Hoofdstuk 1 De pioniers 1.1 Wiskunde is mensenwerk

Hoofdstuk 1
De pioniers
1.1
Wiskunde is mensenwerk
In dit hoofdstuk geven we korte beschrijvingen van leven en werk van een aantal
wiskundigen waarvan we de naam regelmatig in dit boek tegenkomen. Omdat dit
boek voor een groot deel over elementaire getaltheorie gaat, komen we veel namen
uit de 17e,18e en 19e eeuw tegen. Een groot deel van wat in dit boek beschreven
is, werd immers in die tijd gevonden. Dit neemt niet weg dat in de 20e eeuw
de getaltheorie een gigantische ontwikkeling heeft doorgemaakt. In vergelijking
met 100 jaar geleden zijn er vele disciplines binnen de getaltheorie bijgekomen
en deze recente ontwikkeling is misschien ingrijpender geweest dan wat er in de
voorafgaande tijd gebeurde. Elk van deze nieuwe richtingen heeft ook weer zijn
eigen experts. Een greep uit de hedendaagse onderwerpen: klassenlichamen theorie, modulaire vormen, elliptische krommen, analytische getaltheorie, diophantische approximatie, arithmetische algebra¨ısche meetkunde. Met deze onderwerpen
gaan evenzovele namen van wiskundigen gepaard, die indrukwekkende bijdragen
hebben geleverd. Omdat deze nieuwe ontwikkelingen vaak buiten de bescheiden
doelstelling van dit boek vallen zullen we er hier echter weinig over lezen. Dat
betekent echter niet dat er niets gebeurd is !
Mensen die ge¨ınteresseerd zijn in meer biograﬁsche gegevens van wiskundigen, en
die over een internet-aansluiting beschikken, raden we aan naar de web-site
http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk
te kijken. De portretten en gegevens zijn voor een groot deel van deze site gehaald.
Euclides, 365 v.Chr- 300 v.Chr.
Over het leven van Euclides is vrijwel niets bekend, behalve dat hij in Alexandri¨e onderwijs gaf. Het beroemdste werk van Euclides zijn de Elementen. Deze
boeken hebben 2000 jaar lang model gestaan voor de vlakke meetkunde en voor
een heldere betoogtrant in de wiskunde. Hoewel lang niet alle resultaten uit de
1
2
HOOFDSTUK 1. DE PIONIERS
Elementen van Euclides zelf afkomstig zijn, is hij zeker verantwoordelijk voor de
systematische manier waarop de meetkunde wordt opgebouwd.
Door alle nadruk die op de meetkunde wordt gelegd is men geneigd te vergeten
dat delen 7-9 van de Elementen gaan over getaltheorie. Hierin komen zaken als
de oneindigheid van de verzameling priemgetallen en het Euclidisch algoritme
aan de orde. In totaal bestaan de Elementen uit 13 delen. Deel 1-6 gaan over de
vlakke meetkunde, deel 7-9 over getaltheorie, deel 10 behandelt Eudoxus’ theorie
van de irrationale getallen, deel 11-13 gaan over ruimtemeetkunde. Het boek
eindigt met een beschrijving van de vijf regelmatige veelvlakken en het bewijs
dat er maar vijf zijn.
Diophantus van Alexandri¨
e, 200 - 300 ?
Over het leven van Diophantus is vrijwel niets bekend. Toch leeft zijn naam voort
doordat hij auteur was van de Arithmetica, een collectie van 130 problemen die
vertaald konden worden in zogenaamde diophantische vergelijkingen, waarvan
Diophantus vaak ´e´en positieve rationale oplossing gaf. Dit werk wordt algemeen
gezien als de voorloper van de getaltheorie. Slechts 6 van de 13 oorspronkelijke
boeken zijn bewaard gebleven en in handen gekomen van de astronoom Johannes
M¨
uller (Regiomantus) in 1464. De bekendste Latijnse vertaling is die van Bachet
(1621). Het was deze vertaling die bestudeerd werd door Fermat en waarin Fermat
zijn beroemd geworden aantekeningen maakte. Zeer recent, rond 1975, zijn er
nog vier andere delen aan het licht gekomen.
