Nagaan of een reeks ∑ ak convergent is?

Nagaan of een reeks
P∞
k=0 ak
convergent is?
1. Met de definitie p.119 (zoek een formule voor de partieelsommen)
P∞ k
• De meetkundige
reeks
k=0 r is convergent asa |r| < 1 en in dat
P∞ k
1
geval is k=0 r = 1−r
P
1
• De harmonische reeks ∞
k=0 k is divergent
P∞
P∞
2. Met behulp van de rekenregels: als
a
en
k=0 bk convergent
P∞ k=0 k
zijn, dan is voor elke c, d ∈ R ook k=0 (cak + dbk ) convergent en dan
geldt:
∞
∞
∞
X
X
X
bk .
ak + d
(cak + dbk ) = c
k=0
k=0
k=0
3. Als limk→∞ ak 6= 0, dan is de reeks divergent (Eig 4.2 )
Voor reeksen met positieve (≥ 0) termen
4. Met de vergelijkingstest:
P∞
–P
Als ak = O(bk ) voor k → ∞ en
k=0 bk convergent is, dan is
∞
k=0 ak convergent (Stel 4.4 )
P
P∞
– Als bk = O(ak ) voor k → ∞ en ∞
b
divergent
is,
dan
is
k=0 k
k=0 ak
divergent (Stel 4.5 )
=
5. Met de verhoudingstest van d’Alembert (Stel 4.7 ): Als limk→∞ aak+1
k
L bestaat, dan is de reeks
– convergent als L < 1
– divergent als L > 1
6. Met het convergentiekenmerk van Cauchy (Stel 4.8 ):
√
– Als lim supk→∞ k ak < 1, dan is de reeks convergent
√
– Als lim supk→∞ k ak > 1, dan is de reeks divergent
Voor reeksen met algemene termen
7. P
Onderzoek de absolute convergentie,
P∞ d.i. de convergentie van dePreeks
∞
∞
k=0 |ak |, zoals hierboven. Als
k=0 |ak | convergent is, dan ook
k=0 ak
(Stel 4.9 )
8. Met het criterium van Leibniz (Stel 4.10 ): een reeks is convergent als
de reeks alternerend is, ∀k ∈ N : |ak+1 | ≤ |ak | en limk→∞ ak = 0
Een reeks die convergent is maar niet absoluut convergent is, heet relatief
convergent.

Download Report