H QbCV/irChi. Hoogwatergolven op de M a a s Onderzoek naar grootte en frequences van afvoeren en waterstanden door Ir.J.W.van der Made R'JKSWATERSTAAT— DIREKTIE WATERHUISHOUDING EN WAT ERBEWEGING - HYDR. AFD. C i n i RIJKSW AT E RSTAAT DIRECTIE WATERHUISHOUDING EN WATERBEWEGING Hydrometrische Afdeling ""^SSS?"' Rijkswaterstaat/RIZA Documentatie Portbui 17 8200 A A Lelystad HOOGWATERGOLVEN OP DE MAAS. Onderzoek naar grootte en frequenties van afvoeren en waterstanden. door ir J. W. van der Made. "s-Gravenhage, maart 1965. OVERZICHTSKAARTJE STROOMGEBIED VAN DE MAAS NEDERLAND lOOkm G R O O T T E VAN HET STROOMGEBIED a b c d e f g h i TOT: DINANT NAMEN LUIK BORGHAREN LINNE ROERMOND VENLO GRAVE L-ZWALUWE 2 km I2IOO 15550 20440 21260 21950 25IOO 26040 28950 32870 I. INLEIDING De frequentieverdeling van rivierafvoeren is van groot belang voor allerlei vraagstukken die samenhangen met het rivierbeheer en de veiligheid van de aangrenzende gebieden. Gedacht wordt hierbij aan het vaststellen van de maatgevende hoogte van de rivierdijken, aan werken, die op of nabij de rivier worden uitgevoerd, aan vraagstukken op het gebied van wateronttrekking of energiewinning, aan scheepvaartmogelijkheden enz. Is de frequentieverdeling bekend, dan kan hieruit de kans worden afgeleid, dat een bepaalde afvoer (c. q, waterstand) wordt overschreden of onderschreden. Voor de afleiding van de frequentieverdeling van de Maasafvoeren zal gebruik worden gemaakt van dagelijkse afvoercijfers, geldend voor de stuw te Borgharen en voor die te Lith. Beschikbaar is cijfermateriaal uit de periode 1911-1960. Op dit materiaal en op de bewerking hiervan wordt in hoofdstuk I nader ingegaan. Voor de lagere en middelbare afvoeren zijn, dank z i j het 50-jarig tijdvak, voldoende gegevens bekend om hieruit een als definitief te beschouwen frequentieverdeling samen te stellen. Een grote moeilijkheid leveren echter die vraagstukken, die verband houden met extreem hoge afvoeren. Dergelijke afvoeren hebben een dermate lage frequentie, dat ze in de beschouwde periode slechts een enkele maal of in het geheel niet zijn voorgekomen. De grootste waargenomen afvoer in deze periode kwam voor in januari 1926 en bedroeg te Borgharen 3000 m3/sec. Het is onjuist te stellen dat deze afvoer gemiddeld l x per 50 jaar wordt overschreden, omdat het feit dat deze afvoer juist in de beschouwde periode is voorgekomen, geheel toevallig kan zijn. Een eenmaal voorgekomen afvoer zegt niets over de frequentieverdeling. De aangewezen benadering van het vraagstuk bestaat uit de e x t r a p o 1 a t i e van de frequentieverdeling vanuit het gebied, dat voldoende bekend is. Deze extrapolatie is het voornaamste vraagstuk, dat in deze nota behandeld wordt. Het lijkt m i j nuttig om op deze plaats enige begrippen nauwkeurig te omschrijven. Zulks zal worden gedaan aan de hand van een gestyleerde frequentiefiguur a. Deze figuur stelt in algemene zin de overschrijdingsfrequentiekromme van de afvoeren voor. De reden, waarom met afvoeren en niet met waterstanden wordt gewerkt ligt hierin, dat de bedding van de rivier in de loop van de tijd sterk is gedaald, zodat de waterhoogten uit verschillende perioden niet gelijkwaardig zijn en dus niet als statistisch universum kunnen worden beschouwd [lit. l ] . Afvoeren daarentegen zijn gegeven als absolute maat, onafhankelijk van de toevallige toestand van de rivierbedding. fig. b fig. a log. school loo. school overschri jdingsfrequentie gemiddelde voor lijn A in aantal toppen per jaar ove ( voor lijn B in aantal dagen per jaar sch .id.ngsduu- in dagen per top - 2 - De horizontale schaal geeft de gemiddelde overschrij dingsfrequenties per jaar. De dimensie, waarin deze overschrijdings-frequences worden gegeven hangt af van de beschouwde kromme. In fig. a zijn n l . 2 frequentiekrommen getekend. Lijn A geeft het gemiddeld aantal hoogwatergolven per jaar, waarvan de toppen een bepaalde waarde overschrij den, als functie van die waarde. Dit aantal noemen we de t o p p e n f r e q u e n t i e . " Ze wordt uitgedrukt in gemiddeld aantal toppen per jaar. Lijn B stelt voor het gemiddeld aantal dagen per jaar, waarop de afvoer een bepaald bedrag overschrijdt. We zullen dit aantal noemen de d a g e n f r e q u e n t i e . De g e m i d d e l d e o v e r s c h r i j d i n g s d u u r per a f v o er top van een bepaald afvoerbedrag is te berekenen uit het quotient: • gem, aantal dagen per jaar, waarop afvoer Q wordt overschreden gem. aantal toppen per jaar, die de afvoer Q overschrijden dagenfrequentie toppenfrequentie In dimensies uitgedrukt: dagen / jaar toppen / jaar dagen top Deze gemiddelde overschrij dingsduur is weergegeven in f i g . b. De horizontale schaal van de frequentiefiguur wordt getekend op logarithmische schaal. De reden hiervoor is, dat dan alle frequences, lopende van 365 dagen per jaar voor lijn B tot 10~ toppen per jaar voor lijn A, in een figuur van beperkte omvang overzichtelijk kunnen worden samengebracht. De afvoeren uit het frequentiegebied, dat voldoende bekend is, komen goed tot hun recht, maar kunnen toch nog op duidelijke wijze in verband worden gebracht met het gebied van de zeer zeldzaam optredende extreem hoge afvoeren. Zou men daarentegen met een lineaire frequentieschaal werken, dan zou het bekende gebied (voor lijn A lopende van ongeveer 20 toppen per jaar tot 10-1 toppen per jaar) t. o. v. het te onderzoeken gebied (tot 10~3 toppen per jaar) slechts 1% van de te gebruiken schaallengte uitmaken. Een tweede voordeel is, dat de log. schaal zeer eenvoudig van opbouw is. Dit in tegenstelling tot diverse soorten waarschijnlijkheidsschalen, die bij voorbaat uitgaan van een bepaalde frequentieverdeling (normaal, log. normaal, Goodrich, Gumbel). Om fysische redenen zijn echter deze mathematisch geformuleerde verdelingen verworpen. Bezien we n l . de vorm van de toppenfrequentielijn A , die ontleend is aan fig. 37 voor Borgharen, dan blijkt deze te bestaan uit 2 lijnstukken, die onder een bepaalde hoek bij elkaar aansluiten bij de afvoer x . Als oorzaak van deze gebruikte vorm kan wel met zekerheid worden aangewezen het feit, dat boven x grote hoeveelheden water geborgen worden, zowel langs de oevers van de hoofdrivier als in het gebied van de zijrivieren. Denkbaar is, dat bepaalde zijrivieren aan een maximum afvoer gebonden zijn. Meerdere toevoer van water naar zo'n rivier zal dan hoofdzakelijk als inundaties geborgen worden. Zo komen uitgebreide overstromingen veelvuldig voor in het Franse stroomgebied van de Maas £lit. 2 Tj . In het gebied van de Ardennen zal de berging minder groot zijn, doch beneden Vise zal deze weer een grotere rol gaan spelen. Het is evident, dat het zinloos is om het optreden van een dergelijke discontinufteit in het verloop van de frequentielijn op te willen vangen door een mathematische formulering. Het is ongetwijfeld juister om een grafische methode te hanteren en de fysische achtergronden in de beschouwing te betrekken. 3 $ s Een derde, bijkomend voordeel van de logarithmische schaal bestaat hieruit, dat de gemiddelde overschrij dingsduur per top op zeer eenvoudige wijze kan worden samengesteld, indien hiervoor ook de logarithmische schaal wordt gekozen, zoals in fig. b is gebeurd. Uit het eerder genoemde quotient volgt n l . : log (gem. overschrijdmgsduur per top) = log (dagenfrequentie) - log (toppenfrequentie). In woorden: De gemiddelde overschrijdingsduur kan worden gevonden door het horizontale verschil - 3- tussen de dagenfrequentielijn en de toppenfrequentielijn te meten en daarna deze maat op een logarithmische schaal uit te zetten. De extrapolatie van de toppenfrequentielijn van Borgharen naar extreem hoge afvoeren bestaat uit een rechtlijnige extrapolatie van het bovenste lijnstuk. Deze soort extrapolatie houdt geen verband met een bepaalde natuurwet, doch is uitsluitend gebaseerd op de eenvoudigste veronderstelling, nl. dat de in het bekende gebied optredende regelmaat zich bij hogere afvoeren zal voortzetten. Een opbuigen van de toppenfraquentielijn is onwaarschijnlijk. Dit zou alleen te verwachten zijn, indien boven een bepaald niveau de afvoer onevenredig zou toenemen, b. v. door vergroting van het stroomgebied. Een terugbuigen van de toppenfrequentielijn naar een langzaam flauwer wordend verloop is in zoverre waarschijnlijk, als de geihundeerde gebieden bij de zeer hoge afvoeren bovenstrooms van het meetpunt blijven toenemen. Er zal zeker op de Maas tussen Namen (monding Sambre) en Luik b. v. tengevolge van toenemende inundaties golfdemping optreden, die een verlagende invloed op de hoge toppen zal hebben. Deze invloed is echter thans niet of nog niet bekend en zal bovendien in dit vrij smalle rivierdal van weinig betekenis zijn. Er is dus uit dien hoofde in het geval Borgharen (fig. 32) geen overtuigende reden om van een rechtlijnig verloop af te wijken. In hoofdstuk III wordt een nadere toelichting op deze toppenfrequentielijn van Borgharen gegeven. Eerst wordt een theoretische beschouwing gewijd aan dat type frequentieverdeling, dat op enkel legarithmisch papier door een rechte lijn wordt voorgesteld, de rechtlijnig-exponentiSle verdeling. Daarna wordt deze theorie uitgebreid tot de geknikte rechtlijnig-exponentiele verdeling, die vervolgens op Borgharen zal worden toegepast. Voor de afvoeren in het zomerhalfjaar (1 mei t/m 31 oktober) werden afzonderlijke frequentielijnen samengesteld (fig. 33). Deze afvoeren zijn n l . van speciaal belang voor vraagstukken op het gebied van wateronttrekking voor de landbouw en voor werkzaamheden, die op of aan de rivier worden uitgevoerd. De toppenfrequentielijn van Lith (fig. 34) werd niet afgeleid uit het waarnemingsmateriaal dat ter plaatse is bepaald. Gebruik wordt gemaakt van de onderlinge betrekking, die bestaat tussen de topafvoeren van Borgharen en van Lith. Deze methode gaf een beeld waarmee uitnemend tot zijn recht kwam het gevolg van de in de onderzochte periode tot stand gekomen belangrijke wijzigingen in het regime van de r i vier. Deze wijzigingen, in het bijzonder de uitgebreide grindbaggerijen, hebben de golfdemping in sterke mate beihvloed. Een en ander wordt nader toegelicht in hoofdstuk IV. In hoofdstuk V worden behandeld de dagenfrequentielijnen, in het bijzonder de extrapolatie hiervan. Daarbij wordt gebruik gemaakt van de lijn, die de gemiddelde overschrij dingsduur per top geeft. Een bepaald wiskundig model werd aangepast aan de gegevens uit het bekende gebied en gebruiktvoor extrapolatie naar extreme afvoeren. Ook voor Lith werden de frequentielijnen voor de zomerafvoeren afzonderlijk vastgesteld (fig. 35). In hoofdstuk VI wordt een beschouwing gewijd aan de waterstanden op de Maas, in het bijzonder aan de extreem hoge standen. Fig. 39 geeft het verband tussen de waterstanden langs de Maas en de afvoer te Borgharen. Deze figuur werd samengesteld met behulp van de afvoerkrommen van Borgharen en Ravenstein en van de betrekkingslijnen tussen de waterstanden bij de diverse peilstations. Het zal blijken dat tegenwoordig de bij extreme afvoeren (freq. 10~3 respectievelijk 3.10"4) optredende standen, de standen van de bekende hoogwatergolf uit januari 1926 niet zullen overschrijden. II HERKOMST EN BEWERKING VAN HET WAARNEMINGSMATERIAAL 1. Beschikbaar materiaal Het beschikbare materiaal wordt gevormd door de dagelijkse afvoercijfers in m3/sec over de jaren 1911-1960. De bronnen van dit materiaal zijn; a. B o r g h a r e n De afvoeren uit de jaren 1911-1931 zijn afgeleid uit de voor die tijd geldende afvoerkromme van Vise. In 1931 werd de stuw te Borgharen in bedrijf gesteld. Voor de jaren 1932-1950 werd gebruik gemaakt van een afvoerkromme, aangevende het verband tussen de waterstand te Vise en de afvoer over de stuw te Borgharen, In deze tijd was de bodem van de rivierbedding te Vise constant, terwijl in Borgharen een sterke daling optrad als gevolg van grindbaggerwerken, Een afvoerkromme van Borgharen is daarom over dit tijdvak geen vaststaand gegeven [lit. l ] . Na 1950 is ook de bodem te Vise gaan dalen. De afvoeren uit de periode 1951-1960 zijn daarom aldus bepaald, Er werd een afvoerkromme samengesteld, die het verband gaf tussen de 8-h afvoer over de stuw en de 8-h stand beneden de stuw. Deze kromme moest van tijd tot tijd herzien worden, Per dag wordt de tengevolge van manipulatie met de stuwen in Belgie" vaak abrupt fluctuerende waterstand 6x opgenomen. Hiervan wordt grafisch het gemiddelde bepaald. Met behulp van dit gemiddelde wordt daarna op de geldende afvoerkromme de afvoer afgelezen, die als vereffende 8-h afvoer wordt beschouwd. Sedert 1956 vertoont de afvoerkromme geen daling meer. Bij geopende stuw wordt gebruik gemaakt van de afvoerkromme van Maastricht, die door stroommetingen (met Ottmolens) werd vastgesteld. b. Lith De afvoeren 1911-1936 zijn bepaald uit de afvoerkromme van Ravenstein. Bij werking van de Beerse overlaat werd gewerkt met de afvoerkromme. van Mook. In 1936 kwam de stuw te Lith gereed. De afvoeren 1937-1960 werden bepaald uit de water- en klepstanden aan de stuw met behulp van een bij de sluismeester berustende afvoergrafiek. Bij geopende stuw wordt gewerkt met de afvoerkromme van Ravenstein. Deze afvoerkromme werd door drijvermetingen vastgesteld en wordt nog regelmatig gecontroleerd. 2, Selectie van de toppen De rivierafvoer, waarvan de grootte nu dag voor dag bekend is, blijkt aanzienlijke variaties te vertonen. In perioden met weinig neerslag kan de afvoer zeer lage waarden aannemen. Valt ergens in het stroomgebied regen, dan komt het gevallen water met enige vertraging op de rivier terecht. Er ontstaat dan een hoogwatergolf (flood, Hochwasserwelle, onde de crue), die, wanneer er geen andere golven aan voorafgaan of er op volgen, een zeer karakteristieke vorm heeft: snelle stijging, gevolgd door een langzame daling. De snelle stijging vindt plaats in de tijd, die nodig is, om het afvoermechanisme op gang te brengen. Hiervoor zijn op de Maas 3 a 5 dagen voldoende. De veel langzamere daling ontstaat, doordat de watertoevoer van land en gebergte via de grond, greppels en beken naar de rivier geleidelijk afneemt. De snelheid van afname hangt behalve van de aard van het gebied af van de verhouding waarin het water bovengronds of ondergronds wordt afgevaerd [lit. 3, 4, 5, 6 j . De grote hoogwatergolven zijn bij uitstek een gevolg van bovengrondse afvoer, De vorm van de hoogwatergolf komt tot uitdrukking in de plaatselijke peilschaalkromme. In fig. IA en IB zijn voorbeelden van gfsoleerd optredende hoogwatergolven gegeven, zoals deze zich voordeden aan het peilmeetstation te Borgharen. Wanneer de regelmatige afname van de hoeveelheid geborgen water wordt gestoord door nieuwe regenval, dan zal de toevoer op de rivier weer sterk toenemen tot een nieuwe maximumwaarde en begint net spel van voren af aan. In een periode, waarin de regenbuien elkaar met vrij korte tussenpozen opvolgen lopen de verschillende hoogwatergolven in elkaar over. Voegt men hieraan nog toe kunstmatige handelingen, zoals manipulaties met de stuwen, dan is duidelijk, dat er zeer ingewikkelde vormen van afvoerlijnen kunnen ontstaan, F i g . l C geeft hiervan een voorbeeld uit de natte winter 1960-'61. Hierbij komen kort na FIG. I VOORBEELDEN VAN HOOGWATERGOLVEN OP DE MAAS B'J BORGHAREN. A I 64.70 elkaar een aantal maxima voor. Ze zijn van hoog naar laag genummerd 1 t/m 7. De afleiding van de frequentieverdeling van de hoogwatergolven naar de topafvoeren geschiedt aan de hand van een lijst, waarop de in de beschouwde periode ( i . c. 1911-1960) voorgekomen toppen worden vermeld. Deze lijst begint met de hoogste top en wordt voortgezet met de ander toppen volgens afnemende grootte. Onder een top in engere zin wordt hierbij verstaan de hoogste dagelijkse afvoer van de hoogwatergolf. In ruimere zin vertegenwoordigt zo'n top de gehele hoogwatergolf. Daarom wordt in het spraakgebruik vaak het woord 'top' gebruikt voor het begrip 'hoogwatergolf. De eerste vraag, die zich bij het opmaken van de lijst voordoet is, welke dagafvoeren als zelfstandige top moeten worden beschouwd en in aanmerking komen op de lijst te worden vermeld. Uiteraard moet een top in de eerste plaats een maximum zijn, d. w. z. een dagafvoer hoger dan 2 of 3 voorafgaande dagafvoeren en ook hoger dan de 2 of 3 daarop volgende, Daarna vragen we ons af of elk zodanig maximum als top moet worden beschouwd. In gevallen, zoals fig. IA en IB is de zaak duidelijk, Er is e'en top aan te wijzen. Ondergeschikte fluctuates kunnen buiten beschouwing blijven. Komen er meerdere maxima kort na elkaar dan wordt de keuze minder vanzelfsprekend. In fig. I C bijv. zal men in ieder geval top 1 voor de afleiding van de frequentieverdeling mee laten tellen. Mag men dit ook doen voor de andere maxima 2 t / m 7 ? Geheel zelfstandige toppen zijn dit zeker niet. Dit geldt overigens ook voor top 1, waarvan de hoogte beihvloed wordt door de eerder voorgekomen top 5. Zou deze laatste niet zijn opgetreden, dan zou top 1 een lagere waarde hebben aangenomen. De toppen 1 en 5 hangen dus met elkaar samen, zodat er reden is, ze als een top te beschouwen. Een dergelijke samenhang bestaat ook tussen de toppen 2, 3 en 4 en tussen de lagere toppen 6 en 7. Het meerekenen van alle maxima is dus niet logisch. We wijzen dit dus af. Nu rijst de vraag, welke maxima wel en welke niet worden meegerekend. Een duidelijk fysisch criterium is niet te geven omdat theoretisch elke hoogwatergolf oneindig lang doorwerkt. Toch zullen we een maatstaf vast moeten stellen, omdat bij het ontbreken hiervan de beoordeling van het al of niet meerekenen van een bepaald maximum wordt overgelaten aan het persoonlijk inzicht van de bewerker der waarnemingen. Wordt het werk verricht door meerdere personen of wordt later de bewerking om welke reden dan ook herhaald, dan kan dit tot ongelijkwaardige resultaten aanleiding geven.' Voor het opstellen van een maatstaaf is aldus te werk gegaan. Aangenomen wordt, dat op een tijdstip, vallende een vaststaand aantal dagen na een beschouwd maximum, de hoogwatergolf zoveel van zijn water heeft afgevoerd, dat deze als uitgewerkt kan worden beschouwd. Treedt er binnen n dagen een nieuw maximum op, dat lager ligt dan het eerste, dan wordt het tweede maximum geacht tot de oorspronkelijke hoogwatergolf te behoren, en wordt niet op de toppenlijst vermeld. Ligt het tweede maximum hoger dan het eerste, dan wordt het tweede maximum als de top beschouwd en wordt het eerste verder buiten beschouwing gelaten. Bij toepassing van deze methode. moeten we dus in een groep maximum eerst zoeken naar de hoogste top in deze groep. Maxima, die vallen in een periode tussen n dagen voor en n dagen na de hoogste top worden geacht tot die hoogste top te behoren en verder buiten beschouwing gelaten. Buiten genoemde periode wordt de procedure opnieuw toegepast. Voor de Maas werd op grond van de vorm van een groot aantal geisoleerde toppen n = 8 dagen ge•kozen. Het is duidelijk dat deze waarde voor iedere rivier anders kan liggen. In fig. IA is aangegeven, welke maxima volgens de besproken methode als top beschouwd worden. 