Pierre de Fermat, 1601-1665
In 1631 begon Fermat zijn werk als advocaat en regeringsbeambte in Toulouse.
Deze maatschappelijke carri`ere was voor Fermat
geen belemmering om ook in de wiskunde zeer aktief te zijn. Zijn vroege werk betrof de bepaling van
raaklijnen aan krommen en de bepaling van maxima
en minima. Veel later formuleerde hij zijn principe
dat zegt dat lichtstralen de kortst mogelijke optische weg volgen. Hiermee kunnen eenvoudig de wetten van spiegeling en breking van lichtstralen verklaard worden. Door dit werk was Fermat een voorloper van het werk van Descartes over meetkunde en
Newton en Leibniz op het gebied van de diﬀerentiaalrekening.
Fermat hield zich ook bezig met getaltheoretische problemen door de bestudering van Bachet’s vertaling van Diophantus’ Arithmetica die hij voorzag van eigen
aantekeningen. De beroemdste daarvan is Fermat’s opmerking dat hij een ”wonderbaarlijk”bewijs had voor het feit dat de som van twee n-de machten geen n-de
macht kan zijn (n > 2), maar dat de kantlijn van Bachet’s boek te smal was om
1.1. WISKUNDE IS MENSENWERK
3
het erin op te schrijven. In Fermat’s tijd bestonden er geen wetenschappelijke tijdschriften en ook publiceerde Fermat niet in boekvorm. In plaats daarvan voerde
Fermat een uitgebreide correspondentie met anderen en had daarbij de gewoonte
om anderen uit te dagen met problemen die hij zelf reeds had opgelost. Bekend is
zijn correspondentie met Engelse wiskundigen over de vergelijking van Pell. Deze
manier van werken heeft waarschijnlijk niet bevorderend gewerkt voor de verspreiding van Fermat’s idee¨en op getaltheoriegebied. Ook bleken de echt groten
van zijn tijd, zoals Christiaan Huygens en Blaise Pascal, niet ge¨ınteresseerd in
getaltheorie, ondanks pogingen van Fermat hun interesse te wekken. Na Fermat’s
overlijden waren er geen opvolgers die zijn werk konden voortzetten en het duurde
een eeuw, met de komst van Euler, voordat er weer echt nieuwe ontwikkelingen
plaatsvonden.
Leonhard Euler (1707-1783)
Euler werd geboren in Basel. Hoewel hij zijn studie aan de universiteit aldaar
begon met het oog op een loopbaan als geestelijke,
raakte hij al gauw in de ban van de wiskunde. Sinds
die tijd is hij uitgegroeid tot ´e´en van de grootste
wiskundigen aller tijden. Aan vrijwel alle klassieke
onderdelen van de wiskunde heeft hij fundamentele
bijdragen geleverd. In 1727 werd hij lid van de
St.Petersburgse Akademie van Wetenschappen. In
1741 werd hij door Frederik de Grote uitgenodigd tot
de Berlijnse akademie, waar Euler 25 jaar verbleef.
Daarna keerde hij naar St.Petersburg terug. Rond
zijn 31e jaar raakte hij zijn gezichtsvermogen aan
het rechteroog kwijt en in 1765 werd hij totaal blind
door een mislukte staar-operatie. Echter, zijn fenomenale geheugen stelde hem
in staat de meest ingewikkelde berekeningen uit het hoofd te doen. De helft van
zijn wetenschappelijke werk heeft Euler verricht terwijl hij blind was. Na Euler’s
dood in 1783 heeft de St.Petersburgse Akademie nog 50 jaar lang gewerkt aan
de uitgave van zijn werken. Euler’s naam leeft nog voort in talloze onderwerpen in de wiskunde, zoals in de Euler-lijn, het Euler-product, de Euler-functie,
Euler-karakteristiek, enzovoorts. Het is echter onmogelijk een volledige lijst te
geven.
