Experimenteel onderzoek naar biaxiale buiging
in kalkzandsteen lijmwerk kolommen
R.V. Bisschop
A-2014.64
O-2014.64
Technische Universiteit Eindhoven
Faculteit Architecture Building & Planning
Unit Structural Design
Experimenteel onderzoek naar biaxiale buiging
in kalkzandsteen lijmwerk kolommen
Afstudeerrapport
13 mei 2014
Eindhoven, Nederland
Afstudeernummer:
A-2014.64
O-2014.64
Auteur:
R.V. Bisschop
[email protected]
s051569
Afstudeercommissie:
prof.ir. D.R.W. Martens (Voorzitter)
dr.ir. A.T. Vermeltfoort
prof.dr.ir. T.A.M. Salet
Technische Universiteit Eindhoven
Faculteit Architecture Building & Planning
Unit Structural Design
Kalkzandsteen kolommen, biaxiale buiging
Afstudeerrapport
Disclaimer:
Noch de student noch de Technische Universiteit Eindhoven geven enige garantie omtrent de juistheid
van de informatie in dit verslag. Eenieder die de informatie in dit verslag wenst te gebruiken, doet dat
geheel voor eigen risico en rekening.
Neither student nor Technical University of Eindhoven give any warranty of any kind with respect to
the accuracy of the information in this report. The entire risk of using of the information in this report
shall remain with the user.
ii
Kalkzandsteen kolommen, biaxiale buiging
Afstudeerrapport
Voorwoord
Voor u ligt het resultaat van mijn afstudeeronderzoek. In mijn zoektocht naar een onderwerp voor
mijn afstuderen bij Structural design koos ik voor een experimenteel onderzoek. Mijn motivatie was
de theoretische kennis die ik heb opgedaan in de studie te koppelen aan tastbare experimentele
resultaten. Zodoende kwam ik na een oriënterend gesprek bij de leerstoel Steenconstructies terecht
en kon ik beginnen aan mijn experimentele onderzoek naar biaxiale buiging in kalkzandsteen
kolommen. Ik hoop dat deze scriptie kan bijdragen aan een beter inzicht in het gedrag van
kalkzandsteen kolommen belast met biaxiale buiging.
Ik wil mijn drie begeleiders van de Technische Universiteit Eindhoven bedanken voor hun
waardevolle inzet en feedback, Ad Vermeltfoort en Dirk Martens van de leerstoel steenconstructies
en Theo Salet van de leerstoel betonconstructies. Het afstuderen ging niet zonder slag of stoot en
hun enthousiasme en motiverende begeleidingen hebben mij gedurende dit proces enorm geholpen.
Daarnaast wil ik ook de medewerkers van het Pieter van Musschenbroek laboratorium van de
Technische Universiteit Eindhoven bedanken voor hun bijdrage bij de proeven.
Ik wens u veel leesplezier toe,
Ronald Bisschop
Eindhoven, mei 2014
iii
Kalkzandsteen kolommen, biaxiale buiging
Afstudeerrapport
iv
Kalkzandsteen kolommen, biaxiale buiging
Afstudeerrapport
Samenvatting
Kalkzandsteen kolommen in een constructie worden voornamelijk belast met een normaalkracht. Bij
het toetsen van kolommen wordt gerekend met een excentriciteit van de normaalkracht, om één of
twee assen. In het laatste geval spreken we van biaxiale buiging. In Eurocode 6 zijn voor biaxiale
buiging geen rekenregels opgenomen. Het doel van dit afstudeeronderzoek is het verkrijgen van
meer inzicht in het gedrag en de capaciteit van kalkzandsteen kolommen belast met biaxiale buiging.
In een voorstudie is onderzoek gedaan naar de bestaande rekenregels met betrekking tot biaxiale
buiging. In een doorsnedeberekening wordt met een ‘trial and error’ procedure de positie en
richting van de neutrale as gevonden. Voor rechthoekige doorsnede met een rechthoekige spanningrek relatie kan een directe oplossing gevonden worden met de rekenregels van Anselmi. Daarnaast is
de ‘Reciprocal Load Method’ van Bresler beschouwd waarmee relatief eenvoudig een schatting van
de bezwijklast kan worden gemaakt.
In experimenteel onderzoek werden kolommen van kalkzandsteen lijmwerk in de lengterichting
belast door een normaalkracht. Hiertoe is een proefopstelling ontworpen waar de normaalkracht
met een excentriciteit werd ingeleid door middel van vier vijzels. In de positie van de vijzels werd
gevarieerd en daarmee de excentriciteit van de normaalkracht. Elke kolom werd in een aantal cycli
belast en ontlast met telkens een andere excentriciteit. In de laatste cyclus werd tot breuk belast.
Meetresultaten omvatten de krachten, de uitbuiging en de rekken in de lengterichting van de kolom
voor elk tijdstip in de proef.
Het gedrag in de proef werd vergeleken met berekeningen van de M-N-κ-relaties. M-N-κ-relaties
volgen uit doorsnedeberekeningen waarvoor gebruik is gemaakt van een eenvoudige numerieke
methode in spreadsheet programma. In de vergelijking werden de in de proef gemeten rekken
gebruikt om normaalkracht en momenten te berekenen uit de beschouwde spanning-rekrelatie.
Deze werden vergeleken met de in de proef ingeleide normaalkracht en momenten. In de resultaten
zijn goede overeenkomsten verkregen tussen ingeleide en berekende krachten. Verschillen waren
over het algemeen groter bij grotere excentriciteiten en het naderen van de bezwijklast.
Tenslotte werden proefresultaten vergeleken met berekeningen van de doorsnedecapaciteit met
geïdealiseerde materiaalmodellen zoals voorgeschreven in Eurocode 6. Berekeningen met een
lineaire spanning-rek relatie resulteerden in een ondergrens van de bezwijklast. Berekeningen met
een rechthoekige spanning-rek relatie resulteerden in een bovengrens van de bezwijklast. Hier was
de afwijking was groter bij grotere excentriciteiten van de normaalkracht. De Reciprocal Load
Method geeft over het algemeen onveilige resultaten en lijkt daarom ongeschikt voor kalkzandsteen
kolommen.
De omvang van het experimenteel onderzoek was beperkt en de materiaaleigenschappen weken af
van normaal kalkzandsteenlijmwerk. Daarom wordt geadviseerd om aanvullend experimenteel
onderzoek te doen.
v
Kalkzandsteen kolommen, biaxiale buiging
Afstudeerrapport
Summary
Calcium silicate columns in a building structure are mainly loaded with axial loads. When calculating
the design load an eccentricity of the axial load is taken into account, resulting in a combination of
axial loads and bending. In the Eurocode for masonry structures no design rules have been
implemented for cases where eccentricities around the two principal axis are considered, resulting in
the combination of axial loads and biaxial bending. In this graduation project the goal was to study
the behavior and load bearing capacity of calcium silicate columns subjected to axial loads and biaxial
bending.
First the literature has been studied concerning design rules for columns subjected to axial loads and
biaxial bending. Generally a trial and error procedure is required to determine the position and angle
of the neutral axis. Design rules presented by Anselmi have shown to provide a direct solution for
designing rectangular cross section with rectangular stress-strain relations. The ‘Reciprocal Load
Method’ by Bresler is considered for it’s effectiveness in estimating an ultimate load.
In experimental research calcium silicate columns were subjected to axial loads and bending
moments. A test set-up was used where a compressive force could be applied with an eccentricity,
by using four hydraulic jacks. The eccentricity varied, by varying the position of the four jacks.
Columns were loaded and unloaded in various loading cycles, with different load eccentricities. In the
final load cycle the loads were increased until crushing of the material in compression.
Measurements included data of compression forces, horizontal displacements and longitudinal
strains for every point in time.
The behavior of the columns was compared with calculations of moment-normal force-curvature
relationships. For the calculations a simple numerical method was used in a spreadsheet program.
The measured strains in the experiments were used to calculate normal force and bending moments.
The stress-strain relation used in the calculation followed from the experiments. A good agreement
was found between the calculated forces and the forces applied in the experiments. The difference in
the results generally increased in experiments with larger eccentricities and when reaching the
ultimate loads of the columns.
Finally test results were compared to calculations of the ultimate load of the cross-section. The
simplified and idealized linear and rectangular material models were used in the calculations.
Calculations with a linear stress strain relation resulted in lower limit solutions and calculations with
rectangular stress-strain relation resulted in upper limit solutions. Calculations generally tended
more towards unsafe results when the eccentricities were larger. The Reciprocal Load Method
resulted in unsafe values for estimated ultimate loads and is considered unfit for the design of
calcium silicate columns.