3. Kenmerkende eigenschappen van de toppen Na de selectie van de toppen uit de dagelijkse afvoeren komt de vraag aan de orde, welke getalswaarde of getalswaarden we aan een hoogwatergolf moeten toekennen om het karakter ervan zo goed mogelijk tot uitdrukking te brengen. We zullen daartoe de volgende kenmerkende eigenschappen bespreken (zie ook fig. 2a en 2b): a) plaatselijke topstand (local crest) b) momentele topstand (river crest) c) plaatselijke topafvoer d) momentele topafvoer e) overschrijdingsduur door de golf van een bepaalde hoogte of afvoer-grootte - 6- f) basisduur g) de snelheid van stijging of daling h) het totale volume van de golf De p l a a t s e l i j k e t o p s t a n d is de hoogste stand, die tijdens het passeren van een hoogwatergolf op een bepaald peilmeetstation wordt afgelezen. Dit is in feite het directe gegeven, dat door de waterwaarnemers wordt verstrekt. De plaatselijke topstand verschilt van de topstand, die de golf op dat ogenblik ergens op de rivier heeft en die we de m o m e n t e l e t o p s t a n d zullen noemen. De momentele topstand passeert pas enige tijd later de peilschaal, maar dan is de plaatselijke waterstand als gevolg van de golfdemping al weer gedaald (zie fig. 3). Door SCHONFELD en HENDERSON zijn hieraan uitvoerige beschouwingen gewijd [ l i t . 7 en 8 ] . Ook voor de afvoeren kan onderscheid worden gemaakt tussen de p l a a t s e l i j k e en de m o m e n t e l e topafvoer. Evenals bij de waterstand loopt bij de afvoer de plaatselijke top voor de momentele. Uit de continuiteitsvoorwaarde blijkt, dat op een bepaald tijdstip en op een bepaalde plaats de plaatselijke topstand p met de momentele topafvoer M samenvalt. De continuiteitsvoorwaarde luidt: dy dQ sx + B— at waarin: - O Q x B y t (1) = afvoer = afstand, volgens de as van de rivier = spiegelbreedte = waterstand t. o. v. de rivierbodem = tijd Voor de plaatselijke top geldt: dy at o zodat dan volgens (1) Dit is de voorwaarde voor de momentele topafvoer. In fig. 3 is aangegeven hoe de 4 genoemde toppen met elkaar samenhangen. Hierbij blijkt, dat de maximale afvoer op en bepaald punt steeds eerder optreedt dan de maximale waterstand aldaar. Met andere woorden: het waterstandsverloop ijlt na t. o.v. het afvoerverloop. Van genoemde toppen is de plaatselijke topstand die, welke we aan de peilschaalgegevens kunnen ontlenen. De waterstanden worden vervolgens met behulp van een afvoerkromme in afvoercijfers herleid. Als gevolg van het naijlen van de waterstanden t. o. v. de afvoeren wordt hierdoor een kleine fout gemaakt, die echter voor de praktijk van geen enkel belang is gebleken. In het bijzonder bij de plaatselijke topstand is het verschil tussen de volgens de afvoerkromme gegeven afvoer en de momentele topafvoer gering [ l i t . 8] . De aan de afvoerkromme ontleende topafvoer wordt verder als momentele topafvoer beschouwd en in het volgende aangeduid met alleen t o p a f v o e r , De momentele topstand en de plaatselijke topafvoer worden in deze nota niet gebruikt. Bij vraagstukken, waarbij het alleen gaat om het feit of een bepaald peil (of een bepaalde afvoer) wordt bereikt behoeft alleen de grootte van de topwaarde te worden beschouwd. Dit is b.v. het geval bij de vaststelling van dijkhoogten. De duur van de overschrijding van dit peil speelt dan eerst secundair een rol. In eerste instantie wordt daarom een onderzoek ingesteld naar uitsluitend de grootte van de topafvoeren. PLAATSELIJKE W MOMENTELE DALING 3 t TOPSTAND TOPSTAND ( LOCAL CREST (RIVER C R E S T ) fNEG.") » ' OVERSCHRUDINGSDUUR HOOGTE h BASISHOOGTE BODEM to.v. NAP T'JD FIG. 2^ OVERSCHRUDINGSDUUR AFVOERGROOTTE BASIS A F V O E R T'JD FIG. 2 B Q PLAATSEL'JKE TOPSTANDEN OMHULLENDE dY a Y dX " dX MOMENTELE TOPSTANDEN FIG.3 PLAATSEL'JKE TOPAFVQEREN dQ - O OMHULLENDE dQ dX s a Q 3 X MOMENTELE TOPAFVQEREN Toelichting: In punt B wordt de plaatselijke topstand p2 (local crest) bereikt op het tijdstip t2. De momentele topstand m2, (river crest) is dan in het punt A . Op het tijdstip t3 is de momentele topstand m3 in het punt B. De plaatselijke topafvoer PI in punt B wordt bereikt op het tijdstip t l . Op het tijdstip t2 passeert de momentele topafvoer M2 het punt B. Deze valt dus samen met de plaatselijke topstand p2 aldaar. Op dat moment treedt in punt C de plaatselijke topafvoer P2 op. Volgens HENDERSON (lit. 8) is AB=BC. Volgen we de plaatselijke topstand p met de golf mee, dan vinden we dy dy <K _ dx t) t dx 6y_ 6 x Ay (omdat — - =0) d.w. z. bij de plaatselijke topstanden raakt de golf aan zijn omhullende (vloedmerk). lets dergelijks geldt voor de plaatselijke topafvoeren, nl. dQ dQ dx dx - 7- In vele gevallen echter is naast de hoogte ook de "duur" van een hoogwatergolf van belang. B i j voorbeeld de duur dat landerijen of wegen onder water staan, dat de scheepvaart is verboden, en dergelijke. Men kan op verschillende wijzen over een "duur" spreken. In deze nota zal steeds onder duur worden verstaan de duur dat een gesteld peil h wordt overschreden of, wat hetzelfde is, de duur dat de afvoer groter is dan een gesteld bedrag. In de figuren 2A en 2B is dit aangeduid als de o v e r s c h r i j d i n g s d u u r van resp. een bepaalde hoogte of een bepaald afvoerbedrag. In de inleiding kwam reeds ter sprake het begrip g e m i d d e l d e o v e r s c h r i j d i n g s d u u r per top en hoe deze uit de frequentielijnen kon worden afgeleid. In fig, 4 is dit begrip nader toegelicht. FIG. 4 De toppen zijn genummerd van hoog naar laag. Overschrijdingsfrequentie afvoergrootte 0 : = 4 hoogwatergolven per jaar en tevens: + d + d + d d a e n e r a a r 2 3 4 ^ 8 P j ' Gemiddelde overschrij dingsduur van afvoer Q = d 1 + d 2 + d„ + d, 3 4 4 . dagen/top Een andere maat, die samenhangt met de duur van het golfverschijnsel i s d e b a s i s d u u r , zoals globaal grafisch is gedefinieerd in f i g . 2B, Deze grootheid is moeilijk of in het geheel niet in getalswaarde uit te drukken, omdat de basishoogte c. q. <de basisafvoer van geval tot geval verschilt en omdat er geen scherpe tijdsgrenzen te geven zijn. H i j komt dan ook voor statistisch werk niet in aanmerking. D e s n e l h e i d v a n s t i j g i n g of van d a l i n g is van belang bij vraagstukken die verband houden met voorspelling van hoogwater, in het bijzonder de stij gsnelheid. In deze nota wordt dit aspect echter niet behandeld. Het t o t a l e v o l u m e van de golf is de integraal van de afvoeren, die gedurende de basisduur een bepaalde plaats (peilmeetstation) zijn gepasseerd. In formule: Q dt - 8- In hoofdstuk V zal het volume van een geschematiseerd golfmodel worden gebruikt bij het onderzoek naar het verband tussen de tijdsduur van het golfverschijnsel te Borgharen en van die te Lith. De verschillende genoemde eigenschappen hangen alle min of meer met elkaar samen. In deze nota wordt voornamelijk gebruik gemaakt van: 1) de (momentele) t o p a f v o e r, als maat voor de grootte 2) de g e m i d d e l d e o v e r s c h r i j d i n g s d uur per top van een variabel afvoerbedrag als maat voor de duur ILL DE FREQUENTIES VAN DE TOPAFVQEREN TE BORGHAREN 1„ F requentieve rdelingen Zoals in de inleiding werd vermeld zal in dit hoofdstuk een beschouwing worden gewijd aan de rechtlijnig-experimentiSle en de geknikte rechtlijnig-exponentiele verdeling. Allereerst zullen daartoe frequentieverdelingen in het algemeen besproken worden. Wanneer men de beschikking heeft over een groot aantal waarnemingen van een regelmatig voorkomend verschijnsel (bijv. een afvoergolf), dat naar grootte meer of minder sterk kan varigren, dan kan men een indruk krijgen van de spreiding van de waarnemingscijfers, door deze naar grootte in groepen in te delen en te tellen ("turven"), hoeveel waarnemingen in ieder van deze groepen vallen. Met behulp van de uitkomsten kan men een blokdiagram of histogram samenstellen. Op de verticale as komt het aantal waarnemingen per groep, op de horizontale as de maat, waarin de waargenomen grootheid wordt uitgedrukt. Een histogram kan verschillende vormen aannemen. De figuren 5a, b en c geven enige voorbeelden. (Een symetrische, een asymetrische en een afgesnedene). De grenzen tussen de groepen of klassen kan men op verschillende manieren kiezen. Een verandering van klassebreedte heeft verschillende gevolgen, zowel voor de hoogte als voor de vorm van de figuur. Neemt men bijv de klassebreedte 2x zo smal als bij een eerste opzet, dan zal het aantal waarnemingen per klasse gemiddeld 2x zo klein worden. De figuur zal dan dus 2x zo laag worden. Bij nog kleinere klassebreedte zal de figuur steeds verder "in elkaar zakken". Men kan aan dat bezwaar tegemoet komen door op de verticale schaal uit te zetten "het aantal waarnemingen per groep, gedeeld door de klassebreedte". De hoogte van de figuur wordt dan onafhankelijk van de gekozen klassebreedte. De dimensie van de grootheid op de verticale as wordt dan de reciproke waarde van de dimensie langs de horizontale as. Een tweede gevolg van het nemen van steeds kleinere klassebreedten is, dat de trapjeslijn van het histogram steeds meer nadert tot een vloeiende kromme. In het li'mietgeval wordt de klassebreedte oneindig klein. Het histogram is dan een vloeiende kromme geworden. De functie, die deze kromme voorstelt noemt men v e r d e l i n g s f u n c t i e f(x) voor een verschij nsel, waarvan de grootte x varieert. In de fig. 6a, b en c zijn een aantal verdelingsfuncties voorgesteld, die samenhangen met overeenkomstige histogrammen uit de figuren 5. Is dit verschijnsel een hoogwatergolf, waarvan men de topafvoer gemeten heeft (in m3/sec), dan is de dimensie van de verdelingsfunctie: |m3/sec In een klasse ter breedte dx komt het verschijnsel f (x) dx maal voor. Wil men weten, hoeveel hoogwatergolven opgetreden zijn met topafvoeren, gelegen tussen bijv. x m3/sec en x m3/sec, dan betekent men de integraal: Vraagt men naar het aantal hoogwatergolven, kleiner dan een bepaalde grootte x, dan moet men berekenen: x F(x)= J 0 f(x)dx (3) De functie F (x) heet d e o n d e r s c h r i j d i n g s f u n c t i e . Veelal zullen we werken met de o v e r s c h r i j d i n g s f u n c t i e p. Hebben we in totaal K waarnemingen gedaan, dan is de grootte van deze functie: K - F (x). Omdat het totaal aantal waarnemingen van geval tot geval verschilt, is het logischer met relatieve aantallen t. o.v. het totaal te werken dan met absolute aantallen. - 10 - De genoemde integralen geven dan als uitkomst nu geen aantal maar een fractie. De waarde K gaat over in de eenheid, waardoor de overschrijdingsfunctie dan wordt: P=1"F (x) (4) De verdelingsfunctie van een oneindig groot aantal gevallen noemt met het u n i v e r s u m . Inde praktijk hebben we altijd slechts een eindig aantal gevallen. Dit beperkte aantal kunnen we beschouwen als een s t e e k p r o e f uit dit universum, Hoe groter de steekproef, hoe minder de frequentieverdeling binnen de steekproef zal afwijken van het universum. Een tweetal begrippen, die bij een verzameling getalswaarden (dus bijv. een serie cijfers van afvoertoppen) een rol spelen zijn de g e m i d d e l d e waarde e n d e s t a n d a a r d a f w i j k i n g of standaarddeviatie t.o.v. het gemiddelde. Het g e m i d d e l d e van de afvoertoppen, gelegen tussen x^ en x^ is de som van de tussen deze grenzen gelegen toppen, gedeeld door het aantal toppen, of in formule: x / '2 x gem. = 1 x f (x) dx ; (5) -X 2 f (x) dx x 1 Beschouwen we alle toppen (d.w. z. tussen x= O en x= hiervan: r°° J x x gem. - o 0 0 ), dan bedraagt het gemiddelde f (x) dx (6) r Voor de noemer geldt nl: / o f (x) dx = 1 r°° De vorm / xf (x) dx wordt ook wel genoemd het l e moment. o De s t and aa r d a f w i j k i n g is de tweedemachtswortel uit de variantie t.o.v. het gemiddelde, De variantie is de som van de tweede machten van de afwijkingen van alle toppen t. o. v. de gemiddelde waarde, gedeeld door het aantal toppen. In formule: / oo (x -p) 2 f(x)dx ro r J f(x)dx CO / x o /- CO — 2 f (x) dx - 2 Jtt f ' 1 o x f (x) dx + 2 J p o ' l f (x) dx AI 64.86 - 11 - /"°° Wij noemen de vorm J x f ( x ) dx - 2 F l y x f (x (x)dx - x / J o x 2 yu .^ + i / f, ,(x) dx het 2e moment i fx. '2 De m o m e n t e n v e r g e l i j k i n g luidt: De standaardafwijking t.o.v, het gemiddelde is dus: 6 = i/u' . (9) 2. De r e c h t l i j n i g - exponentiele v e r d e l i n g De overschrijdingsfrequenties van de topafvoeren voor hoogwatergolven bleken bij gebruik van enkel-logarithmisch papier bij benadering op een rechte lijn te liggen. De logarithmen van de overschrijdingsfrequenties zijn dus evenredig met de grootte van het verschijnsel, In formule: log £ 1 - F ( x ) J Voor de uitwerking zullen we natuurlijke logarithmen gebruiken en de evenredigheidsconstante die negatief is. - oc noemen, Dit geeft: In | 1 - F (x) | = - CXx . . of 1 - F (x) = e (10) (11) De constante 5jf is de z.g. n a p i e r e r i n gsw a ar de(genoemd naar de grondlegger van het natuurlijke logarithmenstelsel John Napier). ^ Wanneer we een afvoer x vergelijken met een afvoer x + , dan blijkt, dat de overschrijdingsfrequentie van de laatste £ - m a a l zo klein is als die van de eerste. In formule: i - f(X =e - c*x-l -ex.X =£ B / /e (12) - 12 - -CK.X. F(x) = 1 (13) en hieruit de verdelingsfunctie: dF(x) -cxX f ( x ) = — — = ace (14) dx In fig. 7 zijn de verdelingsfunctie f (x) (verg. 14), de onderschrijdingsfunctie F (x) (verg. 13) en de overschrijdingsfunctie (verg. 11) op lineaire schaal grafisch voorgesteld. Fig. 8 geeft eveneens de overschrijdingsfrequentie, waarbij nu de figuur een kwartslag is gedraaid, omdat het aantrekkelijk is afvoeren (en waterhoogten) op verticale schaal uit te zetten. In fig. 9 is de overschrijdingsfrequentie logarithmisch uitgezet, waarbij de schaaleenheid = ln€ , De frequentielijn wordt dan een rechte, Deze gaat door de oorsprong en heeft een richtingscogfficignt - 1 -— . Uit de overschrijdingslijn kan worden afgeleid hoe vaak een bepaalde afvoer x wordt overschreden. Van belang is ook de vraag, met welk bedrag deze afvoer dan gemiddeld wordt overschreden. Hiertoe berekenen we de g e m i d d e l d e o v er s c h r i j d i n gs w a ar de x Dit is de gemiddelde waarde van alle toppen, gelegen boven een bepaalde x, Uit de verdelingsfunctie is af te leiden: -co a o * x f (x) dx / x. oc e dx _ < x r f (x) dx / x J De integraal in de teller wordt: -CX x x e oo <X e dx CO -OCX - OCX dx xe <X x xe dx •oc x oC. oo FIG7 FIG8 FIG.9 AI 63.6 - 13 - tx Voor de integraal in de noemer wordt afgeleid oCx OCX dx oo -OCx = e Hieruit volgt: -OCX -OCX of .