H QbCV/irChi.
Hoogwatergolven
op de M a a s
Onderzoek naar grootte
en frequences van afvoeren
en waterstanden
door
Ir.J.W.van der Made
R'JKSWATERSTAAT— DIREKTIE
WATERHUISHOUDING
EN WAT ERBEWEGING - HYDR. AFD.
C
i
n
i
RIJKSW AT E RSTAAT
DIRECTIE WATERHUISHOUDING
EN WATERBEWEGING
Hydrometrische Afdeling
""^SSS?"' Rijkswaterstaat/RIZA
Documentatie
Portbui 17
8200 A A Lelystad
HOOGWATERGOLVEN OP DE MAAS.
Onderzoek naar grootte en
frequenties van afvoeren
en waterstanden.
door
ir J. W. van der Made.
"s-Gravenhage, maart 1965.
OVERZICHTSKAARTJE
STROOMGEBIED
VAN
DE
MAAS
NEDERLAND
lOOkm
G R O O T T E VAN HET
STROOMGEBIED
a
b
c
d
e
f
g
h
i
TOT:
DINANT
NAMEN
LUIK
BORGHAREN
LINNE
ROERMOND
VENLO
GRAVE
L-ZWALUWE
2
km
I2IOO
15550
20440
21260
21950
25IOO
26040
28950
32870
I. INLEIDING
De frequentieverdeling van rivierafvoeren is van groot belang voor allerlei vraagstukken die samenhangen met het rivierbeheer en de veiligheid van de aangrenzende gebieden. Gedacht wordt hierbij aan
het vaststellen van de maatgevende hoogte van de rivierdijken, aan werken, die op of nabij de rivier
worden uitgevoerd, aan vraagstukken op het gebied van wateronttrekking of energiewinning, aan scheepvaartmogelijkheden enz.
Is de frequentieverdeling bekend, dan kan hieruit de kans worden afgeleid, dat een bepaalde afvoer
(c. q, waterstand) wordt overschreden of onderschreden.
Voor de afleiding van de frequentieverdeling van de Maasafvoeren zal gebruik worden gemaakt van
dagelijkse afvoercijfers, geldend voor de stuw te Borgharen en voor die te Lith. Beschikbaar is cijfermateriaal uit de periode 1911-1960.
Op dit materiaal en op de bewerking hiervan wordt in hoofdstuk I nader ingegaan.
Voor de lagere en middelbare afvoeren zijn, dank z i j het 50-jarig tijdvak, voldoende gegevens bekend om hieruit een als definitief te beschouwen frequentieverdeling samen te stellen.
Een grote moeilijkheid leveren echter die vraagstukken, die verband houden met extreem hoge afvoeren. Dergelijke afvoeren hebben een dermate lage frequentie, dat ze in de beschouwde periode slechts
een enkele maal of in het geheel niet zijn voorgekomen. De grootste waargenomen afvoer in deze periode
kwam voor in januari 1926 en bedroeg te Borgharen 3000 m3/sec. Het is onjuist te stellen dat deze afvoer
gemiddeld l x per 50 jaar wordt overschreden, omdat het feit dat deze afvoer juist in de beschouwde periode is voorgekomen, geheel toevallig kan zijn. Een eenmaal voorgekomen afvoer zegt niets over de frequentieverdeling. De aangewezen benadering van het vraagstuk bestaat uit de e x t r a p o 1 a t i e van de
frequentieverdeling vanuit het gebied, dat voldoende bekend is.
Deze extrapolatie is het voornaamste vraagstuk, dat in deze nota behandeld wordt.
Het lijkt m i j nuttig om op deze plaats enige begrippen nauwkeurig te omschrijven. Zulks zal worden
gedaan aan de hand van een gestyleerde frequentiefiguur a.
Deze figuur stelt in algemene zin de overschrijdingsfrequentiekromme van de afvoeren voor. De reden, waarom met afvoeren en niet met waterstanden wordt gewerkt ligt hierin, dat de bedding van de
rivier in de loop van de tijd sterk is gedaald, zodat de waterhoogten uit verschillende perioden niet gelijkwaardig zijn en dus niet als statistisch universum kunnen worden beschouwd [lit. l ] . Afvoeren daarentegen zijn gegeven als absolute maat, onafhankelijk van de toevallige toestand van de rivierbedding.
fig. b
fig. a
log. school
loo. school
overschri jdingsfrequentie
gemiddelde
voor lijn A in aantal toppen per jaar
ove
( voor
lijn B in aantal dagen per jaar
sch
.id.ngsduu-
in dagen per top
- 2 -
De horizontale schaal geeft de gemiddelde overschrij dingsfrequenties per jaar. De dimensie, waarin
deze overschrijdings-frequences worden gegeven hangt af van de beschouwde kromme. In fig. a zijn n l .
2 frequentiekrommen getekend. Lijn A geeft het gemiddeld aantal hoogwatergolven per jaar, waarvan de
toppen een bepaalde waarde overschrij den, als functie van die waarde. Dit aantal noemen we de t o p p e n f r e q u e n t i e . " Ze wordt uitgedrukt in gemiddeld aantal toppen per jaar.
Lijn B stelt voor het gemiddeld aantal dagen per jaar, waarop de afvoer een bepaald bedrag overschrijdt. We zullen dit aantal noemen de d a g e n f r e q u e n t i e .
De g e m i d d e l d e o v e r s c h r i j d i n g s d u u r per a f v o er top van een bepaald afvoerbedrag is
te berekenen uit het quotient:
•
gem, aantal dagen per jaar, waarop afvoer Q wordt overschreden
gem. aantal toppen per jaar, die de afvoer Q overschrijden
dagenfrequentie
toppenfrequentie
In dimensies uitgedrukt:
dagen
/ jaar
toppen / jaar
dagen
top
Deze gemiddelde overschrij dingsduur is weergegeven in f i g . b.
De horizontale schaal van de frequentiefiguur wordt getekend op logarithmische schaal. De reden
hiervoor is, dat dan alle frequences, lopende van 365 dagen per jaar voor lijn B tot 10~ toppen per jaar
voor lijn A, in een figuur van beperkte omvang overzichtelijk kunnen worden samengebracht. De afvoeren uit het frequentiegebied, dat voldoende bekend is, komen goed tot hun recht, maar kunnen toch nog
op duidelijke wijze in verband worden gebracht met het gebied van de zeer zeldzaam optredende extreem
hoge afvoeren. Zou men daarentegen met een lineaire frequentieschaal werken, dan zou het bekende gebied (voor lijn A lopende van ongeveer 20 toppen per jaar tot 10-1 toppen per jaar) t. o. v. het te onderzoeken gebied (tot 10~3 toppen per jaar) slechts 1% van de te gebruiken schaallengte uitmaken.
Een tweede voordeel is, dat de log. schaal zeer eenvoudig van opbouw is. Dit in tegenstelling tot
diverse soorten waarschijnlijkheidsschalen, die bij voorbaat uitgaan van een bepaalde frequentieverdeling
(normaal, log. normaal, Goodrich, Gumbel).
Om fysische redenen zijn echter deze mathematisch geformuleerde verdelingen verworpen. Bezien
we n l . de vorm van de toppenfrequentielijn A , die ontleend is aan fig. 37 voor Borgharen, dan blijkt deze
te bestaan uit 2 lijnstukken, die onder een bepaalde hoek bij elkaar aansluiten bij de afvoer x . Als oorzaak van deze gebruikte vorm kan wel met zekerheid worden aangewezen het feit, dat boven x grote
hoeveelheden water geborgen worden, zowel langs de oevers van de hoofdrivier als in het gebied van de
zijrivieren. Denkbaar is, dat bepaalde zijrivieren aan een maximum afvoer gebonden zijn. Meerdere toevoer van water naar zo'n rivier zal dan hoofdzakelijk als inundaties geborgen worden. Zo komen uitgebreide overstromingen veelvuldig voor in het Franse stroomgebied van de Maas £lit. 2 Tj . In het gebied
van de Ardennen zal de berging minder groot zijn, doch beneden Vise zal deze weer een grotere rol gaan
spelen. Het is evident, dat het zinloos is om het optreden van een dergelijke discontinufteit in het verloop
van de frequentielijn op te willen vangen door een mathematische formulering. Het is ongetwijfeld juister
om een grafische methode te hanteren en de fysische achtergronden in de beschouwing te betrekken.
3
$
s
Een derde, bijkomend voordeel van de logarithmische schaal bestaat hieruit, dat de gemiddelde overschrij dingsduur per top op zeer eenvoudige wijze kan worden samengesteld, indien hiervoor ook de logarithmische schaal wordt gekozen, zoals in fig. b is gebeurd.
Uit het eerder genoemde quotient volgt n l . :
log (gem. overschrijdmgsduur per top) =
log (dagenfrequentie) - log (toppenfrequentie).
In woorden: De gemiddelde overschrijdingsduur kan worden gevonden door het horizontale verschil
- 3-
tussen de dagenfrequentielijn en de toppenfrequentielijn te meten en daarna deze maat op een logarithmische schaal uit te zetten.
De extrapolatie van de toppenfrequentielijn van Borgharen naar extreem hoge afvoeren bestaat uit een
rechtlijnige extrapolatie van het bovenste lijnstuk. Deze soort extrapolatie houdt geen verband met een bepaalde natuurwet, doch is uitsluitend gebaseerd op de eenvoudigste veronderstelling, nl. dat de in het bekende gebied optredende regelmaat zich bij hogere afvoeren zal voortzetten.
Een opbuigen van de toppenfraquentielijn is onwaarschijnlijk. Dit zou alleen te verwachten zijn, indien
boven een bepaald niveau de afvoer onevenredig zou toenemen, b. v. door vergroting van het stroomgebied.
Een terugbuigen van de toppenfrequentielijn naar een langzaam flauwer wordend verloop is in zoverre
waarschijnlijk, als de geihundeerde gebieden bij de zeer hoge afvoeren bovenstrooms van het meetpunt
blijven toenemen. Er zal zeker op de Maas tussen Namen (monding Sambre) en Luik b. v. tengevolge van
toenemende inundaties golfdemping optreden, die een verlagende invloed op de hoge toppen zal hebben.
Deze invloed is echter thans niet of nog niet bekend en zal bovendien in dit vrij smalle rivierdal van weinig
betekenis zijn.
Er is dus uit dien hoofde in het geval Borgharen (fig. 32) geen overtuigende reden om van een rechtlijnig verloop af te wijken.
In hoofdstuk III wordt een nadere toelichting op deze toppenfrequentielijn van Borgharen gegeven. Eerst
wordt een theoretische beschouwing gewijd aan dat type frequentieverdeling, dat op enkel legarithmisch
papier door een rechte lijn wordt voorgesteld, de rechtlijnig-exponentiSle verdeling. Daarna wordt deze
theorie uitgebreid tot de geknikte rechtlijnig-exponentiele verdeling, die vervolgens op Borgharen zal worden toegepast.
Voor de afvoeren in het zomerhalfjaar (1 mei t/m 31 oktober) werden afzonderlijke frequentielijnen
samengesteld (fig. 33).
Deze afvoeren zijn n l . van speciaal belang voor vraagstukken op het gebied van wateronttrekking voor
de landbouw en voor werkzaamheden, die op of aan de rivier worden uitgevoerd.
De toppenfrequentielijn van Lith (fig. 34) werd niet afgeleid uit het waarnemingsmateriaal dat ter
plaatse is bepaald. Gebruik wordt gemaakt van de onderlinge betrekking, die bestaat tussen de topafvoeren
van Borgharen en van Lith. Deze methode gaf een beeld waarmee uitnemend tot zijn recht kwam het gevolg van de in de onderzochte periode tot stand gekomen belangrijke wijzigingen in het regime van de r i vier. Deze wijzigingen, in het bijzonder de uitgebreide grindbaggerijen, hebben de golfdemping in sterke
mate beihvloed. Een en ander wordt nader toegelicht in hoofdstuk IV.
In hoofdstuk V worden behandeld de dagenfrequentielijnen, in het bijzonder de extrapolatie hiervan.
Daarbij wordt gebruik gemaakt van de lijn, die de gemiddelde overschrij dingsduur per top geeft. Een bepaald wiskundig model werd aangepast aan de gegevens uit het bekende gebied en gebruiktvoor extrapolatie
naar extreme afvoeren.
Ook voor Lith werden de frequentielijnen voor de zomerafvoeren afzonderlijk vastgesteld (fig. 35).
In hoofdstuk VI wordt een beschouwing gewijd aan de waterstanden op de Maas, in het bijzonder aan
de extreem hoge standen. Fig. 39 geeft het verband tussen de waterstanden langs de Maas en de afvoer te
Borgharen. Deze figuur werd samengesteld met behulp van de afvoerkrommen van Borgharen en Ravenstein
en van de betrekkingslijnen tussen de waterstanden bij de diverse peilstations.
Het zal blijken dat tegenwoordig de bij extreme afvoeren (freq. 10~3 respectievelijk 3.10"4) optredende standen, de standen van de bekende hoogwatergolf uit januari 1926 niet zullen overschrijden.
II HERKOMST EN BEWERKING VAN HET WAARNEMINGSMATERIAAL
1. Beschikbaar materiaal
Het beschikbare materiaal wordt gevormd door de dagelijkse afvoercijfers in m3/sec over de jaren 1911-1960.
De bronnen van dit materiaal zijn;
a. B o r g h a r e n
De afvoeren uit de jaren 1911-1931 zijn afgeleid uit de voor die tijd geldende afvoerkromme van
Vise.
In 1931 werd de stuw te Borgharen in bedrijf gesteld.
Voor de jaren 1932-1950 werd gebruik gemaakt van een afvoerkromme, aangevende het verband
tussen de waterstand te Vise en de afvoer over de stuw te Borgharen, In deze tijd was de bodem van
de rivierbedding te Vise constant, terwijl in Borgharen een sterke daling optrad als gevolg van grindbaggerwerken, Een afvoerkromme van Borgharen is daarom over dit tijdvak geen vaststaand gegeven
[lit. l ] .
Na 1950 is ook de bodem te Vise gaan dalen. De afvoeren uit de periode 1951-1960 zijn daarom
aldus bepaald, Er werd een afvoerkromme samengesteld, die het verband gaf tussen de 8-h afvoer over
de stuw en de 8-h stand beneden de stuw. Deze kromme moest van tijd tot tijd herzien worden,
Per dag wordt de tengevolge van manipulatie met de stuwen in Belgie" vaak abrupt fluctuerende
waterstand 6x opgenomen. Hiervan wordt grafisch het gemiddelde bepaald. Met behulp van dit gemiddelde wordt daarna op de geldende afvoerkromme de afvoer afgelezen, die als vereffende 8-h afvoer
wordt beschouwd.
Sedert 1956 vertoont de afvoerkromme geen daling meer.
Bij geopende stuw wordt gebruik gemaakt van de afvoerkromme van Maastricht, die door stroommetingen (met Ottmolens) werd vastgesteld.
b.
Lith
De afvoeren 1911-1936 zijn bepaald uit de afvoerkromme van Ravenstein. Bij werking van de
Beerse overlaat werd gewerkt met de afvoerkromme. van Mook.
In 1936 kwam de stuw te Lith gereed.
De afvoeren 1937-1960 werden bepaald uit de water- en klepstanden aan de stuw met behulp van
een bij de sluismeester berustende afvoergrafiek. Bij geopende stuw wordt gewerkt met de afvoerkromme
van Ravenstein. Deze afvoerkromme werd door drijvermetingen vastgesteld en wordt nog regelmatig
gecontroleerd.
2, Selectie van de toppen
De rivierafvoer, waarvan de grootte nu dag voor dag bekend is, blijkt aanzienlijke variaties te
vertonen. In perioden met weinig neerslag kan de afvoer zeer lage waarden aannemen. Valt ergens in
het stroomgebied regen, dan komt het gevallen water met enige vertraging op de rivier terecht. Er
ontstaat dan een hoogwatergolf (flood, Hochwasserwelle, onde de crue), die, wanneer er geen andere
golven aan voorafgaan of er op volgen, een zeer karakteristieke vorm heeft: snelle stijging, gevolgd
door een langzame daling. De snelle stijging vindt plaats in de tijd, die nodig is, om het afvoermechanisme op gang te brengen. Hiervoor zijn op de Maas 3 a 5 dagen voldoende. De veel langzamere
daling ontstaat, doordat de watertoevoer van land en gebergte via de grond, greppels en beken naar
de rivier geleidelijk afneemt. De snelheid van afname hangt behalve van de aard van het gebied af
van de verhouding waarin het water bovengronds of ondergronds wordt afgevaerd [lit. 3, 4, 5, 6 j .
De grote hoogwatergolven zijn bij uitstek een gevolg van bovengrondse afvoer,
De vorm van de hoogwatergolf komt tot uitdrukking in de plaatselijke peilschaalkromme. In fig. IA
en IB zijn voorbeelden van gfsoleerd optredende hoogwatergolven gegeven, zoals deze zich voordeden
aan het peilmeetstation te Borgharen. Wanneer de regelmatige afname van de hoeveelheid geborgen
water wordt gestoord door nieuwe regenval, dan zal de toevoer op de rivier weer sterk toenemen tot een
nieuwe maximumwaarde en begint net spel van voren af aan.
In een periode, waarin de regenbuien elkaar met vrij korte tussenpozen opvolgen lopen de verschillende hoogwatergolven in elkaar over. Voegt men hieraan nog toe kunstmatige handelingen, zoals manipulaties met de stuwen, dan is duidelijk, dat er zeer ingewikkelde vormen van afvoerlijnen kunnen
ontstaan, F i g . l C geeft hiervan een voorbeeld uit de natte winter 1960-'61. Hierbij komen kort na
FIG. I
VOORBEELDEN VAN
HOOGWATERGOLVEN OP DE
MAAS B'J BORGHAREN.
A I 64.70
elkaar een aantal maxima voor. Ze zijn van hoog naar laag genummerd 1 t/m 7.
De afleiding van de frequentieverdeling van de hoogwatergolven naar de topafvoeren geschiedt aan
de hand van een lijst, waarop de in de beschouwde periode ( i . c. 1911-1960) voorgekomen toppen worden vermeld. Deze lijst begint met de hoogste top en wordt voortgezet met de ander toppen volgens afnemende grootte.
Onder een top in engere zin wordt hierbij verstaan de hoogste dagelijkse afvoer van de hoogwatergolf. In ruimere zin vertegenwoordigt zo'n top de gehele hoogwatergolf. Daarom wordt in het spraakgebruik vaak het woord 'top' gebruikt voor het begrip 'hoogwatergolf.
De eerste vraag, die zich bij het opmaken van de lijst voordoet is, welke dagafvoeren als zelfstandige top moeten worden beschouwd en in aanmerking komen op de lijst te worden vermeld. Uiteraard
moet een top in de eerste plaats een maximum zijn, d. w. z. een dagafvoer hoger dan 2 of 3 voorafgaande dagafvoeren en ook hoger dan de 2 of 3 daarop volgende,
Daarna vragen we ons af of elk zodanig maximum als top moet worden beschouwd. In gevallen,
zoals fig. IA en IB is de zaak duidelijk, Er is e'en top aan te wijzen. Ondergeschikte fluctuates kunnen
buiten beschouwing blijven.
Komen er meerdere maxima kort na elkaar dan wordt de keuze minder vanzelfsprekend. In fig. I C
bijv. zal men in ieder geval top 1 voor de afleiding van de frequentieverdeling mee laten tellen. Mag
men dit ook doen voor de andere maxima 2 t / m 7 ?
Geheel zelfstandige toppen zijn dit zeker niet. Dit geldt overigens ook voor top 1, waarvan de hoogte
beihvloed wordt door de eerder voorgekomen top 5. Zou deze laatste niet zijn opgetreden, dan zou
top 1 een lagere waarde hebben aangenomen. De toppen 1 en 5 hangen dus met elkaar samen, zodat
er reden is, ze als een top te beschouwen. Een dergelijke samenhang bestaat ook tussen de toppen 2,
3 en 4 en tussen de lagere toppen 6 en 7.
Het meerekenen van alle maxima is dus niet logisch. We wijzen dit dus af. Nu rijst de vraag, welke maxima wel en welke niet worden meegerekend. Een duidelijk fysisch criterium is niet te geven
omdat theoretisch elke hoogwatergolf oneindig lang doorwerkt. Toch zullen we een maatstaf vast moeten stellen, omdat bij het ontbreken hiervan de beoordeling van het al of niet meerekenen van een bepaald maximum wordt overgelaten aan het persoonlijk inzicht van de bewerker der waarnemingen.
Wordt het werk verricht door meerdere personen of wordt later de bewerking om welke reden dan ook
herhaald, dan kan dit tot ongelijkwaardige resultaten aanleiding geven.'
Voor het opstellen van een maatstaaf is aldus te werk gegaan. Aangenomen wordt, dat op een tijdstip, vallende een vaststaand aantal dagen na een beschouwd maximum, de hoogwatergolf zoveel van
zijn water heeft afgevoerd, dat deze als uitgewerkt kan worden beschouwd. Treedt er binnen n dagen
een nieuw maximum op, dat lager ligt dan het eerste, dan wordt het tweede maximum geacht tot de
oorspronkelijke hoogwatergolf te behoren, en wordt niet op de toppenlijst vermeld. Ligt het tweede
maximum hoger dan het eerste, dan wordt het tweede maximum als de top beschouwd en wordt het
eerste verder buiten beschouwing gelaten.