The amount of experiments was limited and the material properties of the columns deviated from
what would be expected of calcium silicate structures. Therefore the advice is to generate more
results in future experimental research.
vi
Kalkzandsteen kolommen, biaxiale buiging
Afstudeerrapport
vii
Kalkzandsteen kolommen, biaxiale buiging
Afstudeerrapport
Lijst met symbolen
Symbool
Beschrijving
Normaalkracht
N;F;P
Normaalkracht
N0 ; P0
Normaalkracht bij 100% benuttingsgraad van de doorsnede
Nu
Capaciteit van de doorsnede
Nu,Lin ; Nu,RH ;
Capaciteit van de doorsnede conform een berekening met lineair,
Nu,alt
rechthoekig of alternatief materiaalgedrag
Excentriciteiten en momenten
e’
Excentriciteit van de normaalkracht
ex1 ; ey1
Eerste orde excentriciteit van de normaalkracht ten opzichte van xas en y-as
ext ; eyt
Totale excentriciteit van de normaalkracht ten opzichte van x-as en
y-as
Mx,y
Momenten om x-as en y-as
Materiaaleigenschappen, spanning en rek
εt
Rek volgend uit een verlenging Δl/l (positief)
εd
Rek volgend uit een verkorting Δl/l (negatief)
ε’
Maximale rek in drukzone volgend uit een verkorting Δl/l
σ
Spanning
σ’; f’d ; f’c
Druksterkte / maximale spanning in de drukzone
fxt
Buigtreksterkte
E
Elasticiteitsmodulus
Uitbuiging, neutrale as en kromming
ux,y
Horizontale uitbuiging aan de kolomtop in x- en y-richting
η
Kortste afstand (loodrecht) van neutrale as tot centrum van de
kolomdoorsnede
Ø
Hoek van de neutrale as ten opzichte van de x-as
γ
lengte van de drukzone, afstand van neutrale as tot de uiterste
vezel
κ;φ
Kromming/rotatie om de neutrale as in een doorsnede
κx,y ; φx,y
rotatie om de x-as en y-as
Doorsnede eigenschappen
b;t;h;l
Doorsnedeafmetingen; Breedte, dikte, hoogte, lengte
A
Oppervlakte
W
Weerstandsmoment
I
kwadratisch oppervlaktemoment
z
Afstand zwaartepunt tot uiterste vezel
In normen en rekenregels wordt gebruik gemaakt van de volgende aanduidingen
Mdx ; Mdy
Rekenwaarde van het buigend moment om de x-as en y-as (EC)
Mux ; Muy
Momentcapaciteit bij buiging om de x-as en y-as (Eurocode)
NRd
Rekenwaarde van de doorsnedecapaciteit (Eurocode)
Px ; Py ; Pbiax
Bezwijklast bij buiging om de x-as, y-as en bij biaxiale buiging (biax)
Eenheid
kN
kN
kN
kN
mm
mm
mm
kNm
mm/m
mm/m
mm/m
N/mm2
N/mm2
N/mm2
N/mm2
mm
mm
graden
mm
1/m
1/m
mm
mm
mm3
mm4
mm
kNm
kNm
kN
kN
viii
Kalkzandsteen kolommen, biaxiale buiging
Afstudeerrapport
Inhoudsopgave
Voorwoord
Samenvatting
Summary
Lijst van symbolen
1 Theorie biaxiale buiging........................................................................................................................ 3
1.1 Inleiding ..................................................................................................................................... 3
1.2 Materiaalgedrag kalkzandsteen lijmwerk ................................................................................. 3
1.3 Doorsnedecapaciteit ................................................................................................................. 5
1.4 Eenvoudige numerieke methode ............................................................................................ 10
1.5 Bezwijkvlak, methode van Anselmi ......................................................................................... 11
1.6 Vereenvoudigde rekenregels .................................................................................................. 15
1.7 Gedrag, vervormingen en M-N-κ-diagrammen ....................................................................... 17
2 Inleiding experimenteel onderzoek.................................................................................................... 20
2.1 Doel.......................................................................................................................................... 20
2.2 Significantie onderzoek ........................................................................................................... 20
2.3 Proefstukken............................................................................................................................ 20
2.4 Programma .............................................................................................................................. 20
3 Proefopstelling ................................................................................................................................... 22
3.1 Ontwerp van de proefopstelling ............................................................................................. 22
3.2 Lastblok.................................................................................................................................... 23
3.3 Overzicht meetapparatuur ...................................................................................................... 24
4 Krachtswerking in de proef ................................................................................................................ 25
4.1 Proefopstelling in vervormde stand en schematisering.......................................................... 25
4.2 Buigvorm ................................................................................................................................. 26
4.3 Moment vijzels ........................................................................................................................ 27
4.4 Moment door eigen gewicht lastblok ..................................................................................... 27
4.5 Draadeinden ............................................................................................................................ 28
5 Proefstukken en materiaaleigenschappen ......................................................................................... 30
5.1 Productie proefstukken ........................................................................................................... 30
5.2 Schaduwproeven ..................................................................................................................... 30
5.3 Positionering van het proefstuk in de proefopstelling ............................................................ 33
5.4 Voorbelasten van de proefstukken ......................................................................................... 35
1
Kalkzandsteen kolommen, biaxiale buiging
Afstudeerrapport
5.5 Samenvatting van de conclusies met betrekking tot de proefstukken ................................... 37
6 Verloop proeven met normaalkracht en buiging ............................................................................... 38
6.1 Vervormen proefstuk en proefopstelling ................................................................................ 38
6.2 Scheuren, breuk en bezwijken proefstuk ................................................................................ 39
6.3 Krachten en momenten........................................................................................................... 41
6.4 Kracht en vlak van rekken ....................................................................................................... 43
7 Verwerking van de resultaten ............................................................................................................ 45
7.1 Excentriciteiten van de normaalkracht en de neutrale as ...................................................... 45
7.2 Belastingcycli met (gelijke) excentriciteit ................................................................................ 53
7.3 Lineair gedrag en ‘scheurmomenten’ ..................................................................................... 54
7.4 Bezwijklast proeven................................................................................................................. 55
8 Vergelijking van proefresultaten met rekenmodellen ....................................................................... 58
8.1 Vergelijking van resultaten met berekeningen van de krachten uit de rekken ...................... 58
8.2 Vergelijking proefresultaten met berekeningen van de bezwijklast....................................... 63
9 Conclusies en aanbevelingen ............................................................................................................. 67
9.1 Conclusies ................................................................................................................................ 67
9.2 Aanbevelingen ......................................................................................................................... 69
Literatuurlijst ......................................................................................................................................... 71
Bijlage A – Grafieken en tabellen behorende bij de overige resultaten
Bijlage B - Controle van de krachtswerking met Scia Engineer
Bijlage C - Productie van de proefstukken
Bijlage D - Materiaalproeven
Bijlage E - Samenvatting referentie experimenteel onderzoek
Bijlage F - Voorstel voor een discrete elementen methode tbv tweede orde berekeningen
2
Kalkzandsteen kolommen, biaxiale buiging
Afstudeerrapport
1 Theorie biaxiale buiging
1.1 Inleiding
Elementen in steenconstructies worden voornamelijk belast op druk. In de berekening van de
respons van de constructie wordt in de norm (Eurocode 6) altijd gerekend met een excentriciteit van
de drukkracht, resulterend in een combinatie van druk en buiging. In de rekenregels volgens de norm
wordt uitgegaan van buiging om één hoofdas, we spreken van uniaxiale buiging. Voor de berekening
van wanden zijn deze rekenregels over het algemeen voldoende. In kolommen (breedte : dikte < 4:1)
kan een excentriciteit ten opzichte van twee hoofdassen significant zijn, we spreken van biaxiale
buiging. Voor biaxiale buiging zijn de rekenregels in Eurocode 6 ontoereikend.
In het eerste deel van dit afstudeerverslag wordt de theorie behandeld welke relevant is voor het
experimentele onderzoek van dit afstudeerproject. Dit heeft voornamelijk betrekking op het
berekenen van de doorsnedecapaciteit en respons van de constructie bij biaxiale buiging. Dit is een
samenvatting van de voorstudie. De besproken formules worden gebruikt in de analyse van
experimentele resultaten en vergelijking van experimentele resultaten met rekenmethoden.
Allereerst wordt het materiaalgedrag behandeld, voor zover dit relevant is voor de combinatie druk
en buiging. Vervolgens wordt in het kort het berekenen van de doorsnedecapaciteit met uniaxiale
buiging in rechthoekige doorsneden toegelicht om vervolgens de stap te maken naar doorsnede
berekeningen bij biaxiale buiging. Ten slotte worden nog een aantal vereenvoudigde rekenregels
behandeld.
1.2 Materiaalgedrag kalkzandsteen lijmwerk
1.2.1 Druk
Het gedrag van metselwerk onder druk is niet-lineair. In een drukproef op kalkzandsteenmetselwerk
zal ongeveer het verloop gevonden worden als in figuur 1. Hierin is ε’ de rek bij de maximale
drukspanning σ’. Na het bereiken van de maximale drukspanning reduceert de sterkte bij
toenemende vervorming. In [Hendry98] worden spanning-rek relaties van metselwerk onder druk
vergeleken met verschillende types stenen. In alle gevallen werd eenzelfde type curve gevonden
welke beschreven kan worden met een tweedegraads parabolische vergelijking [1]. De rek bij het
bereiken van de piekspanning (σ’) varieerde van 2,0 tot 3,5 mm/m.