(15) De gemiddelde hoogte van alle waarden boven een bepaald niveau x is dus steeds een constant bedrag X- groter dan dit niveau x, ° ex. ° De gemiddelde overschrijdingswaarden hebben als meetkundige plaats een lijn, lopende evenwijdig aan de overschrijdingslijn en gelegen op een afstand ~ hierboven, of op een afstand In e links hiervan. Dit geeft een eenvoudige methode om bij een gegeven frequentiefiguur zeer snel de gemiddelde overschrijdingswaarde te bepalen. Men gaat vanuit het punt A , waar de frequentielijn het niveau x snijdt, over een afstand In e naar rechts (punt B) en van daar uit verticaal naar boven tot men de frequentielijn snijdt (punt C). Op deze hoogte ligt de gemiddelde overschrijdingswaarde, zoals blijkt uit fig. C . Het is hiervoor dus niet nodig, de lijn van de gemiddelde overschrijdingswaarden te tekenen. W i l men niet slechts een doch meerdere overschrijdingswaarden kennen, dan verdient het tekenen van de meetkundige plaats hiervan uiteraard wel aanbeveling In de praktijk zal voor de horizontale schaal steeds met Briggse (tientallige) logarithmen worden gewerkt, De schaaleenheid wordt dan log 10. De horizontale afstand tussen beide lijnen wordt dan log e of 0, 434 x de schaaleenheid. Is de schaalverdeling met getallen 1, 2, 3 . . . . aangegeven, dan kan de gezochte afstand worden gevonden als die tussen 1 en e = 2, 72. - 14 - Het gemiddelde van alle voorkomende waarden van x (alle waarden, groter dan x = O) bedraagt volgens het voorgaande: x gem = 1 x = —. o o< v (16) ' Van het verloop van de gemiddelde overschrij dingshoogten kan in praktijkgevallen met voordeel gebruik worden gemaakt bij het bepalen van de richting — , In par. 5 van hoofdstuk III wordt hierop nader teruggekomen. De s t a n d a a r d a f w i j k i n g kan worden bepaald uit de momentenvergelijking: 1 H 2 a 2 ^2 " A 8 <> - 15 - ,0 Dit geeft + 1 —e - 04 X oo oc 1 2 —7 6 OC oc (17) zodat De standaardafwijking is bij deze verdeling dus even groot als de gemiddelde waarde. 3. Kansen op optreden van hoogwatergolven Alvorens de theorie uit te breiden tot de geknikte rechtlijnig-exponentiele functie,volgt nu eerst een beschouwing over de vraag, hoe uit de overschrijdingsfrequentielijn de k a n s op overschrijden van een bepaalde waarde kan worden afgeleid. De overschrijdingsfrequentie volgens formule 11 stelt voor de verhouding tussen het aantal afvoertoppen, groter dan een bepaalde waarde x en het totaal aantal toppen. Ze wordt uitgedrukt in een d i mensieloze grootheid a a n t a l of procenten en meestal voorgesteld door de letter p, zodat: aantal OCx (18) p= 1 - F(x) Nemen we uit deze verdeling (universum) een steekproef, die bestaat uit n elementen, (dus bijv. n toppen in een tijdvak van T jaar), dan zullen in zo'n steekproef g e m i d d e l d m elementen voorkomen groter dan x. Hiervoor geldt: m = np ^ of log m = log n + log p I . of In m = In n + In p J (19) Om de gemiddelde frequentie per tijdvak T te vinden moet dus in fig. 9 de x-as over een afstand In n naar rechts worden verschoven. De kans, dat in een steekproef (tijdvak T) een waarde x niet wordt overschreden, luidt volgens de wet van Poisson K o = e-m . . . (20) De kans op een of meer malen overschrijding is dus: k =1 - K = 1 - e o -m (21) Voor grote waarden van m nadert deze kans tot 1, voor kleine waarden tot de waarde m zelf. In formule: •talk- 1 ( ) 2 2 m—*• en oo m limK = l i m ( l - e " ) = m m-»o m-»o De getalswaarden van frequentie en kans worden dan dus gelijk. (23) - 16 - In tabel I zijn voor verschillende gemiddelde overschrijdingsfrequenties m (per tijdvak T) de kansen K op een of meer overschrijdingen in een willekeurig tijdvak T gegeven. TABEL I < m K = 1 -e 0,050 0, 050 0,100 0,200 0,300 0,400 0,500 0,600 0,700 0, 800 m 0, 050 0,097 0,180 0,260 0,330 0,394 0,456 0,503 0,552 -m m 0, 900 1, 000 1,500 2,000 3, 000 4, 000 5, 000 6, 000 7,000 > 7,000 K = 1-e -m 0,592 0,630 0,777 0, 865 0,950 0, 982 0, 993 0, 997 0, 999 1,000 Als tijdvak T kan men een willekeurige periode kiezen, bv. een jaar. Vaak moet men echter met langere perioden werken. In vele gevallen, bijv. bij veiligheidsoverwegingen i . v. m. bepaalde werken is dit de enig juiste methode. Als tijdvak T kiest men dan de geschatte levensduur, de afschrijvingstijd van een werk, of vooral, de duur, waarin een bepaalde situatie zal moeten functioneren. 4. De geknikte rechtl ij n ig - exponent ie le v e r d e l i n g Zoals eerder aan de hand van fig. 32 werd betoogd, kan de frequentieverdeling van de afvoertoppen te Borgharen worden beschouwd als een geknikte rechtlijnig-exponentiele verdeling. De verstoring van de regelmaat, die bij de hogere afvoertoppen werd gevonden, moet worden toegeschreven aan het achterblijven van water, dat bij overschrijding van een bepaald peil ergens in het stroomgebied geborgen wordt. Welke invloed heeft dit op de frequentieverdeling ? Verwezen wordt daartoe naar fig. 10, waar de frequentieverdeling "zonder berging" wordt voorgesteld door f^ ( x ). De verticale schaal geeft de afvoerwaarden, de horizontale de frequentieverdeling, Bij een afvoer x begint berging op te treden. De toppen, een weinig groter dan deze waarde zullen, welke invloed ze ook van de berging ondervinden, nooit beneden de afvoer x komen te liggen, maar hoogstens tot deze waarde gereduceerd worden. Hun aantal zal echter worden vergroot door toppen, die van nature een hogere waarde zouden moeten hebben, doch door de berging verlies hebben geleden. In het gebied boven de afvoer x zal de frequentie dus groter worden (gebied I), Zien we vervolgens naar hogere afvoerwaarden dan komen we in een gebied II waaruit wegens verlies van water een groot aantal toppen verdwenen zijn. De plaats van deze toppen wordt echter ingenomen door toppen, die een nog hogere waarde zouden moeten hebben. In gebied II vindt een opschuiving plaats. Het aantal toppen blijft gelijk. Bij nog hogere afvoerbedragen tenslotte wordt het verlies niet meer gecompenseerd door aanvulling van bovenaf. We bevinden ons dan in gebied M , waar minder toppen voorkomen dan er bij afwezigheid van berging geweest zouden zijn. • In fig. 10 is een en ander door een schematische yoorstelling verduidelijkt. Indien we voor de frequentieverdeling boven het punt x ook een exponentiele functie aannemen, dan wordt de overschrijdingsfrequentielijn, uitgezet op logarithmisch papier in dit gebied eveneens recht, Voor de afvoeren te Borgharen is een dergelijk verloop , zoals is gebleken uit fig. 32 aanvaardbaar. De formules voor de overschrijdingsfunctie, resp. beneden en boven het punt x luiden dan; s s s s s (24 a) 17 1 - F ( X) = e ~/3(*-C) ( 2 4 b ) De constante C hangt samen met de grootte van x . In dit punt zijn de overschrijdingsfrequenties even groot, zodat; s <*x =/3(x -Q s s Q -<3C dus: C = - x S Vergelijking (24 b) gaat door substitutie van C over in: - 3 x + (/3 -oc) x 1 - F (x) 2 = e w ' ' / o c s s (25) De formules van de verdelingsfuncties zijn door differentiatie af te leiden: f f 2 (x) =OCe ' * * (26 a) (x) ^ e ^ ^ ^ ^ ^ s ............................ (26b) De waarde -~- is de napiereringshoogte van de afvoeren groter dan x . fi s In fig. 11 is de overschrijdingsfunctie op lineaire schaal en in fig. 12 op logarithmische schaal uit gezet, Ook van de geknikte lineair-exponentiele verdeling kunnen de gemiddelde overschrijdingswaarden worden berekend. Voor afvoeren, groter dan x , geldt, evenals bij de gewone lineair-exponentiSle verdeling: s x = x *li (27) /3 Voor kleinere waarden dan x berekenen we de gemiddelde overschrijdingshoogte als gemiddelde waarde van alle afvoeren, groter dan x : s s -xx ( / x yof cV ep dx H v ++ Jl xx X 1 I ++ — — ff ee - / ? x +(/9 -oc) x '' s ' S x x = «. -ftx Xj e dx + e "» r •OCx x X s e I x e OCX + (/3 -<x.) x s I > x + -oCx e s s + — ex. I - 18 - e -OCX / s lXs 1 1 5c} + + e -OCX e -ocx ( |x -OCX s + e + 1 1 -ax L - | + e s^ s + 1 _ -OCX + e s -ocx e s OCX De tweede term stelt voor de gemiddelde overschrijdingshoogte, die zou gelden indien de overschrijdingslijn niet geknikt zou zijn, doch gewoon volgens de richting i . zou doorlopen, Het eerste lid moet gezien worden als een correctie hierop, als gevolg van het geknikt zijn. Deze is negatief als &, groter is dan °* We kunnen dus stellen: waarin: Voor x = x geldt: < Ax =— oc — /3 dus volgens (28) ; X = x + - L Naarmate x kleiner wordt neemt J\ x af. Voor x = 0 geldt: A A x o = r i -ocx . e S i ") {*~ff\ ( 3 0 ) Voor gevallen als bij Borgharen is, zoals in f i g . 14 zal blijken deze waarde te verwaarlozen. Voor kleine afvoeren geldt bij benadering dus weer: 1 x = x +— oc (15) In fig. 12 is het verloop van de gemiddelde overschrijdingshoogte x en van de correctie /}\ x uitgezet. - 19 - 5, V a s t s t e l l i n g van het verloop van de f r e q u e n t i e l i j n e n door gebruikmaking van de gemiddelde ove r s c h r i j dingshoogten De lijn van de gemiddelde overschrijdingshoogten, zoals deze in de paragrafen 2 en 4 werd afgeleid kan een belangrijk hulpmiddel zijn bij de bepaling van de richting van de overschrijdingsfrequentielijn. Dit geldt in het bijzonder voor de geknikte rechtlijnig-exponentiele verdeling, waar in de bovenste tak vaak weinig punten beschikbaar zijn, Het is dan moeilijk op het oog de juiste richting te vinden, Bepaling van de richting volgens de methode der kleinste vierkanten heeft het bezwaar, dat men aan een enkele "uitschieter", zoals bijv. de hoogwatervloed van 1926, te veel gewicht gaat toekennen, zodat deze de richting onevenredig sterk beihvloed. In feite dient men aan de punten in de figuren verschillende gewichten toe te kennen, hetgeen de zaak nogal gecompliceerd maakt. Daarnaast bestaat bij de geknikte verdeling de moeilijkheid, bij welke frequentie men de grens moet leggen tussen de lage en de hoge afvoeren, Men kan dan een keuze doen en voor beide takken de regressielijn hepalen. Heeft men goed gekozen, dan ligt het snijpunt tussen beide takken juist op de aangenomen frequentie. Klopt dit niet dan moet men de afleiding herhalen. Onnodig te zeggen dat deze methode zoveel rekenwerk geeft, dat ze in feite nooit wordt toegepast, De hierna te behandelen methode gaat er van uit, dat men van een gegeven verzameling afvoercijfers het verloop van de gemiddelde overschrijdingswaarden bepaalt. Men laat daartoe, gaande van hoog naar laag, alle toppen de revue passeren en berekent steeds de gemiddelde waarde van de hoger gelegen toppen dan de beschouwde. Aldus ontstaat een serie punten, die volgens voorgaande theorie op een lijn zouden moeten liggen, evenwijdig aan de overschrijdingsfrequentielijn en gelegen op een afstand J L hierboven. Men dient echter rekening te houden met het feit, dat de theorie alleen geldig is voor een oneindig doorlopend universum. In een bepaald praktijkgeval, zoals de verzameling topafvoeren van de Maas te Borgharen, beschikken we evenwel maar over een zeer beperkte hoeveelheid gegevens. Om een indruk te krijgen van de verhouding tussen de gemiddelde overschrijdingswaarden bij resp. een oneindig universum en een beperkte steekproef, beschouwen we een denkbeeldige steekproef, waarin de eenheden x juist de exacte waarden uit het universum aannemen. In fig. 13 is een overschrijdingslijn met dergelijke steekproefwaarden in beeld gebracht (lijn I). De steekproef bestaat uit N elementen, De verdelingsfunctie van het universum luidt als formule (14): - cXx f (x) =C<e Hierbij is de overschrijdingsfrequentie, volgens (11): - CX. X p = 1 - F (x) zodat: • e x • - 3 £ In p (31) Hiermee is de grootte van x uitgedrukt in de overschrijdingsfrequentie p. Wanneer we de N elementen naar grootte sorteren volgens rangnummer r, dan wordt voor ieder element de overschrijdingsfrequentie: r p = 17 (32) en In p = In r - In N Ingevuld in (31) geeft dit: x r = — ( In N - In r) ex. , We zullen nu punt voor punt de gemiddelde overschrijdingswaarde bepalen. (33) - 20 - Punt 1. Dit is de hoogst gevonden waarde in de reeks. Hiervoor geldt: r = 1 zodat x = r r In N 1 oC Aangezien dit de hoogste waarneming is, die gedaan is, valt de waarde ervan samen met de gemiddelde overschrijdingswaarde, zodat: x Punt 1 - x = 0 1 2. X„ = — ( In N - In 2) 2 oc ^ ' Het gemiddelde van alle hogere waarnemingen is hier de waarde van punt 1, zodat: x en 2 =^ln x - x 2 2 Punt N = — - In 2. 3. x 0 3 = - i - ( l n N - In 3) oc v ' # De gemiddelde overschrijdingswaarde is nu de gemiddelde waarde van de punten 1 en 2, zodat: X x 3 + l = X 2 oc. 1 en 1 = — _ . , , (In N In 2 —) 2 ' K In 2 o x„ - x = — ( In 3 3 3 <x/ ) ' 2 Punt 4 x 4 =— oc ( In N - In 4 ) v ' x + x + x 1 2 X 3 1 , = — ( In N In2+ln3 ) 4 _1 . x 4 - x l , . A 4 A ( In 4 OC ( l n N . In _ 2.3 _ ) In 2.3 ) 3 ' Op deze wijze kunnen we voortgaan. In fig. 13 worden deze punten x voorgesteld door de trapjes lijn II. Deze verschilt belangrijk van de theoretische lijn der overschrijdingshoogten III. o o o o O O O O O <0 O o t O (M o o o O to — « o O co CM CM X|QO IOO RANGNUMMER V FIG. 13 I = OVER SCH RUDINGSFREOUENTIEL'JN H = GEMIDDELDE OVERSCHR'JDINGSHOOGTEN. (uiT m= (THEORETISCH : * = GEMIDDELDE OVERSCHRUDINGSHOOGTEN WAARNEMINGSREEKS) ) N°. 63.30 - 21 - Het is duidelijk, dat voor een punt met rangnummer r in het algemeen geldt: 1 X In r - r ~ oc In (r-1) : r-1 (34) We kunnen stellen: R = In r to (r-1) '• r-1 (35) R (36) zodat dan geldt: kr r •• 1 OC De factor R geeft dus een verband tussen de waargenomen en de theoretische gemiddelde overschrijdingswaarde. Ze is alleen een functie van het rangnummer r en is onafhankelijk van het aantal waarnemingen N . Voor kleine waarden van r is R volgens (35) vrij snel te berekenen. Voor grotere waarden neemt het rekenwerk echter sterk toe. We kunnen in dat geval voor de faculteit de benaderingsformule van Stirling toepassen: n ! = y 2 jjr n.e n (37) Voor n > 10 is de afwijking kleiner dan l°/o. Passen we deze formule toe op (r - 1), dan volgt: r-1 ( r-1) en e "^ . (r-1) In (r-1) : = In \J2 ^ + In V V l - In (r-1) S r-1 : = In ™ (r-1) +(r-l) In (r-1). Hieruit volgt: V2T r-1 v In (r-1) * 2 (r-1) 1 + In (r-1). Dit geeft ingevuld in formule (35): (38) Hierin is In V 2 T = 0, 9189385 In het limietgeval voor r - * c O worden in formule (38) de eerste drie termen = 0, zodat dan geldt: 11m R = 1 r 00 - 22 - zodat en X = X r + ~ Voor waarnemingen met een hoog rangnummer nadert de berekende gemiddelde overschrijdingshoogte de theoretische waarde. De factor R convergeert echter vrij langzaam naar de waarde 1. Dit blijkt uit tabel II waar een aantal waarden van R zijn gegeven. Bij de samenstelling van deze tabel is voor waarden van r <^ 10 gebruik gemaakt van formule (35), voor waarden van r 10 van formule (38). Om nu in een bepaald praktijkgeval het verloop van de lijn der theoretische gemiddelde overschrijdingshoogte zo goed mogelijk te schatten, begint men een trapjeslijn te bepalen op de wijze, zoals in het voorgaande voor een ideaal geval is gedaan. Ligt deze vast, dan vermenigvuldigt men voor ieder punt het verschil x - x met de waarde - J T T die volgens tabel II bij het rangnummer r behoort. Dit produkt, opgeteld bij de waarde x geeft dan een punt van de geschatte theoretische overschrij dingslijn , volgens: r r r x r 1 + — oC x r . + (x r v - 1 R x ) r ' (39) Door de nieuwe serie punten trekken we op het oog een rechte l i j n . Omdat we nu met gemiddelde waarden werken is de spreiding hier aanmerkelijk kleiner dan bij de waarden x zelf. De bepaling van de richting is dus nauwkeuriger, Tabel II Correcties van de gemiddelde overschrijdingshoogten bij rechtlijnigexponentiele verdeling r R 1 2 3 4 6 7 8 9 10 0 0,693 0.752 0,789 0, 814 0,835 0, 850 0,861 0,871 0,881 11 12 13 14 15 16 11 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 S -1 r R R" 1,443 1,330 1,267 1,229 1,198 1,178 1.161 1.148 1,135 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 0,945 0, 947 0, 948 0, 949 0, 950 0.951 0,952 0,953 0,954 0, 955 0,888 0,894 0.899 0. 904 0,909 0, 913 0,916 0, 920 0,923 0.927 1,126 1,119 1,112 1,106 1,100 1,095 1, 092 1,087 1,083 1,079 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 0, 928 0.929 0,932 0.935 0,937 0, 938 0, 940 0, 941 0, 942 0, 944 1,078 1, 076 1,073 1,070 1,067 1,066 1, 064 1, 063 1,062 1,060 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 R r R R" 1,058 1,056 1,055 1,054 1.053 1,052 1, 050 1, 049 1,048 1,047 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 0,979 0,981 0, 982 0, 983 0, 984 0, 985 0, 985 0, 986 0. 986 0, 987 1, 022 1,019 1.018 1.017 1,016 1,015 1,015 1,014 1,014 1.013 0, 956 0,957 0,957 0, 958 0,959 0, 960 0, 960 0.961 0, 962 0, 962 1,046 1, 045 1,045 1,044 1, 043 1,042 1,042 1,041 1, 040 1.040 250 300 350 400 450 500 0, 989 0, 990 0,991 0. 992 0,993 0, 994 1,011 1.010 1,009 1,008 1, 007 1, 006 0,965 0, 966 0,968 0.970 0,972 0. 