Bij toepassing van deze methode. moeten we dus in een groep maximum eerst zoeken naar de hoogste top in deze groep. Maxima, die vallen in een periode tussen n dagen voor en n dagen na de hoogste top worden geacht tot die hoogste top te behoren en verder buiten beschouwing gelaten. Buiten genoemde periode wordt de procedure opnieuw toegepast.
Voor de Maas werd op grond van de vorm van een groot aantal geisoleerde toppen n = 8 dagen ge•kozen. Het is duidelijk dat deze waarde voor iedere rivier anders kan liggen.
In fig. IA is aangegeven, welke maxima volgens de besproken methode als top beschouwd worden.
3.
Kenmerkende eigenschappen van de toppen
Na de selectie van de toppen uit de dagelijkse afvoeren komt de vraag aan de orde, welke getalswaarde of getalswaarden we aan een hoogwatergolf moeten toekennen om het karakter ervan zo goed
mogelijk tot uitdrukking te brengen. We zullen daartoe de volgende kenmerkende eigenschappen bespreken (zie ook fig. 2a en 2b):
a) plaatselijke topstand
(local crest)
b) momentele topstand
(river crest)
c) plaatselijke topafvoer
d) momentele topafvoer
e) overschrijdingsduur door de golf van een bepaalde hoogte of
afvoer-grootte
- 6-
f) basisduur
g) de snelheid van stijging of daling
h) het totale volume van de golf
De p l a a t s e l i j k e t o p s t a n d is de hoogste stand, die tijdens het passeren van een hoogwatergolf
op een bepaald peilmeetstation wordt afgelezen. Dit is in feite het directe gegeven, dat door de waterwaarnemers wordt verstrekt.
De plaatselijke topstand verschilt van de topstand, die de golf op dat ogenblik ergens op de rivier
heeft en die we de m o m e n t e l e t o p s t a n d zullen noemen. De momentele topstand passeert pas enige tijd later de peilschaal, maar dan is de plaatselijke waterstand als gevolg van de golfdemping al weer
gedaald (zie fig. 3). Door SCHONFELD en HENDERSON zijn hieraan uitvoerige beschouwingen gewijd
[ l i t . 7 en 8 ] .
Ook voor de afvoeren kan onderscheid worden gemaakt tussen de p l a a t s e l i j k e en de m o m e n t e l e topafvoer. Evenals bij de waterstand loopt bij de afvoer de plaatselijke top voor de momentele.
Uit de continuiteitsvoorwaarde blijkt, dat op een bepaald tijdstip en op een bepaalde plaats de
plaatselijke topstand p met de momentele topafvoer M samenvalt.
De continuiteitsvoorwaarde luidt:
dy
dQ
sx
+ B—
at
waarin:
- O
Q
x
B
y
t
(1)
= afvoer
= afstand, volgens de as van de rivier
= spiegelbreedte
= waterstand t. o. v. de rivierbodem
= tijd
Voor de plaatselijke top geldt:
dy
at
o
zodat dan volgens (1)
Dit is de voorwaarde voor de momentele topafvoer.
In fig. 3 is aangegeven hoe de 4 genoemde toppen met elkaar samenhangen.
Hierbij blijkt, dat de maximale afvoer op en bepaald punt steeds eerder optreedt dan de maximale waterstand aldaar. Met andere woorden: het waterstandsverloop ijlt na t. o.v. het afvoerverloop.
Van genoemde toppen is de plaatselijke topstand die, welke we aan de peilschaalgegevens kunnen
ontlenen. De waterstanden worden vervolgens met behulp van een afvoerkromme in afvoercijfers herleid.
Als gevolg van het naijlen van de waterstanden t. o. v. de afvoeren wordt hierdoor een kleine fout gemaakt, die echter voor de praktijk van geen enkel belang is gebleken. In het bijzonder bij de plaatselijke topstand is het verschil tussen de volgens de afvoerkromme gegeven afvoer en de momentele topafvoer gering [ l i t . 8] .
De aan de afvoerkromme ontleende topafvoer wordt verder als momentele topafvoer beschouwd en
in het volgende aangeduid met alleen t o p a f v o e r ,
De momentele topstand en de plaatselijke topafvoer worden in deze nota niet gebruikt.
Bij vraagstukken, waarbij het alleen gaat om het feit of een bepaald peil (of een bepaalde afvoer)
wordt bereikt behoeft alleen de grootte van de topwaarde te worden beschouwd. Dit is b.v. het geval
bij de vaststelling van dijkhoogten. De duur van de overschrijding van dit peil speelt dan eerst secundair een rol.
In eerste instantie wordt daarom een onderzoek ingesteld naar uitsluitend de grootte van de topafvoeren.
PLAATSELIJKE
W
MOMENTELE
DALING
3 t
TOPSTAND
TOPSTAND
( LOCAL
CREST
(RIVER C R E S T )
fNEG.")
»
'
OVERSCHRUDINGSDUUR
HOOGTE
h
BASISHOOGTE
BODEM
to.v. NAP
T'JD
FIG. 2^
OVERSCHRUDINGSDUUR
AFVOERGROOTTE
BASIS A F V O E R
T'JD
FIG. 2
B
Q
PLAATSEL'JKE
TOPSTANDEN
OMHULLENDE
dY
a
Y
dX " dX
MOMENTELE
TOPSTANDEN
FIG.3
PLAATSEL'JKE
TOPAFVQEREN
dQ
- O
OMHULLENDE
dQ
dX
s
a Q
3 X
MOMENTELE
TOPAFVQEREN
Toelichting:
In punt B wordt de plaatselijke topstand p2 (local crest) bereikt op het tijdstip t2. De momentele topstand
m2, (river crest) is dan in het punt A . Op het tijdstip t3 is de momentele topstand m3 in het punt B. De plaatselijke topafvoer PI in punt B wordt bereikt op het tijdstip t l . Op het tijdstip t2 passeert de momentele topafvoer M2 het punt B. Deze valt dus samen met de plaatselijke topstand p2 aldaar. Op dat moment treedt in
punt C de plaatselijke topafvoer P2 op.
Volgens HENDERSON (lit. 8) is AB=BC.
Volgen we de plaatselijke topstand p met de golf mee, dan vinden we
dy
dy
<K _
dx
t) t
dx
6y_
6 x
Ay
(omdat — - =0) d.w. z. bij de plaatselijke topstanden raakt de golf
aan zijn omhullende (vloedmerk).
lets dergelijks geldt voor de plaatselijke topafvoeren, nl.
dQ
dQ
dx
dx
- 7-
In vele gevallen echter is naast de hoogte ook de "duur" van een hoogwatergolf van belang. B i j voorbeeld de duur dat landerijen of wegen onder water staan, dat de scheepvaart is verboden, en dergelijke. Men kan op verschillende wijzen over een "duur" spreken. In deze nota zal steeds onder duur
worden verstaan de duur dat een gesteld peil h wordt overschreden of, wat hetzelfde is, de duur dat de
afvoer groter is dan een gesteld bedrag. In de figuren 2A en 2B is dit aangeduid als de o v e r s c h r i j d i n g s d u u r van resp. een bepaalde hoogte of een bepaald afvoerbedrag.
In de inleiding kwam reeds ter sprake het begrip g e m i d d e l d e o v e r s c h r i j d i n g s d u u r per
top en hoe deze uit de frequentielijnen kon worden afgeleid. In fig, 4 is dit begrip nader toegelicht.
FIG. 4
De toppen zijn genummerd van hoog naar laag. Overschrijdingsfrequentie afvoergrootte 0 :
= 4 hoogwatergolven per jaar en tevens:
+
d
+
d
+
d
d a
e n
e r
a a r
2
3
4 ^
8
P
j '
Gemiddelde overschrij dingsduur van afvoer Q =
d
1
+ d
2
+ d„ + d,
3
4
4
.
dagen/top
Een andere maat, die samenhangt met de duur van het golfverschijnsel i s d e b a s i s d u u r , zoals
globaal grafisch is gedefinieerd in f i g . 2B, Deze grootheid is moeilijk of in het geheel niet in getalswaarde uit te drukken, omdat de basishoogte c. q. <de basisafvoer van geval tot geval verschilt en omdat er geen scherpe tijdsgrenzen te geven zijn. H i j komt dan ook voor statistisch werk niet in aanmerking.
D e s n e l h e i d v a n s t i j g i n g of van d a l i n g is van belang bij vraagstukken die verband houden
met voorspelling van hoogwater, in het bijzonder de stij gsnelheid. In deze nota wordt dit aspect echter niet behandeld.
Het t o t a l e v o l u m e van de golf is de integraal van de afvoeren, die gedurende de basisduur een
bepaalde plaats (peilmeetstation) zijn gepasseerd. In formule:
Q dt
- 8-
In hoofdstuk V zal het volume van een geschematiseerd golfmodel worden gebruikt bij het onderzoek naar het verband tussen de tijdsduur van het golfverschijnsel te Borgharen en van die te Lith.
De verschillende genoemde eigenschappen hangen alle min of meer met elkaar samen. In deze nota wordt voornamelijk gebruik gemaakt van:
1) de (momentele) t o p a f v o e r, als maat voor de grootte
2) de g e m i d d e l d e o v e r s c h r i j d i n g s d uur per top van een variabel afvoerbedrag als
maat voor de duur
ILL DE FREQUENTIES VAN DE TOPAFVQEREN TE BORGHAREN
1„ F requentieve rdelingen
Zoals in de inleiding werd vermeld zal in dit hoofdstuk een beschouwing worden gewijd aan de
rechtlijnig-experimentiSle en de geknikte rechtlijnig-exponentiele verdeling.
Allereerst zullen daartoe frequentieverdelingen in het algemeen besproken worden.
Wanneer men de beschikking heeft over een groot aantal waarnemingen van een regelmatig
voorkomend verschijnsel (bijv. een afvoergolf), dat naar grootte meer of minder sterk kan varigren,
dan kan men een indruk krijgen van de spreiding van de waarnemingscijfers, door deze naar grootte
in groepen in te delen en te tellen ("turven"), hoeveel waarnemingen in ieder van deze groepen vallen. Met behulp van de uitkomsten kan men een blokdiagram of histogram samenstellen. Op de verticale as komt het aantal waarnemingen per groep, op de horizontale as de maat, waarin de waargenomen grootheid wordt uitgedrukt. Een histogram kan verschillende vormen aannemen. De figuren
5a, b en c geven enige voorbeelden. (Een symetrische, een asymetrische en een afgesnedene).
De grenzen tussen de groepen of klassen kan men op verschillende manieren kiezen. Een verandering van klassebreedte heeft verschillende gevolgen, zowel voor de hoogte als voor de vorm van
de figuur. Neemt men bijv de klassebreedte 2x zo smal als bij een eerste opzet, dan zal het aantal
waarnemingen per klasse gemiddeld 2x zo klein worden. De figuur zal dan dus 2x zo laag worden.
Bij nog kleinere klassebreedte zal de figuur steeds verder "in elkaar zakken". Men kan aan dat bezwaar tegemoet komen door op de verticale schaal uit te zetten "het aantal waarnemingen per groep,
gedeeld door de klassebreedte". De hoogte van de figuur wordt dan onafhankelijk van de gekozen
klassebreedte. De dimensie van de grootheid op de verticale as wordt dan de reciproke waarde van
de dimensie langs de horizontale as.
Een tweede gevolg van het nemen van steeds kleinere klassebreedten is, dat de trapjeslijn van
het histogram steeds meer nadert tot een vloeiende kromme. In het li'mietgeval wordt de klassebreedte
oneindig klein. Het histogram is dan een vloeiende kromme geworden. De functie, die deze kromme
voorstelt noemt men v e r d e l i n g s f u n c t i e f(x) voor een verschij nsel, waarvan de grootte x varieert.
In de fig. 6a, b en c zijn een aantal verdelingsfuncties voorgesteld, die samenhangen met overeenkomstige histogrammen uit de figuren 5.
Is dit verschijnsel een hoogwatergolf, waarvan men de topafvoer gemeten heeft (in m3/sec), dan
is de dimensie van de verdelingsfunctie:
|m3/sec
In een klasse ter breedte dx komt het verschijnsel f (x) dx maal voor.
Wil men weten, hoeveel hoogwatergolven opgetreden zijn met topafvoeren, gelegen tussen
bijv. x m3/sec en x m3/sec, dan betekent men de integraal:
Vraagt men naar het aantal hoogwatergolven, kleiner dan een bepaalde grootte x, dan moet
men berekenen:
x
F(x)=
J
0
f(x)dx
(3)
De functie F (x) heet d e o n d e r s c h r i j d i n g s f u n c t i e .
Veelal zullen we werken met de o v e r s c h r i j d i n g s f u n c t i e p.
Hebben we in totaal K waarnemingen gedaan, dan is de grootte van deze functie: K - F (x).
Omdat het totaal aantal waarnemingen van geval tot geval verschilt, is het logischer met relatieve aantallen t. o.v. het totaal te werken dan met absolute aantallen.
- 10 -
De genoemde integralen geven dan als uitkomst nu geen aantal maar een fractie. De waarde K
gaat over in de eenheid, waardoor de overschrijdingsfunctie dan wordt:
P=1"F (x)
(4)
De verdelingsfunctie van een oneindig groot aantal gevallen noemt met het u n i v e r s u m . Inde
praktijk hebben we altijd slechts een eindig aantal gevallen. Dit beperkte aantal kunnen we beschouwen
als een s t e e k p r o e f uit dit universum, Hoe groter de steekproef, hoe minder de frequentieverdeling
binnen de steekproef zal afwijken van het universum.
Een tweetal begrippen, die bij een verzameling getalswaarden (dus bijv. een serie cijfers van afvoertoppen) een rol spelen zijn de g e m i d d e l d e waarde e n d e s t a n d a a r d a f w i j k i n g of standaarddeviatie t.o.v. het gemiddelde.
Het g e m i d d e l d e van de afvoertoppen, gelegen tussen x^ en x^ is de som van de tussen deze
grenzen gelegen toppen, gedeeld door het aantal toppen, of in formule:
x
/
'2
x
gem. = 1
x f (x) dx
;
(5)
-X
2
f (x) dx
x
1
Beschouwen we alle toppen (d.w. z. tussen x= O en x=
hiervan:
r°°
J x
x
gem.
-
o
0 0
), dan bedraagt het gemiddelde
f (x) dx
(6)
r
Voor de noemer geldt nl:
/
o
f (x) dx = 1
r°°
De vorm
/
xf (x) dx wordt ook wel genoemd het l e moment.
o
De s t and aa r d a f w i j k i n g is de tweedemachtswortel uit de variantie t.o.v. het gemiddelde,
De variantie is de som van de tweede machten van de afwijkingen van alle toppen t. o. v. de gemiddelde waarde, gedeeld door het aantal toppen.
In formule:
/
oo
(x -p)
2
f(x)dx
ro
r
J
f(x)dx
CO
/
x
o
/- CO
—
2
f (x) dx - 2 Jtt f
' 1 o
x f (x) dx +
2
J p
o
'
l
f (x) dx
AI 64.86
- 11 -
/"°°
Wij noemen de vorm
J
x
f ( x ) dx - 2 F
l
y
x
f (x
(x)dx -
x
/
J
o
x
2
yu
.^
+ i
/
f, ,(x) dx het 2e moment
i
fx.
'2
De m o m e n t e n v e r g e l i j k i n g luidt:
De standaardafwijking t.o.v, het gemiddelde is dus:
6
=
i/u' .
(9)
2. De r e c h t l i j n i g - exponentiele v e r d e l i n g
De overschrijdingsfrequenties van de topafvoeren voor hoogwatergolven bleken bij gebruik van
enkel-logarithmisch papier bij benadering op een rechte lijn te liggen.
De logarithmen van de overschrijdingsfrequenties zijn dus evenredig met de grootte van het verschijnsel,
In formule:
log £ 1 - F ( x )
J
Voor de uitwerking zullen we natuurlijke logarithmen gebruiken en de evenredigheidsconstante
die negatief is. - oc noemen, Dit geeft:
In
| 1 - F (x) |
= - CXx . .
of 1 - F (x) = e
(10)
(11)
De constante 5jf is de z.g. n a p i e r e r i n gsw a ar de(genoemd naar de grondlegger van het natuurlijke logarithmenstelsel John Napier).
^
Wanneer we een afvoer x vergelijken met een afvoer x +
, dan blijkt, dat de overschrijdingsfrequentie van de laatste £ - m a a l zo klein is als die van de eerste. In formule:
i - f(X
=e
- c*x-l
-ex.X
=£
B
/
/e
(12)
- 12 -
-CK.X.
F(x) =
1
(13)
en hieruit de verdelingsfunctie:
dF(x)
-cxX
f ( x ) = — — = ace
(14)
dx
In fig. 7 zijn de verdelingsfunctie f (x) (verg. 14), de onderschrijdingsfunctie F (x) (verg. 13) en de
overschrijdingsfunctie (verg. 11) op lineaire schaal grafisch voorgesteld.
Fig. 8 geeft eveneens de overschrijdingsfrequentie, waarbij nu de figuur een kwartslag is gedraaid,
omdat het aantrekkelijk is afvoeren (en waterhoogten) op verticale schaal uit te zetten.
In fig. 9 is de overschrijdingsfrequentie logarithmisch uitgezet, waarbij de schaaleenheid = ln€ ,
De frequentielijn wordt dan een rechte, Deze gaat door de oorsprong en heeft een richtingscogfficignt
- 1
-— .
Uit de overschrijdingslijn kan worden afgeleid hoe vaak een bepaalde afvoer x wordt overschreden. Van belang is ook de vraag, met welk bedrag deze afvoer dan gemiddeld wordt overschreden.
Hiertoe berekenen we de g e m i d d e l d e o v er s c h r i j d i n gs w a ar de x
Dit is de gemiddelde waarde van alle toppen, gelegen boven een bepaalde x,
Uit de verdelingsfunctie is af te leiden:
-co
a o
*
x f (x) dx
/ x. oc e
dx
_ <
x
r
f (x) dx
/
x J
De integraal in de teller wordt:
-CX x
x e
oo
<X e
dx
CO
-OCX
- OCX
dx
xe
<X x
xe
dx
•oc x
oC.
oo
FIG7
FIG8
FIG.9
AI 63.6
- 13 -
tx
Voor de integraal in de noemer wordt afgeleid
oCx
OCX
dx
oo
-OCx
=
e
Hieruit volgt:
-OCX
-OCX
of
.(15)
De gemiddelde hoogte van alle waarden boven een bepaald niveau x is dus steeds een constant
bedrag X- groter dan dit niveau x,
° ex. °
De gemiddelde overschrijdingswaarden hebben als meetkundige plaats een lijn, lopende evenwijdig
aan de overschrijdingslijn en gelegen op een afstand ~ hierboven, of op een afstand In e links hiervan.
Dit geeft een eenvoudige methode om bij een gegeven frequentiefiguur zeer snel de gemiddelde
overschrijdingswaarde te bepalen.
Men gaat vanuit het punt A , waar de frequentielijn
het niveau x snijdt, over een afstand In e naar rechts
(punt B) en van daar uit verticaal naar boven tot men
de frequentielijn snijdt (punt C). Op deze hoogte ligt
de gemiddelde overschrijdingswaarde, zoals blijkt uit
fig. C . Het is hiervoor dus niet nodig, de lijn van de
gemiddelde overschrijdingswaarden te tekenen.
W i l men niet slechts een doch meerdere overschrijdingswaarden kennen, dan verdient het tekenen van
de meetkundige plaats hiervan uiteraard wel aanbeveling
In de praktijk zal voor de horizontale schaal steeds
met Briggse (tientallige) logarithmen worden gewerkt,
De schaaleenheid wordt dan log 10. De horizontale afstand tussen beide lijnen wordt dan log e of 0, 434 x
de schaaleenheid.
Is de schaalverdeling met getallen 1, 2, 3 . . . .
aangegeven, dan kan de gezochte afstand worden gevonden als die tussen 1 en e = 2, 72.
- 14 -
Het gemiddelde van alle voorkomende waarden van x (alle waarden, groter dan x = O) bedraagt
volgens het voorgaande:
x
gem
=
1
x = —.
o
o<
v
(16)
'
Van het verloop van de gemiddelde overschrij dingshoogten kan in praktijkgevallen met voordeel
gebruik worden gemaakt bij het bepalen van de richting — , In par. 5 van hoofdstuk III wordt hierop nader teruggekomen.
De s t a n d a a r d a f w i j k i n g
kan worden bepaald uit de momentenvergelijking:
1
H
2
a
2
^2 " A
8
<>
- 15 -
,0
Dit geeft
+
1
—e
-
04 X
oo
oc
1
2
—7
6
OC
oc
(17)
zodat
De standaardafwijking is bij deze verdeling dus even groot als de gemiddelde waarde.