=
2
−
[1]
Figuur 1: geïdealiseerd σ-ε-diagram kalkzandsteen
3
Kalkzandsteen kolommen, biaxiale buiging
Afstudeerrapport
1.2.2 (Buig-)treksterkte
In berekeningen van steenconstructies wordt doorgaans de treksterkte van het materiaal
verwaarloosd. De treksterkte is relatief klein, grofweg 1:10e a 1:20e van de druksterkte. Soms wordt
gerekend met een buigtreksterkte (fxt). Uitgaande van lineair elastisch materiaal gedrag, kan de
buigtreksterkte berekend door het uiterste moment te delen door het weerstandsmoment van de
doorsnede.
=
[2]
De buigtreksterkte is een fictieve materiaaleigenschap en is mede afhankelijk van de afmetingen van
de doorsnede. Breukenergie bij buiging in metselwerk is onderzocht door Pluijm [Pluijm99].
Proefstukken werden in een vierpuntsbuigproef getest, waarbij door het sturen van de verplaatsing
het gedrag na breuk (‘post-peak behaviour’) kan worden geanalyseerd. De niet-lineaire
spanningsverdeling bij bezwijken van het proefstuk is weergegeven in figuur 2. De fictieve
buigtreksterkte (ffl) is ongeveer een factor 1,5 hoger dan de treksterkte (ft) van het materiaal, deze is
afhankelijk van de doorsnedeafmetingen.
Figuur 2: spanningsverdeling over de hoogte in vierpuntsbuigproef, voor en na scheuren midden doorsnede,
overgenomen uit [Pluijm99]
1.2.3 Buigstijfheid en elasticiteitsmodulus
Voor het berekenen van de respons van de constructie wordt in de lineaire elasticiteitstheorie
gerekend met een buigstijfheid (EI). Hierin is I het traagheidsmoment (mm4) een doorsnede
eigenschap en E de elasticiteitsmodulus (N/mm2) een materiaaleigenschap. Voor de bepaling van de
elasticiteitsmodulus bestaan verschillende methoden, drie voorbeelden worden gegeven:
1) De elasticiteitsmodulus kan berekend worden uit de hellingshoek van de raaklijn in een spanningsrek diagram (E=σ/ε). Bij niet-lineair gedrag is de berekening van de elasticiteitsmodulus dan ook
afhankelijk van de plek waar de raaklijn in het spannings-rek diagram getekend wordt.
2) De elasticiteitsmodulus wordt vaak gerelateerd aan de druksterkte van het metselwerk.
Verschillende bronnen geven een verschillende wijzen, uiteenlopend van 400*σ’ tot 1000*σ’.
3) In de Eurocode wordt de elasticiteitsmodulus (secant modulus) berekend op basis van resultaten
uit drukproeven met een raaklijn op een derde van de druksterkte van het metselwerk in het σ-ε
diagram.
Door te rekenen met een elasticiteitsmodulus en buigstijfheid EI wordt geen rekening gehouden met
geringe treksterkte en scheuren in de doorsnede.
4
Kalkzandsteen kolommen, biaxiale buiging
Afstudeerrapport
1.3 Doorsnedecapaciteit
1.3.1 Vereenvoudigde materiaalmodellen (Eurocode 6)
In Eurocode 6 Art. 3.7 [EUR 6] worden naast het parabolisch materiaal gedrag (figuur 1),
geïdealiseerde materiaalmodellen voorgeschreven voor het bepalen van de capaciteit en respons van
de constructie. Een Lineair, Parabolisch-rechthoekig en Rechthoekig spanning-rek diagram is
weergegeven in figuur 3a t/m c. Een rechthoekige spanning-rek relatie wordt is gebruikelijk in
capaciteitsberekeningen vanwege de relatieve eenvoud.
Figuur 3: Spannings-rek relaties (σ-ε); a: lineair, b: parabolisch-rechthoekig, c: rechthoekig
1.3.2 Uniaxiale buiging
Een doorsnedeberekening met rechthoekige spanning-rekrelatie is relatief eenvoudig. Een voorbeeld
wordt hieronder gegeven:
Lengte van de drukzone:
= 2( − )
2
[3]
Capaciteit van de doorsnede:
= ∗ 1 − 2 ∗ [4]
Figuur 4: evenwicht bij rechthoekige spanning-rek
relatie
Bij lineair of parabolisch-rechthoekig materiaalgedrag zal onderscheid gemaakt worden tussen een
gescheurde en ongescheurde doorsnede. Formules om de capaciteit van de doorsnede berekenen bij
een excentriciteit van de normaalkracht zijn te vinden in de literatuur, bijvoorbeeld in [Martens06].
1.3.3 Interactiediagrammen
De doorsnedecapaciteit bij een combinatie van druk en buiging voor rechthoekige doorsnede is
weergegeven in interactiediagrammen in figuur 5. Normaalkracht en moment zijn omgeschreven in
dimensieloze parameters μ en ν. De drie lijnen komen overeen met de drie materiaalmodellen in
figuur 3. De resultaten met parabolisch-rechthoekig of rechthoekig spanningsfiguur liggen dicht bij
elkaar, een berekening met lineair materiaalgedrag geeft een ondergrens.
5
Kalkzandsteen kolommen, biaxiale buiging
Afstudeerrapport
Figuur 5a: ν-e/t interactiediagram, b: μ-ν interactiediagram
1.3.4 Biaxiale buiging
In een kolom kan het zijn dat excentriciteiten ten opzichte van de twee hoofdassen beschouwd
moeten worden. We spreken van biaxiale buiging. Voor een doorsnedeberekening moet de juiste
positie en hoek van de neutrale as gevonden worden. Hierbij kan de vorm van de drukzone variëren.
De neutrale as is de lijn tussen trekzone en drukzone, deze ligt niet altijd loodrecht op de richting van
de excentriciteit van de normaalkracht.
Figuur 6: voorbeelden van verschillende posities van de neutrale as en vorm van drukzone
Het volledige domein van bezwijklasten kan weergegeven worden in een driedimensionale uivormige
figuur met de momenten (Mx en My) op de horizontale assen en de normaalkracht (P) op de verticale
as (Figuur 7). Elk punt op dit vlak geeft de combinatie van krachten waarop de doorsnede bezwijkt.
Met een verticale snede (b), wordt het domein van normaalkracht en momenten gevonden bij een
richting van het buigend moment θ (tan θ = Mx/My). Een verticale snede (Figuur 7b) op één van de
momentassen komt overeen met het μ-ν diagram in figuur 5b. Met een horizontale snede ((Figuur
7c) wordt het domein van opneembare momenten gevonden bij een constante normaalkracht (P).
6
Kalkzandsteen kolommen, biaxiale buiging
Afstudeerrapport
Figuur 7a: 3D interactiefiguur, b: verticale snede en, c:horizontale snede (RC-BIAX software [Charif09]) De
kleuren staan voor ontwerpwaarden berekend met veiligheidsfactoren (blauw) en de nominale capaciteit (grijs)
De 3D-interactiefiguur is geconstrueerd met het programma RC-Biax, ontwikkeld door Charif
[Charif09]. Dit programma is opgezet voor het ontwerpen van betonkolommen. De invoer zijn de
afmetingen van de doorsnede en de druksterkte (en eventueel wapening). De krachten komen
overeen met een berekening met rechthoekig spanningsfiguur en een gereduceerde druksterkte (0,85
f’c). De maximale momentcapaciteit wordt in dit geval gevonden op precies 50% van de
normaalkracht en de momentcapaciteit is 0 bij een normaalkracht gelijk aan 0. Dit komt overeen met
een materiaal zonder treksterkte en het niet toepassen van wapening.
Het vlak in de 3D figuur wordt gegenereerd uit meridianen (lijnen vanaf de voet tot aan de top) welke
corresponderen met een vaste hoek van de neutrale as. Met een increment van 5 graden wordt voor
elke hoek van de neutrale as een interactie-curve (P-Mx-My) berekend. De meridianen zijn zichtbaar
op het 3Dinteractieoppervlak in figuur 7. Doordat de verhouding Mx en My niet altijd gelijk is voor
elke normaalkracht P in een interactiecurve zijn deze lijnen onregelmatig (niet precies verticaal).
In dit onderzoek worden de volgende symbolen gebruikt bij het beschouwen van de doorsnede bij
biaxiale buiging, weergegeven in figuur 8.