973 0, 975 0, 976 0,977 0, 978 1, 036 1,035 1,033 1,031 1, 029 1,028 1,026 1, 025 1,024 1, 023 600 700 800 900 1000 0, 0, 0, 0. 0, 995 995 996 996 997 1,005 1, 005 1,004 1, 004 1.003 2000 3000 4000 5000 0.998 0,999 0,999 0,999 1,002 1.001 1,001 1,001 10000 1. 000 1,000 1 1 - 23 - De frequentielijn zelf wordt gevonden als een rechte lijn evenwijdig aan de lijn van de overschrijdingshoogten en gelegen op een afstand gj- hieronder, Hebben we, zoals bij Borgharen, te doen met een geknikte rechtlijnig-exponentiSle verdeling, dan passen we bovenstaande methode toe op de bovenste tak van de frequentielijn en vinden zodoende de waarde - L , De onderste tak en daarmee de waarde i . kan voldoende nauwkeurig uit de gegevens PC g a a a zelf worden afgeleid omdat hier een groot aantal waarnemingen beschikbaar is, Beide takken zijn daarmee bekend, Het knikpunt x volgt vanzelf uit de snijding van de twee takken, s 6, A f l e i d i n g f r e q u e n t i e l i j n Borgharen De in par. 5 behandelde methode zal nu worden toegepast op de topafvoeren te Borgharen. In fig. 14 zijn de waargenomen topafvoeren uit de periode 1911-1960 als punten I uitgezet in een enkel-logarithmische frequentiefiguur, De verbindingslijntjes tussen de punten dienen alleen om de onderlinge samenhang te geven; als grafische voorstelling hebben ze geen betekenis, De trapjeslijn II geeft de uit de waarnemingen berekende gemiddelde overschrijdingswaarden. De punten III, weergegeven als + tekens, stellen voor de volgens de methode van par, 5 aan het oneindig universum aangepaste gemiddelde overschrijdingswaarden', Bij overschrijdingswaarden, kleiner dan ongeveer 1500 m3/sec, vallen deze punten practisch samen met de trapjeslijn, die inmiddels in een vloeiende kromme is overgegaan. Het blijkt nu goed mogelijk door de punten III een rechte lijn te trekken. Zoals blijkt kan er weinig twijfel bestaan inzake de te kiezen richting. De napiereringswaarde A = 330 m /sec. Weliswaar wijken voor de hoogste afvoeren de punten III af van de rechte lijn, * maar dit is uitsluitend een gevolg van de buitengewoon hoge afvoer van 1926, Op de gekozen richting van de lijn heeft deze afvoer geen onevenredig grote invloed De frequentielijn zelf wordt getrokken evenwijdig aan de lijn van de overschrijdingshoogten op een afstand 330 m3/sec. hieronder, De onderste tak van de frequentielijn volgt direct uit de waarnemingen zelf. De napieringswaarde is hier X =410 m /sec. Het snijpunt ligt bij een afvoer van x = 1310 m /sec en heeft een gemiddelde overschrijdingsfrequentie van 0, 7 5 toppen per jaar. Volledigheidshalve zijn ook voor de onderste tak de gemiddelde overschrijdingshoogten ingetekend, alsmede de lijn x + . Voor de lagere afvoeren vallen beide waarden samen. Het theoretisch afgeleide schema uit fig, 12 demonstreert zich hier in een praktisch voorbeeld. 3 3 3 s 7o Frequenties van de topafvoeren in de zomer Bij het onderzoek naar de frequentie van de topafvoeren in de zomer doet zich de moeilijkheid voor dat we met een groot aantal (in ons geval 50), los van elkaar staande perioden te doen hebben, die door een dubbel aantal (100) tijdstippen worden begrensd. Hierdoor is het mogelijk dat een groot aantal afvoergolven slechts voor een gedeelte van hun levensduur in de beschouwingen betrokken wordt. In het bijzonder voor de hogere toppen kan dit tot onduidelijkheden aanleiding geven. Zo bedroeg de hoogste topafvoer te Borgharen in de periode 1911-1960 945 m /sec (26 augustus 1931), De hoogste dagafvoer bedroeg echter 1045 m / s e c (31 okt. 1932). Deze behoorde bij een afvoergolf met een top van 1211 m /sec, die op 1 november 1932 optrad, dus per definitie in de winter. Was deze top een dag eerder gevallen, dan had ze tot de zomertoppen behoord en was de ligging van de topafvoeren in de frequentiefiguur ingrijpend anders geweest, Het is dus duidelijk, dat we voor de extrapolatie van de zomertoppenlijn niet te veel waarde mogen hechten aan de plaats van de hoogst voorgeko'men topafvoeren. Een methode, zoals in par. 4 werd toegepast is hier dus minder op zijn plaats. Bovendien zou een knik in de frequentielijn, niet lager dan bij de waarde die bij de algemene frequentieverdeling werd gevonden, n l . ongeveer 1310 m / s e c . te verwachten zijn. Deze waarde hangt nl, samen met de topografie van de rivierbedding, Voor de zomer ligt ze echter buiten het waarnemingsgebied. De meest logische extrapolatie voor de frequentielijn van de zomertoppen is daarom rechtlijnig tot een afvoer van 1310 m /sec, Voor hogere afvoerwaarden kan een iets flauwer verloop aangehouden worden. In fig. 15 zijn de zomertoppen in een frequentiediagram uitgezet. De helling van de frequentielijn wordt bepaald door de napieringshoogte, die in dit geval bedraagt; 3 3 3 3 3 1 3 — = 200 m /sec - 24 - 3 Voor toppen, hoger dan 1310 m /sec is, in evenredigheid met de algemene frequentielijn een napiereringshoogte toegepast, groot 1 „„„ 330 3 , 3, — = 200. ^ j j j - n i /sec = 160 m /sec. 3 De overschrijdingsfrequentie van x^ = 1310 m /sec bedraagt: -2 m x ( ) - 1.37.10 , toppen per jaar. 8. Onderzoek naar mogelijke veranderingen in het universum van de topafvoeren De in het voorgaande behandelde frequentielijnen worden samengesteld aan de hand van afvoergegevens uit de jaren 1911-1960. Daarbij is er van uitgegaan, dat het universum, waarop de frequentieverdeling is gebaseerd, gedurende deze tijd onveranderd is gebleven. Nagegaan zal nu worden of deze veronderstelling inderdaad verantwoord is. In tabel III is voor de 5 decennia, waaruit de periode 1911-1960 bestaat, het aantal overschrijdingen van verschillende afvoerbedragen gegeven. Teneinde na te gaan of er de laatste jaren veranderingen zijn opgetreden t . o . v . de begintoestand is aldus te werk gegaan. De overschrijdingsfrequenties van de eerste 3 decennia zijn samengevoegd en worden beschouwd als het voor die tijd geldende universum (zie tabel IV kolom 2). Hieraan zijn vervolgens de cijfers van de laatste 2 decennia getoetst, dus de periode 1941-1960. Dit gebeurde als volgt. Allereerst zijn de cijfers uit kolom 2 gereduceerd voor een 20-jarige periode (kolom 3). Noem deze overschrijdingswaarde m. Steekproeven uit dit universum zullen voor de kleine frequenties, dus voor de grote afvoeren, voldoen aan de verdeling van Poisson. De overschrijdingswaarde in deze steekproeven zullen zich met een standaardafwijking <S = \J m rondom m groeperen. Indien de overschrijdingswaarde uit een steekproef binnen de grenzen ~m + 2 ^ valt, kunnen we aannemen, dat deze steekproef aan het universum voldoet. In tabel IV zijn deze grenzen gegeven (respectievelijk kolom 5 en 6). Kolom 7 geeft de overschrijdingswaarden van de laatste 2 decennia. Deze blijken bevredigend binnen de gestelde grenzen te vallen. In de tabellen V en VI is eenzelfde bewerking uitgevoerd voor de zomerafvoeren. Ook hier vallen de cijfers van de periode 1941-1960 geheel binnen de gestelde grenzen. Op grond van dit onderzoek is een verandering van het universum niet aan te tonen. De veronderstelling dat we met een, onveranderlijk universum te maken hebben zal daarom gehandhaafd blijven. Overigens zijn in het stroomgebied van de Maas boven Borgharen geen oorzaken aan te wijzen, die het afvoerregime, in het bijzonder bij hoge afvoeren, ingrijpend beihvloed zouden kunnen hebben. T A B E L III a f v o e r totaal aan. in m3/sec t a l 1911/20 1 3500 3000 2500 2000 1800 1600 1400 1200 1000 1 921/30 1 931/40 1 941/50 1 951/60 2 3 4 5 - - _ _ 1 1 1 2 2 3 7 12 - _ _ - _ 2 3 6 10 12 3 1 2 3 8 11 20 1 1 1 5 10 19 6 o v e r schrijdingen 7 . _ S 9 12 16 1 1 3 10 14 31 50 79 FIG.I5 MAAS BORGHAREN overschrijdingsfrequenties topafvoeren zomeral voeren OVER SCH R'J DINGS FREQUENTIE IN AANTAL TOPPEN PER JAAR frequentielijn en in getekend* punten afgeleid uit de topafvoeren 1911-I960 - 25 - TABEL IV afvoer in m3/sec 1 3500 3000 2500 2000 1800 1600 1400 1200 1000 aantal overschr. 1911/40 m 20-jarige periode 2 3 26 = 2|/m" m-20* 4 5 - - - - 1 1 3 5 6 16 28 51 0,7 0, 7 2,0 3,3 4, 0 10, 7 18,7 34, 0 1,7 1,7 2,8 3, 6 4, 0 6,5 8, 6 11,7 - 0 4,2 10,1 22, 3 m + 20 aantal overschr. 1941/60 6 7 2,4 2,4 4, 8 6, 6 8, 0 17,2 27,3 45,7 - 5 8 15 22 28 TABEL V afvoer totaal aantal over- aantal overschreidingen per 10-jarige periode in m3/sec 1 1000 900 800 700 600 500 400 schrij din gen 1911/20 1921/30 1931/40 2 3 4 - - 3 8 14 1 2 4 7 15 22 1941/50 5 6 7 - - - 1 1 2 3 4 6 2 3 4 4 7 9 1951/60 1 2 5 9 15 4 7 12 22 43 66 TABEL VI aantal overschr. 1911/40 m 20-jarige periode 1 2 3 1000 900 800 700 600 500 400 - afvoer in m3/sec 3 5 8 14 30 45 2,0 3,3 5,3 9,3 20 30 26 =2 \fm m-2 d 4 5 - - 2, 8 3, 6 4, 6 6,1 8, 9 11.0 0, 7 3,2 11,1 19,0 m+2 6 6 4, 8 6, 9 9, 9 15,4 28, 9 41, 0 aantal overschr. 1941/60 7 1 2 4 8 13 21 - 26 - IV. DE FREQUENCES VAN DE TOPAFVOEREN TE LITH 1. De veranderingen in de betrekking tussen de topafvoeren van Borgharen en L i t h Omdat zich op het gedeelte van de Maas tussen Borgharen en Lith in de loop van de periode 1911-'60 belangrijke wijzigingen hebben voorgedaan in het regime van de rivier, is het te verwachten, dat het universum voor Lith veranderd zal zijn. Het is daarom onjuist uit de afvoercijfers over 1911-'60 voor dit station een frequentiekromme samen te stellen op de wijze zoals voor Borgharen is gebeurd. De frequentiekrommen van Lith zullen daarom worden afgeleid uit die van Borgharen (fig. 14 en 15), door gebruik te maken van het verband dat tussen de topafvoeren van beide stations bestaat. Aan het onderzoek naar dit verband zal dit hoofdstuk grotendeels zijn gewijd, De mate, waarin veranderingen in de betrekking tussen de toppen in Borgharen en Lith zijn opgetreden blijkt uit fig, 16. Hier zijn de afvoertoppen te Lith uitgezet tegen de overeenkomstige toppen te Borgharen, De toppen zijn gesplitst in 2 groepen, te weten respectievelijk die uit de periode 1911-1940 en die uit de periode 1941-1960. Het jaar 1940 is als grens gekozen, omdat toen de Maaskanalisatie voltooid was, terwijl na die tijd het grindbedrijf tot grote ontwikkeling kwam. Uit deze figuur blijkt dat de toppen te Lith na 1940 in het algemeen minder hoog waren dan voor die tijd. In de figuur zijn een tweetal lijnen aangebracht, die het onderlinge verband zo goed mogelijk weergeven. E'en eenvoudige statistische toets, de tekentoets, kan aantonen, dat de betrekkingslijn van voor 1940 niet meer geldt voor de toppen na 1940, Een voor deze toets te gebruiken tabel wordt gegeven door WIJVEKATE In totaal zijn in de periode 1941-1960 voorgekomen 28 topafvoeren, groter dan 1000 m3/sec te Borgharen, Hiervan lagen er 24 onder de lijn "voor 1940" en 4 op of boven deze lijn. De bij de tekentoets toegepaste waatde T bedraagt hier T = 24 - 4 = 20 op een totaal aantal van n = 28. Uit een tabel voor T verdelingen blijkt, dat bij n = 28 voor een eenzijdige overschrijdingskans van | % een waarde behoort van T = 16. Voor grotere T - waarde zoals in ons geval is deze kans kleiner maw het is onwaarschijnlijk dat de steekproef "nal940" aan de lijn "voor 1940" voldoet. Omgekeerd lagen van de 51 toppen uit de periode 1911-1940 er 37 boven de lijn "na 1940" en 14 onder deze lijn. Hier is de waarde T = 37 - 14 = 23 op een totaal van n = 51. Volgens de tabel behoort bij een eenzijdige overschrijdingskans van \ °/o bij dit aantal een waarde van T = 21. De overschrijdingskans van T = 23 is dus <1| °/o. Op grond van deze toets kan dus aangenomen worden, dat het verband tussen de toppen van Borghajen en Lith, althans van de toppen groter dan 1000 m3/sec, na 1940 significant verschilde . van het verband, dat voor dat jaar gold. 2. Onderzoek naar de opbouw van de betrekking Borgharen - L i t h Het onderlinge. verband tussen de toppen van Borgharen en Lith wordt beheerst door 2 factoren: 1, de toevoer op de Maas beneden Borgharen 2. de demping van de hoogwatergolven. Op de topafvoer hebben deze factoren een tegengestelde invloed, Het karakter van het verband Borgharen - Lith wordt onderzocht aan de hand van een dubbellogarithmische correlatiegrafiek, Voor de periode 1941-1960 is dit fig. 18, voor de periode 1911-1940 fig. 17. In de paragrafen 2 en 3 wordt behandeld de eerstgenoemde factor, de toevoer op de Maas beneden Borgharen. Zou deze toevoer niet bestaan, dan zouden, afgezien van de golfdemping, de topafvoeren te Borgharen en die te Lith aan elkaar gelijk zijn. In de logarithmische figuur wordt dit voorgesteld door een rechte lijn onder 45° (lijn 1 in f i g . 17 en fig, 18), Een tweede benadering bestaat uit het evenredig stellen van de topafvoeren met de oppervlakten van de stroomgebieden, Deze bedragen respectievelijk voor Borgharen 21260 km2 en voor Lith 28950 km2, d.w. z. een verhouding van 1,36. Wegens de logarithmische schaal van de figuur kan ook dit verband worden voorgesteld door een rechte lijn onder 45°, die echter t,o, v, lijn 1 volgens een factor 1,36 verschoven is (fig. 18, lijn 2). FIG 16 • toppen 1911 -1940 o toppen 1941 - I960 BETREKKING TUSSEN DE TOPAFVOEREN VAN BORGHAREN EN LITH - 27 - Aangezien de afvoeren een gevolg zijn van de neerslag, dient als derde aspect rekening te worden gehouden met een mogelijk verschil in neerslagintensiteit boven en beneden Borgharen. Hiervan kunnen we een indruk verkrijgen uit het gemiddelde van de dagelijkse afvoeren. Over de jaren 19411960 werd gevonden: Borgharen : 228 m3/sec of 7, 2 x 1 0 m3/jaar (340 mm/jaar) Lith 285 m3/sec of 9, 0 x 1 0 m3/jaar (310 mm/jaar). De tussen haakjes geplaatste waarde is het s p e c i f i e k e neerslagoverschot. W i l men de verschillen in neerslagintensiteit in de verschillende delen van het stroomgebied in 285 rekening brengen, dan dient men de afvoer te Borgharen te vermenigvuldigen met de factor -g^g 1, 25. In fig. 18 wordt dit voorgesteld door de wederom onder 450 lopende rechte lijn 3. Ook door deze lijn 3 is het vraagstuk nog niet voldoende benaderd. Het verloop van het werkelijke verband wordt, afgezien nog steeds van de golfdemping, beihvloed door het feit, dat er geen volkomen correlatie bestaat tussen de neerslagoverschotten in de verschillende delen van het stroomgebied, Daarnaast spelen verschillen in looptijd een rol. Een correlatielijn van oorspronkelijke 45° helling wordt uit dien hoofde dus getransformeerd in een regressielijn met een kleinere helling. De lijn wordt daarbij gedraaid om het punt, dat de gemiddelde afvoer voorstelt (QBorgh = 228 m3/sec, QLith = 285 m3/sec). 9 9 : = 3, Invloed van de z i j r i v i e r e n Roer en N i e r s Om tot de lijn van geringere helling te komen zal in deze paragraaf eerst gezocht worden naar het verband tussen de afvoer te Borgharen enerzijds en de afvoeren van de twee belangrijkste zijrivieren tussen Borgharen en Lith, de Roer en de Niers anderzijds. Voor de bepaling van de totale zijdelingse afvoer op de Maas wordt de Roer representatief geacht voor het stroomgebied boven Roermond en de Niers voor het stroomgebied beneden deze stad, Er werd gebruik gemaakt van resultaten van metingen, die door de afdeling Waterhuishouding in deze rivieren werden gedaan. In fig. 19 zijn op dubbellogarithmisch papier diverse topafvoeren van de Roer te Vlodrop uitgezet tegen Maasafvoeren te Borgharen 1 dag tevoren. Roerafvoeren, die samenvielen met Maasafvoeren, kleiner dan 100 m3/sec, zijn buiten beschouwing gelaten. Door de punten is op het oog een rechte lijn getrokken (lijn 1). Van bepaling van regressielijnen volgens de methode van de kleinste vierkanten werd afgezien. De punten gelden n. 1. alleen voor die dagen, dat er metingen werden gedaan en liggen derhalve vrij willekeurig. Een vergroting van de nauwkeurigheid is door berekening van de lijn niet te verwachten. In de figuur is aangegeven het punt M , waar de afvoer te Borgharen de gemiddelde jaarwaarde • 228 m3/sec heeft. Hiermee komt overeen een Roerafvoer van Q = 20 m3/sec. De gemiddelde Roerafvoer zal deze waarde niet veel ontlopen. Zouden de afvoeren evenredig zijn met de oppervlakte van de stroomgebieden, dan zou bij een afvoer te Borgharen van 228 m3/sec een Roerafvoer behoren van: 2237 km2 21260 km2 . 228 m3/sec = 24 m3/sec O O D . c / n (Oppervlakte stroomgebied Roer = 2237 km2) De verhouding tussen de jaarlijkse neerslagoverschotten van Roer en Maas boven Borgharen bedraagt dus: a bs R 2 0 m 3 s e c / c 0,83 24 m3/sec Het specifieke neerslagoverschot voor het stroomgebied van de Roer bedraagt dus 0, 83 x 340 mm/jaar = 280 mm/jaar. Zoals reeds werd opgemerkt, is de Roer hier als representatief voor het gehele stroomgebied tussen Borgharen en Roermond genomen. De oppervlakte hiervan bedraagt 3840 km2, zodat de watenojsvoer^ op de Maas vanuit dit gehele gebied kan worden gevonden door de Roerafvoer met de factor 237 km2 = 1, 72 te vermenigvuldigen wat ongetwijfeld een geoorloofde vergroting is. Aldus ontstaat de lijn 2 uit fig. 23. Bij het optreden van de gemiddelde afvoer te Borgharen voert het gehele stroomgebied tussen Borgharen en Roermond op de Maas: 2 - 28 - Q = 1, 72 x 20 m3/sec = 34 m3/sec R2 De afvoer van de zijrivier de Niers wordt behandeld aan de hand van fig. 20. Voor Borgharen is nu gewerkt met afvoeren, die 2 dagen tevoren optraden. Het stroomgebied is groot 1397 km2. Op de afvoeren van deze zijrivier moest eerst een correctie worden toegepast wegens de zijdelingse afvoer op de Maas door het Gelders kanaal. Volgen we dezelfde methode als bij de Roer, dan vinden we: Gemiddelde afvoer Niers bij gelijke afvoerfactoren = 1397 km2 21260 km2 228 m3/sec = 15 m3/sec. Volgens lijn 1 is echter: G- „ = 10, 5 m3/sec, Nl T zodat de verhouding tussen de jaarlijkse neerslagoverschotten bedraagt; a_ 10,5 m3/sec N = — .