3. Kansen op optreden van hoogwatergolven
Alvorens de theorie uit te breiden tot de geknikte rechtlijnig-exponentiele functie,volgt nu eerst
een beschouwing over de vraag, hoe uit de overschrijdingsfrequentielijn de k a n s op overschrijden van
een bepaalde waarde kan worden afgeleid.
De overschrijdingsfrequentie volgens formule 11 stelt voor de verhouding tussen het aantal afvoertoppen, groter dan een bepaalde waarde x en het totaal aantal toppen. Ze wordt uitgedrukt in een d i mensieloze grootheid a a n t a l of procenten en meestal voorgesteld door de letter p, zodat:
aantal
OCx
(18)
p= 1 - F(x)
Nemen we uit deze verdeling (universum) een steekproef, die bestaat uit n elementen, (dus bijv.
n toppen in een tijdvak van T jaar), dan zullen in zo'n steekproef g e m i d d e l d m elementen voorkomen groter dan x. Hiervoor geldt:
m = np
^
of log m = log n + log p I .
of In m = In n + In p J
(19)
Om de gemiddelde frequentie per tijdvak T te vinden moet dus in fig. 9 de x-as over een afstand
In n naar rechts worden verschoven.
De kans, dat in een steekproef (tijdvak T) een waarde x niet wordt overschreden, luidt volgens de
wet van Poisson
K
o
= e-m
. . . (20)
De kans op een of meer malen overschrijding is dus:
k =1 - K = 1 - e
o
-m
(21)
Voor grote waarden van m nadert deze kans tot 1, voor kleine waarden tot de waarde m zelf. In
formule:
•talk- 1
( )
2 2
m—*•
en
oo
m
limK = l i m ( l - e " ) = m
m-»o m-»o
De getalswaarden van frequentie en kans worden dan dus gelijk.
(23)
- 16 -
In tabel I zijn voor verschillende gemiddelde overschrijdingsfrequenties m (per tijdvak T) de
kansen K op een of meer overschrijdingen in een willekeurig tijdvak T gegeven.
TABEL I
<
m
K = 1 -e
0,050
0, 050
0,100
0,200
0,300
0,400
0,500
0,600
0,700
0, 800
m
0, 050
0,097
0,180
0,260
0,330
0,394
0,456
0,503
0,552
-m
m
0, 900
1, 000
1,500
2,000
3, 000
4, 000
5, 000
6, 000
7,000
> 7,000
K = 1-e
-m
0,592
0,630
0,777
0, 865
0,950
0, 982
0, 993
0, 997
0, 999
1,000
Als tijdvak T kan men een willekeurige periode kiezen, bv. een jaar. Vaak moet men echter met
langere perioden werken. In vele gevallen, bijv. bij veiligheidsoverwegingen i . v. m. bepaalde werken
is dit de enig juiste methode. Als tijdvak T kiest men dan de geschatte levensduur, de afschrijvingstijd
van een werk, of vooral, de duur, waarin een bepaalde situatie zal moeten functioneren.
4. De geknikte rechtl ij n ig - exponent ie le v e r d e l i n g
Zoals eerder aan de hand van fig. 32 werd betoogd, kan de frequentieverdeling van de afvoertoppen te Borgharen worden beschouwd als een geknikte rechtlijnig-exponentiele verdeling.
De verstoring van de regelmaat, die bij de hogere afvoertoppen werd gevonden, moet worden toegeschreven aan het achterblijven van water, dat bij overschrijding van een bepaald peil ergens in het stroomgebied geborgen wordt.
Welke invloed heeft dit op de frequentieverdeling ?
Verwezen wordt daartoe naar fig. 10, waar de frequentieverdeling "zonder berging" wordt voorgesteld door f^ ( x ). De verticale schaal geeft de afvoerwaarden, de horizontale de frequentieverdeling,
Bij een afvoer x begint berging op te treden. De toppen, een weinig groter dan deze waarde zullen, welke invloed ze ook van de berging ondervinden, nooit beneden de afvoer x komen te liggen,
maar hoogstens tot deze waarde gereduceerd worden. Hun aantal zal echter worden vergroot door toppen,
die van nature een hogere waarde zouden moeten hebben, doch door de berging verlies hebben geleden.
In het gebied boven de afvoer x zal de frequentie dus groter worden (gebied I),
Zien we vervolgens naar hogere afvoerwaarden dan komen we in een gebied II waaruit wegens verlies van water een groot aantal toppen verdwenen zijn. De plaats van deze toppen wordt echter ingenomen door toppen, die een nog hogere waarde zouden moeten hebben. In gebied II vindt een opschuiving
plaats. Het aantal toppen blijft gelijk.
Bij nog hogere afvoerbedragen tenslotte wordt het verlies niet meer gecompenseerd door aanvulling
van bovenaf. We bevinden ons dan in gebied M , waar minder toppen voorkomen dan er bij afwezigheid
van berging geweest zouden zijn. •
In fig. 10 is een en ander door een schematische yoorstelling verduidelijkt.
Indien we voor de frequentieverdeling boven het punt x ook een exponentiele functie aannemen,
dan wordt de overschrijdingsfrequentielijn, uitgezet op logarithmisch papier in dit gebied eveneens recht,
Voor de afvoeren te Borgharen is een dergelijk verloop , zoals is gebleken uit fig. 32 aanvaardbaar.
De formules voor de overschrijdingsfunctie, resp. beneden en boven het punt x luiden dan;
s
s
s
s
s
(24 a)
17
1 - F
( X)
= e ~/3(*-C)
(
2
4
b
)
De constante C hangt samen met de grootte van x . In dit punt zijn de overschrijdingsfrequenties
even groot, zodat;
s
<*x
=/3(x -Q
s
s
Q -<3C
dus:
C = -
x
S
Vergelijking (24 b) gaat door substitutie van C over in:
- 3 x + (/3 -oc) x
1 - F (x)
2
=
e
w
'
'
/ o c s
s
(25)
De formules van de verdelingsfuncties zijn door differentiatie af te leiden:
f
f
2
(x)
=OCe ' * *
(26 a)
(x)
^ e ^ ^ ^ ^ ^ s
............................
(26b)
De waarde -~- is de napiereringshoogte van de afvoeren groter dan x .
fi
s
In fig. 11 is de overschrijdingsfunctie op lineaire schaal en in fig. 12 op logarithmische schaal uit
gezet,
Ook van de geknikte lineair-exponentiele verdeling kunnen de gemiddelde overschrijdingswaarden
worden berekend. Voor afvoeren, groter dan x , geldt, evenals bij de gewone lineair-exponentiSle
verdeling:
s
x = x
*li
(27)
/3
Voor kleinere waarden dan x berekenen we de gemiddelde overschrijdingshoogte als gemiddelde
waarde van alle afvoeren, groter dan x :
s
s
-xx
(
/ x yof cV ep
dx
H v ++ Jl xx
X
1
I
++ —
— ff ee
- / ? x +(/9 -oc) x
''
s
'
S
x
x =
«.
-ftx
Xj
e
dx
+ e
"»
r
•OCx
x
X
s
e
I
x
e
OCX
+ (/3 -<x.) x
s
I
>
x
+
-oCx
e
s
s
+
—
ex.
I
- 18 -
e
-OCX
/
s lXs
1 1
5c}
+
+ e
-OCX
e
-ocx (
|x
-OCX
s
+ e
+
1 1
-ax L
- | + e
s^
s
+
1
_
-OCX
+ e
s
-ocx
e
s
OCX
De tweede term stelt voor de gemiddelde overschrijdingshoogte, die zou gelden indien de overschrijdingslijn niet geknikt zou zijn, doch gewoon volgens de richting i . zou doorlopen, Het eerste lid moet
gezien worden als een correctie hierop, als gevolg van het geknikt zijn. Deze is negatief als &, groter
is dan
°*
We kunnen dus stellen:
waarin:
Voor x = x geldt:
<
Ax
=—
oc
—
/3
dus volgens (28) ;
X
=
x
+
- L
Naarmate x kleiner wordt neemt J\ x af. Voor x = 0 geldt:
A
A x
o =
r i
-ocx
.
e
S
i ")
{*~ff\
( 3 0 )
Voor gevallen als bij Borgharen is, zoals in f i g . 14 zal blijken deze waarde te verwaarlozen. Voor
kleine afvoeren geldt bij benadering dus weer:
1
x = x +—
oc
(15)
In fig. 12 is het verloop van de gemiddelde overschrijdingshoogte x en van de correctie /}\ x uitgezet.
- 19 -
5, V a s t s t e l l i n g van het verloop van de f r e q u e n t i e l i j n e n door
gebruikmaking van de gemiddelde ove r s c h r i j dingshoogten
De lijn van de gemiddelde overschrijdingshoogten, zoals deze in de paragrafen 2 en 4 werd afgeleid kan een belangrijk hulpmiddel zijn bij de bepaling van de richting van de overschrijdingsfrequentielijn. Dit geldt in het bijzonder voor de geknikte rechtlijnig-exponentiele verdeling, waar in de bovenste tak vaak weinig punten beschikbaar zijn, Het is dan moeilijk op het oog de juiste richting te
vinden,
Bepaling van de richting volgens de methode der kleinste vierkanten heeft het bezwaar, dat men
aan een enkele "uitschieter", zoals bijv. de hoogwatervloed van 1926, te veel gewicht gaat toekennen, zodat deze de richting onevenredig sterk beihvloed. In feite dient men aan de punten in de figuren verschillende gewichten toe te kennen, hetgeen de zaak nogal gecompliceerd maakt. Daarnaast
bestaat bij de geknikte verdeling de moeilijkheid, bij welke frequentie men de grens moet leggen tussen de lage en de hoge afvoeren, Men kan dan een keuze doen en voor beide takken de regressielijn
hepalen. Heeft men goed gekozen, dan ligt het snijpunt tussen beide takken juist op de aangenomen
frequentie. Klopt dit niet dan moet men de afleiding herhalen. Onnodig te zeggen dat deze methode
zoveel rekenwerk geeft, dat ze in feite nooit wordt toegepast,
De hierna te behandelen methode gaat er van uit, dat men van een gegeven verzameling afvoercijfers het verloop van de gemiddelde overschrijdingswaarden bepaalt. Men laat daartoe, gaande van
hoog naar laag, alle toppen de revue passeren en berekent steeds de gemiddelde waarde van de hoger
gelegen toppen dan de beschouwde. Aldus ontstaat een serie punten, die volgens voorgaande theorie
op een lijn zouden moeten liggen, evenwijdig aan de overschrijdingsfrequentielijn en gelegen op een
afstand J L hierboven.
Men dient echter rekening te houden met het feit, dat de theorie alleen geldig is voor een oneindig doorlopend universum.
In een bepaald praktijkgeval, zoals de verzameling topafvoeren van de Maas te Borgharen, beschikken we evenwel maar over een zeer beperkte hoeveelheid gegevens.
Om een indruk te krijgen van de verhouding tussen de gemiddelde overschrijdingswaarden bij resp.
een oneindig universum en een beperkte steekproef, beschouwen we een denkbeeldige steekproef, waarin de eenheden x juist de exacte waarden uit het universum aannemen. In fig. 13 is een overschrijdingslijn met dergelijke steekproefwaarden in beeld gebracht (lijn I).
De steekproef bestaat uit N elementen, De verdelingsfunctie van het universum luidt als formule (14):
- cXx
f (x)
=C<e
Hierbij is de overschrijdingsfrequentie, volgens (11):
- CX. X
p = 1 - F (x)
zodat:
• e
x • - 3 £ In p
(31)
Hiermee is de grootte van x uitgedrukt in de overschrijdingsfrequentie p.
Wanneer we de N elementen naar grootte sorteren volgens rangnummer r, dan wordt voor ieder element
de overschrijdingsfrequentie:
r
p
=
17
(32)
en
In p = In r - In N
Ingevuld in (31) geeft dit:
x
r
= — ( In N - In r)
ex.
,
We zullen nu punt voor punt de gemiddelde overschrijdingswaarde bepalen.
(33)
- 20 -
Punt
1.
Dit is de hoogst gevonden waarde in de reeks. Hiervoor geldt:
r = 1
zodat
x
= r r In N
1
oC
Aangezien dit de hoogste waarneming is, die gedaan is, valt de waarde ervan samen met de gemiddelde overschrijdingswaarde, zodat:
x
Punt
1
- x
= 0
1
2.
X„ = — ( In N - In 2)
2
oc ^
'
Het gemiddelde van alle hogere waarnemingen is hier de waarde van punt 1, zodat:
x
en
2
=^ln
x - x
2
2
Punt
N
= — - In 2.
3.
x
0
3
= - i - ( l n N - In 3)
oc
v
'
#
De gemiddelde overschrijdingswaarde is nu de gemiddelde waarde van de punten 1 en 2, zodat:
X
x
3
+
l
=
X
2
oc.
1
en
1
= —
_
. ,
,
(In N
In 2
—)
2 '
K
In 2
o
x„ - x = — ( In 3
3
3
<x/
)
'
2
Punt 4
x
4
=—
oc
( In N - In 4 )
v
'
x + x + x
1
2
X
3
1
,
= — ( In N
In2+ln3
)
4
_1 .
x
4
-
x
l , .
A
4
A
( In 4
OC
(
l
n
N
.
In
_ 2.3
_ )
In 2.3
)
3
'
Op deze wijze kunnen we voortgaan. In fig. 13 worden deze punten x voorgesteld door de trapjes
lijn II. Deze verschilt belangrijk van de theoretische lijn der overschrijdingshoogten III.
o o o o
O O O
O O <0
O
o
t
O
(M
o o o
O to
—
«
o
O co
CM
CM
X|QO
IOO
RANGNUMMER V
FIG. 13
I = OVER SCH RUDINGSFREOUENTIEL'JN
H = GEMIDDELDE OVERSCHR'JDINGSHOOGTEN.
(uiT
m=
(THEORETISCH : * =
GEMIDDELDE OVERSCHRUDINGSHOOGTEN
WAARNEMINGSREEKS)
)
N°. 63.30
- 21 -
Het is duidelijk, dat voor een punt met rangnummer r in het algemeen geldt:
1
X
In r -
r ~ oc
In (r-1) :
r-1
(34)
We kunnen stellen:
R = In r
to (r-1) '•
r-1
(35)
R
(36)
zodat dan geldt:
kr
r
••
1
OC
De factor R geeft dus een verband tussen de waargenomen en de theoretische gemiddelde overschrijdingswaarde. Ze is alleen een functie van het rangnummer r en is onafhankelijk van het aantal waarnemingen N .
Voor kleine waarden van r is R volgens (35) vrij snel te berekenen. Voor grotere waarden neemt
het rekenwerk echter sterk toe. We kunnen in dat geval voor de faculteit de benaderingsformule van
Stirling toepassen:
n ! = y 2 jjr n.e
n
(37)
Voor n > 10 is de afwijking kleiner dan l°/o.
Passen we deze formule toe op (r - 1), dan volgt:
r-1
( r-1)
en
e "^
. (r-1)
In (r-1)
:
= In \J2 ^ + In V V l -
In (r-1)
S
r-1
:
= In
™
(r-1) +(r-l) In (r-1).
Hieruit volgt:
V2T
r-1
v
In (r-1)
*
2 (r-1)
1 + In (r-1).
Dit geeft ingevuld in formule (35):
(38)
Hierin is In V 2 T = 0, 9189385
In het limietgeval voor r - * c O worden in formule (38) de eerste drie termen = 0, zodat dan geldt:
11m R = 1
r
00
- 22 -
zodat
en
X =
X
r
+
~
Voor waarnemingen met een hoog rangnummer nadert de berekende gemiddelde overschrijdingshoogte de theoretische waarde. De factor R convergeert echter vrij langzaam naar de waarde 1.
Dit blijkt uit tabel II waar een aantal waarden van R zijn gegeven. Bij de samenstelling van deze tabel is voor waarden van r <^ 10 gebruik gemaakt van formule (35), voor waarden van r
10
van formule (38).
Om nu in een bepaald praktijkgeval het verloop van de lijn der theoretische gemiddelde overschrijdingshoogte zo goed mogelijk te schatten, begint men een trapjeslijn te bepalen op de wijze, zoals in
het voorgaande voor een ideaal geval is gedaan.
Ligt deze vast, dan vermenigvuldigt men voor ieder punt het verschil x - x met de waarde - J T T
die volgens tabel II bij het rangnummer r behoort. Dit produkt, opgeteld bij de waarde x geeft dan een
punt van de geschatte theoretische overschrij dingslijn , volgens:
r
r
r
x
r
1
+ — oC
x
r
.
+ (x
r
v
-
1
R
x )
r '
(39)
Door de nieuwe serie punten trekken we op het oog een rechte l i j n . Omdat we nu met gemiddelde
waarden werken is de spreiding hier aanmerkelijk kleiner dan bij de waarden x zelf. De bepaling van
de richting is dus nauwkeuriger,
Tabel II
Correcties van de gemiddelde overschrijdingshoogten bij rechtlijnigexponentiele verdeling
r
R
1
2
3
4
6
7
8
9
10
0
0,693
0.752
0,789
0, 814
0,835
0, 850
0,861
0,871
0,881
11
12
13
14
15
16
11
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
S
-1
r
R
R"
1,443
1,330
1,267
1,229
1,198
1,178
1.161
1.148
1,135
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
0,945
0, 947
0, 948
0, 949
0, 950
0.951
0,952
0,953
0,954
0, 955
0,888
0,894
0.899
0. 904
0,909
0, 913
0,916
0, 920
0,923
0.927
1,126
1,119
1,112
1,106
1,100
1,095
1, 092
1,087
1,083
1,079
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
0, 928
0.929
0,932
0.935
0,937
0, 938
0, 940
0, 941
0, 942
0, 944
1,078
1, 076
1,073
1,070
1,067
1,066
1, 064
1, 063
1,062
1,060
55
60
65
70
75
80
85
90
95
100
R
r
R
R"
1,058
1,056
1,055
1,054
1.053
1,052
1, 050
1, 049
1,048
1,047
110
120
130
140
150
160
170
180
190
200
0,979
0,981
0, 982
0, 983
0, 984
0, 985
0, 985
0, 986
0. 986
0, 987
1, 022
1,019
1.018
1.017
1,016
1,015
1,015
1,014
1,014
1.013
0, 956
0,957
0,957
0, 958
0,959
0, 960
0, 960
0.961
0, 962
0, 962
1,046
1, 045
1,045
1,044
1, 043
1,042
1,042
1,041
1, 040
1.040
250
300
350
400
450
500
0, 989
0, 990
0,991
0. 992
0,993
0, 994
1,011
1.010
1,009
1,008
1, 007
1, 006
0,965
0, 966
0,968
0.970
0,972
0. 973
0, 975
0, 976
0,977
0, 978
1, 036
1,035
1,033
1,031
1, 029
1,028
1,026
1, 025
1,024
1, 023
600
700
800
900
1000
0,
0,
0,
0.
0,
995
995
996
996
997
1,005
1, 005
1,004
1, 004
1.003
2000
3000
4000
5000
0.998
0,999
0,999
0,999
1,002
1.001
1,001
1,001
10000
1. 000
1,000
1
1
- 23 -
De frequentielijn zelf wordt gevonden als een rechte lijn evenwijdig aan de lijn van de overschrijdingshoogten en gelegen op een afstand gj- hieronder,
Hebben we, zoals bij Borgharen, te doen met een geknikte rechtlijnig-exponentiSle verdeling,
dan passen we bovenstaande methode toe op de bovenste tak van de frequentielijn en vinden zodoende
de waarde - L , De onderste tak en daarmee de waarde i . kan voldoende nauwkeurig uit de gegevens
PC
g
a
a
a
zelf worden afgeleid omdat hier een groot aantal waarnemingen beschikbaar is, Beide takken zijn
daarmee bekend, Het knikpunt x volgt vanzelf uit de snijding van de twee takken,
s
6, A f l e i d i n g f r e q u e n t i e l i j n
Borgharen
De in par. 5 behandelde methode zal nu worden toegepast op de topafvoeren te Borgharen.
In fig. 14 zijn de waargenomen topafvoeren uit de periode 1911-1960 als punten I uitgezet in een
enkel-logarithmische frequentiefiguur, De verbindingslijntjes tussen de punten dienen alleen om de onderlinge samenhang te geven; als grafische voorstelling hebben ze geen betekenis,
De trapjeslijn II geeft de uit de waarnemingen berekende gemiddelde overschrijdingswaarden.
De punten III, weergegeven als + tekens, stellen voor de volgens de methode van par, 5 aan
het oneindig universum aangepaste gemiddelde overschrijdingswaarden', Bij overschrijdingswaarden,
kleiner dan ongeveer 1500 m3/sec, vallen deze punten practisch samen met de trapjeslijn, die inmiddels in een vloeiende kromme is overgegaan.
Het blijkt nu goed mogelijk door de punten III een rechte lijn te trekken. Zoals blijkt kan er weinig twijfel bestaan inzake de te kiezen richting. De napiereringswaarde A = 330 m /sec. Weliswaar wijken voor de hoogste afvoeren de punten III af van de rechte lijn, * maar dit is uitsluitend
een gevolg van de buitengewoon hoge afvoer van 1926, Op de gekozen richting van de lijn heeft deze
afvoer geen onevenredig grote invloed
De frequentielijn zelf wordt getrokken evenwijdig aan de lijn van de overschrijdingshoogten op
een afstand 330 m3/sec. hieronder,
De onderste tak van de frequentielijn volgt direct uit de waarnemingen zelf. De napieringswaarde
is hier X =410 m /sec. Het snijpunt ligt bij een afvoer van x = 1310 m /sec en heeft een gemiddelde overschrijdingsfrequentie van 0, 7 5 toppen per jaar.