Figuur 8: drukzone, neutrale as en verdeling van de rekken
7
Kalkzandsteen kolommen, biaxiale buiging
Afstudeerrapport
Doorsnedeafmetingen
b, breedte is de grootste doorsnede afmeting (mm)
t, dikte is de kleinste doorsnede afmeting (mm)
Neutrale as en drukzone
η, positie neutrale as, is afstand tot het middelpunt van de doorsnede (mm)
Ø, hoek van de neutrale as ten opzichte van de x-as (graden)
γ, lengte van de drukzone, afstand van neutrale as tot de uiterste vezel (mm)
Excentriciteiten
ex, excentriciteit in x-richting (mm)
ey, excentriciteit in y-richting (mm)
Rekken en kromming
ε’, uiterste rek in de drukzone (‰)
εt, uiterste rek in trekzone (‰)
κ, de kromming om de neutrale as: κ = ε’ / γ
(1/m)
1.3.5 Kern van de doorsnede
In het dictaat Mechanica 2 wordt uitgelegd hoe spanningen berekend worden bij buiging om twee
hoofdassen, uitgaande van lineair elastisch materiaalgedrag:
‘Als de werklijn van belasting niet samen valt met een hoofdas (m.a.w. als momentvector niet om een
hoofdas werkt) is er sprake van scheve buiging. Voor scheve buiging moet de formule voor de
buigspanningen t.o.v. de hoofdassen worden toegepast. Voor een rechthoekige doorsnede kan dit door
een moment om te rekenen naar momenten om de hoofdassen.’ De bijbehorende spanningen kunnen
dan bepaald worden bij een lineair spanningsverloop met de volgende formule [5]:
= ±
±
[5]
In een materiaal zonder treksterkte is bovenstaande formule geldig mits belast wordt binnen de kern
van de doorsnede, de gehele doorsnede wordt dan op druk belast. Bij uniaxiale buiging geldt;
1 2
1
−
≥0 →
−
≥ 0 → ≤ /6
[6]
1 $
12
De kern van de doorsnede is de ruit tussen de hoekpunten op respectievelijk 1/6b en 1/6t vanaf de
hoofdassen, weergegeven in figuur 9.
Figuur 9: kern van de doorsnede
8
Kalkzandsteen kolommen, biaxiale buiging
Afstudeerrapport
1.3.6 Procedure van ‘trial and error’
Mits niet lineair wordt gerekend volgt een procedure van ‘trial and error’. Een rekenvoorbeeld is
uitgelegd in [Roberts01]. Hier wordt een holle rechthoekige doorsnede getoetst op een
normaalkracht met een excentriciteit ten opzichte van twee hoofdassen. Dit relatief eenvoudige
voorbeeld gaat uit van een rechthoekig spanningsfiguur. Er volgt een iteratieve procedure om de
juiste drukzone te bepalen waar het zwaartepunt van de spanningsfiguur overeenkomt met het
aangrijpingspunt van de normaalkracht. Per iteratie worden de volgende stappen gevolgd:
1) Kies een neutrale as (positie en richting)
-------|
2) Bereken het oppervlak van de drukzone en de normaalkracht
|
3) Bereken de afstand van het zwaartepunt van de drukzone tot de hoofdassen
|
4) Vergelijk gevonden excentriciteiten met de opgelegde belasting
|
Mits NIET OK: Bepaal welke richting neutrale as moet verschuiven en roteren -------|
Mits OK: Controleer of de capaciteit van de drukzone voldoende is
Voor rechthoekige doorsneden is in [Anselmi12] aangetoond dat neutrale as, drukzone en hieruit
volgende capaciteit van de doorsnede direct berekend kunnen worden uit excentriciteiten ex en ey,
mits uitgegaan wordt van een constante spanning over het oppervlak. Uitleg en formules zijn
onderwerp van paragraaf 1.5.
1.3.7 Niet-lineair materiaalgedrag
Bij niet-lineair materiaalgedrag (bijvoorbeeld parabolisch-rechthoekig materiaalgedrag) dient voor
een exacte berekening van de normaalkracht en momenten een integraalberekening worden
uitgevoerd. Daarbij kan het drukvlak worden verdeeld in een aantal lagen, waar het verloop van de
rek en de dikte van de laag uitgeschreven kan worden in een lineaire functie van y. Een voorbeeld
wordt gegeven aan de hand van figuur 10, hier geldt:
Geroteerde x-as (x’) loodrecht op de neutrale as.
Geroteerde y-as (y’) gelijk aan de neutrale as.
Figuur 10a: volume met parabool rechthoekige spanningsfiguur, b: 2D projectie van spanningsfiguur
Per laag worden normaalkracht en zwaartepunt bepaald met integraalfuncties:
9
Kalkzandsteen kolommen, biaxiale buiging
Afstudeerrapport
*+
F = ) -
[7]
=
[8]
,
*+
., x -
*
., + -
Omdat de lengtes bepaald moeten worden met meetkundige functies, per laag de formules voor en opgesteld moeten worden en een ‘trial and error’ procedure kan een dergelijke berekening veel
tijd vergen.
1.4 Eenvoudige numerieke methode
Een eenvoudiger methode dan integraalberekeningen wordt voorgesteld om normaalkracht en
excentriciteiten te berekenen. Deze is afgeleid uit een artikel [Sato08] waar deze methode wordt
voorgesteld om moment-kromming relaties te berekenen bij biaxiale buiging in betonkolommen. De
hoofdlijnen worden hier uitgelegd. Het rechthoekige oppervlak, wordt opgedeeld in een aantal
elementen met een oppervlak Ai,j. Voor de elementen worden de integratiepunten bepaald,
bijvoorbeeld in het centrum van elk element. De coördinaten xi,j en yi,j definiëren de afstand van de
integratiepunten tot de hoofdassen.
Figuur 11a: richting van buiging , b: doorsnede opgedeeld in elementen
In een eerste stap worden de rekken bepaald in de elementen, bijvoorbeeld met de volgende
formule;
0,2 = , + 4 0,2 − 4 50,2
Met: , is de rek in het centrum van de doorsnede waar: x=0 en y=0
4 ; 4 zijn de componenten van kromming 4 om respectievelijk y-as en x-as
[9]
10
Kalkzandsteen kolommen, biaxiale buiging
Afstudeerrapport
*In deze vergelijking worden de coëfficiënten ε0, ϕx en ϕy gebruikt om de rekken 0,2 uit te rekenen.
In hoofdstuk 1.7 is een ‘trial and error’ procedure beschreven waar de positie en richting van de
neutrale as worden geschat. Uit een positie (7) en richting (Ø) van de neutrale as en een maximale
rek in de drukzone (9 ) kunnen door wat meetkundig rekenwerk de coëfficiënten ε0, ϕx en ϕy
uitgerekend worden. Bijvoorbeeld aan de hand van Figuur 8:
Kromming 4 volgt uit de uiterste rek in de drukzone en afstand tot de neutrale as:
4 = /:
∗ sin(Ø) + ∗ cos(Ø)
: : =
+ 7
2
, = 7 ∗ 4
Ontbinden kromming in x en y-componenten:
4 = 4 ∗ cos(Ø)
&
4 = 4 ∗ sin(Ø)
Uit de rekken kunnen vervolgens de spanningen berekend worden, daarbij wordt aangenomen dat
deze spanning gelijk is over het oppervlak van elk element. In principe kan elk materiaalmodel
ingevoerd worden in een dergelijke berekening. Voor bijvoorbeeld parabolisch-rechthoekig
materiaalgedrag zonder treksterkte gelden de volgende formules:
0,2 = 0
[ 0,2 > 0 ]
[10]
F0,2
F0,2
[ 0 > 0,2 > I ]
[11]
0,2 = ′ ∗
G2 −
H
′
′
0,2 = ′
[ 0,2 < I ]
[12]
Uit de spanning kan per element de resulterende normaalkracht gevonden worden. De totale kracht
Nz is een sommatie van de normaalkrachten:
M
M
K = L L 0,2 0,2
2
0
M
M
[13]
De resulterende excentriciteit (e=M/N) kan bepaald worden uit de berekende momenten om de x- en
y-as:
= L L 0,2 0,2 0,2
[14]
= L L 0,2 0,2 50.2
[15]
2
M
2
0
M
0
De precisie van de uitkomst zal afhangen van het aantal elementen waarin de doorsnede is
opgedeeld. In dit geval is ook de input een verdeling van de rekken waarna uit een berekening de
normaalkracht en excentriciteiten volgen.
1.5 Bezwijkvlak, methode van Anselmi
In dit artikel [Anselmi12] worden rekenregels voorgesteld om het bezwijkdomein (yield surface) te
bepalen van een rechthoekige doorsnede onder normaalkracht en biaxiale buiging. Daarin wordt
uitgegaan van een rechthoekig spanningsfiguur en een materiaal zonder treksterkte.
Een kwart van de rechthoekige doorsnede wordt opgedeeld in vier velden. Voor elk van de vier
velden zijn niet-lineaire functies gedefinieerd die neutrale as en oppervlakte van de drukzone
11
Kalkzandsteen kolommen, biaxiale buiging
Afstudeerrapport
berekenen, als de normaalkracht aangrijpt op een punt in dat veld met afstand ex1 en ex2 vanaf de
hoofdassen. (x1 en x2 zijn respectievelijk de x-as en de y-as)
Ligt de neutrale as precies op de diagonaal (lijn BD), dan volgt een driehoekige drukzone binnen
punten ABD. Het zwaartepunt van de (driehoekige) drukzone, met hoogte h en breedte b ligt, vanaf
de randen op h/3 en b/3 in punt K (Figuur 12).