Joseph-Louis Lagrange (1736-1813)
Lagrange werd geboren in Turijn. Van 1755 tot 1766 doceerde hij in Turijn en
werkte mee aan de oprichting van de Koninklijke Academie van Wetenschappen
aldaar. In 1766 volgde hij Euler op bij de Berlijnse Academie. Van 1787 tot
4
HOOFDSTUK 1. DE PIONIERS
zijn dood was hij lid van de Parijse Academie. Hij
overleefde de Franse revolutie, waar anderen niet zo
fortuinlijk waren. Rond 1790 werkte Lagrange aan
het metrische systeem en propageerde het decimale
stelsel. Ook werkte hij mee aan de oprichting van
´
de Ecole
Polytechnique.
Het wiskundige werk van Lagrange besloeg een
breed gebied van hemelmechanica tot getaltheorie.
In zijn M´ecanique analytique voorzag hij de mechanica sinds Newton van een uitgebreide mathematische
basis. Zijn idee¨en leven nog steeds voort in het zogenaamde Lagrange formalisme van de mechanica
en de Euler-Lagrange vergelijkingen. In de optimalisatie spelen de Lagrangemultiplicatoren een cruciale rol.
Adrien-Marie Legendre (1752-1833)
Legendre werd opgeleid aan het Coll`ege Mazarin in Parijs. Van 1783 tot de
sluiting in 1793 was hij lid van de Acad´emie des Sciences. Het belangrijkste wiskundige werk van Legendre betrof de zogenaamde elliptische functies en
de getaltheorie. Op beide gebieden was hij echter onfortuinlijk doordat hij zeer snel overschaduwd werd
door de jonge wiskundigen Abel en Jacobi wat betreft elliptische functies en door Gauss op het gebied van de getaltheorie. Zijn naam leeft echter nog
steeds voort in een aantal stellingen, de zogenaamde
Legendre polynomen en het Legendre symbool. In
1824 weigerde hij te stemmen voor een regeringskandidaat voor het Institut National. Deze principi¨ele
houding kostte hem zijn pensioen en Legendre overleed in armoede.
Carl-Friedrich Gauss (1777-1855)
Gauss viel reeds op zeer vroege leeftijd op door zijn uitzonderlijke aanleg voor
wiskundige zaken. Als jonge student in G¨ottingen bereikte hij al onsterfelijke
roem door een constructie met passer en liniaal van de regelmatige 17-hoek
te geven. Dit was de belangrijkste stap op het gebied van constructies nadat de Grieken 2000 jaar eerder dit gebied uitgeput leken te hebben. Deze
constructie verscheen als Hoofdstuk 7 van de Disquitiones Arithmeticae. Dit
werk, door Gauss op 24-jarige leeftijd gepubliceerd, vormt een mijlpaal in de
ontwikkeling van de getaltheorie, welke het begin van de moderne getaltheorie
inluidt. Behalve getaltheorie heeft Gauss tot een groot aantal gebieden in de
wiskunde bijgedragen, waarvan de bekendste die aan de diﬀerentiaalmeetkunde
1.1. WISKUNDE IS MENSENWERK
5
en de niet-euclidische meetkunde zijn. Ook op het
gebied van hypergeometrische functies en elliptische
functies verrichte hij pionierswerk. Vanaf 1807 was
Gauss directeur van de sterrenwacht in G¨ottingen.
Deze benoeming dankte hij niet in de laatste plaats
aan zijn uitgebreide berekeningen die astronomen in
staat stelden om de pas ontdekte, maar weer uit het
oog verloren, planeto¨ıden te hervinden. Zijn praktische werk op het gebied van de geodesie gaf wellicht
de inspiratie tot zijn beroemde werk in de diﬀerentiaalmeetkunde. Ook heeft hij zich samen met
Weber beziggehouden met experimenten op het gebied van magnetisme en telegraﬁe. Gauss wordt algemeen gezien als ´e´en van de
grootste wiskundigen aller tijden. Zijn naam leeft voort in talloze wiskundige
begrippen waarvan we er hier maar een paar noemen, Gauss-kromming, GaussBonnet stelling, Gauss-som, Gauss-Manin connectie, Gauss’ normaalverdeling,
enzovoort.
Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866)
Als men de namen Euler en Gauss noemt, dan hoort daar onverbrekelijk de naam
van Riemann bij. Dit zijn namelijk mensen die de
ontwikkeling van de wiskunde in grote mate bepaald
hebben. Riemann verbleef voor een groot deel van
de tijd in G¨ottingen. Helaas werd hij getroﬀen door
tuberculose en is veel te vroeg gestorven. Het verzamelde werk van Riemann bestaat uit ´e´en band van
ongeveer 500 bladzijden. Kwantitatief is dit niet
veel, maar kwalitatief is dit werk goud waard. Het
werk van Riemann kenmerkte zich doordat Riemann
concepten herkende die tot dan toe achter diverse
onderwerpen schuil waren gegaan. Onder anderen
de complexe functietheorie en de hoger-dimensionale
diﬀerentiaalmeetkunde hebben hierdoor een enorme gedaanteverandering ondergaan. Riemann’s diﬀerentiaalmeetkunde, verder ontwikkeld door anderen, is van
cruciaal belang gebleken in Einstein’s algemene relativiteitstheorie. Zijn inzichten
in de complexe functietheorie zijn medeverantwoordelijk voor de ontwikkeling van
modulaire vormen, welke op hun beurt weer cruciaal bleken in de getaltheorie en
uiteindelijk Wiles’ bewijs van de laatste stelling van Fermat. In zijn verzameld
werk vinden we precies ´e´en artikel dat over getaltheorie gaat. Het beslaat 8
bladzijden en daarin zien we hoe de verdeling van priemgetallen te maken heeft
met de nulpunten van de zogenaamde ζ-functie. De vraag hoe deze nulpunten
liggen is nog steeds niet opgelost en staat bekend als het Riemann vermoeden
(of Riemann hypothese). Naast het Riemann vermoeden leeft zijn naam voort in
22
HOOFDSTUK 1. DE PIONIERS
begrippen als de Riemann-tensor, Riemann-integraal, Riemann-oppervlak, Riemann afbeeldingstelling, Riemann-Roch stelling, Riemann-Hurwitz stelling en ga
zo maar door.
Andrew John Wiles, (geboren 1953)
Hoewel we in dit lijstje geen 20e eeuwse wiskundigen beschrijven teneinde ongelijke behandeling te voorkomen, maken we hier wel
een uitzondering voor de naam van Wiles. Wiles
studeerde in Oxford en Cambridge en zijn proefschrift had als onderwerp Iwasawa theorie van elliptische krommen. Toen Wiles rond 1986 hoorde over
de ontwikkelingen rond de laatste stelling van Fermat door Frey, Serre en Ribet, besloot hij al zijn
energie te wijden aan dit eeuwen-oude probleem.
Zeven jaar lang heeft hij gewerkt aan een bewijs
voor het Shimura-Taniyama-Weil vermoeden, welke
in het bijzonder de laatste stelling van Fermat impliceert. In 1994 gaf hij een sluitend bewijs en zijn
naam was in de geschiedenis gevestigd. Wat men bijna zou vergeten door deze
prestatie is dat Wiles’ naam als uitstekend wiskundig al langer gevestigd was.
Twee diepe, en indrukwekkende, stellingen van zijn hand zijn de stelling van
Coates-Wiles en de stelling van Mazur-Wiles. Op grond van deze resultaten behoorde hij reeds tot de wereldtop. In het hoofdstuk over de Laatste Stelling van
Fermat kan men meer lezen over Wiles en zijn stelling.

Download Report