= 0,70 15 m3/sec De afvoerfactor bedraagt hier dus: 0, 70 x 340 mm/jaar = 240 mm/jaar . De oppervlakte van de toename van het stroomgebied van de Maas tussen Roermond en Lith bedraagt 3850 km2. Om de toevoer op de Maas uit dit gebied te bepalen moet de Niersafvoer vermenigvuldigd worden met: 3850 km2 1397 km2 2,76. Hieruit volgt voor de gemiddelde afvoer te Borgharen: Q =2,76 x 10,5 m3/sec =29 m3/sec. N2 De totale afvoer op de Maas te Lith wordt hiermede: Q„ = 228 m3/sec Borgharen t Q Q R2 N2 totaal = 34 =29 291 m3/sec. Het aldus gevonden bedrag stemt bevredigend overeen met de gemiddelde jaarafvoer gemeten te Lith zelf, namelijk 285 m3/sec„ Door sommatie van de afvoeren te Borgharen met de bijbehorende waarden van Q en Q kunnen we dus de Maasafvoeren vinden, die te Lith zouden optreden, wanneer er geen golfdemping zou zijn. In tabel VII is deze denkbeeldige berekend. In figuur 18 is deze door lijn 4 weergegeven. We zullen in het vervolg deze afvoer R 2 N 2 FIG 19 IOO 2 IOO 2 228 4 6 8 IOOO 2 4 6 8 IOOOO 4 6 8 IOOO 2 4 6 8 IOOOO AFVOER Q BORGHAREN IN m^sec FIG 20 AFVOER MAAS -BORGHAREN IN m^sec - 29 - aanduiden met Q . In figuur 17 is deze lijn eveneens aangebracht, omdat is aangenomen, dat de afvoerfrequenties van de zijrivieren gerekend over de periode 1911-1940 niet in belangrijke mate zullen verschillen van de tegenwoordige toestand. Weliswaar zijn in de bovenloop van de Roer enige stuwdammen aangebracht, die o.a. als "Hochwasserschutz" dienst moeten doen. De invloed hiervan op de Maas zal echter niet groot meer zijn. Waar thans een hoge afvoertop in het stuwmeer wordt afgevlakt, gebeurde dat vroeger in het dal van het riviertje door inundaties. Bovendien wordt door normalisatie in het benedenstroomse deel de invloed van de demping weer iets verkleind. Veel invloed zou een hogere afvoer van de Roer in de vroegere toestand overigens toch niet op de toppen op de Maas kunnen uitoefenen. Blijkens de ligging van de lijnen 3 en 4 in figuur 18 zou bij een vergrote Roerafvoer de lijn 4 iets in de richting van lijn 3 opgeschoven moeten worden. Aangezien de totale Roerafvoer slechts ongeveer 1/3 gedeelte van de toevoer op de Maas beneden Borgharen uitmaakt, kan een verhoging hiervan zelfs bij de hoogste Maastoppen nooit meer dan enkele tientallen kubieke meters/sec. uitmaken. 4 TABEL VII Afvoeren in m3/sec Q Q Q Borgh. R2 1 2 3 31 42 52 61 70 78 86 94 102 116 130 144 156 170 200 228 255 270 280 27 34 40 45 50 54 58 62 65 72 78 84 90 94 107 118 128 130 137 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1200 1400 1600 1800 2000 2500 3000 3500 3800 4000 Q N2 4 4 258 376 492 606 720 832 944 1056 1167 1388 1608 1828 2046 2264 2807 3346 3883 4200 4417 4. Invloed van de golfdemping In de geschetste 4 etappen is de grootte van de afvoer te Lith afgeleid uit de gegeven afvoer te Borgharen met dien verstande, dat daarbij nog geen rekening is gehouden met de demping van hoogwatergolven op een rivier. Door vergelijking van de afvoer Q met de werkelijk optredende afvoer te Lith kan blijken, welke invloed deze demping tussen Borgharen en Lith in feite uitoefent. Het algemene verband tussen de topafvoeren van Borgharen en die van Lith kunnen we vinden, door in de figuren 17 en 18 op het oog krommen te tekenen, die zo goed mogelijk aansluiten bij de gegeven punten (respectievelijk de lijnen 5a en 5b). Uiteraard is deze benadering alleen goed mogelijk in het gebied waar voldoende waarnemingen beschikbaar zijn, dus ongeveer tot afvoeren van rond 2000 m3/sec. Voor grotere afvoeren zal het nodig zijn te extrapoleren. 4 - 30 - Bij afvoertoppen kleiner dan 500 m3/sec wordt de spreiding in de punten te groot om in deze figuren het verband tussen de afvoeren door een aan de punten ontleende lijn aan te geven, De l i j nen 5a en 5b zijn beneden 500 m3/sec dan ook niet aangegeven, Het is duidelijk, dat in dit gebied de lijnen 4 en respectievelijk 5a en 5b elkaar steeds dichter zouden naderen, ware het niet, dat er hier allerlei storende invloeden op gaan treden, die de invloed van de Maas beneden Borgharen relatief sterker doen worden, De wateronttrekking nabij Maastricht ten behoeve van de voeding van de Belgische en Nederlandse kanalen is hierbij van groot belang, Aangezien deze nota in het bijzonder handelt over de hoge afvoeren zal hierop niet nader worden ingegaan. Het verloop van de lijnen 5a en 5b wijst op een toename van de afstand tot lijn 4 bij hogere afvoertoppen. Daarbij wijkt voor afvoeren hoger dan 700 m3/sec lijn 5b sterker af dan lijn 5a. Dit was op grond van de in par. 1 getrokken conclusie reeds te verwachten. De oorzaak, voor het verschil tussen de toestanden van voor en na 1940 moet in hoofdzaak gezocht worden in de langs een groot deel van de Maasoevers grindgaten. De Maaskanalisatie kan op de versterking van de topvervlakking weinig invloed gehad hebben, omdat het verschil tussen vroeger en nu pas goed merkbaar is bij afvoeren, waarbij de stuwen reeds geopend worden. De versterking van de topvervlakking spreekt des te sterker omdat als gevolg van verlaging van de rivierbodem de oeverlanden thans bij grotere afvoeren beginnen te overstromen dan vroeger, Omdat juist de oeverlanden en uiterwaarden grote bergingscapaciteit hebben, en dus een versterkende invloed op de golfdemping uitoefenen, zou een later overstromen van deze gebieden een vermindering van de demping opleveren. Om het verband tussen de topafvoeren van Borgharen en Lith te kunnen gebruiken voor de vaststelling van de frequentiekromme van Lith uit die van Borgharen is het nodig de lijn 5b in figuur 18 te extrapoleren, Hiertoe is het verband tussen de afvoer en de grootte van de topvervlakking nader geanalyseerd. De topvervlakking A Q is bepaald als het verschil van Q4 en respectievelijk Qf^ voor de oude en voor de nieuwe toestand, Voor verschillende afvoeren is deze waarde vermeld in tabel VIII (respectievelijk kolom 5 en 6). TABEL VIII ,AQ Q Borgh, 1 600 700 800 900 1000 1200 1400 1600 1800 2000 Q Q 4 5 Q a 5b = 4tQ. • 4 5a Q D ob 4 m = i(Q Borg + Q„) 4' u 2 3 4 5 6 7 720 832 944 1056 1167 1388 1608 1828 2046 2264 695 795 900 1000 1100 1300 1490 1680 1850 2010 695 7 85 885 975 1060 1235 1390 1550 1720 1880 25 37 44 56 67 88 118 148 196 254 25 47 59 81 107 153 218 278 326 384 660 766 872 978 1084 1294 1504 1714 1923 2132 - 31 - In figuur 21 zijn de waarden voor de topvervlakking uitgezet tegen de daarbij behorende topafvoeren. Deze zijn gegeven in de waarde Q , het rekenkundig gemiddelde van Q g ^aren ^ ' ^ waarde Q4 zelf is n. 1, om de volgende rden niet representatief. Beschouw het denkbeeldige geval, dat Q volledig te Borgharen passeert, terwijl er benedenstroom geen zijrivieren zijn. De optredende demping is dan groter dan de in werkelijkheid waargenomen waarde, omdat de zijdelingse toevoer Q 4 - Q„ , in werkelijkheid over een deel van de rivierlengte verr J 7 Borgharen . . . . vlakt, n. 1, pas vanaf de monding van de zijrivieren, e m n e o r 4 6 z e l a s u l t a n s u n t 1 S n i e t Ook de keuze van QBorgharen ^ * g 8 P juist. Alvorens dit te verklaren wordt opgemerkt, dat de dempingswaarde in dit geval te berekenen is door van de afvoer te Ravenstein ( Q s , respectievelijk Q5b) de zijdelingse toevoer af te trekken en het verschil te nemen tussen deze denkbeeldige eindafvoer en Q . , Borgharen In formule: a 0 0 AQ a = Q Borgharen - < Q - (Q - Q ) I 5a 4 Borgharen Dit geeft hetzelfde resultaat als bij de eerst gevolgde methode, waarvoor n . l . geldt: AQ a = Q - Q_ . 4 5a In het 2e geval gaat men er, doordat de zijdelingse toevoer pas aan het einde in rekening wordt gebracht, in feite van uit, dat deze toevoer in het geheel niet vervlakt, hetgeen ook niet juist is. Door de keuze van Q als uitgangsafvoer worden beide genoemde bezwaren zo goed mogelijk gecompenseerd, De waarde Q staat vermeld in kolom 7 van tabel VIII, In figuur 21 zijn de dempingswaarden volgens de oude toestand weergegeven door punten, die volgens de nieuwe toestand door + tekens, Door deze punten zijn krommen getekend, die het verloop zo goed mogelijk benaderen, Door extrapolatie van deze krommen naar hogere afvoertoppen worden ook de dempingswaarden voor de toppen, groter dan 2000 m3/sec bekend. m m Het verloop van de beide dempingslijnen is ontleend aan de bestaande theorie over de topvervlakking van hoogwatergolven. Voor rechthoekige en continue verlopende dwarsprofielen kan de demping worden berekend o.a. met de door SCHONFELD en HENDERSON [ l i t , 7, respectievelijk 8 3 gegeven formules. Hierin blijkt de demping o, a. een functie te zijn van de kromming van de golftop. Door uit te gaan van een bepaald verband tussen tophoogte en topkromming, dat statistisch bepaald moet worden, kan een betrekking worden gevonden tussen de golfdemping en de topafvoer. In de meet gecompliceerde dwarsprofielen, waarin b.v, al dan niet stroomvoerende uiterwaarden en zijdelingse bergingskommen aanwezig zijn, verandert het lengteprofiel van de golf door de zijdelingse berging van water. De verandering in de topkromming veroorzaakt op zijn beurt een verandering in het dempingsverloop, Het voert te ver deze theorie hier in details te behandelen. Over dit onderwerp zal binnenkort een afzonderlijke nota verschijnen, In tabel IX zijn de waarden van A Q en A Q b vermeld, zoals deze uit figuur 21 volgen. Door deze op te tellen bij Q4 ontstaan tenslotte de gee'xtrapoleerde waarden van Q5 en Q55, waaina het verband tussen de topafvoeren van Borgharen en Ravenstein, zowel voor de oude, als voor de nieuwe toestand bekend is. 5 a 5 A - 32 - TABEL IX Q = m A Q Q Borg 4 * Borgh 1 2000 2500 3000 3500 3800 4000 Qc 5a 2 De waarden voor Q 2132 2653 3173 3692 4000 4209 en Q a CA Q 4 a 4 3 2264 2807 3346 3883 4200 4417 Q Q , = 5b • 4 5 254 440 600 750 840 890 384 530 680 830 900 970 6 2010 2370 2750 3130 3360 3530 4 b 7 1880 2280 2670 3050 3300 3450 zijn in de figuren 17, respectievelijk 18 door een streeplijn aangege- ven. 5. A f l e i d i n g frequentiekromme L i t h Nu het verband tussen de topafvoeren van Borgharen en Lith is vastgesteld kan de frequentiekromme van Lith uit die van Borgharen (figuur 14) worden afgeleid. In tabel X zijn vermeld de bij bepaalde overschrijdingsfrequenties behorende afvoeren te Borgharen en de daarmee overeenkomstige afvoeren te Lith. In figuur 22 is de aldus samengestelde frequentielijn van Lith weergegeven. Deze lijn geldt voor de tegenwoordige toestand. Doordat de waarnemingen uit de periode 1911 -1960 voor een deel betrekking hebben op aanzienlijk afwijkende toestanden, kan deze periode niet worden gebruikt om het gevonden resultaat te toetsen. Ook een toetsing aan de frequentie van b.v. de laatste 10 jaar is niet goed mogelijk, omdat een tijdvak van dergelijke korte duur te veel afwijkt van het totale universum. De frequentiekromme blijkt ook voor Lith uit twee takken te bestaan, die in tegenstelling tot de figuur van Borgharen een enigszins gebogen verloop hebben. Voor een bepaald doel is het gewenst, de beide takken door rechte lijnstukken te benaderen. In hoofdstuk V zal n. 1. een functioneel verband tussen de afvoerwaarde en de gemiddelde overschrijdingsduur worden afgeleid, waarbij o. a. wordt uitgegaan van een geknikte rechtlijnigexponentigle verdeling voor de topafvoeren. Voor de frequentielijn van Lith werden de verschillende grootheden benaderd uit figuur 18 door de volgende cijfers; —r-= 400 m3/sec = 260 knikpunt : x = 1325 s frequentie knikpunt: m (x ) = 0, 75 toppen per jaar. FIG2I Q AFVOER m IN m V s e c - 33 - TABEL X overschr, frequentie toppen/jaar Q„ Borgh. Q,. . Lith in m3/sec inm3/sec 10 5 2 1 0, 75 -1 5.10 -1 2.10 -1 1, 10 5 10" 2.10" 1.10" -3 5, 10 ° 2.10' 260 530 900 1190 1310 327 620 975 1230 1325 1440 1740 19/0 2200 2500 2720 1430 1670 1860 2050 2280 2440 2950 3250 3480 3700 3850 2620 2860 3020 3210 3330 2 2 2 3 1.10"? -4 5,10 -4 3, 10 6, Frequenties van de topafvoeren in de zomer Aangenomen wordt, dat het verband tussen de topafvoeren te Borgharen en Lith in de zomerperiode niet noemenswaard afwijkt van de betrekking, voorgesteld in figuur 18, Uitgaande van de frequentiekromme van de zomertoppen te Borgharen kan dan voor Lith een dergelijke kromme worden afgeleid (zie tabel XI). TABEL XI frequentie per jaar 2 1 5.10 2.10" 1,10 5.10" 2,10" . 1,37,10" 1,10" 5.10" 2.10" l.io" 5.10" 3.10_ 1 1 1 2 2 2 4 4 G" Borgharen in m3/sec Q,., Lith in m3/sec 310 450 590 770 910 1050 1230 1310 1360 1470 1620 1730 1840 1910 380 540 680 860 985 1100 1260 1325 1360 1450 1570 1660 1750 1810 In figuur 23 is de afgeleide frequentielijn voor Lith grafisch voorgesteld, Evenals voor de algemene frequentielijn werden ook voor de lijn van de zomertoppen de napiererings - 34 - hoogten en de plaats van het knikpunt vastgesteld. Het resultaat was als volgt: 200 1 m3/sec 130 ft x = 1325 m (x ) s = 1,37.10 -2 toppen per jaar. i FIG 23 IO 8 6 4 2 18 6 4 2 IO" 8 6 4 2 IO" 8 6 4 2 IO" 8 6 4 2 IO" OVERSCHRIJDINGSFREQUENTIE IN AANTAL TOPPEN PER JAAR MAAS LITH Overschrijdingsfrequenties zomerhalfjaar topafvoeren Frequentielijn afgeleid uit gegevens Borgharen 1911-I960 - 35 - V DE OVERSCHRIJDINGSFREQUENTIES VAN DE DAGELIJKSE AFVOEREN 1. Bewe rkingsmethode ; extrapolatie vanuit het bekende gebied Evenals van de topafvoeren van de hoogwatergolven kan van de dagelijkse rivierafvoeren een overschrijdingsfrequentiefiguur worden samengesteld. De overschrijdingsfrequenties worden in dit geval uitgedrukt in aantal dagen per jaar. Zijn zowel de dagen- als de toppenfrequentie bekend, dan kan, zoals in de inleiding werd opgemerkt de gemiddelde overschrij dingsduur t van een bepaalde afvoerwaarde worden bepaald uit de verhouding: - _ dagenfrequentie toppenfrequentie ''' ' " " ' ^ 4 0 ^ In het gebied waar voldoende waarnemingen ter beschikking staan, levert een en ander geen moeilijkheden op. Buiten het waarnemingsgebied zal het nodig zijn te extrapoleren. De vraag rijst dan op welke wijze dit zo verantwoord mogelijk kan gebeuren. Een belangrijk aspekt is, dat de dagelijkse afvoercijfers met elkaar samenhangen, d, w, z. onderlin niet onafhankelijk zijn. Een extrapolatie van de dagenfrequentielijn, zonder acht te slaan op de toppen frequentielijn, die in feite de verdeling van de basiseenheden ( i . c. de hoogwatergolven) geeft, is dus in beginsel onjuist. De toppenfrequentielijn zal daarom als uitgangspunt worden gebruikt. Daarnaast is nodig kennis van de betrekking tussen de gemiddelde overschrijdingsduur t en de bijbehorende afvoerwaarde. Het uitgangspunt hiertoe is een golfmodel, dat op eenvoudige wijze wiskundig is gedefinieerd. De rede nering is daarna als volgt. Een enkele geschematiseerde golf met een topafvoer Q heeft ten opzichte van iedere afvoerwaarde, lager dan de top, een bepaalde overschrijdingstijd. De gemiddelde overschrij dingsduur per top ten opzichte van een bepaalde afvoerwaarde Q vinden we, overeenkomstig f i g . 4, volgens: CO t = Q (overschrijdingstijd van top Q) x (frequentie van top Q ) (41) aantal toppen y Q De noemer komt overeen met de overschrijdingsfrequentie van Q. De frequentie in de teller is de verdelingsfrequentie. In deze berekening zijn dus zowel de frequentieverdeling van de toppen als de vorm van de top verdisconteerd. De topvorm wordt vastge legd door 2 nog nader te noemen constanten. Deze hangen samen met de toestand op de rivier. Ze worden afgeleid uit de cijfers van de gemiddelde overschrijdingstijden in het bekende gebied. Daarmee zijn voldoende gegevens bekend om de gemiddelde overschrijdingsduur ten opzichte van zeer hoge afvoerwaarden te berekenen. Tenslotte volgt door vermenigvuldiging van de gemiddelde overschrijdingsduur met de geSxtrapoleerde toppenfrequentie de dagenfrequentie. 2. Het geschematiseerde topmodel In 1. 2. 3. het algemeen bestaat voor een bepaald station de afvoertijdkromme uit 3 gedeelten (zie figuur een betrekkelijk snel stijgend gedeelte; een vrij constant gedeelte rond de maximum afvoer; een betrekkelijk langzaam dalend gedeelte. De aflopende tak kan wiskundig benaderd worden door een negatief-exponentiele functie. Een dergelijk aflopend proces ontstaat steeds wanneer, b . v . als hier de afvoer bij benadering evenredig gesteld kan worden met de op dat tijdstip geborgen hoeveelheid water [ l i t . 