Roteert de neutrale as om punt D met de klok mee, dan snijdt deze lijn AB. Een driehoekige drukzone
wordt gevonden worden met hoogte h en variërende breedte (b > b1 > 0). Het zwaartepunt van de
drukzone volgt de horizontale lijn, vanaf K tot K’ op afstand h/3 en b1/3 vanaf de randen.
Na roteren van de neutrale as om punt D tegen de klok in, waarbij deze lijn BC snijdt, zal het
zwaartepunt de kromme K tot het middelpunt G volgen.
Figuur 12: neutrale as (k, k1 en k2) bij rotatie om punt D en bijbehorende lijn met zwaartepunten (K, K1 en K2)
(overgenomen uit [Anselmi12])
Op analoge wijze worden grenzen gevonden door te roteren om punt B. De vier velden zijn
weergegeven in Figuur 13. Vanwege symmetrie om twee hoofdassen is de afleiding gelijk voor elk
van de vier kwarten.
Valt het zwaartepunt van de drukzone in veld één, dan hoort daarbij de driehoekige drukzone AB1H4.
Bij veld twee en drie horen respectievelijk de trapezoïde drukzones ABH4H2 en ADB3B1 en bij veld vier
een vijfhoekige drukzone ABH2B3D. Voor elk veld zijn vergelijkingen opgesteld die de relatie tussen de
coördinaten van het zwaartepunt van de drukzone, de neutrale as en de omvang van de drukzone
beschrijven.
12
Kalkzandsteen kolommen, biaxiale buiging
Afstudeerrapport
Figuur 13: 4 typen neutrale as, behorend bij a: veld 1, b: veld 2, c: veld 3, d: veld 4 (overgenomen uit [Anselmi12])
1.5.1 Bezwijkcriterium
Vanuit de afleiding van de drukzone is per veld een bezwijkcriterium opgesteld. De krachten N, M1,
M2 kunnen gevonden worden uit excentriciteiten e1 en e2. Hierin zijn de momenten een functie van
de normaalkracht en excentriciteit; M2 = N*e1 en M1 = N *e2. De kracht No is de waarde die
overeenkomt met een volledig gedrukte zone bij de uiterste normaalspanning(σ0) No = b h σ’. De
formules zijn overgenomen uit [Anselmi01]
ℎ
ℎ
G ≤ O ≤ H ; G ≤ ≤ H
6
2
6
2
Veld1:
[16]
36O R + 18O , − 18ℎ , − 9ℎ, + 8ℎ $ = 0
Veld2:
G0 ≤ O ≤ H
6
;
U
3ℎO − 6ℎO
ℎ
≤ ≤ V
2
+ 6O
ℎ − ℎ, + 12ℎ + 2 O , = 0
Veld3:
U
3ℎ − 6
≤ O ≤ V
ℎ + 6ℎ
2
ℎ
; G0 ≤ ≤ H
6
ℎ − ℎ , + 12O + 2ℎ , = 0
Veld4:
3ℎ − 6
U0 ≤ O ≤
V
ℎ + 6ℎ
[17]
[18]
3ℎO − 6ℎO
; U0 ≤ ≤
V
+ 6O
−36O , − 18O , (, − ) + 18ℎ , (, − ) + 9ℎ, (, − )
− 8ℎ(, − )$ = 0
[19]
Alle velden grenzen in het punt K met de combinatie e1=b/6 en e2=h/6. Vergelijkingen [16] tot en met
[19] zijn in dit punt alle vier geldig waaruit volgt N=N0/2. Als de uitkomst groter is dan nul, volgt voor
de combinatie N, M1 en M2 een bezwijkgeval.
De formules zijn gebruikt om interactiediagrammen (Figuur 14) op te stellen met behulp van een
spreadsheet. Door een waarde van N in te vullen kan het domein van excentriciteiten (e1 en e2)
gevonden worden waar de doorsnede bezwijkt. Daarvoor zijn bovenstaande formules omgeschreven,
bijvoorbeeld:
Veld2: ℎ − $ ℎ + 12ℎ( ∗ O ) + 2 $ ℎ ∗ = 0 →
∗ 2 $ ℎ = − ℎ + $ ℎ − 12ℎ( ∗ O ) →
− + $ ℎ − 12 O [20]
=
2$
13
Kalkzandsteen kolommen, biaxiale buiging
Afstudeerrapport
Voor de overige drie velden volgt:
Veld1:
Veld3:
Veld4:
18 + 8 − 9ℎ
18(2 − ℎ)
−ℎ + ℎ$ − 12 O =
2ℎ$
−18 − 8 $ + 18 ℎ + 15ℎ − 6 ℎ − $ ℎ$
O =
18(2 + ℎ − ℎ )
O =
[21]
[22]
[23]
Met bovenstaande formules zijn de curven in figuur 15a en 15b opgesteld. De verhouding tussen
breedte en dikte afmetingen heeft geen invloed op de vorm van dit diagram.
Figuur 14a: Benuttingsgraad bij ex/b en ey/t, b: Benuttingsgraad* bij Mx en My
* Lijnen bij een benuttingsgraad 0,01N0 en 0,09N0 volgen hier dezelfde lijn,
hetzelfde geldt voor 0,20 en 0,80; 0,30 en 0,70; 0,40 en 0,60.
N.B. zouden de uitkomsten in figuur 14b uitgezet worden in een driedimensionale projectie (met op
de z-as 0 > N/N0 > 1,0) dan zouden deze lijnen in theorie overeenkomen met het oppervlak van de
uivormige figuur 7a.
1.5.2 Lineair omschreven oppervlak
Een voorstel wordt gedaan om een lineair domein aan bezwijkgevallen met een beperkt aantal
relatief eenvoudige formules te beschrijven. Dit domein volgt uit acht raaklijnen aan de curve op
N/N0=0,5, in Figuur 14b zijn drie van de acht raaklijnen weergegeven. Uit de acht raaklijnen worden
de formules van acht vlakken loodrecht op raaklijn en evenwijdig aan de N-as opgesteld, resulterend
in het lineair omschreven oppervlak tussen N/N0=0,25 en N/N0=0,75, figuur 15b. Tevens worden acht
vergelijkingen gegeven voor de vlakken door de oorsprong O en welke het oppervlak snijden bij
N/NO=0,25 en nog eens acht vlakken door het punt Q (N/NO=1,0) welke het oppervlak snijden bij
N/NO=0,75. De raaklijnen zijn met gestreepte lijnen weergegeven in figuur 14b.
14
Kalkzandsteen kolommen, biaxiale buiging
Afstudeerrapport
Figuur 15a: 3d projectie van domein van bezwijken, b: lineair omschreven oppervlak (overgenomen uit
[Anselmi12])
De formules die de 24 vlakken in figuur 15b beschrijven zijn:
Vlakken door de oorsprong O (0 ≤ < 0,25, ):
ℎ
±O + = 0
2
± + = 0
2
±3O + 3ℎ + 2ℎ = 0
±3O − 3ℎ + 2ℎ = 0
Vlakken parallel aan de N-as (0,25, ≤ ≤ 0,75, ):
ℎ
±O + , = 0
8
± + , = 0
8
±6O + 6ℎ + ℎ, = 0
±3O − 6ℎ + ℎ, = 0
Vlakken door de oorsprong Q (0,75, < ≤ , ):
ℎ
±O − (, − ) = 0
2
± − (, − ) = 0
2
6O ± 6ℎ + ℎ(, − ) = 0
6O ± 6ℎ − ℎ(, − ) = 0
[24]
[25]
[26]
[27]
[28]
[29]
[30]
[31]
[32]
[33]
[34]
[35]
Of de methode van het lineair omschreven oppervlak goede rekenregels oplevert is nog maar de
vraag. Met eenvoudige formules kan een schatting gedaan worden van de doorsnedecapaciteit.
Echter vormen de raaklijnen een bovengrens ten opzichte van de berekeningen met een
rechthoekige spanning-rekrelatie, de uitkomsten zijn dus onveilig!
1.6 Vereenvoudigde rekenregels
In de literatuur zijn verscheidene vereenvoudigde rekenregels te vinden om een schatting te doen
van de doorsnedecapaciteit bij biaxiale buiging. In verscheidene bronnen [Mavichak76], [Bonet04],
[Charif] wordt verwezen naar de interactieformules van Bresler, bekend als de “Reciprocal load
method” [36] en de “Load contour method”[37]. De formules geven een schatting van de
15
Kalkzandsteen kolommen, biaxiale buiging
Afstudeerrapport
doorsnedecapaciteit bij biaxiale buiging op basis van de capaciteit bij buiging om de hoofdassen. De
formules van Bresler volgen uit snedes in een ‘3D interaction surface’, figuur 16a.
