares, is the most
crucial, because it defines the whole process. The pieces in two squares related to each other in the same
manner regardless of the step of the construction. For example, if on the second step, a piece in square #3 is
obtained from that in square #6 by means of reflection in x axis, the same will be true for pieces in squares 3
and 6 on every step of the construction.
The nine squares are ordered as shown below with the direction of traversal for each. For each of the four
possible directions there are two ways to get from one corner to the opposite one in an "S" motion. The
example shows the two possibilities for the traversal from the lower right corner to the upper left one.
26
9.1.2
Mysterious square
The missing square puzzle is an optical illusion used in mathematics classes to help students reason about
geometrical figures, or rather to teach them to not reason using figures, but only using the textual description
thereof and the axioms of geometry. It depicts two arrangements made of similar shapes in slightly different
configurations. Each apparently forms a 13×5 right-angled triangle, but one has a 1×1 hole in it.
Solution
The missing square shown in the lower triangle, where both triangles are in a perfect grid
The key to the puzzle is the fact that neither of the 13×5 "triangles" is truly a triangle, because what appears to
be the hypotenuse is bent. In other words, the "hypotenuse" does not maintain a consistent slope, even
though it may appear that way to the human eye. A true 13×5 triangle cannot be created from the given
component parts. The four figures (the yellow, red, blue and green shapes) total 32 units of area. The apparent
triangles formed from the figures are 13 units wide and 5 units tall, so it appears that the area should be
\textstyle{S=\frac{13 \times 5}{2}=32.5} units. However, the blue triangle has a ratio of 5:2 (=2.5:1), while the
red triangle has the ratio 8:3 (≈2.667:1), so the apparent combined hypotenuse in each figure is actually bent.
So with the bent hypotenuse, the first figure actually occupies a combined 32 units, while the second figure
occupies 33, including the "missing" square. The amount of bending is approximately 1/28th of a unit
(1.245364267°), which is difficult to see on the diagram of this puzzle. Note the grid point where the red and
blue triangles in the lower image meet (5 squares to the right and two units up from the lower left corner of
the combined figure), and compare it to the same point on the other figure; the edge is slightly under the mark
in the upper image, but goes through it in the lower. Overlaying the hypotenuses from both figures results in a
very thin parallelogram with an area of exactly one grid square—the same area "missing" from the second
figure.
Principle
According to Martin Gardner,[1] this particular puzzle was invented by a New York City amateur magician, Paul
Curry, in 1953. However, the principle of a dissection paradox has been known since the start of the 16th
27
century. The integer dimensions of the parts of the puzzle (2, 3, 5, 8, 13) are successive Fibonacci numbers.
Many other geometric dissection puzzles are based on a few simple properties of the Fibonacci sequence.[2]
9.1.3
Paradox Zeno
See document(s): Zeno%27s_paradoxen
De schildpad daagde Achilles uit voor een hardloopwedstrijd. Hij beweerde dat hij zou winnen als Achilles
hem een kleine voorsprong gaf. Achilles moest lachen, want hij was natuurlijk een machtige strijder, snel van
voet, terwijl de Schildpad zwaar en langzaam was.
"Hoeveel voorsprong?" vroeg hij de Schildpad met een glimlach.
"Tien meter," antwoordde deze. Achilles lachte harder dan ooit.
"Dan ga jij zeker verliezen, vriend" vertelde hij de Schildpad, "maar laten we vooral rennen, als je dat graag
wilt."
"In tegendeel," zei de Schildpad, "ik zal winnen, en ik kan het je met een eenvoudige redenering bewijzen.""
"Kom op dan," antwoordde Achilles, die al iets minder vertrouwen voelde dan eerst. Hij wist dat hij de
superieure atleet was, maar hij wist ook dat de Schildpad een scherper verstand had, en dat hij al vaak een
discussie met het dier had verloren.
"Veronderstel," begon de Schildpad, "dat u me een voorsprong van 10 meter geeft. Zou u zeggen dat u die 10
meters tussen ons snel kunt afleggen?"
"Zeer snel," bevestigde Achilles.
"En hoeveel meter heb ik in die tijd afgelegd, denkt u?"
"Misschien een meter - niet meer," zei Achilles na even nagedacht te hebben.
"Zeer goed," antwoordde de Schildpad, "dus nu is er een meter afstand tussen ons. En zou u die achterstand
snel inlopen?"
"Zeer snel inderdaad!"
"En toch zal ik in die tijd verder gegaan zijn, zodat u DIE afstand moet inhalen, ja?"
"Eeh, ja" zei Achilles langzaam.
"En terwijl u dat doet, zal ik een stukje verder gegaan zijn, zodat u steeds een nieuwe achterstand moet
inlopen" ging de Schildpad stug door.
Achilles zei niets.
28
"En zo ziet u, elke periode dat u bezig bent uw achterstand in te halen zal ik gebruiken om een nieuwe
afstand, hoe klein ook, aan die achterstand toe te voegen."
"Inderdaad, daar valt geen speld tussen te krijgen," antwoordde Achilles, nu al vermoeid.
"En zo kunt u nooit de achterstand inlopen," besloot de Schildpad met een sympathieke glimlach.
"U heeft gelijk, zoals altijd," besloot Achilles droevig - en gaf de race gewonnen.
9.1.4 Rumsfeld quotes
See document(s): donaldrums148142.html
There are known knowns. These are things we know that we know. There are known unknowns. That is to say,
there are things that we know we don't know. But there are also unknown unknowns. There are things we
don't know we don't know.
Life
See document(s): www.google.be
10 Mark Tansey
See document(s): mark-tansey, mark-tansey-pintura.html
10.1 Interpretatie
See document(s): Mark%20Tansey.pdf
29
180 graden gedraaid
Inspired by Tansey’s reading of Derrida’s “Spurs: Nietzche’s Styles”. Is it dawn or dusk; is the sun
rising or setting? Are the figures male or female? Flip the painting upside-down and what was once a
mountain becomes a cave. Derrida a third of the way across, removing a coverall, has become a
woman and the “avant-gardist has shed his uniform and become a sort of ancient sage in cloak and
toga, bearded and wise”(Danto 18). One thinks of Plato and his cave. The sky, marked with clouds,
becomes the rock formations at its depths. For Tansey this marks a transition in the art world. The
Avant-garde has become “demilitarized’ and perhaps feminized by taking off their uniforms. The
poststructuralism that was to follow is marked by “dense systems of meanings” that interrelate “The
metamorphosis of everything into something else is opimistically suggestive of the possibilites of
painting since Cezanne” (Freeman 54).
30
© Copyright 2024 ExpyDoc