5 ] . Bovendien geeft ook de topvervlakking, zelfs bij een symmetrisch golfprofiel een a-symmetrische peilschaalkromme [lit. 7 - 36 - In figuur 25 is direct het verband gegeven tussen de afvoerwaarde en de tijd t, dat deze waarde wordt overschreden. Omdat de tijd, gedurende welke de waterstand stijgt, aanzienlijk korter is, dan de tijd dat deze daalt, zal de vorm van de stijgende tak als zodanig niet verder worden onderzocht. Het in deze tak vallende deel van de overschrijdingstijd zal evenredig worden gesteld aan dat van de dalende tak. Daarnaast nemen we een voor alle topafvoeren vaste tijd T aan, gedurende welke de afvoer constant gedacht wordt. Tenslotte is aangenomen, dat de afvoer niet naar de waarde 0 afneemt, maar een bepaalde minimumwaarde Q blijft behouden. Aldus ontstaat figuur 26, als geschematiseerd beeld van figuur 25. Q 0 We verschuiven nu het assenkruis naar het punt t = o, Q = Q en stellen o q = Q - Q o (42) en q = Q - Q o Voor het verloop van q als functie van t kunnen we voor t \ T dan stellen: * o T o q = qe T (43) Dit stelt het wiskundige topmodel voor, dat in par. 1 reeds werd genoemd, Beschouw nu de topafvoer q als de variabele en ga uit van een vooraf bepaalde afvoerwaarde q. De tijd, gedurende welke deze waarde wordt overschreden is dan aldus af te leiden. Uit (43) volgt: t - T o q T o of In q - In q T dus — m In q - In q + (44) Stel: -i- = y (45) We noemen dit de relatieve overschrijdingstijd, Stel verder: q = z en T - ™ • A i (46) (47) zodat (44) overgaat in: y = In z - In q + A (48) (TUD DATA) FIG. 24 T'JD (AANTAL DAGEN) FIG. 26 A 1.64.17 - 37 - In deze formule komen de verschillende bovengenoemde begrippen voor als dimensieloze grootheden. Zo geeft y een maat voor de overschrijdingstijd, z voor de variabele tophoogte, q voor de afvoerwaarde, waarvoor de overschrijdingstijd wordt gezocht en A voor de tijd, waarover de afvoer nabij de top constant beschouwd kan worden. 3, Geval, dat de afvoertoppen r e c htl ij nig-exponent i e e 1 zijn verdeeld Voor de rechtlijnig-exponentiSle verdelingsfunctie van de afvoertoppen geldt de formule: < f(x) =oce Stel " * X (14) : x = 0 • z + Q o (49) Ingevuld geeft dit: Z+ f (z) =<xe -<*< V (50) Bij iedere waarde van z behoort een waarde van de relatieve overschrijdingstijd y = — boven een bepaald afvoerniveau q = Q - Q . Deze volgt uit de vergelijking ( 4 8 ) . q De gemiddelde waarde van y is overeenkomstig vergelijking ( 4 1 ) te berekenen. De berekening verloopt aldus: GO / y . f (z) dz z =q y = _ (51) Co f (z) dz z=q Na invullen van (50) volgt: <XQ e / o / - OC Z y. oC e dz q v= at e - oc: I oc e - ocz dz ra> oC Q 1>/ oo oc z y. oce of y = q dz ^ — r J q o< e dz • (52) - 38 - De integraal in de noemer wordt: CO oo ' -Oct, oc e - e(.z (53) dz = - e In de teller van (52) vullen we in de waarde van y volgens (48). Dit geeft: CO - otz y. oce ec j j dz = oo -CX z dz (In z - In q - A ) e oo r OO Z « - ^ In z. e 0 4 Z dz - oc (In q - A) / dz (54) e De eerste term van het rechterlid leiden we aldus af: CD In z. e. dz -CO - OCq In q. e ry z + OC z = ocq - OCq In q. e - Ei (-txq) d(oCz) oc z (55) - 39 - De functie - Ei (- ocq) is de z . g . exponentiSle integraal. Deze kan niet analytisch worden opgelost, maar moet numeriek berekend worden. De tweede term van (54) wordt: .00 - <X z oC(ln q - A ) e dz oo (In q - A ) , e - (In q - A ) e or z - OCq (56) Beide termen van (54) tezamen geven: In q. e - oc q - Ei ( - o c q ) - Ei (- ocq) + A . e " ° - (In q - A) e - OCq < q (57) Tenslotte volgt volgens (52) de gemiddelde waarde y uit het quotient van (54) en (53), zodat: - ot q H - Ei (- ocq) + A . e y = 1 - ocq Hieruit volgt: y = - Ei ( - <X 0). e oc q + A In tabel XII is voor een aantal waarden van ocq de vorm - Ei ( - OCq ). e (58) weergegeven - 40 - TABEL XII OC*q ocq - E i ( - Ocq) Ei (- o<q) • e 0, 01 4,0379 1,0101 4, 0785 0, 1 1, 822 9 1,1052 2,0146 0, 5 0, 5598 1, 6487 0, 922 9 0,7 0,3738 2,0138 0,7527 1, 0 0,2194 2,718 0,5963 1, 5 0,1000 4,482 0,4483 2, 0 0, 04890 7,389 0,3613 2,5 0, 02491 12,18 0,3035 3, 0 0,01305 20, 09 0,2621 3,5 6,970 .10 33,12 0,2308 4,0 3,779 .10 54, 60 0,2063 4,5 2,073 .10* 90, 02 0,1866 5,0 1,148 .10* 148, 41 0,1704 6,0 0,3601 .10 403,4 0,1453 7, 0 0,1155 .10* 1096,6 0,1266 8,0 0,03767.10* 2,981.10 0,1123 9, 0 0,01245.10* 8,103.10 0,1009 -3 -3 10,0 4,157 .10* 22,026.10 0, 09156 11, 0 1,400 .IO* 59,87 .10 0,08384 12,0 0,4751 .10* 162,57 .10 0,07733 13, 0 0,1622 .10* 442,4 ,10 0,07175 14, 0 0,05566.10* 1202,6 .10 0,06693 15,0 0, 01919.10* 3269 .10 0,06272 - 41 - 4. De afvoertoppen zijn geknikt r e c h t l i j n i g - e x p o n e n t i e e l verdeeld In dit geval bestaat de verdelingsfunctie f (x) uit twee gedeelten, gelegen resp. beneden en boven het knikpunt x . s 1) Voor x <^ x^ geldt: -OCX f (x) = de 2) Voor x y (26a) x s f f3 e (x) = 2 " /* X + ( " °° X s (26b) Stel: x = z + Q o x = z + Q s s o en (49) ' x (59) Ingevuld in (26a) en (26b) geeft dit resp.: f - oc Q - ocz o. oce (z) = e f (60) (z) - 2 De gemiddelde waarde y voor z (61) ^ z 1 S volgens (41) te berekenen. Dit geeft: s mma - z V f?.«B fyfit dz, z = z - Z 3 - ^ " ^ ^ s ( 6 2 ) y = ZS 'oi. e z=q -*» dz f + / ( 3 . ^ ^ + ' ( ^ dz z=z s We leiden eerst de noemer af. De eerste integraal wordt: S y s -*z j "OCZ ot.e dz = -e q z I q De tweede integraal uit de noemer van (62) volgt uit: co y>.e-/* z s z + Z s = -e -ocz -otq s + e (63) - 42 - e (/ 9 -cx.)z f f t . - P * - s z s s - ( /3 - oO a • — e z e -c< z s = e s (64) s - ocq In totaal wordt de noemer van (62) de som van (63) en (64) d . w . z . gelijk aan de waarde e In de teller van (62) wordt ingevuld de vergelijking (48) voor de functie y. De eerste integraal in de teller wordt dan: z / s I z =q y. oCe . - oCz . dz = z -s z /S o£ / In z. e - ocz f _ dz -oC (In q A ) / e - oc z dz (65) De eerste term van (65) wordt: z z r s - ocz I e J oc z •S . o c z \ In z. e + q .. d z (* > «* q oo In q. e < X q = In q . e - In z . e _ ( X q - In z .e s -ocz s + /-* /e ' ocz ocq oo / Z d(ocz) - -«fz l e. ' »X.z oc z s % - Ei (-ocq) + E i ( -<xz ) s d(o<z) (66) 43 De tweede term van (65) wordt: •s -o<z e -c<(ln q - A ) dz f > - ocz (In q - A) r J -OC z - oC Ol s - e •T = (In q - A) ( e -OCz =l n q e -oCq n s - l n q e - A (e -OCz s-e -OCq ) . . . . (67) De eerste integraal (65) in de teller van (62) wordt dus de som van (66) en (67) en luidt: yoce - OCz . , q -oCz. , . . . ./ -ocz -0Cq)(68) dz = l n - i . e - Ei (-ocq) + Ei ( - « z ) - Ai e s-e r s s Voor de tweede integraal in de teller van (62) leiden we af: co - ft z + (p - oc) z s dz = CO ( / 3-oc)z f s = e _ /A. (In z - In / 3 q + A) e z dz z (/3 -c<)z CO CO s lnz.e _ / ? Z d z - (lnq - A) J , < z Z &z CO co CO (/3 ^ -*) e"^ -In z. e fi; s s ' p Z d (<* z) + ( l n q - A ) ( e •flz)\ 44 i/ 3 oO - lnz . e - z „ /3 s - Ei ( - z ) - (In q-A) e - ft z ' s i (/S - c x ) z , q z In—u . q - In — — .• . e z s - « z 5 ^ s- - p.e e - - ft z - Ei (-5 z ) + A . e ^ i ' s . E ' v ^ ' z ' s s l ' . A , s ^ s (69) De teller van (62) volgt uit de som van (68) en (69): i fi -*>* - Ei (- cxq) + Ei ( - « ( z ) - e s OCq Ei ( - / 3 z ) + A . e (70) q Tenslotte geeft deling door de noemer e °* gemiddelde waarde van y voor z <^ z y = e Voor z / c*q {ft-*.) f - Bi(-c< q ) + Ei ( -oCz ) - e s E i ( - ^ z ) | + A. s (71) z vinden we y , door in vergelijking (58) OC te vervangen door /9 y = -Ei (-/3 5. Gebruik in de q).e. * q +A (72) praktijk De resultaten van het in de vorige paragrafen behandelde rekenschema zullen worden gebruikt om het verloop van de gemiddelde overschrijdingsduur als functie van de bijbehorende afvoerwaarde te extrapoleren naar extreem hoge afvoeren. De gang van zaken is daarbij als volgt: De vergelijking voor de gemiddelde waarde van y, die werd voorgesteld door de formules (58), resp. (71) en (72), schrijven we in de vorm: y = g(q) + A (73) De functie g (q) is afhankelijk van het type frequentieverdeling. Voor de rechtlijnig-exponentigle verdeling geldt: g(q) = -Ei ( - ocq ) . e (74) - 45 - Voor de geknikte verdeling gelden 2 formules: 1) voor q > z g(q) = - Ei ( - f i q ) . e - s 2) voor q <C z g(q) = - E i 1 (75) 5 (- OCq).e C X Hq . + J y (76) Waarbij volgens (73): 4 y - | Ei(-cxz )-e ' s < X ) ^.Ei(- /9z ) j s e* (77) Vermenigvuldig (73) met de constante tijdsduur T. Door substitute van (45) en (47) volgt: t = g(q). T + T (78) De in deze formule voorkomende functie g (q) kan voor alle afvoeren waarvan de toppenfrequentie bekend is, worden vastgesteld. De gemiddelde overschrijdingstijd t kan in het bekende gebied voor verschillende afvoeren worden bepaald als quotient van de dagen- en de toppenfrequentie. Tussen t en g (q) zal een rechtlijnig verband bestaan, indien onze uitgangspunten juist zijn geweest, Door verschillende waarden van t en g (q) ineen lineair correlatiediagram uit te zetten, kan die rechte lijn worden vastgesteld die het onderlinge verband zo goed mogelijk weergeeft. Uit de helling en de plaats van deze lijn volgen dan de constanten T en T , waarmee de waarde t ook voor de afvoeren in het onbekende gebied is bepaald. Om de afvoerbedragen q te vinden moet men van de werkelijk opgetreden afvoer eerst de basisafvoer eerst de basisafvoer Q aftrekken. Voor de Maas is hiervoor gekozen de in het "Tienjarig overzicht van de waterhoogten" f l i t 10 ] genoemde Normaal Lage Afvoer NLA. Deze bedraagt voor Borgharen 20 / s e c en voor Lith 30 m 3 / . 0 0 m 3 s e c 6. Toepassingen op de Maas Voor de Maasafvoeren te Borgharen, resp. te Lith gelden de grootheden, die zijn gegeven in tabel XIII. T A B E L XIII Grootheid 11 (in r ^/^^ ) alle afvoeren Borgharen zomerafvoeren Lith Borgharen Lith 1 410 400 200 200 1 330 260 160 130 1310 1325 1310 1325 20 30 1290 1295 x s Q o Z 20 . 1290 30 1295 - 46 - De topduurfunctie g (q) volgens de vergelijkingen (75), (76) en (77) werd voor deze 4 gevallen berekend met behulp van de computer van de Mathematisch-Fysische afdeling. Uit de figuren 32 t. e. m. 35, die in de inleiding reeds werden toegelicht en waarin de waargenomen dagen- en toppenfrequenties als punten staan afgebeeld, werden een aantal waarden van de gemiddelde overschrijdingstijd bepaald. Zoals eerder werd opgemerkt komt dit bij de logarithmische schaal neer op het meten van de horizontale afstand tussen de dagen- en de toppenfrequentiepunten. In figuren 32 B t, e.m. 35B zijn, eveneens op logarithmische schaal, de gemiddelde overschrijdingstijden uitgezet. In de tabellen XIV en XV vindt men in de kolommen 2 en 6, resp. 3 en 7 de waarden van g (q) naast de bijbehorende waarden van t , zoals deze uit de figuren 32B t. e. m. 35B werden opgemeten. Bij geldigheid van formule (78) bestaat hiertussen een rechtlijnig verband. In de figuren 27 en 28 zijn de waarden g (q) en t in een correlatiediagram uitgezet. Eerst wordt besproken fig. 27, die betrekking heeft op Borgharen. Het is in deze grafiek op bevredigende wijze mogelijk door de getekende punten rechte lijnen te trekken. De constanten, die uit deze lijnen kunnen worden afgeleid bedragen: 1) voor alle afvoeren gedurende het gehele jaar: T T o = 13, 6 dagen. = 0 , 8 dagen. 2) voor alleen de zomerafvoeren. T T o =12,4 dagen. = 0 , 0 dagen. De zomerafvoeren hebben blijkbaar een zeer spitse top. De stijging, resp. daling, die samenhangt met de waarde T, is in de zomer niet beduidend verschillend t . o . v . die over het gehele jaar. Het is interessant het geschematiseerde topmodel te vergelijken met in werkelijkheid voorgekomen toppen. Er wordt hierbij op gewezen, dat het beeld, dat volgens het wiskundige model met de constanten T en T zal ontstaan, het gemiddelde is van allerlei golftypen, zowel geisoleerde als samengestelde toppen, die de meest uiteenlopende vormen kunnen hebben. Nagegaan werd, hoe het gemiddelde beeld er uitziet voor afvoergolven met een top van 1500 m3/sec Dit bedrag is een willekeurige keuze. Voor de in de periode 1911-'60 voorgekomen hoogwatergolven tussen 1400 m3/sec en 1600 m3/sec (totaal 18 stuks) werd de gemiddelde overschrijdingsduur van diverse afvoerwaarden berekend. De toppen zijn afgebeeld in fig, 29. De verscheidenheid in vormen blijkt hieruit duidelijk. Door voor iedere hoogwatergolf de overschrijdingstijden van de verschillende afvoerniveaus afzonderlijk uit te zetten ontstaat fig. 30. Voor de afleiding van de gemiddelde overschrijdingsduur wordt verwezen naar tabel XVI. Het resultaat is afgebeeld in fig. 31. In deze figuur is ook getekend het topmodel, dat met behulp van de afgeleide constanten T en T kan worden samengesteld. De overeenstemming tussen beide krommen is redelijk. Q Voor de afleiding van de gemiddelde overschrijdingstijd t te Lith zal het noodzakelijk zijn het golfverschijnsel aan dit station te beschouwen in samenhang met Borgharen. Voert men n l . voor Lith de bepaling onafhankelijk uit van Borgharen dan kan er een tegenstrijdigheid ontstaan tussen beide stations ten aanzien van de totale afgevoerde hoeveelheid water. Vergroot men nl. de inhoud van de hoogwatergolf te Borgharen met de hoeveelheid water, die beneden dit station op de Mans wordt gebracht, dan moet dit de inhoud van de golf te Lith opleveren. Vindt men een bedrag, dat hiermee niet in overeenstemming is, dan handelt men in strijd met de continuiteitsvoorwaarde. Zou er geen golfdemping zijn, dan kan men aannemen, dat de basisduur tussen Lith en Borgharen niet verandert. De inhouden van de hoogwatergolven verhouden zich dan als de ongedempte topafvoer te Lith en de werkelijk opgetreden topafvoer te Borgharen. De grootte van de ongedempte topafvoer te Lith kan worden afgeleid uit de lijn 4 van figuur 18 en werd aangeduid als Q4. - 47 - TABEL XIV BORGHAREN zomerafvoeren alle afvoeren t in dagen Q t in dagen Q 3, in m /sec g(q) waarneming theoretisch in m /sec g(q) waarneming theoretisch 1 2 3 4 5 6 7 8 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 0. 9918 0.7609 0. 6230 0. 5293 0.4604 0.4068 0.3634 0.3268 0.2949 12,7 10, 9 9,5 8,2 7,5 6,5 6, 0 5,3 5,0 14,3 11,1 9,3 8, 0 7,1 6,3 5,7 5,2 4, 8 100 150 200 250 300 350 400 450 500 1. 048 0,7882 0. 6399 0.5417 0.4711 0.4176 0.3755 0. 3414 0. 3131 13,8 10,3 8,0 6,6 6,1 5,1 4,4 4,2 3,6 13,0 9, 8 7, 9 6,7 5, 8 5,2 4,7 4,2 3, 9 1100 1200 1300 1400 1500 1600 1700 1800 1900 2000 0.2662 0. 2392 0. 2130 0.1987 0.1872 0.1769 0.1678 0.1595 0.1521 0.1453 4,3 4, 0 3,7 3,3 4,4 4, 0 3,7 3,5 3,3 3,2 3,1 2, 9 2,8 2, 8 550 600 650 700 750 800 850 900 950 1000 0.2892 0. 2687 0. 2509 0.2353 0.2214 0.2089 0.1975 0.1871 0.1774 0.1682 3,5 3,4 3,6 3,4 3,1 2, 9 2, 8 2, 6 2,5 2,3 2,2 2.1 2100 2200 2300 2400 2500 2600 2700 2800 2900 3000 0.1391 0.1334 0. 1281 0. 1233 0. 1188 0. 1146 0.1108 0.1071 0.1037 0. 1006 2, 7 2,6 2,5 2,4 2,4 2,3 2,3 2,2 2,2 2,2 1050 1100 1150 1200 1250 1300 1350 1400 1450 1500 0.1594 0.1507 0.1421 0, 1332 0.1238 0.1136 0.1084 0.1049 0.1015 0,0984 2,0 1,9 1,8 1,7 1,5 1,4 1,3 1.3 . 1.3 1,2 3100 3200 3300 3400 3500 3600 3700 3800 3900 4000 0. 0976 0. 0947 0. 0921 0.0896 0.0872 0.0849 0. 0828 0. 0807 0. 0788 0. 0770 2,1 2,1 2, 0 2,0 1, 9 1, 9 1, 9 1, 9 1, 8 1,8 1550 1600 1650 1700 1750 1800 1850 1900 1950 2000 0. 0954 0. 0926 0. 0900 0.0875 0. 0852 0.0830 0. 0809 0. 0789 0. 0770 0.0751 1,2 1,1 1,1 1,1 1.1 1.0 1,0 1,0 1,0 1, o 1310*) 0.2104 3,6 1310*) 0.1115 1,4 *) afvoer x s ' - 48 - TABEL XV LITH / RAVENSTEIN zomerafvoeren alle afvoeren t in dagen Q 3 in m /sec g(q) 1 2 waarneming 3 t in dagen Q theoretisch in mtysec g(q) waarneming theoretisch 4 5 6 7 8 15,0 11,0 8,4 7,1 6,3 5,6 6,5 4,6 3,8 10,4 8,5 7,3 6,4 5,8 5,2 4,8 4.5 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1.008 0.7642 0. 6210 0. 5242 0.4530 0.3974 0.3518 0.3127 0.2776 14,5 12,2 10,7 9,6 9,2 8,5 8,0 7,7 7,0 14,5 12,1 10.7 9,7 9,0 8,4 7, 9 7,5 7,1 100 150 200 250 300 350 400 450 500 1.127 0. 8278 0. 6643 0.5585 0.4835 0.4272 0.3830 0.3474 0.3180 1100 1200 1300 1400 1500 1600 1700 1800 1900 2000 0.2447 0.2125 0.1795 0.1628 0.1531 0.1445 0.1368 0.1298 0.1236 0.1179 6,5 6,2 6,7 6,3 5, 9 5,7 5,5 5,4 5,3 5,2 5,1 5,1 550 600 650 700 750 800 850 900 950 1000 0. 2933 0.2721 0,2537 0.2374 0.2230 0.2099 0.1980 0.1869 0.1764 0.1663 4,2 3,9 3,7 3,5 3,3 3,2 3,0 2, 9 2,8 2,6 2100 2200 2300 2400 2500 2600 2700 2800 2900 3000 0.1128 0.1080 0.1037 0. 0997 0. 960 0. 0925 0. 0893 0.0864 0.0836 0.0810 5,0 4,9 4,8 4, 8 4,7 4,7 4,6 4,6 4,5 4,5 1050 1100 1150 1200 1250 1300 1350 1400 1450 1500 0.1564 0.1464 0.1361 0.1251 0.1130 0. 0994 0.0903 0.0872 0.0844 0.0817 2,5 2,3 2,2 2,1 1,9 1,7 1,6 1,5 1,5 1,5 3100 3200 3300 3400 3500 3600 3700 3800 3900 4000 0.0785 0. 0762 0.0740 0. 0720 0. 0700 0. 0682 0. 0664 0. 0648 0. 0632 0.0617 4,5 4,4 4,4 4,4 4,3 4,3 4,3 4,2 4,2 4,2 1550 1600 1650 1700 1750 1800 1850 1900 1950 2000 0.0792 0. 0769 0. 