Figuur 16a: 3D interactiefiguur, b: Snede in reciproke van 3D interactiefiguur, c: horizontale snede
(overgenomen uit [Drysdale94])
De Reciprocal Load Method wordt grafisch weergegeven in figuur 16b, met op de verticale as de
reciproque van de normaalkracht P. De formule geeft een benadering van de waarde Pbiax volgend uit
de reeds bekende waarden P0, Px en Py:
1
1
1
1
= + −
[36]
YZ0[ Y Y
Y,
Met: Pbiax ; Sterkte biaxiale buiging (onbekende)
P0 ; Capaciteit bij zuivere druk
Px , Py ; Capaciteit bij uniaxiale buiging met specifieke excentriciteit ex of ey
In de “Load contour method” is de uitkomst afhankelijk van gekozen exponenten, deze formule is
ook te terug te zien in de Europese rekenregels voor betonconstructies [Eurocode 2 art. 5.8.9.]:
\
\
[37]
G
H +U
V ≤1
9
9
Met: , ; Moment van ontwerpbelasting om respectievelijk x-as en y-as
9 , 9 ; Uiterste momenten om respectievelijk x-as en y-as
: ; Exponent, welke in meeste gevallen afhankelijk is van de benuttingsgraad, bijvoorbeeld
voor rechthoekige doorsneden worden in Eurocode 2 de volgende waarden gegeven:
N/NRd
<0,1 0,7
1,0
1,0
1,5
2
:
Drysdale [Drysdale94] behandelt biaxiale buiging in kolommen van (gewapend) metselwerk en stelt
dat de Reciprocal Load Method [36] betrouwbaar is bij een benuttingsgraad hoger dan 10% (N/N0 >
0,1). In de overige gevallen kan beter de “Load Contour Method” gebruikt worden, die wordt hier als
volgt geschreven:
\
YZ0[ ∗ YZ0[ ∗ \
G
H +U
V ≤1
9
9
[38]
Voor het bepalen van de maximale normaalkracht bij dubbele excentriciteit volgt een iteratieve
procedure. Omdat de uiterste momenten 9 en 9 volgen uit de nog te bepalen uiterste
normaalkracht YZ0[ zal eerst een schatting gedaan moeten worden. (Bijvoorbeeld met vgl. [36]). Uit
16
Kalkzandsteen kolommen, biaxiale buiging
Afstudeerrapport
vergelijking [38] volgt of deze waarde veilig of onveilig is, waarna een nieuwe waarde voor YZ0[
geschat kan worden tot de uitkomst 1,0 nadert.
1.7 Gedrag, vervormingen en M-N-κ-diagrammen
Het fysisch niet-lineaire gedrag van metselwerk is afhankelijk van de normaalkracht die in de
doorsnede aanwezig is. Voor het toetsen van een constructiedeel, rekening houdend met tweede
orde effecten is de normaalkracht constant. Voor het berekenen van de respons en tweede orde
effecten wordt gebruik gemaakt M-N-κ diagrammen. Hierin wordt het moment uitgezet tegen de
kromming in overeenstemming met de beschouwde normaalkracht.
1.7.1 Nadelig effect van biaxiale buiging
In een lineair-elastische berekeningen kan biaxiale buiging benaderd worden door de momenten om
de hoofdassen apart te beschouwen. Echter, zoals hier in een voorbeeld zal worden aangetoond,
geeft dit (in theorie) bij niet-lineair materiaalgedrag en in een gescheurde doorsnede een onveilige
benadering. Het effect van het buigend moment om beide hoofdassen heeft invloed op de uitbuiging
in de twee richtingen loodrecht op deze hoofdassen, met andere woorden; Stel een doorsnede wordt
belast met een moment om de zwakke hoofdas. Vervolgens wordt een momentbelasting om de sterke
hoofdas toegevoegd, dan zal deze door niet-lineair materiaalgedrag naast een buiging loodrecht op
de sterke hoofdas tevens een effect hebben op de buiging om de zwakke hoofdas.
1.7.2 Rotatie van de neutrale as
Bij biaxiale buiging in een rechthoekige doorsnede staat de neutrale as niet loodrecht op de richting
van het buigend moment. In een rechthoekige doorsnede zal de kolom als het ware meer de neiging
hebben om uit te buigen in de richting loodrecht op de zwakke as. De neutrale as staat niet loodrecht
op de excentriciteit. Bij toename van de excentriciteit onder een constante hoek α zal de richting
van de neutrale as roteren richting de zwakke as (horizontale as), weergegeven in figuur 17.
In een tweede orde berekening met biaxiale buiging heeft dit tot gevolg dat de buigstijfheid om de
zwakke as van de kolom maatgevend wordt. De invloed van de zwakke as in slanke rechthoekige
kolommen van gewapend hoge sterkte beton is onderzocht in [Pallarés09] op basis van
experimentele resultaten [Pallarés06].
] < ]O
Figuur 17: richting en positie neutrale as bij toenemend excentriciteit van het zwaartepunt van de belasting
17
Kalkzandsteen kolommen, biaxiale buiging
Afstudeerrapport
1.7.3 M-N-kappa diagrammen
Een methode voor het opstellen van M-N-κ relaties bij biaxiale buiging wordt gegeven in [Sato02].
Voor het opstellen van een M-N-κ diagram worden de volgende stappen gevolgd. Een doorsnede
wordt belast met een constante normaalkracht met buiging om een constante geroteerde as.
De initiële kromming κ is 0 en per interval neemt de kromming toe met Δκ. Een positie van de
neutrale as wordt geschat (richting blijft constant onder hoek Ø) en de verdeling van de rekken volgt.
Evenwicht van de normaalkracht wordt gevonden door verschuiven van de neutrale as (‘Trial and
error’). Figuur 18 toont de rekenstappen in een blokkenschema, per stap nemen de kromming en de
rekken in de uiterste vezel toe, de berekening wordt herhaald totdat de uiterste rek in de drukzone
een maximum heeft bereikt (ε = ε’)
De resulterende momenten om de x-as en y-as worden berekend en tegen de kromming uitgezet in
een diagram, een voorbeeld is gegeven in figuur 19.
Figuur 18: blokkenschema tbv bepalen M-N-κ relaties
Voorbeeld:
Hier wordt een rechthoekige doorsnede beschouwd (b x t=301 x 150mm) met buiging om een
geroteerde as (Ø=30 ̊), de druksterkte is 11,25 N/mm2 (N0=11,25 x 301 x 150 =508kN) en de
beschouwde normaalkracht is constant met 254kN (N/N0=0,50). Momenten om de x-as Mx(biax) en yas My(biax) zijn uitgezet tegen de kromming in figuur 19 conform een berekening met biaxiale buiging.
Tevens zijn de M-N-κ relaties uitgezet volgend uit een berekening met uniaxiale buiging; My(uniax) en
Mx(uniax).
18
Kalkzandsteen kolommen, biaxiale buiging
Afstudeerrapport
Mx,biax is uitgezet tegen de kromming om de x-as met: κx=κØ*cos(30). My,biax is uitgezet tegen de
kromming om de y-as met: κy=κØ*sin(30). Voor de duidelijkheid zijn de berekende waarden die
overeenkomen met gelijke kromming om de geroteerde as verbonden met stippellijnen.
Stel de vervormingen worden berekend ten gevolge van een belasting met biaxiale buiging met Mx=5
kNm, My=12 kNm.
- Uit een berekening met biaxiale buiging volgt uit een kromming om de geroteerde as (Ø=
30graden) van ongeveer 14*10-61/mm:
κx = 14*10-6 cos(30) ≈ 12*10-6 1/mm en κy = 14*10-6 sin(30) ≈ 7*10-6 1/mm.
- In het geval van een berekening van buiging om elk van de hoofdassen apart volgt:
κx ≈ 7*10-6 1/mm en κy ≈ 5*10-6 1/mm.
De berekende kromming met biaxiale buiging is een factor 1,5 groter om de zwakke (κx) as en een
factor 1,3 groter om de sterke as (κx) .
Figuur 19: Moment tegen kromming bij biaxiale buiging, vergeleken met berekening van buiging om de
hoofdassen in gescheurde doorsnede
In voorgaand voorbeeld is de kromming berekend bij biaxiale buiging. Het berekenen van de
vervormingen van een kolom is hier niet beschouwd. Bij een constant moment over de kolomhoogte
kan de vervormingslijn eenvoudig bepaald worden uit kromming. In tweede orde berekeningen wordt
het berekenen van de vervormingen lastiger door het roteren van de neutrale as. Een methode voor
het iteratief berekenen van tweede orde vervormingen in kolommen met biaxiale buiging wordt
toegelicht in bijlage F. Het tweede orde effect wordt verder niet behandeld in dit afstudeeronderzoek.
19
Kalkzandsteen kolommen, biaxiale buiging
Afstudeerrapport
2 Inleiding experimenteel onderzoek
2.1 Doel
Het doel van de proeven is het verkrijgen van experimentele data van kalkzandsteen kolommen
onder biaxiale buiging. Resultaten uit de experimenten worden gebruikt getoetst aan rekenregels
met betrekking tot:
- Bezwijklast
- Niet-lineaire kracht-vervorming relaties
Kolommen worden in een cyclus belast met constante excentriciteit van de normaalkracht. Daarbij
wordt per cyclus gevarieerd in de excentriciteit van de normaalkracht. De excentriciteit kan variëren
in de richting van de twee hoofdassen.