Volledigheidshalve zijn ook voor de onderste tak de gemiddelde overschrijdingshoogten ingetekend,
alsmede de lijn x +
. Voor de lagere afvoeren vallen beide waarden samen.
Het theoretisch afgeleide schema uit fig, 12 demonstreert zich hier in een praktisch voorbeeld.
3
3
3
s
7o Frequenties van de topafvoeren in de zomer
Bij het onderzoek naar de frequentie van de topafvoeren in de zomer doet zich de moeilijkheid
voor dat we met een groot aantal (in ons geval 50), los van elkaar staande perioden te doen hebben,
die door een dubbel aantal (100) tijdstippen worden begrensd. Hierdoor is het mogelijk dat een groot
aantal afvoergolven slechts voor een gedeelte van hun levensduur in de beschouwingen betrokken wordt.
In het bijzonder voor de hogere toppen kan dit tot onduidelijkheden aanleiding geven. Zo bedroeg de
hoogste topafvoer te Borgharen in de periode 1911-1960 945 m /sec (26 augustus 1931), De hoogste
dagafvoer bedroeg echter 1045 m / s e c (31 okt. 1932). Deze behoorde bij een afvoergolf met een top
van 1211 m /sec, die op 1 november 1932 optrad, dus per definitie in de winter. Was deze top een
dag eerder gevallen, dan had ze tot de zomertoppen behoord en was de ligging van de topafvoeren in
de frequentiefiguur ingrijpend anders geweest,
Het is dus duidelijk, dat we voor de extrapolatie van de zomertoppenlijn niet te veel waarde mogen hechten aan de plaats van de hoogst voorgeko'men topafvoeren. Een methode, zoals in par. 4 werd
toegepast is hier dus minder op zijn plaats. Bovendien zou een knik in de frequentielijn, niet lager dan bij
de waarde die bij de algemene frequentieverdeling werd gevonden, n l . ongeveer 1310 m / s e c . te verwachten zijn. Deze waarde hangt nl, samen met de topografie van de rivierbedding, Voor de zomer
ligt ze echter buiten het waarnemingsgebied.
De meest logische extrapolatie voor de frequentielijn van de zomertoppen is daarom rechtlijnig tot
een afvoer van 1310 m /sec, Voor hogere afvoerwaarden kan een iets flauwer verloop aangehouden worden.
In fig. 15 zijn de zomertoppen in een frequentiediagram uitgezet. De helling van de frequentielijn wordt bepaald door de napieringshoogte, die in dit geval bedraagt;
3
3
3
3
3
1
3
— = 200 m /sec
- 24 -
3
Voor toppen, hoger dan 1310 m /sec is, in evenredigheid met de algemene frequentielijn een
napiereringshoogte toegepast, groot
1
„„„ 330 3 ,
3,
— = 200. ^ j j j - n i /sec = 160 m /sec.
3
De overschrijdingsfrequentie van x^ = 1310 m /sec bedraagt:
-2
m
x
( ) - 1.37.10
, toppen per jaar.
8. Onderzoek naar mogelijke veranderingen in het universum
van de topafvoeren
De in het voorgaande behandelde frequentielijnen worden samengesteld aan de hand van afvoergegevens uit de jaren 1911-1960. Daarbij is er van uitgegaan, dat het universum, waarop de frequentieverdeling is gebaseerd, gedurende deze tijd onveranderd is gebleven.
Nagegaan zal nu worden of deze veronderstelling inderdaad verantwoord is.
In tabel III is voor de 5 decennia, waaruit de periode 1911-1960 bestaat, het aantal overschrijdingen van verschillende afvoerbedragen gegeven.
Teneinde na te gaan of er de laatste jaren veranderingen zijn opgetreden t . o . v . de begintoestand
is aldus te werk gegaan.
De overschrijdingsfrequenties van de eerste 3 decennia zijn samengevoegd en worden beschouwd
als het voor die tijd geldende universum (zie tabel IV kolom 2). Hieraan zijn vervolgens de cijfers van
de laatste 2 decennia getoetst, dus de periode 1941-1960. Dit gebeurde als volgt.
Allereerst zijn de cijfers uit kolom 2 gereduceerd voor een 20-jarige periode (kolom 3). Noem deze overschrijdingswaarde m. Steekproeven uit dit universum zullen voor de kleine frequenties, dus voor
de grote afvoeren, voldoen aan de verdeling van Poisson. De overschrijdingswaarde in deze steekproeven zullen zich met een standaardafwijking <S = \J m rondom m groeperen. Indien de overschrijdingswaarde uit een steekproef binnen de grenzen ~m + 2 ^ valt, kunnen we aannemen, dat deze
steekproef aan het universum voldoet.
In tabel IV zijn deze grenzen gegeven (respectievelijk kolom 5 en 6). Kolom 7 geeft de overschrijdingswaarden van de laatste 2 decennia. Deze blijken bevredigend binnen de gestelde grenzen te vallen.
In de tabellen V en VI is eenzelfde bewerking uitgevoerd voor de zomerafvoeren. Ook hier vallen
de cijfers van de periode 1941-1960 geheel binnen de gestelde grenzen.
Op grond van dit onderzoek is een verandering van het universum niet aan te tonen. De veronderstelling dat we met een, onveranderlijk universum te maken hebben zal daarom gehandhaafd blijven.
Overigens zijn in het stroomgebied van de Maas boven Borgharen geen oorzaken aan te wijzen, die
het afvoerregime, in het bijzonder bij hoge afvoeren, ingrijpend beihvloed zouden kunnen hebben.
T A B E L III
a f v o e r
totaal aan.
in m3/sec
t a l
1911/20
1
3500
3000
2500
2000
1800
1600
1400
1200
1000
1 921/30
1 931/40
1 941/50
1 951/60
2
3
4
5
-
-
_
_
1
1
1
2
2
3
7
12
-
_
_
-
_
2
3
6
10
12
3
1
2
3
8
11
20
1
1
1
5
10
19
6
o v e r
schrijdingen
7
.
_
S
9
12
16
1
1
3
10
14
31
50
79
FIG.I5
MAAS BORGHAREN
overschrijdingsfrequenties topafvoeren
zomeral voeren
OVER SCH R'J DINGS FREQUENTIE IN AANTAL TOPPEN PER JAAR
frequentielijn en in getekend* punten
afgeleid uit de topafvoeren 1911-I960
- 25 -
TABEL IV
afvoer
in m3/sec
1
3500
3000
2500
2000
1800
1600
1400
1200
1000
aantal
overschr.
1911/40
m
20-jarige
periode
2
3
26
= 2|/m"
m-20*
4
5
-
-
-
-
1
1
3
5
6
16
28
51
0,7
0, 7
2,0
3,3
4, 0
10, 7
18,7
34, 0
1,7
1,7
2,8
3, 6
4, 0
6,5
8, 6
11,7
-
0
4,2
10,1
22, 3
m + 20
aantal
overschr.
1941/60
6
7
2,4
2,4
4, 8
6, 6
8, 0
17,2
27,3
45,7
-
5
8
15
22
28
TABEL V
afvoer
totaal aantal over-
aantal overschreidingen per 10-jarige periode
in m3/sec
1
1000
900
800
700
600
500
400
schrij din gen
1911/20
1921/30
1931/40
2
3
4
-
-
3
8
14
1
2
4
7
15
22
1941/50
5
6
7
-
-
-
1
1
2
3
4
6
2
3
4
4
7
9
1951/60
1
2
5
9
15
4
7
12
22
43
66
TABEL VI
aantal
overschr.
1911/40
m
20-jarige
periode
1
2
3
1000
900
800
700
600
500
400
-
afvoer
in m3/sec
3
5
8
14
30
45
2,0
3,3
5,3
9,3
20
30
26
=2
\fm
m-2 d
4
5
-
-
2, 8
3, 6
4, 6
6,1
8, 9
11.0
0, 7
3,2
11,1
19,0
m+2 6
6
4, 8
6, 9
9, 9
15,4
28, 9
41, 0
aantal
overschr.
1941/60
7
1
2
4
8
13
21
- 26 -
IV. DE FREQUENCES VAN DE TOPAFVOEREN TE LITH
1. De veranderingen in de betrekking tussen de topafvoeren
van Borgharen en L i t h
Omdat zich op het gedeelte van de Maas tussen Borgharen en Lith in de loop van de periode
1911-'60 belangrijke wijzigingen hebben voorgedaan in het regime van de rivier, is het te verwachten, dat het universum voor Lith veranderd zal zijn. Het is daarom onjuist uit de afvoercijfers over
1911-'60 voor dit station een frequentiekromme samen te stellen op de wijze zoals voor Borgharen
is gebeurd.
De frequentiekrommen van Lith zullen daarom worden afgeleid uit die van Borgharen (fig. 14
en 15), door gebruik te maken van het verband dat tussen de topafvoeren van beide stations bestaat.
Aan het onderzoek naar dit verband zal dit hoofdstuk grotendeels zijn gewijd,
De mate, waarin veranderingen in de betrekking tussen de toppen in Borgharen en Lith zijn opgetreden blijkt uit fig, 16. Hier zijn de afvoertoppen te Lith uitgezet tegen de overeenkomstige toppen te Borgharen, De toppen zijn gesplitst in 2 groepen, te weten respectievelijk die uit de periode
1911-1940 en die uit de periode 1941-1960. Het jaar 1940 is als grens gekozen, omdat toen de Maaskanalisatie voltooid was, terwijl na die tijd het grindbedrijf tot grote ontwikkeling kwam.
Uit deze figuur blijkt dat de toppen te Lith na 1940 in het algemeen minder hoog waren dan
voor die tijd.
In de figuur zijn een tweetal lijnen aangebracht, die het onderlinge verband zo goed mogelijk
weergeven.
E'en eenvoudige statistische toets, de tekentoets, kan aantonen, dat de betrekkingslijn van voor
1940 niet meer geldt voor de toppen na 1940, Een voor deze toets te gebruiken tabel wordt gegeven
door WIJVEKATE
In totaal zijn in de periode 1941-1960 voorgekomen 28 topafvoeren, groter dan 1000 m3/sec
te Borgharen, Hiervan lagen er 24 onder de lijn "voor 1940" en 4 op of boven deze lijn. De bij de
tekentoets toegepaste waatde T bedraagt hier T = 24 - 4 = 20 op een totaal aantal van n = 28.
Uit een tabel voor T verdelingen blijkt, dat bij n = 28 voor een eenzijdige overschrijdingskans
van | % een waarde behoort van T = 16. Voor grotere T - waarde zoals in ons geval is deze kans
kleiner maw het is onwaarschijnlijk dat de steekproef "nal940" aan de lijn "voor 1940" voldoet.
Omgekeerd lagen van de 51 toppen uit de periode 1911-1940 er 37 boven de lijn "na 1940" en
14 onder deze lijn. Hier is de waarde T = 37 - 14 = 23 op een totaal van n = 51. Volgens de tabel
behoort bij een eenzijdige overschrijdingskans van \ °/o bij dit aantal een waarde van T = 21.
De overschrijdingskans van T = 23 is dus <1| °/o.
Op grond van deze toets kan dus aangenomen worden, dat het verband tussen de toppen van
Borghajen en Lith, althans van de toppen groter dan 1000 m3/sec, na 1940 significant verschilde .
van het verband, dat voor dat jaar gold.
2. Onderzoek naar de opbouw van de betrekking Borgharen - L i t h
Het onderlinge. verband tussen de toppen van Borgharen en Lith wordt beheerst door 2 factoren:
1, de toevoer op de Maas beneden Borgharen
2. de demping van de hoogwatergolven.
Op de topafvoer hebben deze factoren een tegengestelde invloed,
Het karakter van het verband Borgharen - Lith wordt onderzocht aan de hand van een dubbellogarithmische correlatiegrafiek, Voor de periode 1941-1960 is dit fig. 18, voor de periode 1911-1940
fig. 17.
In de paragrafen 2 en 3 wordt behandeld de eerstgenoemde factor, de toevoer op de Maas beneden Borgharen. Zou deze toevoer niet bestaan, dan zouden, afgezien van de golfdemping, de topafvoeren te Borgharen en die te Lith aan elkaar gelijk zijn. In de logarithmische figuur wordt dit
voorgesteld door een rechte lijn onder 45° (lijn 1 in f i g . 17 en fig, 18),
Een tweede benadering bestaat uit het evenredig stellen van de topafvoeren met de oppervlakten van de stroomgebieden, Deze bedragen respectievelijk voor Borgharen 21260 km2 en voor Lith
28950 km2, d.w. z. een verhouding van 1,36. Wegens de logarithmische schaal van de figuur kan
ook dit verband worden voorgesteld door een rechte lijn onder 45°, die echter t,o, v, lijn 1 volgens
een factor 1,36 verschoven is (fig. 18, lijn 2).
FIG 16
• toppen 1911 -1940
o toppen 1941 - I960
BETREKKING
TUSSEN DE TOPAFVOEREN VAN BORGHAREN
EN LITH
- 27 -
Aangezien de afvoeren een gevolg zijn van de neerslag, dient als derde aspect rekening te worden gehouden met een mogelijk verschil in neerslagintensiteit boven en beneden Borgharen. Hiervan
kunnen we een indruk verkrijgen uit het gemiddelde van de dagelijkse afvoeren. Over de jaren 19411960 werd gevonden:
Borgharen : 228 m3/sec of 7, 2 x 1 0 m3/jaar (340 mm/jaar)
Lith
285 m3/sec of 9, 0 x 1 0 m3/jaar (310 mm/jaar).
De tussen haakjes geplaatste waarde is het s p e c i f i e k e neerslagoverschot.
W i l men de verschillen in neerslagintensiteit in de verschillende delen van het stroomgebied in
285
rekening brengen, dan dient men de afvoer te Borgharen te vermenigvuldigen met de factor -g^g 1, 25.
In fig. 18 wordt dit voorgesteld door de wederom onder 450 lopende rechte lijn 3.
Ook door deze lijn 3 is het vraagstuk nog niet voldoende benaderd. Het verloop van het werkelijke
verband wordt, afgezien nog steeds van de golfdemping, beihvloed door het feit, dat er geen volkomen correlatie bestaat tussen de neerslagoverschotten in de verschillende delen van het stroomgebied,
Daarnaast spelen verschillen in looptijd een rol.
Een correlatielijn van oorspronkelijke 45° helling wordt uit dien hoofde dus getransformeerd in
een regressielijn met een kleinere helling. De lijn wordt daarbij gedraaid om het punt, dat de gemiddelde afvoer voorstelt (QBorgh = 228 m3/sec, QLith = 285 m3/sec).
9
9
:
=
3, Invloed van de z i j r i v i e r e n
Roer en N i e r s
Om tot de lijn van geringere helling te komen zal in deze paragraaf eerst gezocht worden naar
het verband tussen de afvoer te Borgharen enerzijds en de afvoeren van de twee belangrijkste zijrivieren tussen Borgharen en Lith, de Roer en de Niers anderzijds. Voor de bepaling van de totale zijdelingse
afvoer op de Maas wordt de Roer representatief geacht voor het stroomgebied boven Roermond en de
Niers voor het stroomgebied beneden deze stad,
Er werd gebruik gemaakt van resultaten van metingen, die door de afdeling Waterhuishouding
in deze rivieren werden gedaan.
In fig. 19 zijn op dubbellogarithmisch papier diverse topafvoeren van de Roer te Vlodrop uitgezet tegen Maasafvoeren te Borgharen 1 dag tevoren. Roerafvoeren, die samenvielen met Maasafvoeren, kleiner dan 100 m3/sec, zijn buiten beschouwing gelaten.
Door de punten is op het oog een rechte lijn getrokken (lijn 1).
Van bepaling van regressielijnen volgens de methode van de kleinste vierkanten werd afgezien. De
punten gelden n. 1. alleen voor die dagen, dat er metingen werden gedaan en liggen derhalve vrij
willekeurig. Een vergroting van de nauwkeurigheid is door berekening van de lijn niet te verwachten.
In de figuur is aangegeven het punt M , waar de afvoer te Borgharen de gemiddelde jaarwaarde
• 228 m3/sec heeft. Hiermee komt overeen een Roerafvoer van Q
= 20 m3/sec. De gemiddelde
Roerafvoer zal deze waarde niet veel ontlopen.
Zouden de afvoeren evenredig zijn met de oppervlakte van de stroomgebieden, dan zou bij een
afvoer te Borgharen van 228 m3/sec een Roerafvoer behoren van:
2237 km2
21260 km2
.
228 m3/sec = 24 m3/sec
O O D
.
c
/
n
(Oppervlakte stroomgebied Roer = 2237 km2)
De verhouding tussen de jaarlijkse neerslagoverschotten van Roer en Maas boven Borgharen bedraagt dus:
a bs
R
2
0
m
3
s
e
c
/
c 0,83
24 m3/sec
Het specifieke neerslagoverschot voor het stroomgebied van de Roer bedraagt dus 0, 83 x 340 mm/jaar
= 280 mm/jaar.
Zoals reeds werd opgemerkt, is de Roer hier als representatief voor het gehele stroomgebied tussen
Borgharen en Roermond genomen. De oppervlakte hiervan bedraagt 3840 km2, zodat de watenojsvoer^
op de Maas vanuit dit gehele gebied kan worden gevonden door de Roerafvoer met de factor 237 km2
= 1, 72 te vermenigvuldigen wat ongetwijfeld een geoorloofde vergroting is.
Aldus ontstaat de lijn 2 uit fig. 23. Bij het optreden van de gemiddelde afvoer te Borgharen voert
het gehele stroomgebied tussen Borgharen en Roermond op de Maas:
2
- 28 -
Q
= 1, 72 x 20 m3/sec = 34 m3/sec
R2
De afvoer van de zijrivier de Niers wordt behandeld aan de hand van fig. 20. Voor Borgharen
is nu gewerkt met afvoeren, die 2 dagen tevoren optraden. Het stroomgebied is groot 1397 km2.
Op de afvoeren van deze zijrivier moest eerst een correctie worden toegepast wegens de zijdelingse
afvoer op de Maas door het Gelders kanaal.
Volgen we dezelfde methode als bij de Roer, dan vinden we:
Gemiddelde afvoer Niers bij gelijke afvoerfactoren =
1397 km2
21260 km2
228 m3/sec = 15 m3/sec.
Volgens lijn 1 is echter:
G- „ = 10, 5 m3/sec,
Nl
T
zodat de verhouding tussen de jaarlijkse neerslagoverschotten bedraagt;
a_
10,5 m3/sec
N = —
.= 0,70
15
m3/sec
De afvoerfactor bedraagt hier dus:
0, 70 x 340 mm/jaar = 240 mm/jaar .
De oppervlakte van de toename van het stroomgebied van de Maas tussen Roermond en Lith bedraagt 3850 km2. Om de toevoer op de Maas uit dit gebied te bepalen moet de Niersafvoer vermenigvuldigd worden met:
3850 km2
1397 km2
2,76.
Hieruit volgt voor de gemiddelde afvoer te Borgharen:
Q
=2,76 x 10,5 m3/sec =29 m3/sec.
N2
De totale afvoer op de Maas te Lith wordt hiermede:
Q„
= 228 m3/sec
Borgharen
t
Q
Q
R2
N2
totaal
= 34
=29
291 m3/sec.
Het aldus gevonden bedrag stemt bevredigend overeen met de gemiddelde jaarafvoer gemeten
te Lith zelf, namelijk 285 m3/sec„
Door sommatie van de afvoeren te Borgharen met de bijbehorende waarden van Q
en Q
kunnen we dus de Maasafvoeren vinden, die te Lith zouden optreden, wanneer er geen golfdemping
zou zijn.
In tabel VII is deze denkbeeldige
berekend.
In figuur 18 is deze
door lijn 4 weergegeven. We zullen in het vervolg deze afvoer
R 2
N 2
FIG 19
IOO
2
IOO
2
228
4
6
8
IOOO
2
4
6
8
IOOOO
4
6
8
IOOO
2
4
6
8
IOOOO
AFVOER Q BORGHAREN IN m^sec
FIG 20
AFVOER
MAAS -BORGHAREN IN m^sec
- 29 -
aanduiden met Q . In figuur 17 is deze lijn eveneens aangebracht, omdat is aangenomen, dat de
afvoerfrequenties van de zijrivieren gerekend over de periode 1911-1940 niet in belangrijke mate
zullen verschillen van de tegenwoordige toestand. Weliswaar zijn in de bovenloop van de Roer enige
stuwdammen aangebracht, die o.a. als "Hochwasserschutz" dienst moeten doen. De invloed hiervan
op de Maas zal echter niet groot meer zijn. Waar thans een hoge afvoertop in het stuwmeer wordt
afgevlakt, gebeurde dat vroeger in het dal van het riviertje door inundaties. Bovendien wordt door normalisatie in het benedenstroomse deel de invloed van de demping weer iets verkleind. Veel invloed
zou een hogere afvoer van de Roer in de vroegere toestand overigens toch niet op de toppen op de
Maas kunnen uitoefenen. Blijkens de ligging van de lijnen 3 en 4 in figuur 18 zou bij een vergrote
Roerafvoer de lijn 4 iets in de richting van lijn 3 opgeschoven moeten worden. Aangezien de totale
Roerafvoer slechts ongeveer 1/3 gedeelte van de toevoer op de Maas beneden Borgharen uitmaakt,
kan een verhoging hiervan zelfs bij de hoogste Maastoppen nooit meer dan enkele tientallen kubieke
meters/sec. uitmaken.