0747 0.0726 0.0706 0.0687 0.0669 0.0 652 0.0636 0.0621 1,4 1,4 1,4 1,3 1,3 1,3 1,3 1,2 1,2 1,2 1325*) 0.1710 5,8 1325 ) 0. 0919 1,6 *) afvoer x s s 13, 9 TOPAFVOER = 1500 m3/sec UIT WISKUNDIG TOPMODEL AFGELEIDE L'JN 8 IO 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 GEM. OVERSCHRUDINGSDUUR IN DAGEN FIG. 31 Al.64.260 - 49 - Het totale volume van de golf is als volgt te schrijven: oo V = q q ( T T + q o t - /e , / T P_ dt T (79) + T ) q Hierbij is de basisafvoer buiten beschouwing gelaten, omdat deze geen deel uitmaakt van het golfverschijnsel als zodanig, maar min of meer altijd aanwezig is. In formule uitgedrukt is de verhouding tussen beide inhouden: V / Q Borgharen (80) m 4 - 3 0 /sec Q m3/ Borgharen - 20 sec Lith a Borgharen Uit (79) volgt: 'Lith ^ith^ 0 + 1 J Lith (81) en ^Borgharen Sorgh ^ o + 1 ^Borgh Dit geeft ingevuld in (80) ( T « Lith q of Borgh 1 T o > MLith + J ) Borgh + T ) (T v + 0 o = (T Lith Sorgh + T) o 'Borgh •'Lith Reeds werd gevonden: + (T T) Borgh 13, 6 + 0,8 dagen = 14,4 dagen, zodat: + T),. . (T v o Lith Aangezien de verhouding Lith niet constant zijn. = 14,4 (82) . q_Lith . wegens de demping niet constant is, kan de waarde T Xith Q + T voor - 50 - In de tabellen XVII-A en XVII-B is voor diverse afvoerwaarden de waarde T + T afgeleid. Het blijkt dat deze waarde toeneemt bij toenemende tophoogte, dus bij afnemende waarde van g (q). De afleiding volgens de paragrafen 3 en 4, waarbij T en T constant gedacht zijn is dus voor Lith niet geheel juist. 0 0 Er zou dus een nieuwe berekening van de gemiddelde overschrijdingstijd moeten worden opgezet met andere uitgangspunten. Voor de waarde T + T zou dan de waarde uit de tabellen XVII aangehouden kunnen worden. Voor het verloop van T en T afzonderlijk moet een bepaalde aanname worden gedaan. Uit deze berekening, die geheel numeriek zou moeten worden uitgevoerd, zouden dan nieuwe waarden van de gemiddelde overschrijdingsduur volgen. Deze zouden moeten worden getoetst aan de gemiddelde overschrijdingstijden uit het bekende gebied. 0 Q Het is de vraag of het opzetten van zo'n verbeterde, maar zeer tijdrovende berekening, noodzakelijk is. Uit de tabellen XVII-A en XVII-B blijkt, dat voor de lagere toppen de waarden van T + T van Lith en Borgharen (14,4 dagen van alle afvoeren, 12,4 dagen van de zomerafvoeren) niet noemenswaard verschillen. Aangenomen mag worden dat de weinige hoge toppen hier een relatief kleine invloed op de gemiddelde overschrijdingsduur hebben. Dan is in het gebied van de lage toppen het verband tussen g(q) en t nog wel lineair te beschouwen. Dit verband kan worden voorgesteld door een rechte lijn door het punt g (q) = 1, t = T + T = 14,4 dagen (resp. 12,4 dagen in de zomer) en verder zo goed mogelijk in de richting van de getekende punten lopende. Voor de lijn van alle topafvoeren is dit rechtlijnige verloop mogelijk tot een afvoer van ongeveer g(q) = 0,45 (Q = 600 m / s e c . ) Q 0 3 TABEL XVII-A Bepaling (T + T ), . . voor alle afvoeren o Lith q Lith = Q Lith 3 m /sec Q 4 (uit fig. 18) 0 Lith-30 m /sec q q 4 = Q -30 4 4 ''lith (T +T) o Uith 1 14,4 * Lith dagen q 3 m /sec 3 m /sec 1 2 3 4 5 6 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 170 270 370 470 570 670 770 870 970 200 305 410 515 620 730 850 965 1085 170 275 380 485 590 700 820 935 1055 1,00 1, 02 1, 03 1,03 1, 04 1,04 1,06 1,07 1,09 14,4 14,7 1200 1400 1600 1800 2000 1170 1370 1570 1770 1970 1350 1610 1880 2150 2440 1320 1580 1850 2120 2410 1,13 1,15 1,18 1,20 1,22 16.2 16,4 17,0 2200 2400 2600 2800 3000 2170 2370 2570 2770 2970 2710 3000 3270 3550 3800 2680 2970 3240 3520 3770 1,24 1,25 1,26 1,27 1.27 17.8 18,0 18,2 18,3 18.3 3200 3400 3170 3370 4050 4300 4020 4270 1,27 1,27 18,3 18,3 14.8 14, 8 15, 0 15,0 15,2 15,4 15,7 17,3 17,6 - 51 - TABEL XVII-B Bepaling (T + T)Lit,h Q Q v o o r Q Lith = m /sec 3 m /sec 3 m /sec 4 (uit fig. 18) Lith Lith de zomerafvoeren. q 4 Q -30 4 o q 4 ( T T + )r • u o 'Lith = q Lith q 4 Q Lith 12,4. m /sec dagen 2 3 4 5 100 150 200 250 300 350 400 450 500 70 120 170 220 270 320 370 420 470 100 150 200 253 305 358 410 463 515 70 120 170 223 275 328 380 433 485 1. 00 1.00 1.00 1. 01 1.02 1.02 1.03 1.03 1.03 12,4 12,4 12,4 12,5 12,6 12,7 12,8 12, 8 12,8 600 700 800 900 1000 570 670 770 870 970 620 730 850 965 1085 590 700 820 935 1055 1. 04 1.05 1.06 1.07 1.09 12.9 13,0 13.2 13,3 13,5 1100 1200 1300 1400 1500 1070 1170 1270 1370 1470 1220 1350 1480 1610 1750 1190 1320 1450 1580 1720 1.11 1.13 1.14 1.15 1.17 13, 8 14,0 14,2 14,3 14,5 1600 1700 1570 1670 1880 2010 1850 1980 1.18 1.19 14,7 14, 8 » 1 6 De waarde T + T is inmiddels toegenomen tot 15, 0 dagen. Voor hogere afvoeren wordt het verschil tussen de ( T + T) waarden van Lith en Borgharen te groot en is het lineaire verband niet meer geheel juist. Zo is bij Q = 800 m /sec of g (q) = 0. 3518 de tijd T + T = 15, 2 dagen. Wij trekken nu een lijn, lopende door het punt g (q) = 1, t = T + To= 15, 2 dagen en die vloeiend aansluit op de lijn voor de lagere afvoeren. Voor Q = 1000 m3/sec of g (q) = 0, 2776 wordt T + T = 15, 7 dagen, waarmee ook hier de richting ter plaatse is bepaald. Zo kunnen we voortgaan tot afvoeren van ongeveer 3000 m3/sec. Er ontstaat dan een kromme als omhullende van een aantal raaklijnen. Deze omhullende geeft tenslotte de waarden van f. Het blijkt, dat de getekende kromme niet veel afwijkt van een rechte l i j n . Het opzetten van een nieuwe berekening lijkt daarom niet noodzakelijk. 0 G 3 0 Voor de zomerafvoeren werd aan de hand van tabel XVII-B een dergelijke lijn in fig. 28 geconstrueerd. De waarden van de gemiddelde overschrijdingsduur t, zoals ze tenslotte uit de figuren 27 en 28 v o l - - 52 - gen, zijn in de tabellen XIV en XV vermeld. In de figuren 32B t/m 35B zijn ze als een vloeiende kromme uitgezet. Door vermenigvuldiging van deze duur met de toppenfrequenties volgen tenslotte de dagenfrequentielijnen. Ook deze zijn in de figuren 32 t/m 35 getekend. 7. Nabeschouwing over de f r e q u e n t i e f i g u r e n van de Maas Inzake de frequentiefiguren 32 t/m 35 is het van belang de volgende punten nader toe te lichten. 1) In de frequentiefiguren van Borgharen (fig. 32 en 33) zijn punten ingetekend, die de frequenties van de in werkelijkheid in de periode 1911-1960 voorgekomen afvoeren voorstellen, De punten in de frequentiefiguren voor Lith (fig. 35 en 36) daarentegen stellen de afvoeren voor uit de periode 1941-'60, Het feit, dat deze puntenreeksen plaatselijk afwijken van de uit Borgharen afgeleide lijnen is uitsluitend toe te schrijven aan stochastische spreiding (in de meteorologische sfeer) en is niet het gevolg van wijzigingen in de hydrologie van de rivier. 2) De hoogste top met de betreffende periode is niet aangeduid door een punt, maar door een horizontaal lijntje. Dat is b. v. het geval met de top van 3000 m /sec in januari 1926 te Borgharen. Het feit, dat een dergelijke top eenmaal in de beschouwde periode is voorgekomen heeft als frequentiegegeyen geen enkele betekenis. Dit eenmalig voorkomen onthult n. 1. niet met welke frequentie genoemd afvoerbedrag in het universum wordt overschreden, zodat op dit niveau alleen de geextrapoleerde lijn voldoende informatie geeft. 3 Het feit of zo'n top in een beschouwde periode valt hangt af van de plaats van deze periode op de tijdas, 3) In de frequentiefiguren van Borgharen voor het zomerhalfjaar valt de hoogste topafvoer met samen met de hoogste dagafvoer. Dit is een gevolg van het afsnijden van een hoogwatergolf op de grens van zomer en winter (1 november 1932), waardoor enige hogere dagafvoeren in het zomerhalfjaar vallen, maar de top zelf in het winterhalfjaar (zie hoofdstuk III, par. 7). 4) In fig. 34, de overschrijdingsfrequenties van de afvoeren te Lith, staan bij de hoogst voorgekomen afvoer 2 data vermeld. In de periode 1941-1960 zijn hier nl, 2 hoogwatergolven met een topafvoer van 1900 m /sec voorgekomen. 5) De besproken toppenfrequentiekrommen doen zien dat soms ingetekende punten van de hogere afvoeren naar beneden of naar rechts afwijken van de geSxtrapoleerde frequentielijn. Het lijkt, alsof de extrapolatie onjuist is. Er wordt echter op gewezen, dat juist in het gebied van de hoge toppen een sterk steekproefeffext werkt. Het voorkomen van 1 top meer of minder in dit gebied kan de ligging van de punten sterk beihvloeden. Wegens de logarithmische frequentieschaal zal een tekort van 1 top in de figuur een afwijking naar rechts opleveren die groter is dan de afwijking naar links als gevolg van een teveel van 1 top. Een tekort spreekt daarom sterker dan een teveel. Indien in de periode 1911-'60 te Borgharen een top meer voorgekomen was, b. v. tussen 2200 m /sec en 3000 m /sec, dan zouden de getekende punten alle 1 plaats naar links op moeten schuiven, waardoor ze practisch op de frequentielijn komen. In de zomertoppenfiguur is de kans op uitvallen van toppen groter, omdat dan ook het afsnijden van de hoogwatergolven op de grens van zomer en winter een rol speelt. Toppen, die werkelijk voorgekomen zijn, doch net buiten de gestelde kalendergrenzen vielen kunnen daardoor buiten de telling vallen. Dit gebeurde b. v. bij de top van 1 november 1932, die op 31 oktober werd afgesneden en daardoor als zomertop niet meetelde. 6) De als kruisjes ingetekende dagafvoeren blijken voor de hogere waarden steeds naar rechts af te wijken t . o . v . de dagenlijn. Toch is het verloop van deze lijn niet onjuist. De gemiddelde overschrijdingsduur per top wordt in het universum mede bepaald door alle hoger gelegen toppen, ook door de extreem hoge, die in de waarnemingsperiode niet voorgekomen zijn. In een bepaalde steekproef uit dit universumr die van eindige duur moet zijn, b. v. 50 jaar, zullen boven een bepaalde afvoerwaarde in het algemeen geen toppen meer voorkomen, waardoor het gemiddelde in verkleinende zin wordt beihvloed, Zoals de berekeningen nu eenmaal zijn opgesteld behoort bij de allerhoogste afvoer een hoogste waarde van de toppenlijn en een hoogste waarde van de dagenlijn. Deze hoogste waarden zijn, juist voor de hoogste afvoer, identiek. De punten (in de figuren kruisjes) van de dagafvoeren lopen dus naar het punt van de hoogste topafvoer. Dat w i l zeggen dat de kruisjes a l t i j d naar rechts afwijken van hun eigen lijn, welke die hoogste afvoer ook moge zijn. De puntenwolk in de figuren B zal dus steeds naar boven toe naar rechts gaan afwijken en eindigen in een punt, gelegen juist in de verticale as op de waarde "1 dag". 3 3 3 - 53 - Bij de hoogste waargenomen afvoer is het oorspronkelijke universum ingekrompen tot 1 waarde en is dus in feite niet meer van een universum sprake. De afwijking naar rechts is gevolg van het steekproefeffect van de feitelijke hoogste afvoer. Zelfs wanneer in de gegeven waarnemingstermijn precies de bijbehorende ' hoogste afvoer ' (modale waarde) zou zijn opgetreden, dan nog zouden de kruisjes naar de punten lopen. Eerst van een oneindig lange waarnemingsperiode met een onbeperkt aantal "nog ho gere" afvoeren zouden de gemiddelde lijnen gevonden worden, welke hier langs wiskundige weg zijn afgeleid. (Uiteraard geldt een en ander alleen voor de jaarwaarde en niet zonder meer voor de zomerwaarde vanwege het afsnij-effect). Een uit zo'n steekproef afgeleide lijn voor de gemiddelde overschrijdingstijd zal daarom in het bovenste deel kleinere waarden geven dan een aan het universum ontleende lijn. 7) Indien de lagere toppen in de steekproef een stochastische afwijking naar beneden krijgen, terw i j l voor de hogere toppen het in punt 6) genoemde verschijnsel optreedt, dan bestaat de mogelijkheid dat alle waargenomen frequenties eenzijdig van de werkelijke lijn komen te liggen. Dit is b. v. het geval bij de zomerafvoeren te Lith (fig. 35). De in bovenstaande punten genoemde afwijkingen zijn hiermee dus verklaard uit oorzaken die samenhangen met de gevolgde werkmethode (afsnijden op de grens van zomer en winter) en op statistische gronden (stochastische spreiding, tekort van een enkele top, het niet ter beschikking hebben van het gehele universum). De verschillende frequentiefiguren kunnen hiermee als voltooid worden beschouwd, - 54 - VI. WATERSTANDEN OP DE MAAS 1. Afvoerkrommen van Borgharen, Tegelen en Ravenstein De behandelde frequentiekrommen van Borgharen en Lith geven de frequenties van afvoeren. Met behulp van de momenteel geldende afvoerkrommen kunnen hieruit de frequenties van de waterstanden worden afgeleid. Voor de Maas zijn afvoerkrommen bekend van Borgharen, Tegelen en Ravenstein (zie fig. 36, 37 en 38). De afvoeren te Ravenstein worden geacht ook te gelden voor Lith. Bij de samenstelling is gebruik gemaakt van afvoermetingen en indien mogelijk, van de afvoergegevens van de stuwen te Borgharen en te Lith. De afvoerkrommen voldoen aan de afvoerformule voor een uiterwaardenprofiel: q=Bey yr + b c u u ( y - M 2 (83) hierin is: B = breedte zomerbed. B = breedte uiterwaarden c. q. oeverland. C = coefficient van de Chezy in het zomerbed. C = " " " " " de uiterwaarden. y = waterstand ten opzichte van bodem zomerbed. h = hoogte uiterwaarden ten opzichte van bodem zomerbed. I = verhang op de rivier. u u In verband met het feit, dat boven de uiterwaarden de waterstand kan varieren tussen 0 en enige meters,wordt C variabel gesteld en wel volgens de formule van Manning. Voor het zomerbed luidt deze: K y (84) en voor de uiterwaarden: C u =K u (y-h) (85) De coefficienten K en K worden aan elkaar gelijk gesteld. Eventuele verschillen worden ondergebracht in B , die daardoor het karakter krijgt van een effectieve breedte. Stel verder: u u B = nB u (86) Door een en ander gaat (83) over in: Q = BK Noem BK y \jl + n(y-h) (87) ^ 7 = A , waardoor (87) overgaat in: y 3 + n(y-h) 3 .(88) - 55 - De afvoer Q v bij vol zomerbed, is dan: 5 Q = Ah 3 (89) v Voor afvoeren, kleiner dan Q geldt: v 5 Q = Ay 3 (90) De voor respectievelijk Borgharen, Tegelen en Ravenstein geldende grootheden A , n, h en Q zijn vermeld in tabel XVIII: TABEL XVIII station 1 bodem t, 0. v. NAP 2 n A in 4_ 1 3 m sec h in m K in I B in m 1 3 3 1 7 6 5 breedte oppervl. in m m . sec 4 3 O V in m /sec 9 10 11 34, 1 85 105 8 +38. 00 62,6 9. 9 6.50 1410 4,7. 10 •4 2,16.10" 2 Tegelen + 7.00 34,4 7.3 9.20 1390 1,0.10 •4 1,0 .10" 2 38,1 90 110 1370 1,0.10 •4 1,0 .10" 2 40,2 122 150 Borgh. Ravenst. 0. 00 3. 6 7.40 48. 8 De waarde K uit kolom 9 werd bepaald door met behulp van de formule van White- Colebrook de coefficient van de Chezy te berekenen voor een w aterstand y = 7 m. Deze formule luidt: 12y C • 18 log - r r (91) Hierin stelt k de bodemruwheid voor in m. Voor de verschillende stations werden waarden genomen, als vermeld in tabel XIX: TABEL XIX station k in m y k 1_ 6 c in m 1 2 . sec -1 y 6 i "6 in m 4 6 K-C.y ~3 m -i . sec 6 2 3 Borgharen 0.20 35 47.3 1,38 Tegelen 0.10 70 52.6 1,38 38,1 55.5 1.38 40,2 1 Ravenstein 0.07 100 34,1 - 56 1 Door de waarden A, n en h in de formule (88) in te vullen kan voor diverse waterhoogten y de afvoer berekend worden. De betreffende afvoerkrommen zijn in de figuren 36,37 en 38 voorgesteld, Voor de stations Borgharen en Ravenstein kunnen nu met behulp van de afvoerfrequentiefiguren en de afvoerkrommen de dagen- en toppenfrequenties van de waterstanden worden bepaald, 2. Waterstanden bij andere stations langs de Maas Voor de andere langs de Maas gelegen peilschalen kunnen met behulp van de betrekkingslijnen de waterstanden uit die van Borgharen worden afgeleid. Deze betrekkingslijnen zijn opgenomen in het "Tienjarig overzicht der waterhoogten 1951-1960". Door combinatie van de afvoerkromme van Borgharen (fig. 36) met de betrekkingslijnen is het mogelijk een grafiek samen te stellen die het directe verband geeft tussen de afvoer te Borgharen en de waterstanden op diverse plaatsen langs de Maas. Een dergelijke voorstelling is gegegevn in fig, 39. De afvoerbedragen zijn afgebeeld op logarithmische schaal. Dit is gebeurd om de kleine en grote afvoeren op overzichtelijke wijze op een tekening van beperkte afmetingen te kunnen afbeelden. De kromme van Ravenstein geeft de mogelijkheid de figuur te toetsen aan de van dit station bekende afvpergegevens. Dit kan gebeuren door combinatie van de figuren 18 en 38, n. 1.: uit fig. 18 afvoer Borgharen afvoer Ravenstein hoogte Ravenstein, terwijl tevens: uit fig. 39 afvoer Borgharen - . ^ hoogte Ravenstein. uit fig. 38 • Beide methoden geven voor die afvoeren, waarbij de stuw te Lith geopend is nagenoeg dezelfde uitkomsten, Rondt men af tot op 10 cm nauwkeurig, dan vallen alle verschillen weg, Volledigheidshalve worden deze standen vermeld in tabel X X , TABEL X X ^Borgharen m3/sec Ravenstein/ Lith m3/sec y Ravenstein NAP + m 1 2 3 1000 1200 1400 1600 1800 2000 2500 3000 3500 3800 4000 1060 1235 1390 1550 1720 1880 2280 2670 3050 3300 3450 6.35 6, 95 7.40 7. 80 8. 