2.2 Significantie onderzoek
‘ Zou buiging om de hoofdassen apart beschouwd worden dan kan dit leiden tot een onderschatting
van de vervormingen. Bij biaxiale buiging worden vervormingen om beide symmetrieassen beïnvloed
door de momenten om zowel de sterke als de zwakke as.’[Kim99]
In Eurocode 6 wordt gerekend met uniaxiale buiging, voor biaxiale buiging zijn deze rekenregels
ongeschikt. In de theorie zijn rekenregels te vinden voor biaxiale buiging, verificatie van rekenregels
met experimentele resultaten voor kalkzandsteen lijmwerk ontbreekt.
2.3 Proefstukken
In totaal zijn zes rechthoekige kolommen beproefd van gelijke afmetingen. De proefstukken zijn
gemaakt van kalkzandsteen kimblokken met afmetingen 301 x 150 x 84 mm. De kolommen bestaan
uit twaalf blokken met voegen van gemiddeld 2mm dik. De hoogte is ongeveer 1030 mm.
2.4 Programma
Kolom 1 tot en met 6 worden in een laatste cyclus doorbelast tot bezwijken van de drukzone, figuur
20 geeft de posities van belasten weer. Positie 1, met een excentriciteit t/6, valt op de rand van de
kern van de doorsnede. In theorie komt dit overeen met een volledig gedrukte doorsnede. Op de
overige posities valt de normaalkracht buiten de kern.
Figuur 20: posities van de normaalkracht
Op elke kolom worden meerdere belastingcycli uitgevoerd. In de eerste cyclus wordt elk proefstuk
centrisch belast. In de volgende 2 cycli wordt de kolom belast tot 1/3e van de berekende bezwijklast,
deze resultaten worden gebruikt ter referentie aan de overige proeven. In de laatste cyclus wordt
20
Kalkzandsteen kolommen, biaxiale buiging
Afstudeerrapport
doorbelast tot bezwijken van de kolom. Een overzicht van de excentriciteit per belastingcyclus en per
proefstuk is weergegeven in tabel 1. Proefstukken 1 en 4 worden alleen belast in uniaxiale buiging
met een excentriciteit van de normaalkracht ten opzichte van de zwakke as (ey).
Tabel 1: overzicht belastingcyclus (* is bezwijkproef)
Proef
1a
1b
1c
1d*
2a
2b
2c
2d*
3a
3b
3c
3d*
4a
4b
4c
4d*
5a
5b
5c
5d
5e*
6a
6b
6c
6d*
ex/t
0
0
0
0
0
0
1/6
1/6
0
1/6
1/3
1/3
0
0
0
0
0
1/6
1/3
1/3
1/6
0
0
1/6
1/3
ey/b
0
0
1/6
1/6
0
1/6
1/6
1/6
0
1/6
1/6
1/6
0
1/6
1/3
1/3
0
1/6
1/6
1/3
1/3
0
1/3
1/3
1/3
21
Kalkzandsteen kolommen, biaxiale buiging
Afstudeerrapport
3 Proefopstelling
Krachten en momenten worden in de proeven gerelateerd aan rekken en vervormingen in het
proefstuk. Een samenvatting van de referentie experimentele onderzoeken naar biaxiale buiging in
beton [Mavichak67], [Bonet08] en [Kim99] is weergegeven in de bijlage [E]. Alle referentieproeven
simuleerden een kolom met aan twee uiteinden een scharnierende oplegging en een constante
(eerste orde) moment over de lengte van de kolom. In theorie is de rotatieweerstand in het scharnier
oneindig klein. Echter omdat krachten van enkele honderden kilownewtons door een klein oppervlak
worden geleid zal door wrijving een zekere mate van toevallige inklemming ontstaan.
3.1 Ontwerp van de proefopstelling
In de keuze van de proefopstelling is in dit onderzoek het toepassen van scharnieren vermeden door
de top vrij te laten bewegen. De onderzijde van de kolom staat op de vaste grond, de kolom wordt
geschematiseerd als eenzijdig ingeklemd. Door met meerdere vijzels te werken kunnen
normaalkracht en moment in het proefstuk gestuurd en gecontroleerd worden.
Het ontwerp van de proefopstelling is weergegeven in figuur 21. Een lastblok met vier vijzels wordt
op de kolom geplaatst en met draadstangen wordt het lastblok met de vijzels verbonden aan de
onderzijde van het frame. Zo is de kolom ingeklemd tussen lastblok en onderzijde. De vijzels trekken
aan de draadstangen, waardoor het lastblok op de kolom drukt. Bij buiging kan het lastblok met de
top van de kolom mee zijdelings verplaatsen en roteren.
Figuur 21: Ontwerp van proefopstelling
In de eerste plaats was het plan om met vier vijzels te werken op vaste posities. Door de krachten in
de vijzels gelijk op te voeren wordt een centrische drukkracht de kolom in geleid. Vervolgens kan
door geleidelijk te variëren in de vijzelkrachten, het zwaartepunt van de drukkracht verplaatst
22
Kalkzandsteen kolommen, biaxiale buiging
Afstudeerrapport
worden, terwijl de som van de krachten gelijk blijft. Zo worden de momenten vergroot bij constante
normaalkracht tot het bereiken van een bezwijkmoment.
Uit praktische overwegingen is gekozen voor een proefopstelling waar de vier vijzels op één
handpomp zijn aangesloten. De oliedruk en de krachten in de vier vijzels zijn gelijk en nemen in een
proef geleidelijk toe. De excentriciteit van de normaalkracht volgt uit de positionering de vijzels.
3.2 Lastblok
De krachten uit de vijzels worden via een lastblok de kolom ingeleid. Dit lastblok is opgebouwd uit
standaard (meccano) frame delen, zie figuur 22a. De afmetingen volgen uit praktische overwegingen,
waarbij gevarieerd kan worden in de positie van de vijzels. Platen zijn toegevoegd waar nodig voor
voldoende stijfheid en sterkte van de flenzen en van het geheel.
a
Figuur 22a: ontwerp lastblok, 3b: positionering vijzels
b
De punten A t/m D (figuur 22b) zijn de posities waar de vijzels drukken met een kracht F. Het
zwaartepunt ten opzichte van de hoofdassen volgt uit een berekening:
∑ 0 ∗ 0; 0
/ =
∑ 0
met zx/y de afstand tot de x-as of de y-as
[39]
Zouden vier vijzels met gelijke normaalkracht drukken op de punten ABCD dan ligt het zwaartepunt
precies in het midden. Door vijzels op posities A en B te verplaatsen naar de in figuur 22b
aangegeven posities worden alle combinaties gevonden met excentriciteiten gelijk aan ex is 0 ; t/6 ;
t/3 en ey is 0 ; b/6 ; b/3 (zie figuur 20). Bijvoorbeeld in figuur 22a zijn vier vijzels geplaatst op de
punten A’’BCD. Bij gelijke krachten in de vier vijzels volgt een excentriciteit ten opzichte van de
hoofdassen:
2 ∗ 300 − ∗ 300 − ∗ 400
[40]
=
= −25``
4
2 ∗ 300 − ∗ 300 − ∗ 100
[41]
=
= 50 ``
4
23
Kalkzandsteen kolommen, biaxiale buiging
Afstudeerrapport
3.3 Overzicht meetapparatuur
Een overzicht van de meetapparatuur is weergegeven in figuur 23:
- De vier krachten worden gemeten met krachtmeetdozen tussen de draadeinden.
- De verplaatsing in x- en y-richting onder, midden en bovenin de kolom wordt gemeten met
mitutuyo’s
- De verlening in de kolom wordt gemeten op het midden van de zijvlakken met twaalf LVDT’s
Figuur 23: overzicht kolom in proefopstelling met meetapparatuur, 4a: zijaanzicht, 4b: vooraanzicht
Figuur 24: locaties LVDT’s ten opzichte van kolomdoorsnede
24
Kalkzandsteen kolommen, biaxiale buiging
Afstudeerrapport
4 Krachtswerking in de proef
4.1 Proefopstelling in vervormde stand en schematisering
De proefopstelling in beginstand en in vervormde stand is weergegeven in figuur 25. Het lastblok
verplaatst en roteert met de top van de kolom mee. In de beginstand volgt het moment uit de
posities van de vier vijzels. Voor het bepalen van de krachtswerking in vervormde stand volgt een
herberekening van de momenten.
Figuur 25: zijaanzicht van de proefopstelling, 6a: beginstand, 6b: vervormde stand
Een mechanica schema van het systeem is weergegeven in figuur 26. In de berekening worden een
aantal vereenvoudigde aannamen gedaan:
- De kolom is ingeklemd aan de voet, de hoekverdraaiing is hier nul.
- De kromming is constant over de hoogte, de buigvorm komt overeen met een cirkelboog
- Het lastblok is oneindig stijf
- De draadeinden zijn onder en boven ingeklemd in het lastblok
- De invloed van de hoekverdraaiing 4 (<3 graden) op de excentriciteit (e1 en e2) wordt
verwaarloosd; O ≈ O /cos(4) en ≈ /cos(4).