4
TABEL VII
Afvoeren in m3/sec
Q
Q
Q
Borgh.
R2
1
2
3
31
42
52
61
70
78
86
94
102
116
130
144
156
170
200
228
255
270
280
27
34
40
45
50
54
58
62
65
72
78
84
90
94
107
118
128
130
137
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
1200
1400
1600
1800
2000
2500
3000
3500
3800
4000
Q
N2
4
4
258
376
492
606
720
832
944
1056
1167
1388
1608
1828
2046
2264
2807
3346
3883
4200
4417
4. Invloed van de golfdemping
In de geschetste 4 etappen is de grootte van de afvoer te Lith afgeleid uit de gegeven afvoer te
Borgharen met dien verstande, dat daarbij nog geen rekening is gehouden met de demping van hoogwatergolven op een rivier.
Door vergelijking van de afvoer Q met de werkelijk optredende afvoer te Lith kan blijken, welke invloed deze demping tussen Borgharen en Lith in feite uitoefent.
Het algemene verband tussen de topafvoeren van Borgharen en die van Lith kunnen we vinden,
door in de figuren 17 en 18 op het oog krommen te tekenen, die zo goed mogelijk aansluiten bij de
gegeven punten (respectievelijk de lijnen 5a en 5b).
Uiteraard is deze benadering alleen goed mogelijk in het gebied waar voldoende waarnemingen
beschikbaar zijn, dus ongeveer tot afvoeren van rond 2000 m3/sec. Voor grotere afvoeren zal het
nodig zijn te extrapoleren.
4
- 30 -
Bij afvoertoppen kleiner dan 500 m3/sec wordt de spreiding in de punten te groot om in deze
figuren het verband tussen de afvoeren door een aan de punten ontleende lijn aan te geven, De l i j nen 5a en 5b zijn beneden 500 m3/sec dan ook niet aangegeven, Het is duidelijk, dat in dit gebied
de lijnen 4 en respectievelijk 5a en 5b elkaar steeds dichter zouden naderen, ware het niet, dat er
hier allerlei storende invloeden op gaan treden, die de invloed van de Maas beneden Borgharen relatief sterker doen worden, De wateronttrekking nabij Maastricht ten behoeve van de voeding van de
Belgische en Nederlandse kanalen is hierbij van groot belang,
Aangezien deze nota in het bijzonder handelt over de hoge afvoeren zal hierop niet nader worden ingegaan.
Het verloop van de lijnen 5a en 5b wijst op een toename van de afstand tot lijn 4 bij hogere afvoertoppen. Daarbij wijkt voor afvoeren hoger dan 700 m3/sec lijn 5b sterker af dan lijn 5a.
Dit was op grond van de in par. 1 getrokken conclusie reeds te verwachten.
De oorzaak, voor het verschil tussen de toestanden van voor en na 1940 moet in hoofdzaak gezocht worden in de langs een groot deel van de Maasoevers grindgaten. De Maaskanalisatie kan op
de versterking van de topvervlakking weinig invloed gehad hebben, omdat het verschil tussen vroeger en nu pas goed merkbaar is bij afvoeren, waarbij de stuwen reeds geopend worden.
De versterking van de topvervlakking spreekt des te sterker omdat als gevolg van verlaging
van de rivierbodem de oeverlanden thans bij grotere afvoeren beginnen te overstromen dan vroeger,
Omdat juist de oeverlanden en uiterwaarden grote bergingscapaciteit hebben, en dus een versterkende
invloed op de golfdemping uitoefenen, zou een later overstromen van deze gebieden een vermindering van de demping opleveren.
Om het verband tussen de topafvoeren van Borgharen en Lith te kunnen gebruiken voor de vaststelling van de frequentiekromme van Lith uit die van Borgharen is het nodig de lijn 5b in figuur 18
te extrapoleren, Hiertoe is het verband tussen de afvoer en de grootte van de topvervlakking nader
geanalyseerd.
De topvervlakking A Q is bepaald als het verschil van Q4 en respectievelijk Qf^ voor de oude
en
voor de nieuwe toestand, Voor verschillende afvoeren is deze waarde vermeld in tabel VIII
(respectievelijk kolom 5 en 6).
TABEL VIII
,AQ
Q
Borgh,
1
600
700
800
900
1000
1200
1400
1600
1800
2000
Q
Q
4
5
Q
a
5b
=
4tQ.
•
4
5a
Q
D
ob
4
m
=
i(Q Borg + Q„)
4'
u
2
3
4
5
6
7
720
832
944
1056
1167
1388
1608
1828
2046
2264
695
795
900
1000
1100
1300
1490
1680
1850
2010
695
7 85
885
975
1060
1235
1390
1550
1720
1880
25
37
44
56
67
88
118
148
196
254
25
47
59
81
107
153
218
278
326
384
660
766
872
978
1084
1294
1504
1714
1923
2132
- 31 -
In figuur 21 zijn de waarden voor de topvervlakking uitgezet tegen de daarbij behorende topafvoeren. Deze zijn gegeven in de waarde Q , het rekenkundig gemiddelde van Q g ^aren
^ ' ^
waarde Q4 zelf is n. 1, om de volgende rden niet representatief.
Beschouw het denkbeeldige geval, dat Q volledig te Borgharen passeert, terwijl er benedenstroom
geen zijrivieren zijn. De optredende demping is dan groter dan de in werkelijkheid waargenomen waarde,
omdat de zijdelingse toevoer Q 4 - Q„ ,
in werkelijkheid over een deel van de rivierlengte verr J
7
Borgharen . . . .
vlakt, n. 1, pas vanaf de monding van
de
zijrivieren,
e
m
n
e
o r
4
6
z e l
a
s u l t
a n
s
u n t 1 S n i e t
Ook de keuze van QBorgharen
^ *
g 8 P
juist.
Alvorens dit te verklaren wordt opgemerkt, dat de dempingswaarde in dit geval te berekenen is
door van de afvoer te Ravenstein ( Q s , respectievelijk Q5b) de zijdelingse toevoer af te trekken en het
verschil te nemen tussen deze denkbeeldige eindafvoer en Q
. ,
Borgharen
In formule:
a
0
0
AQ
a
= Q
Borgharen
- < Q
- (Q - Q
)
I 5a
4
Borgharen
Dit geeft hetzelfde resultaat als bij de eerst gevolgde methode, waarvoor n . l . geldt:
AQ
a
= Q - Q_ .
4
5a
In het 2e geval gaat men er, doordat de zijdelingse toevoer pas aan het einde in rekening wordt
gebracht, in feite van uit, dat deze toevoer in het geheel niet vervlakt, hetgeen ook niet juist is.
Door de keuze van Q als uitgangsafvoer worden beide genoemde bezwaren zo goed mogelijk gecompenseerd, De waarde Q staat vermeld in kolom 7 van tabel VIII,
In figuur 21 zijn de dempingswaarden volgens de oude toestand weergegeven door punten, die volgens de nieuwe toestand door + tekens,
Door deze punten zijn krommen getekend, die het verloop zo goed mogelijk benaderen, Door extrapolatie van deze krommen naar hogere afvoertoppen worden ook de dempingswaarden voor de toppen,
groter dan 2000 m3/sec bekend.
m
m
Het verloop van de beide dempingslijnen is ontleend aan de bestaande theorie over de topvervlakking van hoogwatergolven.
Voor rechthoekige en continue verlopende dwarsprofielen kan de demping worden berekend o.a.
met de door SCHONFELD en HENDERSON [ l i t , 7, respectievelijk 8 3 gegeven formules. Hierin blijkt
de demping o, a. een functie te zijn van de kromming van de golftop. Door uit te gaan van een bepaald
verband tussen tophoogte en topkromming, dat statistisch bepaald moet worden, kan een betrekking worden gevonden tussen de golfdemping en de topafvoer.
In de meet gecompliceerde dwarsprofielen, waarin b.v, al dan niet stroomvoerende uiterwaarden
en zijdelingse bergingskommen aanwezig zijn, verandert het lengteprofiel van de golf door de zijdelingse
berging van water. De verandering in de topkromming veroorzaakt op zijn beurt een verandering in het
dempingsverloop, Het voert te ver deze theorie hier in details te behandelen. Over dit onderwerp zal
binnenkort een afzonderlijke nota verschijnen,
In tabel IX zijn de waarden van A Q
en A Q b vermeld, zoals deze uit figuur 21 volgen. Door
deze op te tellen bij Q4 ontstaan tenslotte
de gee'xtrapoleerde waarden van Q5 en Q55, waaina het
verband tussen de topafvoeren van Borgharen en Ravenstein, zowel voor de oude, als voor de nieuwe toestand bekend is.
5 a
5
A
- 32 -
TABEL IX
Q
=
m
A
Q
Q
Borg
4
*
Borgh
1
2000
2500
3000
3500
3800
4000
Qc
5a
2
De waarden voor Q
2132
2653
3173
3692
4000
4209
en Q
a
CA Q
4 a
4
3
2264
2807
3346
3883
4200
4417
Q
Q , =
5b
•
4
5
254
440
600
750
840
890
384
530
680
830
900
970
6
2010
2370
2750
3130
3360
3530
4
b
7
1880
2280
2670
3050
3300
3450
zijn in de figuren 17, respectievelijk 18 door een streeplijn aangege-
ven.
5. A f l e i d i n g frequentiekromme L i t h
Nu het verband tussen de topafvoeren van Borgharen en Lith is vastgesteld kan de frequentiekromme
van Lith uit die van Borgharen (figuur 14) worden afgeleid.
In tabel X zijn vermeld de bij bepaalde overschrijdingsfrequenties behorende afvoeren te Borgharen
en de daarmee overeenkomstige afvoeren te Lith.
In figuur 22 is de aldus samengestelde frequentielijn van Lith weergegeven.
Deze lijn geldt voor de tegenwoordige toestand. Doordat de waarnemingen uit de periode 1911 -1960
voor een deel betrekking hebben op aanzienlijk afwijkende toestanden, kan deze periode niet worden gebruikt om het gevonden resultaat te toetsen. Ook een toetsing aan de frequentie van b.v. de laatste
10 jaar is niet goed mogelijk, omdat een tijdvak van dergelijke korte duur te veel afwijkt van het totale
universum.
De frequentiekromme blijkt ook voor Lith uit twee takken te bestaan, die in tegenstelling tot de
figuur van Borgharen een enigszins gebogen verloop hebben.
Voor een bepaald doel is het gewenst, de beide takken door rechte lijnstukken te benaderen. In
hoofdstuk V zal n. 1. een functioneel verband tussen de afvoerwaarde en de gemiddelde overschrijdingsduur worden afgeleid, waarbij o. a. wordt uitgegaan van een geknikte rechtlijnigexponentigle verdeling
voor de topafvoeren. Voor de frequentielijn van Lith werden de verschillende grootheden benaderd uit
figuur 18 door de volgende cijfers;
—r-= 400 m3/sec
= 260
knikpunt :
x = 1325
s
frequentie knikpunt: m (x ) =
0, 75 toppen per jaar.
FIG2I
Q
AFVOER m IN m V s e c
- 33 -
TABEL X
overschr,
frequentie
toppen/jaar
Q„
Borgh.
Q,. .
Lith
in m3/sec
inm3/sec
10
5
2
1
0, 75
-1
5.10
-1
2.10
-1
1, 10
5 10"
2.10"
1.10"
-3
5, 10 °
2.10'
260
530
900
1190
1310
327
620
975
1230
1325
1440
1740
19/0
2200
2500
2720
1430
1670
1860
2050
2280
2440
2950
3250
3480
3700
3850
2620
2860
3020
3210
3330
2
2
2
3
1.10"?
-4
5,10 -4
3, 10
6, Frequenties van de topafvoeren in de zomer
Aangenomen wordt, dat het verband tussen de topafvoeren te Borgharen en Lith in de zomerperiode
niet noemenswaard afwijkt van de betrekking, voorgesteld in figuur 18,
Uitgaande van de frequentiekromme van de zomertoppen te Borgharen kan dan voor Lith een dergelijke kromme worden afgeleid (zie tabel XI).
TABEL XI
frequentie
per jaar
2
1
5.10
2.10"
1,10
5.10"
2,10" .
1,37,10"
1,10"
5.10"
2.10"
l.io"
5.10"
3.10_ 1
1
1
2
2
2
4
4
G"
Borgharen
in m3/sec
Q,.,
Lith
in m3/sec
310
450
590
770
910
1050
1230
1310
1360
1470
1620
1730
1840
1910
380
540
680
860
985
1100
1260
1325
1360
1450
1570
1660
1750
1810
In figuur 23 is de afgeleide frequentielijn voor Lith grafisch voorgesteld,
Evenals voor de algemene frequentielijn werden ook voor de lijn van de zomertoppen de napiererings
- 34 -
hoogten en de plaats van het knikpunt vastgesteld. Het resultaat was als volgt:
200
1
m3/sec
130
ft
x
= 1325
m (x )
s
=
1,37.10
-2
toppen per jaar.
i
FIG 23
IO 8
6
4
2
18
6
4
2
IO" 8
6
4
2
IO" 8
6
4
2
IO" 8
6
4
2
IO"
OVERSCHRIJDINGSFREQUENTIE IN AANTAL TOPPEN PER JAAR
MAAS LITH
Overschrijdingsfrequenties
zomerhalfjaar
topafvoeren
Frequentielijn afgeleid uit gegevens Borgharen 1911-I960
- 35 -
V DE OVERSCHRIJDINGSFREQUENTIES VAN DE DAGELIJKSE AFVOEREN
1. Bewe rkingsmethode ; extrapolatie vanuit het bekende
gebied
Evenals van de topafvoeren van de hoogwatergolven kan van de dagelijkse rivierafvoeren een overschrijdingsfrequentiefiguur worden samengesteld. De overschrijdingsfrequenties worden in dit geval uitgedrukt in aantal dagen per jaar.
Zijn zowel de dagen- als de toppenfrequentie bekend, dan kan, zoals in de inleiding werd opgemerkt de gemiddelde overschrij dingsduur t van een bepaalde afvoerwaarde worden bepaald uit de verhouding:
- _ dagenfrequentie
toppenfrequentie
''' '
"
"
'
^
4
0
^
In het gebied waar voldoende waarnemingen ter beschikking staan, levert een en ander geen moeilijkheden op. Buiten het waarnemingsgebied zal het nodig zijn te extrapoleren. De vraag rijst dan op
welke wijze dit zo verantwoord mogelijk kan gebeuren.
Een belangrijk aspekt is, dat de dagelijkse afvoercijfers met elkaar samenhangen, d, w, z. onderlin
niet onafhankelijk zijn. Een extrapolatie van de dagenfrequentielijn, zonder acht te slaan op de toppen
frequentielijn, die in feite de verdeling van de basiseenheden ( i . c. de hoogwatergolven) geeft, is dus
in beginsel onjuist. De toppenfrequentielijn zal daarom als uitgangspunt worden gebruikt.
Daarnaast is nodig kennis van de betrekking tussen de gemiddelde overschrijdingsduur t en de bijbehorende afvoerwaarde.
Het uitgangspunt hiertoe is een golfmodel, dat op eenvoudige wijze wiskundig is gedefinieerd. De rede
nering is daarna als volgt. Een enkele geschematiseerde golf met een topafvoer Q heeft ten opzichte
van iedere afvoerwaarde, lager dan de top, een bepaalde overschrijdingstijd. De gemiddelde overschrij
dingsduur per top ten opzichte van een bepaalde afvoerwaarde Q vinden we, overeenkomstig f i g . 4,
volgens:
CO
t = Q
(overschrijdingstijd van top Q) x (frequentie van top Q )
(41)
aantal toppen y Q
De noemer komt overeen met de overschrijdingsfrequentie van Q. De frequentie in de teller is de
verdelingsfrequentie.
In deze berekening zijn dus zowel de frequentieverdeling van de toppen als de vorm van de top
verdisconteerd.
De topvorm wordt vastge legd door 2 nog nader te noemen constanten. Deze hangen samen met de
toestand op de rivier. Ze worden afgeleid uit de cijfers van de gemiddelde overschrijdingstijden in het
bekende gebied.
Daarmee zijn voldoende gegevens bekend om de gemiddelde overschrijdingsduur ten opzichte van
zeer hoge afvoerwaarden te berekenen.
Tenslotte volgt door vermenigvuldiging van de gemiddelde overschrijdingsduur met de geSxtrapoleerde toppenfrequentie de dagenfrequentie.
2. Het geschematiseerde topmodel
In
1.
2.
3.
het algemeen bestaat voor een bepaald station de afvoertijdkromme uit 3 gedeelten (zie figuur
een betrekkelijk snel stijgend gedeelte;
een vrij constant gedeelte rond de maximum afvoer;
een betrekkelijk langzaam dalend gedeelte.
De aflopende tak kan wiskundig benaderd worden door een negatief-exponentiele functie. Een dergelijk aflopend proces ontstaat steeds wanneer, b . v . als hier de afvoer bij benadering evenredig gesteld
kan worden met de op dat tijdstip geborgen hoeveelheid water
[ l i t . 5 ] . Bovendien geeft ook de
topvervlakking, zelfs bij een symmetrisch golfprofiel een a-symmetrische peilschaalkromme
[lit. 7
- 36 -
In figuur 25 is direct het verband gegeven tussen de afvoerwaarde en de tijd t, dat deze waarde wordt
overschreden.
Omdat de tijd, gedurende welke de waterstand stijgt, aanzienlijk korter is, dan de tijd dat deze
daalt, zal de vorm van de stijgende tak als zodanig niet verder worden onderzocht. Het in deze tak
vallende deel van de overschrijdingstijd zal evenredig worden gesteld aan dat van de dalende tak. Daarnaast nemen we een voor alle topafvoeren vaste tijd T aan, gedurende welke de afvoer constant gedacht wordt. Tenslotte is aangenomen, dat de afvoer niet naar de waarde 0 afneemt, maar een bepaalde
minimumwaarde Q blijft behouden.
Aldus ontstaat figuur 26, als geschematiseerd beeld van figuur 25.
Q
0
We verschuiven nu het assenkruis naar het punt t = o, Q = Q en stellen
o
q = Q - Q
o
(42)
en q = Q - Q
o
Voor het verloop van q als functie van t kunnen we voor t \ T dan stellen:
* o
T
o
q = qe
T
(43)
Dit stelt
het wiskundige topmodel voor, dat in par. 1 reeds werd genoemd,
Beschouw nu de topafvoer q als de variabele en ga uit van een vooraf bepaalde afvoerwaarde q.
De tijd, gedurende welke deze waarde wordt overschreden is dan aldus af te leiden.
Uit (43) volgt:
t - T
o
q
T
o
of
In q - In q
T
dus
— m In q - In q +
(44)
Stel:
-i- = y
(45)
We noemen dit de relatieve overschrijdingstijd, Stel verder:
q = z
en
T
- ™
•
A
i
(46)
(47)
zodat (44) overgaat in:
y = In z - In q + A
(48)
(TUD
DATA)
FIG. 24
T'JD (AANTAL DAGEN)
FIG. 26
A 1.64.17
- 37 -
In deze formule komen de verschillende bovengenoemde begrippen voor als dimensieloze grootheden. Zo geeft y een maat voor de overschrijdingstijd, z voor de variabele tophoogte, q voor de afvoerwaarde, waarvoor de overschrijdingstijd wordt gezocht en A voor de tijd, waarover de afvoer nabij
de top constant beschouwd kan worden.
3, Geval, dat de afvoertoppen r e c htl ij nig-exponent i e e 1 zijn
verdeeld
Voor de rechtlijnig-exponentiSle verdelingsfunctie van de afvoertoppen geldt de formule:
<
f(x) =oce
Stel
" *
X
(14)
: x = 0 • z + Q
o
(49)
Ingevuld geeft dit:
Z+
f (z) =<xe -<*<
V
(50)
Bij iedere waarde van z behoort een waarde van de relatieve overschrijdingstijd y = — boven een
bepaald afvoerniveau q = Q - Q . Deze volgt uit de vergelijking ( 4 8 ) .
q
De gemiddelde waarde van y is overeenkomstig vergelijking ( 4 1 ) te berekenen.
De berekening verloopt aldus:
GO
/
y . f (z) dz
z =q
y =
_
(51)
Co
f (z) dz
z=q
Na invullen van (50) volgt:
<XQ
e
/
o /
- OC
Z
y. oC e
dz
q
v=
at
e
- oc:
I oc e - ocz dz
ra>
oC Q
1>/
oo
oc z
y. oce
of
y =
q
dz
^
—
r
J
q
o< e
dz
•
(52)
- 38 -
De integraal in de noemer wordt:
CO
oo
'
-Oct,
oc e
- e(.z
(53)
dz = - e
In de teller van (52) vullen we in de waarde van y volgens (48).