15 8,45 9, 00 9, 50 9, 90 10, 10 10,30 De lijnen in fig. 39 zijn geextrapoleerd naar afvoerwaarden van 3800 m /sec. In de figuur zijn de waterstanden ingeschreven, die behoren bij afvoeren van 3500 m3/sec, (frequentie 1,10" per jaar) respectievelijk 3800 m3/sec (frequentie 3 . 1 0 ' per jaar). Tussen haakjes zijn de standen geplaatst, die optraden tijdens de hoogwatergolf van januari 1926, De topafvoer te Borgharen bedroeg toen 3000 m3/sec. Voor enige stations langs de beneden-Maas zijn 3 4 o 4700 46.00 45.00 a < 44.00 z z Ml > o «0 43.00 e z a z £ 42O0 OC III I— < 4 IOO 4 O.OO 3 9.00 3 8.00 F»G: I8.80+ 37 iRflfyf AFVOERKROMME BU kmr 105 (TEGELEN) volgens afvoermetingen verricht in: + 1951 12-23 januari 13-14 januari 22-24 december 16-17 februari 27-28 februari I8.00+ I8.QO+ 8-16 januari 3 februari Q. < Z > o •* E Z I7.00+ < < X u •A _J I7.00 + - UI - Q. Ui Q Z < < Q Z < I6O0+ I6.00+ «/> DC UI de afvoeren beneden IOOOm /sec hebben b e trekking op de ongestuwde rivier. 3 .15.00* I5.00+ rivierbodem op NAP+7.00m i it _I4.00 W.OOt UI o o o o o s O O o AFVOER IN ftP/sec o o o co UI O O + IV AFVOERKROMME RAVENSTEIN + IO.OO __ volgens af voermetingen verricht in :. • 1942 l8-25maart + 1943 l6-20januari o 1948 6-12 januari *I952 OI952 25-29 „ 22-25 januari IS januari 23-25 december 9.00t_ De afvoeren beneden lOOOmVsec hebben betrekking op de ongestuwde rivier. _6.5Q + rivierbodem op NAP 6.00± 5.SO+ .6.00 + _550 + 5.O0C? .500+ 4.6 O* 4.60+ 3500 - 57 - gecorrigeerde standen opgegeven. Dit zijn standen, die destijds zijn berekend voor het geval, dat geen dijkdoorbraken zouden hebben plaatsgevonden. De voor een afvoer van 3500 m3/sec bij de huidige toestand afgeleiden standen liggen lager dan die, welke in 1926 bij een afvoer van 3000 m3/sec optraden. Ook voor een afvoer van 3800 m3/sec liggen de standen in het algemeen lager dan de standen van 1926. Voor de stations Ravenstein, Megen, Oijen en Lith zijn ze nagenoeg gelijk. Men dient hierbij te bedenken dat in de gecorrigeerde standen de invloed van de Beerse overlaat nog verdisconteerd is. Voor de toestand met gesloten Beerse overlaat zou men hogere standen gevonden hebben. De oorzaak van het feit, dat de waterstanden thans minder hoog oplopen dan vroeger ligt in de rivierverbeteringswerken, in de daling van de rivierbodem en in de versterking van de topvervlakking. 3. De invloed van de grindgaten op de topvervlakking De grindgaten langs de oevers van de Maas zijn gelegen tussen Maaseik (km 52.450) en Neer (km 89. 920). Bij het meetpunt te Tegelen (km 105) werkt hun invloed dus volledig. De afvoerkromme van Tegelen zal daarom gebruikt worden om de werking van de grindgaten aan te tonen. De afvoer van rond 1400 m3/sec te Borgharen, waarbij de uiterwaarden beginnen te overstromen en de grindgaten vol raken zal als uitgangspunt worden gebruikt. De ongedempte topafvoer te Tegelen Q (naar analogie met Q 4 voor Ravenstein/Lith) is te bepalen volgens: T 4 Q T4 = Q Borgh + Q R (92) De waarde Q R stelt de tussen Borgharen en Tegelen op de Maas gevoerde hoeveelheid water voor en is voor het grootste gedeelte afkomstig van de rivier de Roer, Deze vergrote Roerafvoer volgt uit tabel VII, Voor Q Borgh Q T4 = 1400 m3/sec geeft dit: = 1400 + 130 = 1530 m3/sec, Aangezien te Tegelen geen peilschaal staat, die in het waarnemingsschema is opgenomen, moest de waterstand aldaar worden bepaald door interpolatie tussen Belfeld (beneden) en Venlo. Blijkens fig. 39 geeft een afvoer te Borgharen van 1400 m3/sec een stand van NAP + 16.10 te Tegelen. Volgens de afvoerkromme is dan de afvoer te Tegelen: Q T = 1370 m3/sec, De demping volgt dan uit: = 1530 - 1370 = 160 m3/sec, Te Ravenstein is de demping, blijkens tabel VIII bij een afvoer Borgharen van 1400 m3/sec: /I Q, b = 218 m3/sec. Men kan aantonen, dat de vervlakking van de tophoogte en van de topafvoer omgekeerd evenredig is met het verhang I. Voor de Maas kan men nu de volgende berekening opzetten: - 58 - -4 Afstand Borgharen-Linne Linne-Tegelen Linne-Ravenstein = 54 km, verhang I = 4,7.10 = 35 km, " I = 1,0.10' = 113 km, " I = 1,0.10" 4 4 De afvoerdemping tussen Borgharen en Tegelen is evenredig met de factor: 54 —4. 7 + 35 = 12 + 35 = 47 en de afvoerdemping tussen Borgharen en Ravenstein met de factor: —— + 113 = 12 + 113 = 125. 4.7 47 De afvoerdemping tot Tegelen zou dus slechts yjjg" of rond 38 "jo bedragen van de afvoerdemping tot Ravenstein. Uitgaande van een demping Borgharen-Ravenstein van A Qb m3/sec komt men dan voor de demping Borgharen-Tegelen tot: = AQ T 2 1 8 - 0,38.218 = 82 m3/sec. Gezien de gevonden demping A Q = 160 m3/sec betekent dit, dat tussen Borgharen en Tegelen bijzondere invloeden werken. Inderdaad is dit het geval in de vorm van de grindgaten. Tussen 1946 en 1960 is zeker 600 a 700 ha grond ontgraven en in wateroppervlak omgezet. Beneden Tegelen komen geen grindgaten voor. De zandontgravingen bij Mook zijn ten opzichte van de grindgaten te verwaarlozen T De invloed van de grindgaten op de totale demping kan men globaal vinden door uit te gaan van de demping Tegelen-Ravenstein. Deze bedraagt 218 - 160 = 58 m3/sec. Hieruit volgt de gewone demping Borgharen-Ravenstein volgens: 0,38 — — 5 8 0,62 v = 35 m3/sec. De totale demping Borgharen-Ravenstein zou dan bedragen 35 + 58 = 93 m3/sec. Aangezien voor de werkelijke demping geldt: Q = 218 m3/sec, betekent dit een grindgateninvloed van 218 - 93 = 125 m3/sec. Er wordt op gewezen, dat de waarde 93 m3/sec niet zonder meer mag worden vergeleken met de waarde 118 m3/sec uit tabel VIII voor de vroegere toestand zonder de grindgaten. De rivierbodem lag destijds n. 1. minder diep, zodat bij een afvoer te Borgharen van 1400 m3/sec de oeverlanden reeds aanzienlijk overstroomd waren en zodoende door hun berging.een bijdrage aan de demping leverden. b 218 De demping is t. o. v. de vroegere toestand met een factor —gg = 2, 35 vergroot. Een versterking van de demping tot een dergelijke orde van grootte is, door uitbreiding van de bergingscapaciteit, zeer goed mogelijk. Dit is theoretisch te verklaren. Beschouw een rechthoekig stroomprofiel ter breedte B. Een hoogwatergolf met een topafvoer Q ondervindt hierin over een lengte 1 een topvervlakking A Qkan aantonen, dat bij verbreding van het profiel met een niet-stroomvoerende strook ter breedte nB de demping overgaat in ( 1+n) A Q. Neemt men voor B = 100 m en voor nB = 50 m, d.w. z. n = 0, 5 dan is de vergroting van de demping (1, 5) = 2, 25. Voor een rivierlengte van 150 km is de oppervlakte van'de bergende strook 150.10 x 50 = 750.10 m2 = 750 ha. Deze getallen liggen alle in dezelfde orde van grootte als de overeenkomstige cijfers op de Maas. M e n 2 z s 4 Zonder te veel op de numerieke grootte van bovengenoemde dempingswaarden te letten kan gesteld worden, dat een uitbreiding van de bergingscapaciteit in de orde van grootte van de grindgaten van grote invloed is op de topvervlakking. Er wordt op gewezen, dat de uitkomsten van de bewerking van het waarnemingsmateriaal de ge- - 59 - middelde toestand over de jaren 1941-1960 geven. Een momentopname van 1960 zal waarschijnlijk grotere dempingen te zien geven, terwijl deze bij verdere ontgravingen verder zullen toenemen. De invloed van de grindgaten is het grootste bij die afvoergolven, waarbij het zomerbed vol is, d. w. z. omstreeks 1300 a 1400 m3/sec, Voor hogere afvoergolven neemt de invloed af met de topafvoer en wordt tenslotte overheerst door de invloed van de berging in de uiterwaarden en oeverlanden. - 60 - VII SAMENVATTING EN NABESCHOUWING In dit rapport werd verslag uitgebracht over een onderzoek naar: 1) de afvoerfrequenties op de rivier de Maas, respectievelijk te Borgharen en te Lith; 2) de waterstanden op de Maas bij hoge afvoeren. Het resultaat van punt 1) is gegeven in de frequentiegrafieken van de figuren 32 t/m 35, Hieruit blijkt o, a, dat met een frequentie van gemiddeld 3.10" top per jaar ongeveer de volgende afvoerwaarden worden overschreden: 4 te te te te Borgharen Borgharen Lith Lith (zomer (alleen (zomer (alleen + winter) zomer ) + winter) zomer ,) 3800 m3/sec (gem. 1900 " ( " 3300 " ( " 1800 " ( " 2 dagen 1 dag 4,5 dag 1,5 dag per top) " ") " ") " ") Als resultaat van 2) volgden de in fig, 39 vermelde waterstanden, respectievelijk gegeven voor afvoeren, met een overschrijdingsfrequentie van 1. I O " respectievelijk 3 . 1 0 ' . Deze standen liggen in het algemeen lager dan de topstanden in januari 1926, ondanks het feit, dat de afvoer 1926 kleiner was dan de met genoemde frequenties voorkomende afvoeren, Ook voor de grotere frequenties zijn de waterstanden in het benedengebied gedaald. Deze daling wordt toegeschreven aan: 1) de verlaging van de rivierbodem en de rivierverbeteringswerken; 2) de versterking van de topvervlakking door de grindgaten nabij en boven Roermond . 3 4 De invloed van de grindgaten is zeer belangrijk, temeer, daar de verlaging van de rivierbodem juist een verzwakkende invloed op de demping heeft. DeoeVerlanden overstromen n. 1. tegenwoordig pas bij grotere afvoeren dan vroeger, waardoor het bergend vermogen hiervan eerst bij grotere afvoeren van invloed wordt. De invloed van de grindgaten kan worden aangetoond door het feit dat de demping tussen Borgharen en Tegelen, het riviergedeelte waar de grindgaten gegraven zijn, onevenredig groot is ten opzichte van de demping tussen Tegelen en Ravenstein, Mogelijke andere oorzaken voor de verlaging van de topafvoeren kunnen geen belangrijke invloed hebben uitgeoefend. Als zodanig kunnen worden genoemd: 1) de opstuwing van de rivier door de stuwen te Linne, Roermond, Belfeld, Sambeek, Grave en Lith; 2) de bouw van stuwdammen in het bovenstroomse gebied van de Roer als "Hochwasserschutz". Tegen 1) is aan te voeren: a) de stuwen bevinden zich zowel boven als beneden Tegelen. De veranderingen na 1940 zouden dus over de gehele Nederlandse Maas merkbaar moeten zijn en niet alleen in het gedeelte boven Tegelen; b) de versterking van de topvervlakking wordt pas goed merkbaar b i j , en neemt toe boven die afvoeren, waarbij de stuwen worden uitgenomen; c) voor 1940 was de Maas reeds vele jaren gestuwd. In de vroegere toestand had men dus reeds afwijkingen moeten vinden en zou het verschil tussen vroeger en nu minder duidelijk zijn geweest, Bezwaren tegen 2) zijn: a) een grotere Roerafvoer in de oude toestand kan, blijkens tabel VIII en de daarop volgende tabel een afvoertop op de Maas hoogstens met enkele tientallen m3/sec beihvloeden. Door vervlakking van de golf in het Roerdal zelf zal dit effect bovendien grotendeels verloren gaan. Hiertegenover staat een topverlaging op de Maas ten opzichte van de oude toestand, die in absolute waarde tot 130 m3/sec kan oplopen; b) bij afvoeren op de Maas tussen 800 en 1400 m3/sec kan een "Hochwasserschutz" nog niet goed merkbaar zijn. Het verschil tussen de toestanden van respectievelijk voor en na 1940 blijkt dan echter al duidelijk; - 61 - c) bij toppen te Borgharen van omstreeks 1600 m3/sec bestaat een maximum in de verschillen tussen de afvoerbedragen in respectievelijk de oude en de nieuwe toestand, Een "Hochwasserschutz" op de Roer echter zal bij deze lang geen extreme afvoeren nog niet aan de grens van zijn mogelijkheden zijn gekomen. Het effect zal pas bij veel hogere afvoeren goed merkbaar moeten zijn, Geconcludeerd kan dus worden dat de verlaging van de topafvoeren te Lith na 1940 een gevolg is van de grindgaten. De invloed van de grindgaten is maximaal bij de afvoeren die juist het winterbed doen overstromen. Bij hogere afvoeren neemt de invloed af, omdat dan de door de gaten gevormde bergingsruimte gevuld is. Dit zal vooral sterk spreken wanneer de hoogwatertop voorafgegaan werd door een of meer lagere toppen. Van groot belang zijn de grindgaten vooral voor de zomertoppen omdat door de versterkte topvervlakking overstroming van de uiterwaarden in het benedengebied juist in dit seizoen sterk zal verminderen. Daarom is het uit dat oogpunt van belang, althans enige van de grindgaten te handhaven. Hierbij kan worden opgemerkt, dat ook van andere zijde belangstelling bestaat voor het instandhouden van grindgaten langs de Maas. Men denkt hierbij aan recreatieve bestemmingen en aan het belang, dat deze gaten hebben voor de visstand op de rivier. Verwezen wordt naar de publicaties van 'T HOEN [ l i t . 11 ] en VAN DRIMMELEN [ l i t . 12 ~] . Bij verdere uitbreiding van de grindgaten zal de topvervlakking uiteraard versterkt worden, Aangezien de productie van de ontgrindingen zich momenteel in sterk stijgende lijn beweegt is een zodanige versterking dus wel te verwachten. Enige cijfers mogen dit illustreren. In 1947 bedroeg de productie van Maasgrind 3, 2 m i l l , ton, in 1955 7, 3 m i l l , ton en in 1962 9, 3 m i l l . ton. In 1962 was er ongeveer 600 ha land in water omgezet. Wellicht ten overvloede wordt er op gewezen, dat in het voorgaande onderzoek geen rekening is gehouden met afvoeren afkomstig uit andere stroomgebieden dan dat van Maas. Hierbij wordt gedoeld op een mogelijke in werking treden van de Heerenwaardense overlaat, waardoor water uit de Waal op de Maas zou komen. Er is op gerekend dat deze voormalige overlaat zodanig is of zal worden verhoogd, dat zelfs bij de maatgevende Rijnafvoeren van 18000 m3/sec (freq. 3.10" ) in werking treden onmogelijk is. Tot slot nog de volgende opmerking. Het gehele samenstel van verschijnselen, dat in dit rapport wordt behandeld is in sterke mate gebaseerd op de afvoeren te Borgharen en de frequentieverdeling hiervan. Het is gewenst deze afvoeren en frequenties nader te analyseren uit afvoergegevens van de Maas in Belgie en van de hierop uitstromende zijrivieren, in het bijzonder van de combinatie Ourthe-Ambleve-Vesdre. Onderzoekingen in deze richting zijn gaande. 4 - 62 - LITERATUUROVERZICHT 1. P.J. WEMELSFELDER, Nota lage Maas. Rapport rijkswaterstaat, hydrometrische afdeling, 1950. 2. De Maas van oorsprong tot uitmonding. Land en water nr. 4, 1962. H . VANROSSUM, 3. P . J . WEMEISFELDER The persistency of riverdischarges and groundwater storage. International Association of Scientific Hydrology, publication no. 63, Berkeley 1963. 4. J.W. V A N DER MADE, Onderzoek naar het verband tussen neerslag en afvoer in de stroomgebieden van Dommel en A a . Rapport rijkswaterstaat, directie Noord-Brabant, 1962. 5. J.W. DE ZEEUW EN F. HELLINGA, Neerslag en afvoer. Landbouwkundig tijdschrift . 7 0, 1958. 6. J.W. DE ZEEUW, Het typeren van een stroomgebied met behulp van kengetallen. Nota werkgroep 'afvloeiingsfactoren', September 1959. 7. J . C . SCHONFELD, Voortplanting en verzwakking van hoogwatergolven op een rivier. De ingenieur nr. 4, 1948. 8. F . M . HENDERSON, Flood waves in prismatic channels. Journal of the hydraulics division ASCE, july 1963. 9. M . L . WIJVEKATE, Verklarende statistiek. Aula-reeks nr. 39. 10. RIJKSWATERSTAAT, Tienjarig overzicht der waterhoogten 1941-1950, 's-Gravenhage 1954. 11. P . C . A . 'T HOEN, Ruimtelijke ordening en recreatie in Limburg. T i j d schrift Koninklijke Nederlandse Heidemaatschappij nr. 78, 1963. 12. D . E . V A N DRIMMELEN, Waterverontreiniging en visserij. Water, bodem, lucht nr. 4, 1963. INHOUD biz, I II III IV V VI VII Inleiding 1 Herkomst en bewerking van het waarnemingsmateriaal 1. Beschikbaar materiaal 2. Selectie van de toppen 3. Kenmerkende. eigenschappen van de toppen 4 4 5 De frequenties van de topafvoeren te Borgharen 1. Frequentieverdelingen 2. De rechtlijnig-exponentiele verdeling 3. Kansen op optreden van hoogwatergolven 4. De geknikte rechtlijnig-exponentiele verdeling 5. Vaststelling van het verloop van de frequentielijnen door gebruikmaking van de gemiddelde overschrijdingshoogten 6. Afleiding frequentielijn Borgharen 7. Frequenties van de topafvoeren in de zomer 8. Onderzoek naar mogelijke veranderingen in het universum van de topafvoeren 19 23 23 24 De frequenties van de topafvoeren te Lith 1. De veranderingen in de betrekking tussen de topafvoeren van Borgharen en Lith 2. Onderzoek naar de opbouw van de betrekking Borgharen-Lith 3. Invloed van de zijrivieren Roer en Niers 4. Invloed van de golfdemping 5. Afleiding frequentiekromme Lith 6. Frequenties van de topafvoeren in de zomer 26 26 27 29 32 33 De overschrijdingsfrequenties van de dagelijkse afvoeren 1. Bewerkingsmethode; extrapolatie vanuit het bekende gebied 2. Het geschematiseerde topmodel 3. Geval, dat de afvoertoppen rechtlijnig-exponentieel zijn verdeeld 4„ De afvoertoppen zijn geknikt rechtlijnig-exponentieel verdeeld 5. Gebruik in de praktijk 6. Toepassingen op de Maas 7„ Nabeschouwing over de frequentiefiguren van de Maas 35 35 37 41 44 45 52 Waterstanden op de Maas 1. Afvoerkrommen van Borgharen , Tegelen en Ravenstein 2. Waterstanden bij andere stations langs de Maas 3. De invloed van de grindgaten op de topvervlakking 54 56 57 Samenvatting en nabeschouwing 60 9 11 15 16 62 VIII Literatuuroverzicht
© Copyright 2024 ExpyDoc