Dit geeft:
CO
- otz
y. oce
ec
j
j
dz =
oo
-CX z dz
(In z - In q - A ) e
oo
r
OO
Z
« - ^ In z. e
0 4
Z
dz - oc (In q - A)
/
dz
(54)
e
De eerste term van het rechterlid leiden we aldus af:
CD
In z. e.
dz
-CO
- OCq
In q. e
ry z
+
OC z = ocq
- OCq
In q. e
- Ei (-txq)
d(oCz)
oc z
(55)
- 39 -
De functie - Ei (- ocq) is de z . g . exponentiSle integraal. Deze kan niet analytisch worden opgelost, maar moet numeriek berekend worden.
De tweede term van (54) wordt:
.00
- <X z
oC(ln q - A )
e
dz
oo
(In q - A ) , e
- (In q - A ) e
or z
- OCq
(56)
Beide termen van (54) tezamen geven:
In q. e
- oc q
- Ei ( - o c q )
- Ei (- ocq) + A . e " °
- (In q - A) e
- OCq
< q
(57)
Tenslotte volgt volgens (52) de gemiddelde waarde y uit het quotient van (54) en (53), zodat:
- ot q
H
- Ei (- ocq) + A . e
y =
1
- ocq
Hieruit volgt:
y =
- Ei ( - <X 0). e
oc q
+ A
In tabel XII is voor een aantal waarden van ocq de vorm
- Ei ( - OCq ). e
(58)
weergegeven
- 40 -
TABEL XII
OC*q
ocq
- E i ( - Ocq)
Ei (- o<q) • e
0, 01
4,0379
1,0101
4, 0785
0, 1
1, 822 9
1,1052
2,0146
0, 5
0, 5598
1, 6487
0, 922 9
0,7
0,3738
2,0138
0,7527
1, 0
0,2194
2,718
0,5963
1, 5
0,1000
4,482
0,4483
2, 0
0, 04890
7,389
0,3613
2,5
0, 02491
12,18
0,3035
3, 0
0,01305
20, 09
0,2621
3,5
6,970 .10
33,12
0,2308
4,0
3,779 .10
54, 60
0,2063
4,5
2,073 .10*
90, 02
0,1866
5,0
1,148 .10*
148, 41
0,1704
6,0
0,3601 .10
403,4
0,1453
7, 0
0,1155 .10*
1096,6
0,1266
8,0
0,03767.10*
2,981.10
0,1123
9, 0
0,01245.10*
8,103.10
0,1009
-3
-3
10,0
4,157
.10*
22,026.10
0, 09156
11, 0
1,400
.IO*
59,87 .10
0,08384
12,0
0,4751 .10*
162,57 .10
0,07733
13, 0
0,1622 .10*
442,4
,10
0,07175
14, 0
0,05566.10*
1202,6
.10
0,06693
15,0
0, 01919.10*
3269
.10
0,06272
- 41 -
4. De afvoertoppen zijn geknikt r e c h t l i j n i g - e x p o n e n t i e e l
verdeeld
In dit geval bestaat de verdelingsfunctie f (x) uit twee gedeelten, gelegen resp. beneden en boven
het knikpunt x .
s
1) Voor x
<^ x^
geldt:
-OCX
f
(x) = de
2) Voor x
y
(26a)
x
s
f
f3 e
(x) =
2
" /*
X
+
(
" °°
X
s
(26b)
Stel:
x = z + Q
o
x = z + Q
s
s
o
en
(49)
'
x
(59)
Ingevuld in (26a) en (26b) geeft dit resp.:
f
- oc Q
- ocz
o. oce
(z) = e
f
(60)
(z) -
2
De gemiddelde waarde y voor
z
(61)
^
z
1 S
volgens (41) te berekenen. Dit geeft:
s
mma
-
z V
f?.«B
fyfit
dz,
z
=
z
- Z
3
- ^ " ^ ^
s
( 6 2 )
y =
ZS
'oi. e
z=q
-*»
dz
f
+
/
( 3 . ^ ^
+
'
(
^
dz
z=z
s
We leiden eerst de noemer af. De eerste integraal wordt:
S
y
s
-*z j
"OCZ
ot.e
dz = -e
q
z
I
q
De tweede integraal uit de noemer van (62) volgt uit:
co
y>.e-/*
z
s
z +
Z
s
= -e
-ocz
-otq
s + e
(63)
- 42 -
e
(/
9 -cx.)z
f f t . - P * -
s
z
s
s
-
( /3 - oO a
•
— e
z
e
-c< z
s = e
s
(64)
s
- ocq
In totaal wordt de noemer van (62) de som van (63) en (64) d . w . z . gelijk aan de waarde e
In de teller van (62) wordt ingevuld de vergelijking (48) voor de functie y.
De eerste integraal in de teller wordt dan:
z
/ s
I
z =q
y. oCe
.
- oCz
.
dz =
z
-s
z
/S
o£ /
In z. e
- ocz
f
_
dz -oC (In q A )
/
e
- oc z
dz
(65)
De eerste term van (65) wordt:
z
z
r s - ocz
I
e
J
oc z
•S
.
o
c
z
\
In z. e
+
q
..
d
z
(* >
«* q
oo
In q. e
< X q
= In q . e
- In z . e
_ ( X q
- In z .e
s
-ocz
s +
/-*
/e
' ocz
ocq
oo
/
Z
d(ocz) -
-«fz
l e.
' »X.z
oc z
s
% - Ei (-ocq) + E i ( -<xz
)
s
d(o<z)
(66)
43
De tweede term van (65) wordt:
•s
-o<z
e
-c<(ln q - A )
dz
f
>
- ocz
(In q - A)
r
J
-OC z
- oC Ol
s - e
•T
= (In q - A) ( e
-OCz
=l n q e
-oCq
n
s - l n q e
- A (e
-OCz
s-e
-OCq
) . . . . (67)
De eerste integraal (65) in de teller van (62) wordt dus de som van (66) en (67) en luidt:
yoce
- OCz .
, q
-oCz.
,
.
.
.
./
-ocz
-0Cq)(68)
dz = l n - i . e
- Ei (-ocq) + Ei ( - « z ) - Ai e
s-e
r
s
s
Voor de tweede integraal in de teller van (62) leiden we af:
co
- ft z + (p - oc) z
s
dz =
CO
( /
3-oc)z
f
s
= e
_
/A.
(In z - In
/
3
q + A) e
z
dz
z
(/3
-c<)z
CO
CO
s
lnz.e
_ / ? Z
d z - (lnq - A) J , < z
Z
&z
CO
co
CO
(/3
^
-*)
e"^
-In z. e
fi;
s
s '
p
Z
d (<* z) + ( l n q - A ) ( e
•flz)\
44
i/
3
oO
-
lnz . e
-
z
„
/3
s - Ei ( -
z ) - (In q-A) e
- ft z
'
s
i
(/S - c x ) z
,
q
z
In—u .
q
- In —
— .• . e
z
s
- « z
5
^
s- - p.e
e
-
- ft z
- Ei (-5 z ) + A . e
^
i
'
s
.
E
'
v
^
'
z
'
s
s
l
'
.
A
,
s
^ s
(69)
De teller van (62) volgt uit de som van (68) en (69):
i
fi
-*>*
- Ei (- cxq) + Ei ( - « ( z ) - e
s
OCq
Ei ( - / 3 z ) + A . e
(70)
q
Tenslotte geeft deling door de noemer e °* gemiddelde waarde van y voor z <^ z
y = e
Voor z /
c*q
{ft-*.)
f - Bi(-c< q ) + Ei ( -oCz ) - e
s
E i ( - ^ z ) | + A.
s
(71)
z vinden we y , door in vergelijking (58) OC te vervangen door /9
y = -Ei
(-/3
5. Gebruik in de
q).e. *
q
+A
(72)
praktijk
De resultaten van het in de vorige paragrafen behandelde rekenschema zullen worden gebruikt om
het verloop van de gemiddelde overschrijdingsduur als functie van de bijbehorende afvoerwaarde te
extrapoleren naar extreem hoge afvoeren. De gang van zaken is daarbij als volgt:
De vergelijking voor de gemiddelde waarde van y, die werd voorgesteld door de formules (58),
resp. (71) en (72), schrijven we in de vorm:
y = g(q)
+ A
(73)
De functie g (q) is afhankelijk van het type frequentieverdeling. Voor de rechtlijnig-exponentigle
verdeling geldt:
g(q) = -Ei
( - ocq ) . e
(74)
- 45 -
Voor de geknikte verdeling gelden 2 formules:
1) voor q > z
g(q) = - Ei ( - f i q ) . e
-
s
2) voor q <C z
g(q) = - E i
1
(75)
5
(- OCq).e
C X Hq
.
+ J y
(76)
Waarbij volgens (73):
4 y - |
Ei(-cxz )-e
'
s
< X )
^.Ei(- /9z ) j
s
e*
(77)
Vermenigvuldig (73) met de constante tijdsduur T. Door substitute van (45) en (47)
volgt:
t
= g(q). T + T
(78)
De in deze formule voorkomende functie g (q) kan voor alle afvoeren waarvan de toppenfrequentie
bekend is, worden vastgesteld.
De gemiddelde overschrijdingstijd t kan in het bekende gebied voor verschillende afvoeren worden
bepaald als quotient van de dagen- en de toppenfrequentie.
Tussen t en g (q) zal een rechtlijnig verband bestaan, indien onze uitgangspunten juist zijn geweest,
Door verschillende waarden van t en g (q) ineen lineair correlatiediagram uit te zetten, kan die
rechte lijn worden vastgesteld die het onderlinge verband zo goed mogelijk weergeeft.
Uit de helling en de plaats van deze lijn volgen dan de constanten T en T , waarmee de waarde t
ook voor de afvoeren in het onbekende gebied is bepaald.
Om de afvoerbedragen q te vinden moet men van de werkelijk opgetreden afvoer eerst de basisafvoer eerst de basisafvoer Q aftrekken. Voor de Maas is hiervoor gekozen de in het "Tienjarig overzicht
van de waterhoogten"
f l i t 10 ] genoemde Normaal Lage Afvoer NLA. Deze bedraagt voor Borgharen
20 / s e c en voor Lith 30 m 3 / .
0
0
m 3
s e c
6. Toepassingen op de
Maas
Voor de Maasafvoeren te Borgharen, resp. te Lith gelden de grootheden, die zijn gegeven in tabel XIII.
T A B E L XIII
Grootheid
11
(in r ^/^^ )
alle afvoeren
Borgharen
zomerafvoeren
Lith
Borgharen
Lith
1
410
400
200
200
1
330
260
160
130
1310
1325
1310
1325
20
30
1290
1295
x
s
Q
o
Z
20 .
1290
30
1295
- 46 -
De topduurfunctie g (q) volgens de vergelijkingen (75), (76) en (77) werd voor deze 4 gevallen
berekend met behulp van de computer van de Mathematisch-Fysische afdeling.
Uit de figuren 32 t. e. m. 35, die in de inleiding reeds werden toegelicht en waarin de waargenomen dagen- en toppenfrequenties als punten staan afgebeeld, werden een aantal waarden van de gemiddelde overschrijdingstijd bepaald. Zoals eerder werd opgemerkt komt dit bij de logarithmische schaal
neer op het meten van de horizontale afstand tussen de dagen- en de toppenfrequentiepunten. In figuren 32 B t, e.m. 35B zijn, eveneens op logarithmische schaal, de gemiddelde overschrijdingstijden
uitgezet.
In de tabellen XIV en XV vindt men in de kolommen 2 en 6, resp. 3 en 7 de waarden van g (q)
naast de bijbehorende waarden van t , zoals deze uit de figuren 32B t. e. m. 35B werden opgemeten.
Bij geldigheid van formule (78) bestaat hiertussen een rechtlijnig verband.
In de figuren 27 en 28 zijn de waarden g (q) en t in een correlatiediagram uitgezet.
Eerst wordt besproken fig. 27, die betrekking heeft op Borgharen.
Het is in deze grafiek op bevredigende wijze mogelijk door de getekende punten rechte lijnen te
trekken. De constanten, die uit deze lijnen kunnen worden afgeleid bedragen:
1) voor alle afvoeren gedurende het gehele jaar:
T
T
o
= 13, 6 dagen.
= 0 , 8 dagen.
2) voor alleen de zomerafvoeren.
T
T
o
=12,4 dagen.
= 0 , 0 dagen.
De zomerafvoeren hebben blijkbaar een zeer spitse top. De stijging, resp. daling, die samenhangt
met de waarde T, is in de zomer niet beduidend verschillend t . o . v . die over het gehele jaar.
Het is interessant het geschematiseerde topmodel te vergelijken met in werkelijkheid voorgekomen
toppen. Er wordt hierbij op gewezen, dat het beeld, dat volgens het wiskundige model met de constanten T en T zal ontstaan, het gemiddelde is van allerlei golftypen, zowel geisoleerde als samengestelde
toppen, die de meest uiteenlopende vormen kunnen hebben.
Nagegaan werd, hoe het gemiddelde beeld er uitziet voor afvoergolven met een top van 1500 m3/sec
Dit bedrag is een willekeurige keuze. Voor de in de periode 1911-'60 voorgekomen hoogwatergolven
tussen 1400 m3/sec en 1600 m3/sec (totaal 18 stuks) werd de gemiddelde overschrijdingsduur van diverse
afvoerwaarden berekend. De toppen zijn afgebeeld in fig, 29. De verscheidenheid in vormen blijkt hieruit duidelijk.
Door voor iedere hoogwatergolf de overschrijdingstijden van de verschillende afvoerniveaus afzonderlijk uit te zetten ontstaat fig. 30.
Voor de afleiding van de gemiddelde overschrijdingsduur wordt verwezen naar tabel XVI. Het resultaat is afgebeeld in fig. 31. In deze figuur is ook getekend het topmodel, dat met behulp van de afgeleide constanten T en T kan worden samengesteld.
De overeenstemming tussen beide krommen is redelijk.
Q
Voor de afleiding van de gemiddelde overschrijdingstijd t te Lith zal het noodzakelijk zijn het
golfverschijnsel aan dit station te beschouwen in samenhang met Borgharen. Voert men n l . voor Lith de
bepaling onafhankelijk uit van Borgharen dan kan er een tegenstrijdigheid ontstaan tussen beide stations
ten aanzien van de totale afgevoerde hoeveelheid water. Vergroot men nl. de inhoud van de hoogwatergolf te Borgharen met de hoeveelheid water, die beneden dit station op de Mans wordt gebracht, dan
moet dit de inhoud van de golf te Lith opleveren. Vindt men een bedrag, dat hiermee niet in overeenstemming is, dan handelt men in strijd met de continuiteitsvoorwaarde.
Zou er geen golfdemping zijn, dan kan men aannemen, dat de basisduur tussen Lith en Borgharen
niet verandert. De inhouden van de hoogwatergolven verhouden zich dan als de ongedempte topafvoer
te Lith en de werkelijk opgetreden topafvoer te Borgharen. De grootte van de ongedempte topafvoer te
Lith kan worden afgeleid uit de lijn 4 van figuur 18 en werd aangeduid als Q4.
- 47 -
TABEL XIV
BORGHAREN
zomerafvoeren
alle afvoeren
t in dagen
Q
t in dagen
Q
3,
in m /sec
g(q)
waarneming
theoretisch
in m /sec
g(q)
waarneming
theoretisch
1
2
3
4
5
6
7
8
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
0. 9918
0.7609
0. 6230
0. 5293
0.4604
0.4068
0.3634
0.3268
0.2949
12,7
10, 9
9,5
8,2
7,5
6,5
6, 0
5,3
5,0
14,3
11,1
9,3
8, 0
7,1
6,3
5,7
5,2
4, 8
100
150
200
250
300
350
400
450
500
1. 048
0,7882
0. 6399
0.5417
0.4711
0.4176
0.3755
0. 3414
0. 3131
13,8
10,3
8,0
6,6
6,1
5,1
4,4
4,2
3,6
13,0
9, 8
7, 9
6,7
5, 8
5,2
4,7
4,2
3, 9
1100
1200
1300
1400
1500
1600
1700
1800
1900
2000
0.2662
0. 2392
0. 2130
0.1987
0.1872
0.1769
0.1678
0.1595
0.1521
0.1453
4,3
4, 0
3,7
3,3
4,4
4, 0
3,7
3,5
3,3
3,2
3,1
2, 9
2,8
2, 8
550
600
650
700
750
800
850
900
950
1000
0.2892
0. 2687
0. 2509
0.2353
0.2214
0.2089
0.1975
0.1871
0.1774
0.1682
3,5
3,4
3,6
3,4
3,1
2, 9
2, 8
2, 6
2,5
2,3
2,2
2.1
2100
2200
2300
2400
2500
2600
2700
2800
2900
3000
0.1391
0.1334
0. 1281
0. 1233
0. 1188
0. 1146
0.1108
0.1071
0.1037
0. 1006
2, 7
2,6
2,5
2,4
2,4
2,3
2,3
2,2
2,2
2,2
1050
1100
1150
1200
1250
1300
1350
1400
1450
1500
0.1594
0.1507
0.1421
0, 1332
0.1238
0.1136
0.1084
0.1049
0.1015
0,0984
2,0
1,9
1,8
1,7
1,5
1,4
1,3
1.3
. 1.3
1,2
3100
3200
3300
3400
3500
3600
3700
3800
3900
4000
0. 0976
0. 0947
0. 0921
0.0896
0.0872
0.0849
0. 0828
0. 0807
0. 0788
0. 0770
2,1
2,1
2, 0
2,0
1, 9
1, 9
1, 9
1, 9
1, 8
1,8
1550
1600
1650
1700
1750
1800
1850
1900
1950
2000
0. 0954
0. 0926
0. 0900
0.0875
0. 0852
0.0830
0. 0809
0. 0789
0. 0770
0.0751
1,2
1,1
1,1
1,1
1.1
1.0
1,0
1,0
1,0
1, o
1310*)
0.2104
3,6
1310*)
0.1115
1,4
*) afvoer x
s
'
- 48 -
TABEL XV
LITH /
RAVENSTEIN
zomerafvoeren
alle afvoeren
t in dagen
Q
3
in m /sec
g(q)
1
2
waarneming
3
t in dagen
Q
theoretisch
in mtysec
g(q)
waarneming
theoretisch
4
5
6
7
8
15,0
11,0
8,4
7,1
6,3
5,6
6,5
4,6
3,8
10,4
8,5
7,3
6,4
5,8
5,2
4,8
4.5
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
1.008
0.7642
0. 6210
0. 5242
0.4530
0.3974
0.3518
0.3127
0.2776
14,5
12,2
10,7
9,6
9,2
8,5
8,0
7,7
7,0
14,5
12,1
10.7
9,7
9,0
8,4
7, 9
7,5
7,1
100
150
200
250
300
350
400
450
500
1.127
0. 8278
0. 6643
0.5585
0.4835
0.4272
0.3830
0.3474
0.3180
1100
1200
1300
1400
1500
1600
1700
1800
1900
2000
0.2447
0.2125
0.1795
0.1628
0.1531
0.1445
0.1368
0.1298
0.1236
0.1179
6,5
6,2
6,7
6,3
5, 9
5,7
5,5
5,4
5,3
5,2
5,1
5,1
550
600
650
700
750
800
850
900
950
1000
0. 2933
0.2721
0,2537
0.2374
0.2230
0.2099
0.1980
0.1869
0.1764
0.1663
4,2
3,9
3,7
3,5
3,3
3,2
3,0
2, 9
2,8
2,6
2100
2200
2300
2400
2500
2600
2700
2800
2900
3000
0.1128
0.1080
0.1037
0. 0997
0. 960
0. 0925
0. 0893
0.0864
0.0836
0.0810
5,0
4,9
4,8
4, 8
4,7
4,7
4,6
4,6
4,5
4,5
1050
1100
1150
1200
1250
1300
1350
1400
1450
1500
0.1564
0.1464
0.1361
0.1251
0.1130
0. 0994
0.0903
0.0872
0.0844
0.0817
2,5
2,3
2,2
2,1
1,9
1,7
1,6
1,5
1,5
1,5
3100
3200
3300
3400
3500
3600
3700
3800
3900
4000
0.0785
0. 0762
0.0740
0. 0720
0. 0700
0. 0682
0. 0664
0. 0648
0. 0632
0.0617
4,5
4,4
4,4
4,4
4,3
4,3
4,3
4,2
4,2
4,2
1550
1600
1650
1700
1750
1800
1850
1900
1950
2000
0.0792
0. 0769
0. 0747
0.0726
0.0706
0.0687
0.0669
0.0 652
0.0636
0.0621
1,4
1,4
1,4
1,3
1,3
1,3
1,3
1,2
1,2
1,2
1325*)
0.1710
5,8
1325 )
0. 0919
1,6
*) afvoer x
s
s
13, 9
TOPAFVOER = 1500 m3/sec
UIT WISKUNDIG TOPMODEL
AFGELEIDE L'JN
8
IO
12
14
16
18
20
22
24
26
28
30
GEM. OVERSCHRUDINGSDUUR IN DAGEN
FIG. 31
Al.64.260
- 49 -
Het totale volume van de golf is als volgt te schrijven:
oo
V = q
q ( T
T
+ q
o
t -
/e
, /
T
P_ dt
T
(79)
+ T )
q
Hierbij is de basisafvoer buiten beschouwing gelaten, omdat deze geen deel uitmaakt van het golfverschijnsel als zodanig, maar min of meer altijd aanwezig is.
In formule uitgedrukt is de verhouding tussen beide inhouden:
V
/
Q
Borgharen
(80)
m
4 - 3 0 /sec
Q
m3/
Borgharen - 20
sec
Lith
a
Borgharen
Uit (79) volgt:
'Lith
^ith^
0
+
1
J
Lith
(81)
en
^Borgharen
Sorgh ^ o
+
1
^Borgh
Dit geeft ingevuld in (80)
( T
« Lith
q
of
Borgh
1
T
o
> MLith
+
J
) Borgh
+ T )
(T
v
+
0
o
= (T
Lith
Sorgh
+
T)
o
'Borgh
•'Lith
Reeds werd gevonden:
+
(T
T)
Borgh
13, 6 + 0,8 dagen = 14,4 dagen,
zodat:
+ T),. .
(T
v
o
Lith
Aangezien de verhouding
Lith niet constant zijn.
= 14,4
(82)
.
q_Lith
.
wegens de demping niet constant is, kan de waarde T
Xith
Q
+ T voor
- 50 -
In de tabellen XVII-A en XVII-B is voor diverse afvoerwaarden de waarde T + T afgeleid.
Het blijkt dat deze waarde toeneemt bij toenemende tophoogte, dus bij afnemende waarde van
g (q). De afleiding volgens de paragrafen 3 en 4, waarbij T en T constant gedacht zijn is dus voor
Lith niet geheel juist.
0
0
Er zou dus een nieuwe berekening van de gemiddelde overschrijdingstijd moeten worden opgezet
met andere uitgangspunten. Voor de waarde T + T zou dan de waarde uit de tabellen XVII aangehouden
kunnen worden. Voor het verloop van T en T afzonderlijk moet een bepaalde aanname worden gedaan.
Uit deze berekening, die geheel numeriek zou moeten worden uitgevoerd, zouden dan nieuwe
waarden van de gemiddelde overschrijdingsduur volgen. Deze zouden moeten worden getoetst aan de
gemiddelde overschrijdingstijden uit het bekende gebied.
0
Q
Het is de vraag of het opzetten van zo'n verbeterde, maar zeer tijdrovende berekening, noodzakelijk is.
Uit de tabellen XVII-A en XVII-B blijkt, dat voor de lagere toppen de waarden van T + T van
Lith en Borgharen (14,4 dagen van alle afvoeren, 12,4 dagen van de zomerafvoeren) niet noemenswaard
verschillen. Aangenomen mag worden dat de weinige hoge toppen hier een relatief kleine invloed op de
gemiddelde overschrijdingsduur hebben. Dan is in het gebied van de lage toppen het verband tussen g(q)
en t nog wel lineair te beschouwen. Dit verband kan worden voorgesteld door een rechte lijn door het
punt g (q) = 1, t = T + T = 14,4 dagen (resp. 12,4 dagen in de zomer) en verder zo goed mogelijk in de richting van de getekende punten lopende.
Voor de lijn van alle topafvoeren is dit rechtlijnige verloop mogelijk tot een afvoer van ongeveer
g(q) = 0,45 (Q
= 600 m / s e c . )
Q
0
3
TABEL XVII-A
Bepaling (T + T ), . . voor alle afvoeren
o
Lith
q
Lith =
Q
Lith
3
m /sec
Q
4
(uit fig. 18)
0
Lith-30
m /sec
q
q
4 =
Q -30
4
4
''lith
(T +T)
o
Uith
1
14,4
*
Lith
dagen
q
3
m /sec
3
m /sec
1
2
3
4
5
6
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
170
270
370
470
570
670
770
870
970
200
305
410
515
620
730
850
965
1085
170
275
380
485
590
700
820
935
1055
1,00
1, 02
1, 03
1,03
1, 04
1,04
1,06
1,07
1,09
14,4
14,7
1200
1400
1600
1800
2000
1170
1370
1570
1770
1970
1350
1610
1880
2150
2440
1320
1580
1850
2120
2410
1,13
1,15
1,18
1,20
1,22
16.2
16,4
17,0
2200
2400
2600
2800
3000
2170
2370
2570
2770
2970
2710
3000
3270
3550
3800
2680
2970
3240
3520
3770
1,24
1,25
1,26
1,27
1.27
17.8
18,0
18,2
18,3
18.3
3200
3400
3170
3370
4050
4300
4020
4270
1,27
1,27
18,3
18,3
14.8
14, 8
15, 0
15,0
15,2
15,4
15,7
17,3
17,6
- 51 -
TABEL XVII-B
Bepaling (T + T)Lit,h
Q
Q
v o o r
Q
Lith =
m /sec
3
m /sec
3
m /sec
4
(uit fig. 18)
Lith
Lith
de zomerafvoeren.
q
4
Q -30
4
o
q
4
(
T
T
+ )r • u
o
'Lith =
q
Lith
q
4
Q
Lith
12,4.
m /sec
dagen
2
3
4
5
100
150
200
250
300
350
400
450
500
70
120
170
220
270
320
370
420
470
100
150
200
253
305
358
410
463
515
70
120
170
223
275
328
380
433
485
1. 00
1.00
1.00
1. 01
1.02
1.02
1.03
1.03
1.03
12,4
12,4
12,4
12,5
12,6
12,7
12,8
12, 8
12,8
600
700
800
900
1000
570
670
770
870
970
620
730
850
965
1085
590
700
820
935
1055
1. 04
1.05
1.06
1.07
1.09
12.9
13,0
13.2
13,3
13,5
1100
1200
1300
1400
1500
1070
1170
1270
1370
1470
1220
1350
1480
1610
1750
1190
1320
1450
1580
1720
1.11
1.13
1.14
1.15
1.17
13, 8
14,0
14,2
14,3
14,5
1600
1700
1570
1670
1880
2010
1850
1980
1.18
1.19
14,7
14, 8
» 1
6
De waarde T + T is inmiddels toegenomen tot 15, 0 dagen. Voor hogere afvoeren wordt het verschil
tussen de ( T + T) waarden van Lith en Borgharen te groot en is het lineaire verband niet meer geheel
juist. Zo is bij Q = 800 m /sec of g (q) = 0. 3518 de tijd T + T = 15, 2 dagen.
Wij trekken nu een lijn, lopende door het punt g (q) = 1, t = T + To= 15, 2 dagen en die vloeiend
aansluit op de lijn voor de lagere afvoeren.
Voor Q = 1000 m3/sec of g (q) = 0, 2776 wordt T + T = 15, 7 dagen, waarmee ook hier de richting
ter plaatse is bepaald.
Zo kunnen we voortgaan tot afvoeren van ongeveer 3000 m3/sec.
Er ontstaat dan een kromme als omhullende van een aantal raaklijnen. Deze omhullende geeft tenslotte de waarden van f. Het blijkt, dat de getekende kromme niet veel afwijkt van een rechte l i j n .
Het opzetten van een nieuwe berekening lijkt daarom niet noodzakelijk.
0
G
3
0
Voor de zomerafvoeren werd aan de hand van tabel XVII-B een dergelijke lijn in fig. 28
geconstrueerd.
De waarden van de gemiddelde overschrijdingsduur t, zoals ze tenslotte uit de figuren 27 en 28 v o l -
- 52 -
gen, zijn in de tabellen XIV en XV vermeld. In de figuren 32B t/m 35B zijn ze als een vloeiende kromme uitgezet.
Door vermenigvuldiging van deze duur met de toppenfrequenties volgen tenslotte de dagenfrequentielijnen. Ook deze zijn in de figuren 32 t/m 35 getekend.
7. Nabeschouwing over de f r e q u e n t i e f i g u r e n van de Maas
Inzake de frequentiefiguren 32 t/m 35 is het van belang de volgende punten nader toe te lichten.
1) In de frequentiefiguren van Borgharen (fig. 32 en 33) zijn punten ingetekend, die de frequenties
van de in werkelijkheid in de periode 1911-1960 voorgekomen afvoeren voorstellen, De punten in de frequentiefiguren voor Lith (fig. 35 en 36) daarentegen stellen de afvoeren voor uit de periode 1941-'60,
Het feit, dat deze puntenreeksen plaatselijk afwijken van de uit Borgharen afgeleide lijnen is uitsluitend toe te schrijven aan stochastische spreiding (in de meteorologische sfeer) en is niet het gevolg
van wijzigingen in de hydrologie van de rivier.
2) De hoogste top met de betreffende periode is niet aangeduid door een punt, maar door een horizontaal lijntje. Dat is b. v. het geval met de top van 3000 m /sec in januari 1926 te Borgharen. Het
feit, dat een dergelijke top eenmaal in de beschouwde periode is voorgekomen heeft als frequentiegegeyen geen enkele betekenis. Dit eenmalig voorkomen onthult n. 1. niet met welke frequentie genoemd
afvoerbedrag in het universum wordt overschreden, zodat op dit niveau alleen de geextrapoleerde lijn
voldoende informatie geeft.
3
Het feit of zo'n top in een beschouwde periode valt hangt af van de plaats van deze periode op de
tijdas,
3) In de frequentiefiguren van Borgharen voor het zomerhalfjaar valt de hoogste topafvoer met samen met de hoogste dagafvoer. Dit is een gevolg van het afsnijden van een hoogwatergolf op de grens
van zomer en winter (1 november 1932), waardoor enige hogere dagafvoeren in het zomerhalfjaar vallen,
maar de top zelf in het winterhalfjaar (zie hoofdstuk III, par. 7).
4) In fig. 34, de overschrijdingsfrequenties van de afvoeren te Lith, staan bij de hoogst voorgekomen afvoer 2 data vermeld. In de periode 1941-1960 zijn hier nl, 2 hoogwatergolven met een topafvoer van 1900 m /sec voorgekomen.
5) De besproken toppenfrequentiekrommen doen zien dat soms ingetekende punten van de hogere
afvoeren naar beneden of naar rechts afwijken van de geSxtrapoleerde frequentielijn. Het lijkt, alsof
de extrapolatie onjuist is. Er wordt echter op gewezen, dat juist in het gebied van de hoge toppen een
sterk steekproefeffext werkt. Het voorkomen van 1 top meer of minder in dit gebied kan de ligging van
de punten sterk beihvloeden. Wegens de logarithmische frequentieschaal zal een tekort van 1 top in de
figuur een afwijking naar rechts opleveren die groter is dan de afwijking naar links als gevolg van een
teveel van 1 top. Een tekort spreekt daarom sterker dan een teveel.
Indien in de periode 1911-'60 te Borgharen een top meer voorgekomen was, b. v. tussen 2200 m /sec
en 3000 m /sec, dan zouden de getekende punten alle 1 plaats naar links op moeten schuiven, waardoor ze practisch op de frequentielijn komen.
In de zomertoppenfiguur is de kans op uitvallen van toppen groter, omdat dan ook het afsnijden
van de hoogwatergolven op de grens van zomer en winter een rol speelt. Toppen, die werkelijk voorgekomen zijn, doch net buiten de gestelde kalendergrenzen vielen kunnen daardoor buiten de telling vallen. Dit gebeurde b. v. bij de top van 1 november 1932, die op 31 oktober werd afgesneden en daardoor als zomertop niet meetelde.
6) De als kruisjes ingetekende dagafvoeren blijken voor de hogere waarden steeds naar rechts af te
wijken t . o . v . de dagenlijn. Toch is het verloop van deze lijn niet onjuist. De gemiddelde overschrijdingsduur per top wordt in het universum mede bepaald door alle hoger gelegen toppen, ook door de extreem
hoge, die in de waarnemingsperiode niet voorgekomen zijn.
In een bepaalde steekproef uit dit universumr die van eindige duur moet zijn, b. v. 50 jaar, zullen boven
een bepaalde afvoerwaarde in het algemeen geen toppen meer voorkomen, waardoor het gemiddelde in
verkleinende zin wordt beihvloed,
Zoals de berekeningen nu eenmaal zijn opgesteld behoort bij de allerhoogste afvoer een hoogste
waarde van de toppenlijn en een hoogste waarde van de dagenlijn. Deze hoogste waarden zijn, juist
voor de hoogste afvoer, identiek. De punten (in de figuren kruisjes) van de dagafvoeren lopen dus
naar het punt van de hoogste topafvoer. Dat w i l zeggen dat de kruisjes a l t i j d naar
rechts afwijken van hun eigen lijn, welke die hoogste afvoer ook moge zijn. De puntenwolk in de figuren B zal dus steeds naar boven toe naar rechts gaan afwijken en eindigen in een punt, gelegen juist in
de verticale as op de waarde "1 dag".
3
3
3
- 53 -
Bij de hoogste waargenomen afvoer is het oorspronkelijke universum ingekrompen tot 1 waarde en
is dus in feite niet meer van een universum sprake. De afwijking naar rechts is gevolg van het steekproefeffect van de feitelijke hoogste afvoer. Zelfs wanneer in de gegeven waarnemingstermijn precies
de bijbehorende ' hoogste afvoer ' (modale waarde) zou zijn opgetreden, dan nog zouden de kruisjes
naar de punten lopen. Eerst van een oneindig lange waarnemingsperiode met een onbeperkt aantal "nog
ho gere" afvoeren zouden de gemiddelde lijnen gevonden worden, welke hier langs wiskundige weg zijn
afgeleid. (Uiteraard geldt een en ander alleen voor de jaarwaarde en niet zonder meer voor de zomerwaarde vanwege het afsnij-effect). Een uit zo'n steekproef afgeleide lijn voor de gemiddelde overschrijdingstijd zal daarom in het bovenste deel kleinere waarden geven dan een aan het universum ontleende
lijn.
7) Indien de lagere toppen in de steekproef een stochastische afwijking naar beneden krijgen, terw i j l voor de hogere toppen het in punt 6) genoemde verschijnsel optreedt, dan bestaat de mogelijkheid
dat alle waargenomen frequenties eenzijdig van de werkelijke lijn komen te liggen. Dit is b. v. het geval bij de zomerafvoeren te Lith (fig. 35).
De in bovenstaande punten genoemde afwijkingen zijn hiermee dus verklaard uit oorzaken die samenhangen met de gevolgde werkmethode (afsnijden op de grens van zomer en winter) en op statistische
gronden (stochastische spreiding, tekort van een enkele top, het niet ter beschikking hebben van het gehele universum).
De verschillende frequentiefiguren kunnen hiermee als voltooid worden beschouwd,
- 54 -
VI. WATERSTANDEN OP DE MAAS
1. Afvoerkrommen
van Borgharen,
Tegelen en Ravenstein
De behandelde frequentiekrommen van Borgharen en Lith geven de frequenties van afvoeren. Met
behulp van de momenteel geldende afvoerkrommen kunnen hieruit de frequenties van de waterstanden
worden afgeleid.
Voor de Maas zijn afvoerkrommen bekend van Borgharen, Tegelen en Ravenstein (zie fig. 36, 37
en 38). De afvoeren te Ravenstein worden geacht ook te gelden voor Lith. Bij de samenstelling is gebruik gemaakt van afvoermetingen en indien mogelijk, van de afvoergegevens van de stuwen te Borgharen en te Lith.
De afvoerkrommen voldoen aan de afvoerformule voor een uiterwaardenprofiel:
q=Bey
yr
+
b
c
u
u
( y - M
2
(83)
hierin is:
B = breedte zomerbed.
B = breedte uiterwaarden c. q. oeverland.
C = coefficient van de Chezy in het zomerbed.
C =
"
"
"
"
" de uiterwaarden.
y = waterstand ten opzichte van bodem zomerbed.
h = hoogte uiterwaarden ten opzichte van bodem zomerbed.
I = verhang op de rivier.
u
u
In verband met het feit, dat boven de uiterwaarden de waterstand kan varieren tussen 0 en enige
meters,wordt C variabel gesteld en wel volgens de formule van Manning. Voor het zomerbed luidt deze:
K y
(84)
en voor de uiterwaarden:
C
u
=K
u
(y-h)
(85)
De coefficienten K en K worden aan elkaar gelijk gesteld. Eventuele verschillen worden ondergebracht in B , die daardoor het karakter krijgt van een effectieve breedte.
Stel verder:
u
u
B = nB
u
(86)
Door een en ander gaat (83) over in:
Q = BK
Noem BK
y
\jl
+ n(y-h)
(87)
^ 7 = A , waardoor (87) overgaat in:
y
3
+ n(y-h)
3
.(88)
- 55 -
De afvoer Q
v
bij vol zomerbed, is dan:
5
Q
= Ah
3
(89)
v
Voor afvoeren, kleiner dan Q geldt:
v
5
Q
= Ay
3
(90)
De voor respectievelijk Borgharen, Tegelen en Ravenstein geldende grootheden A , n, h en Q
zijn vermeld in tabel XVIII:
TABEL XVIII
station
1
bodem
t, 0. v.
NAP
2
n
A
in
4_
1
3
m sec
h
in m
K
in
I
B
in m
1
3
3
1
7
6
5
breedte
oppervl.
in m
m . sec
4
3
O
V
in
m /sec
9
10
11
34, 1
85
105
8
+38. 00
62,6
9. 9 6.50
1410
4,7. 10 •4 2,16.10" 2
Tegelen + 7.00
34,4
7.3 9.20
1390
1,0.10 •4 1,0 .10" 2
38,1
90
110
1370
1,0.10 •4 1,0 .10" 2
40,2
122
150
Borgh.
Ravenst.
0. 00
3. 6 7.40
48. 8
De waarde K uit kolom 9 werd bepaald door met behulp van de formule van White- Colebrook de
coefficient van de Chezy te berekenen voor een w aterstand y = 7 m.
Deze formule luidt:
12y
C • 18 log - r r
(91)
Hierin stelt k de bodemruwheid voor in m. Voor de verschillende stations werden waarden genomen,
als vermeld in tabel XIX:
TABEL XIX
station
k
in m
y
k
1_
6
c
in m
1
2
. sec
-1
y
6
i
"6
in m
4
6
K-C.y
~3
m
-i
. sec
6
2
3
Borgharen
0.20
35
47.3
1,38
Tegelen
0.10
70
52.6
1,38
38,1
55.5
1.38
40,2
1
Ravenstein
0.07
100
34,1
- 56 1
Door de waarden A, n en h in de formule (88) in te vullen kan voor diverse waterhoogten y de
afvoer berekend worden. De betreffende afvoerkrommen zijn in de figuren 36,37 en 38 voorgesteld,
Voor de stations Borgharen en Ravenstein kunnen nu met behulp van de afvoerfrequentiefiguren en
de afvoerkrommen de dagen- en toppenfrequenties van de waterstanden worden bepaald,
2. Waterstanden bij andere stations langs de Maas
Voor de andere langs de Maas gelegen peilschalen kunnen met behulp van de betrekkingslijnen de
waterstanden uit die van Borgharen worden afgeleid. Deze betrekkingslijnen zijn opgenomen in het
"Tienjarig overzicht der waterhoogten 1951-1960".
Door combinatie van de afvoerkromme van Borgharen (fig. 36) met de betrekkingslijnen is het mogelijk een grafiek samen te stellen die het directe verband geeft tussen de afvoer te Borgharen en de
waterstanden op diverse plaatsen langs de Maas. Een dergelijke voorstelling is gegegevn in fig, 39.
De afvoerbedragen zijn afgebeeld op logarithmische schaal. Dit is gebeurd om de kleine en grote
afvoeren op overzichtelijke wijze op een tekening van beperkte afmetingen te kunnen afbeelden.
De kromme van Ravenstein geeft de mogelijkheid de figuur te toetsen aan de van dit station bekende afvpergegevens. Dit kan gebeuren door combinatie van de figuren 18 en 38, n. 1.:
uit fig. 18
afvoer Borgharen afvoer Ravenstein hoogte Ravenstein, terwijl tevens:
uit fig. 39
afvoer Borgharen - .
^ hoogte Ravenstein.
uit fig. 38
•
Beide methoden geven voor die afvoeren, waarbij de stuw te Lith geopend is nagenoeg dezelfde
uitkomsten, Rondt men af tot op 10 cm nauwkeurig, dan vallen alle verschillen weg,
Volledigheidshalve worden deze standen vermeld in tabel X X ,
TABEL X X
^Borgharen
m3/sec
Ravenstein/
Lith
m3/sec
y
Ravenstein
NAP + m
1
2
3
1000
1200
1400
1600
1800
2000
2500
3000
3500
3800
4000
1060
1235
1390
1550
1720
1880
2280
2670
3050
3300
3450
6.35
6, 95
7.40
7. 80
8. 15
8,45
9, 00
9, 50
9, 90
10, 10
10,30
De lijnen in fig. 39 zijn geextrapoleerd naar afvoerwaarden van 3800 m /sec. In de figuur zijn de
waterstanden ingeschreven, die behoren bij afvoeren van 3500 m3/sec, (frequentie 1,10" per jaar) respectievelijk 3800 m3/sec (frequentie 3 . 1 0 ' per jaar).
Tussen haakjes zijn de standen geplaatst, die optraden tijdens de hoogwatergolf van januari 1926,
De topafvoer te Borgharen bedroeg toen 3000 m3/sec. Voor enige stations langs de beneden-Maas zijn
3
4
o
4700
46.00
45.00
a
<
44.00
z
z
Ml
>
o
«0
43.00
e
z
a
z
£
42O0
OC
III
I—
<
4 IOO
4 O.OO
3 9.00
3 8.00
F»G:
I8.80+
37
iRflfyf
AFVOERKROMME BU kmr 105 (TEGELEN)
volgens afvoermetingen verricht in:
+ 1951
12-23 januari
13-14 januari
22-24 december
16-17 februari
27-28 februari
I8.00+
I8.QO+
8-16 januari
3 februari
Q.
<
Z
>
o
•*
E
Z
I7.00+
<
<
X
u
•A
_J
I7.00
+
-
UI
-
Q.
Ui
Q
Z
<
<
Q
Z
<
I6O0+
I6.00+
«/>
DC
UI
de afvoeren beneden
IOOOm /sec hebben b e trekking op de ongestuwde
rivier.
3
.15.00*
I5.00+
rivierbodem op
NAP+7.00m
i
it
_I4.00
W.OOt
UI
o
o
o
o
o
s
O
O
o
AFVOER IN ftP/sec
o
o
o
co
UI
O
O
+
IV
AFVOERKROMME
RAVENSTEIN
+
IO.OO __ volgens af voermetingen verricht in :.
• 1942 l8-25maart
+ 1943 l6-20januari
o 1948 6-12 januari
*I952
OI952
25-29 „
22-25 januari
IS januari
23-25 december
9.00t_
De afvoeren beneden
lOOOmVsec hebben
betrekking op de ongestuwde rivier.
_6.5Q
+
rivierbodem op NAP
6.00±
5.SO+
.6.00 +
_550
+
5.O0C?
.500+
4.6 O*
4.60+
3500
- 57 -
gecorrigeerde standen opgegeven. Dit zijn standen, die destijds zijn berekend voor het geval, dat geen
dijkdoorbraken zouden hebben plaatsgevonden.
De voor een afvoer van 3500 m3/sec bij de huidige toestand afgeleiden standen liggen lager dan die,
welke in 1926 bij een afvoer van 3000 m3/sec optraden.
Ook voor een afvoer van 3800 m3/sec liggen de standen in het algemeen lager dan de standen van
1926. Voor de stations Ravenstein, Megen, Oijen en Lith zijn ze nagenoeg gelijk. Men dient hierbij te
bedenken dat in de gecorrigeerde standen de invloed van de Beerse overlaat nog verdisconteerd is.
Voor de toestand met gesloten Beerse overlaat zou men hogere standen gevonden hebben.
De oorzaak van het feit, dat de waterstanden thans minder hoog oplopen dan vroeger ligt in de
rivierverbeteringswerken, in de daling van de rivierbodem en in de versterking van de topvervlakking.
3. De invloed van de grindgaten op de topvervlakking
De grindgaten langs de oevers van de Maas zijn gelegen tussen Maaseik (km 52.450) en Neer
(km 89. 920). Bij het meetpunt te Tegelen (km 105) werkt hun invloed dus volledig. De afvoerkromme
van Tegelen zal daarom gebruikt worden om de werking van de grindgaten aan te tonen.
De afvoer van rond 1400 m3/sec te Borgharen, waarbij de uiterwaarden beginnen te overstromen
en de grindgaten vol raken zal als uitgangspunt worden gebruikt.
De ongedempte topafvoer te Tegelen Q
(naar analogie met Q 4 voor Ravenstein/Lith) is te bepalen volgens:
T 4
Q
T4
=
Q
Borgh
+
Q
R
(92)
De waarde Q R stelt de tussen Borgharen en Tegelen op de Maas gevoerde hoeveelheid water voor
en is voor het grootste gedeelte afkomstig van de rivier de Roer, Deze vergrote Roerafvoer volgt uit
tabel VII,
Voor Q
Borgh
Q
T4
=
1400 m3/sec geeft dit:
= 1400 + 130 = 1530 m3/sec,
Aangezien te Tegelen geen peilschaal staat, die in het waarnemingsschema is opgenomen, moest
de waterstand aldaar worden bepaald door interpolatie tussen Belfeld (beneden) en Venlo.
Blijkens fig. 39 geeft een afvoer te Borgharen van 1400 m3/sec een stand van NAP + 16.10 te
Tegelen. Volgens de afvoerkromme is dan de afvoer te Tegelen:
Q
T
= 1370 m3/sec,
De demping volgt dan uit:
= 1530 - 1370 = 160 m3/sec,
Te Ravenstein is de demping, blijkens tabel VIII bij een afvoer Borgharen van 1400 m3/sec:
/I
Q,
b
= 218 m3/sec.
Men kan aantonen, dat de vervlakking van de tophoogte en van de topafvoer omgekeerd evenredig
is met het verhang I.
Voor de Maas kan men nu de volgende berekening opzetten:
- 58 -
-4
Afstand Borgharen-Linne
Linne-Tegelen
Linne-Ravenstein
= 54 km, verhang I = 4,7.10
= 35 km,
"
I = 1,0.10'
= 113 km,
"
I = 1,0.10"
4
4
De afvoerdemping tussen Borgharen en Tegelen is evenredig met de factor:
54
—4. 7
+ 35 = 12 + 35 = 47
en de afvoerdemping tussen Borgharen en Ravenstein met de factor:
—— + 113 = 12 + 113 = 125.
4.7
47
De afvoerdemping tot Tegelen zou dus slechts yjjg" of rond 38 "jo bedragen van de afvoerdemping
tot Ravenstein. Uitgaande van een demping Borgharen-Ravenstein van A Qb
m3/sec komt
men dan voor de demping Borgharen-Tegelen tot:
=
AQ
T
2
1
8
- 0,38.218 = 82 m3/sec.
Gezien de gevonden demping A Q = 160 m3/sec betekent dit, dat tussen Borgharen en Tegelen
bijzondere invloeden werken. Inderdaad is dit het geval in de vorm van de grindgaten. Tussen 1946 en
1960 is zeker 600 a 700 ha grond ontgraven en in wateroppervlak omgezet. Beneden Tegelen komen
geen grindgaten voor. De zandontgravingen bij Mook zijn ten opzichte van de grindgaten te verwaarlozen
T
De invloed van de grindgaten op de totale demping kan men globaal vinden door uit te gaan van
de demping Tegelen-Ravenstein.
Deze bedraagt 218 - 160 = 58 m3/sec.
Hieruit volgt de gewone demping Borgharen-Ravenstein volgens:
0,38
— — 5 8
0,62
v
= 35 m3/sec.
De totale demping Borgharen-Ravenstein zou dan bedragen 35 + 58 = 93 m3/sec. Aangezien voor
de werkelijke demping geldt:
Q = 218 m3/sec, betekent dit een grindgateninvloed van
218 - 93 = 125 m3/sec.
Er wordt op gewezen, dat de waarde 93 m3/sec niet zonder meer mag worden vergeleken met de
waarde 118 m3/sec uit tabel VIII voor de vroegere toestand zonder de grindgaten. De rivierbodem lag
destijds n. 1. minder diep, zodat bij een afvoer te Borgharen van 1400 m3/sec de oeverlanden reeds
aanzienlijk overstroomd waren en zodoende door hun berging.een bijdrage aan de demping leverden.
b
218
De demping is t. o. v. de vroegere toestand met een factor —gg = 2, 35 vergroot. Een versterking
van de demping tot een dergelijke orde van grootte is, door uitbreiding van de bergingscapaciteit, zeer
goed mogelijk. Dit is theoretisch te verklaren.
Beschouw een rechthoekig stroomprofiel ter breedte B. Een hoogwatergolf met een topafvoer Q ondervindt hierin over een lengte 1 een topvervlakking A Qkan aantonen, dat bij verbreding van
het profiel met een niet-stroomvoerende strook ter breedte nB de demping overgaat in ( 1+n) A Q.
Neemt men voor B = 100 m en voor nB = 50 m, d.w. z. n = 0, 5 dan is de vergroting van de
demping (1, 5) = 2, 25. Voor een rivierlengte van 150 km is de oppervlakte van'de bergende strook
150.10 x 50 = 750.10 m2 = 750 ha.
Deze getallen liggen alle in dezelfde orde van grootte als de overeenkomstige cijfers op de Maas.
M
e
n
2
z
s
4
Zonder te veel op de numerieke grootte van bovengenoemde dempingswaarden te letten kan gesteld worden, dat een uitbreiding van de bergingscapaciteit in de orde van grootte van de grindgaten
van grote invloed is op de topvervlakking.
Er wordt op gewezen, dat de uitkomsten van de bewerking van het waarnemingsmateriaal de ge-
- 59 -
middelde toestand over de jaren 1941-1960 geven. Een momentopname van 1960 zal waarschijnlijk
grotere dempingen te zien geven, terwijl deze bij verdere ontgravingen verder zullen toenemen.
De invloed van de grindgaten is het grootste bij die afvoergolven, waarbij het zomerbed vol is,
d. w. z. omstreeks 1300 a 1400 m3/sec, Voor hogere afvoergolven neemt de invloed af met de topafvoer
en wordt tenslotte overheerst door de invloed van de berging in de uiterwaarden en oeverlanden.
- 60 -
VII
SAMENVATTING EN NABESCHOUWING
In dit rapport werd verslag uitgebracht over een onderzoek naar:
1) de afvoerfrequenties op de rivier de Maas, respectievelijk te Borgharen en te Lith;
2) de waterstanden op de Maas bij hoge afvoeren.
Het resultaat van punt 1) is gegeven in de frequentiegrafieken van de figuren 32 t/m 35, Hieruit
blijkt o, a, dat met een frequentie van gemiddeld 3.10" top per jaar ongeveer de volgende afvoerwaarden worden overschreden:
4
te
te
te
te
Borgharen
Borgharen
Lith
Lith
(zomer
(alleen
(zomer
(alleen
+ winter)
zomer
)
+ winter)
zomer
,)
3800 m3/sec (gem.
1900
"
( "
3300
"
( "
1800
"
( "
2 dagen
1 dag
4,5 dag
1,5 dag
per top)
"
")
"
")
"
")
Als resultaat van 2) volgden de in fig, 39 vermelde waterstanden, respectievelijk gegeven voor
afvoeren, met een overschrijdingsfrequentie van 1. I O " respectievelijk 3 . 1 0 ' . Deze standen liggen
in het algemeen lager dan de topstanden in januari 1926, ondanks het feit, dat de afvoer 1926 kleiner
was dan de met genoemde frequenties voorkomende afvoeren, Ook voor de grotere frequenties zijn de
waterstanden in het benedengebied gedaald.
Deze daling wordt toegeschreven aan:
1) de verlaging van de rivierbodem en de rivierverbeteringswerken;
2) de versterking van de topvervlakking door de grindgaten nabij en boven Roermond .
3
4
De invloed van de grindgaten is zeer belangrijk, temeer, daar de verlaging van de rivierbodem
juist een verzwakkende invloed op de demping heeft.
DeoeVerlanden overstromen n. 1. tegenwoordig pas bij grotere afvoeren dan vroeger, waardoor het
bergend vermogen hiervan eerst bij grotere afvoeren van invloed wordt.
De invloed van de grindgaten kan worden aangetoond door het feit dat de demping tussen Borgharen
en Tegelen, het riviergedeelte waar de grindgaten gegraven zijn, onevenredig groot is ten opzichte
van de demping tussen Tegelen en Ravenstein,
Mogelijke andere oorzaken voor de verlaging van de topafvoeren kunnen geen belangrijke invloed
hebben uitgeoefend.
Als zodanig kunnen worden genoemd:
1) de opstuwing van de rivier door de stuwen te Linne, Roermond, Belfeld, Sambeek, Grave en
Lith;
2) de bouw van stuwdammen in het bovenstroomse gebied van de Roer als "Hochwasserschutz".
Tegen 1) is aan te voeren:
a) de stuwen bevinden zich zowel boven als beneden Tegelen.
De veranderingen na 1940 zouden dus over de gehele Nederlandse Maas merkbaar moeten zijn
en niet alleen in het gedeelte boven Tegelen;
b) de versterking van de topvervlakking wordt pas goed merkbaar b i j , en neemt toe boven die afvoeren, waarbij de stuwen worden uitgenomen;
c) voor 1940 was de Maas reeds vele jaren gestuwd. In de vroegere toestand had men dus reeds afwijkingen moeten vinden en zou het verschil tussen vroeger en nu minder duidelijk zijn geweest,
Bezwaren tegen 2) zijn:
a) een grotere Roerafvoer in de oude toestand kan, blijkens tabel VIII en de daarop volgende tabel
een afvoertop op de Maas hoogstens met enkele tientallen m3/sec beihvloeden. Door vervlakking
van de golf in het Roerdal zelf zal dit effect bovendien grotendeels verloren gaan. Hiertegenover
staat een topverlaging op de Maas ten opzichte van de oude toestand, die in absolute waarde tot
130 m3/sec kan oplopen;
b) bij afvoeren op de Maas tussen 800 en 1400 m3/sec kan een "Hochwasserschutz" nog niet goed
merkbaar zijn. Het verschil tussen de toestanden van respectievelijk voor en na 1940 blijkt dan
echter al duidelijk;
- 61 -
c) bij toppen te Borgharen van omstreeks 1600 m3/sec bestaat een maximum in de verschillen tussen de afvoerbedragen in respectievelijk de oude en de nieuwe toestand, Een "Hochwasserschutz"
op de Roer echter zal bij deze lang geen extreme afvoeren nog niet aan de grens van zijn mogelijkheden zijn gekomen. Het effect zal pas bij veel hogere afvoeren goed merkbaar moeten zijn,
Geconcludeerd kan dus worden dat de verlaging
van de topafvoeren te Lith na 1940 een gevolg
is van de grindgaten.
De invloed van de grindgaten is maximaal bij de afvoeren die juist het winterbed doen overstromen.
Bij hogere afvoeren neemt de invloed af, omdat dan de door de gaten gevormde bergingsruimte gevuld
is. Dit zal vooral sterk spreken wanneer de hoogwatertop voorafgegaan werd door een of meer lagere
toppen.
Van groot belang zijn de grindgaten vooral voor de zomertoppen omdat door de versterkte topvervlakking overstroming van de uiterwaarden in het benedengebied juist in dit seizoen sterk zal verminderen. Daarom is het uit dat oogpunt van belang, althans enige van de grindgaten te handhaven.
Hierbij kan worden opgemerkt, dat ook van andere zijde belangstelling bestaat voor het instandhouden van grindgaten langs de Maas. Men denkt hierbij aan recreatieve bestemmingen en aan het
belang, dat deze gaten hebben voor de visstand op de rivier. Verwezen wordt naar de publicaties van
'T HOEN
[ l i t . 11 ] en VAN DRIMMELEN
[ l i t . 12 ~] .
Bij verdere uitbreiding van de grindgaten zal de topvervlakking uiteraard versterkt worden, Aangezien de productie van de ontgrindingen zich momenteel in sterk stijgende lijn beweegt is een zodanige
versterking dus wel te verwachten. Enige cijfers mogen dit illustreren. In 1947 bedroeg de productie
van Maasgrind 3, 2 m i l l , ton, in 1955 7, 3 m i l l , ton en in 1962 9, 3 m i l l . ton. In 1962 was er ongeveer 600 ha land in water omgezet.
Wellicht ten overvloede wordt er op gewezen, dat in het voorgaande onderzoek geen rekening is
gehouden met afvoeren afkomstig uit andere stroomgebieden dan dat van Maas. Hierbij wordt gedoeld
op een mogelijke in werking treden van de Heerenwaardense overlaat, waardoor water uit de Waal op
de Maas zou komen. Er is op gerekend dat deze voormalige overlaat zodanig is of zal worden verhoogd,
dat zelfs bij de maatgevende Rijnafvoeren van 18000 m3/sec (freq. 3.10" ) in werking treden onmogelijk is.
Tot slot nog de volgende opmerking.
Het gehele samenstel van verschijnselen, dat in dit rapport wordt behandeld is in sterke mate gebaseerd op de afvoeren te Borgharen en de frequentieverdeling hiervan. Het is gewenst deze afvoeren en
frequenties nader te analyseren uit afvoergegevens van de Maas in Belgie en van de hierop uitstromende
zijrivieren, in het bijzonder van de combinatie Ourthe-Ambleve-Vesdre.
Onderzoekingen in deze richting zijn gaande.
4
- 62 -
LITERATUUROVERZICHT
1. P.J. WEMELSFELDER,
Nota lage Maas. Rapport rijkswaterstaat, hydrometrische afdeling, 1950.
2.
De Maas van oorsprong tot uitmonding. Land en water nr. 4, 1962.
H . VANROSSUM,
3. P . J . WEMEISFELDER
The persistency of riverdischarges and groundwater
storage. International Association of Scientific Hydrology, publication no. 63, Berkeley 1963.
4. J.W. V A N DER MADE,
Onderzoek naar het verband tussen neerslag en afvoer
in de stroomgebieden van Dommel en A a . Rapport
rijkswaterstaat, directie Noord-Brabant, 1962.
5. J.W. DE ZEEUW EN
F. HELLINGA,
Neerslag en afvoer. Landbouwkundig tijdschrift . 7 0,
1958.
6. J.W. DE ZEEUW,
Het typeren van een stroomgebied met behulp van
kengetallen. Nota werkgroep 'afvloeiingsfactoren',
September 1959.
7. J . C . SCHONFELD,
Voortplanting en verzwakking van hoogwatergolven
op een rivier. De ingenieur nr. 4, 1948.
8. F . M . HENDERSON,
Flood waves in prismatic channels. Journal of the
hydraulics division ASCE, july 1963.
9. M . L . WIJVEKATE,
Verklarende statistiek. Aula-reeks nr. 39.
10.
RIJKSWATERSTAAT,
Tienjarig overzicht der waterhoogten 1941-1950,
's-Gravenhage 1954.
11. P . C . A . 'T HOEN,
Ruimtelijke ordening en recreatie in Limburg. T i j d schrift Koninklijke Nederlandse Heidemaatschappij
nr. 78, 1963.
12. D . E . V A N DRIMMELEN,
Waterverontreiniging en visserij. Water, bodem,
lucht nr. 4, 1963.
INHOUD
biz,
I
II
III
IV
V
VI
VII
Inleiding
1
Herkomst en bewerking van het waarnemingsmateriaal
1. Beschikbaar materiaal
2. Selectie van de toppen
3. Kenmerkende. eigenschappen van de toppen
4
4
5
De frequenties van de topafvoeren te Borgharen
1. Frequentieverdelingen
2. De rechtlijnig-exponentiele verdeling
3. Kansen op optreden van hoogwatergolven
4. De geknikte rechtlijnig-exponentiele verdeling
5. Vaststelling van het verloop van de frequentielijnen door gebruikmaking
van de gemiddelde overschrijdingshoogten
6. Afleiding frequentielijn Borgharen
7. Frequenties van de topafvoeren in de zomer
8. Onderzoek naar mogelijke veranderingen in het universum van de topafvoeren
19
23
23
24
De frequenties van de topafvoeren te Lith
1. De veranderingen in de betrekking tussen de topafvoeren van Borgharen en Lith
2. Onderzoek naar de opbouw van de betrekking Borgharen-Lith
3. Invloed van de zijrivieren Roer en Niers
4. Invloed van de golfdemping
5. Afleiding frequentiekromme Lith
6. Frequenties van de topafvoeren in de zomer
26
26
27
29
32
33
De overschrijdingsfrequenties van de dagelijkse afvoeren
1. Bewerkingsmethode; extrapolatie vanuit het bekende gebied
2. Het geschematiseerde topmodel
3. Geval, dat de afvoertoppen rechtlijnig-exponentieel zijn verdeeld
4„ De afvoertoppen zijn geknikt rechtlijnig-exponentieel verdeeld
5. Gebruik in de praktijk
6. Toepassingen op de Maas
7„ Nabeschouwing over de frequentiefiguren van de Maas
35
35
37
41
44
45
52
Waterstanden op de Maas
1. Afvoerkrommen van Borgharen , Tegelen en Ravenstein
2. Waterstanden bij andere stations langs de Maas
3. De invloed van de grindgaten op de topvervlakking
54
56
57
Samenvatting en nabeschouwing
60
9
11
15
16
62
VIII
Literatuuroverzicht

Fantastic body for women WARMING UP

172003 (4.61MB)

Evaluatieverslag - Zorgtrajecten Aalst

Resultaten Slag Om Gent 2014

Gebruikershandleiding Fermax Loft compact Ref. 3753 ASR

Prijslijst TV en Radio

Functional Reach Unipodaalstand Timed Chair

A%20try-out%202015.pdf;Technische lijst Dorine Wiersma - D&A try

AKR 749 IX