25
Kalkzandsteen kolommen, biaxiale buiging
Afstudeerrapport
Figuur 26a: schematisering, b: vereenvoudigd schema beginstand, c: vervormde stand
Het totale moment (Mtotaal) in de kolom wordt berekend om de twee hoofdassen en is de som van;
- Het moment volgend uit de druklijn van de vijzelkrachten (Mvijzels)
- Een bijkomend moment ten gevolge van de positie van het lastblok (Mlastblok)
- Een deel van het moment dat wordt opgenomen door de vier draadeinden (Mdraadeind)
R[[I = b02KcId + I[dZIRe − f[[c0M
[42]
De formules voor het berekenen van de momenten worden in de volgende paragrafen toegelicht. De
momenten en excentriciteit van de normaalkracht worden berekend om de twee hoofdassen:
R[[I,
R[[I,
[43]
=
; =
R[[I
R[[I
Een controle van de berekeningen is uitgevoerd aan de hand van een model in Scia Engineer
uitgaande van genoemde randvoorwaarden, zie bijlage B.
4.2 Buigvorm
Uitgaande van een constant moment en kromming over de kolomhoogte kan de buigvorm
beschreven worden met een cirkelboog. Verplaatsingen in de kolom worden gemeten aan de voet
(UA = Mitu_0) op 500mm (UB = Mitu_2) en 1000mm (UC = Mitu_4) vanaf onderzijde kolom. Door de
drie punten A, B en C in figuur 26c, kan een boog geconstrueerd worden. De straal wordt als volgt
berekend:
hO h h$
g=
[44]
i(hO + h + h$ )(hO + h − h$ )(hO + h$ − h )(h + h$ − hO )
26
Kalkzandsteen kolommen, biaxiale buiging
Afstudeerrapport
Hierin is L1 de afstand tussen punt A en B, L2 is de afstand tussen punt B en C en L3 is de afstand
tussen punt A en C in figuur 26c. De afstanden tussen de punten kunnen berekend worden met de
formule van Pythagoras.
hO = i(n − o ) + (n − o )
h = i(o − p ) + (o − p )
[45]
[46]
[47]
h$ = i(p − n ) + (p − n )
Met xi de gemeten verplaatsing in x-richting en zi de hoogte van het meetpunt, met i = A, B,
C.
De kromming is omgekeerd evenredig aan de straal
[48]
q = 1/g
Uit de kromming volgt de hoekverdraaiing 4 aan de top van de kolom
[49]
r = q ∗ heRIRs
De bijkomende verplaatsing ten opzichte van de kolomtop:
tRu = tp + r ∗ 300
[50]
tp is de verplaatsing gemeten in C, figuur 26c
4.3 Moment vijzels
Het moment volgend uit de vijzelkrachten, volgt uit de positionering van de vijzels op het lastblok,
zoals besproken in het ontwerp (hoofdstuk 2.2). Daarbij moet in het midden van de kolomhoogte
nog rekening gehouden worden met een bijkomende excentriciteit ( ) in vervormde stand. Het
moment wordt berekend als volgt:
b02KcId = L[0 ∗ (O,0 + )]
[51]
Fi is de kracht in vijzel [i = A; B; C; D]
0,O is de afstand van de vijzel tot de hoofdas
de bijkomende excentriciteit in vervormde stand
De bijkomende excentriciteit ( ) halverwege de kolomhoogte volgt uit de verplaatsing van de
druklijn van de normaalkracht ten opzichte van de kolomas. De druklijn van de vijzelkrachten wordt
aangenomen een rechte lijn te zijn tussen de knooppunten van de draadeinden. Dat is waar deze
verbonden zijn met het lastblok en het frame, op 300mm ten opzichte van boven en onderzijde van
de kolom. Uit een grafische analyse (figuur 26c) volgt:
tRu
[52]
=
− to
2
4.4 Moment door eigen gewicht lastblok
Door het niet te verwaarlozen eigen gewicht van het lastblok wordt, naast de normaalkracht uit de
vier vijzels, gerekend met een extra verticale last. Uit symmetrie van het lastblok volgt dat de werklijn
van deze kracht overeenkomt met de kolomas. Na vervormen van de kolom werkt deze kracht
excentrisch ten opzichte van de kolomas.
27
Kalkzandsteen kolommen, biaxiale buiging
Afstudeerrapport
Figuur 27: normaalkrachten van vier vijzels en eigen gewicht lastblok
Om de excentriciteit van het lastblok en het hieruit bijkomende moment in het midden van de kolom
te bepalen wordt de hoogte van het zwaartepunt van het lastblok berekend, zie tabel 2.
Tabel 2, bepaling massa en zwaartepunt lastblok inclusief vijzels en draadeinden
L
B
t
z
Volume
Massa
3
≈
(mm)
(mm) (mm) (mm)
(mm )
(kg)
1,44E+07
H-profiel Flenzen
2x300+900
300
2x20
480
109,4
2 Kokers
4 Hoeken
Lijf
Flenzen
Lijven
Lijf
Flens
Flens/
900
2x300
2x300
4x300
4x300
280
4x300
700
480 5,40E+06
180 7,20E+06
180 6,24E+06
320 6,72E+06
320 7,20E+06
227 3,14E+06
355 9,00E+06
15 6,30E+06
365
4x 2000
A=327
-500 2,61E+06
Zwaartepunt lastblok op: 284,74 mm
Vijzelplaten
Koppelplaat
Vijzels HHJ20 (8,6kg)
Draadeinden
Totalen
≈
300
20
300
2x20
260
2x20
280
20
300
20
280 4x20/2
150
50
300
30
41,0
54,7
47,4
51,1
54,7
23,8
68,4
47,9
34,4
19,9
552,8
Massa * z
(kg*mm)
52.531,2
19.699,2
9.849,6
8.536,3
16.343,0
17.510,4
5.402,3
24.282,0
718,2
12.556,0
-9.936,3
144.359,2
Berekening is op basis van aannamen tbv het bepalen van het zwaartepunt. Na wegen bleek de
massa van het lastblok 590 kg te zijn. Het moment wordt als volgt berekend uit de normaalkracht en
de horizontale afstand tot het midden van de kolom:
I[dZIRe = I[dZIRe ∗ I[dZIRe
[53]
met: I[dZIRe = tp + r ∗ 285 − to
[54]
met: to en tp zijn de gemeten waarden, figuur 26c
4.5 Draadeinden
De draadeinden worden aangenomen te zijn ingeklemd aan de twee uiteinden. In vervormde stand
zullen deze draadeinden door uitbuiging een deel van het moment opnemen. Het moment volgt uit
de buigstijfheid van de draadeinden. Dit wordt als volgt berekend:
f[[c0M =
9 vw
xy
[55]
Met:
L = 1000 + 2*300 = 1600 mm (lengte draadeinden)
28
Kalkzandsteen kolommen, biaxiale buiging
Afstudeerrapport
E = 2,0E+5 N/mm2
I = πD4/64 = π*20,44/64 = 8.497 mm4 (per draadeind)
u is de verplaatsing aan de top (utop)
Om een indicatie te geven van de orde van grootte van de invloed door de draadeinden ten opzichte
van de kolom is met een handberekening de verhouding van de momenten berekend bij buiging om
de zwakke as, uitgaande van Ekalkzandstn =2.600 N/mm2.
EIkolom=2.600*301*1503/12 = 2,2E+11 mm2
EIdraadeind = 4*8.497*200.000= 6,8E+09 mm2
EIkolom : EIdraadeind = 0,031 3,1%
De vervorming van de draadeinden en van de kolom zijn weergegeven in figuur 28. De verhouding
tussen moment opgenomen door kolom en draadeinden is als volgt:
Stel utop≈ 1,5 uC Mdraadeind : Mkolom =
∗O,z∗ {,|}~, ∗O,,∗ ,}~OO
O.{,,y
:
O.,,,y
= 0,018 : 1 1,8%
Figuur 28: buigvorm kolom en draadeinden
Het moment door eigen gewicht van het lastblok is het grootst aan de voet van de kolom, het
moment ten gevolge van de druklijn van de vijzelkrachten is het grootst in het midden van de kolom.
Het grootste resulterende moment wordt gevonden net onder het midden van de kolom.
29
Kalkzandsteen kolommen, biaxiale buiging
Afstudeerrapport
5 Proefstukken en materiaaleigenschappen
De kolommen bestaan uit twaalf blokken met afmetingen 301x150x84 mm3 en daartussen voegen
van gemiddeld 2mm dikte. De blokken zijn standaard kimblokken van Silka (CS20) en de gebruikte
mortel is Silkafix zomermortel. In de productie van de proefstukken en in de materiaaleigenschappen
bleek niet alles overeen te komen met de verwachting. De bevindingen in dit hoofdstuk zijn dan ook
zeer belangrijk voor de analyses en conclusies van dit onderzoek.
5.1 Productie proefstukken
De proefstukken werden vervaardigd op een stalen balk tegen een achterwand, figuur 29. Aan de
plaat zijn stijlen bevestigd waar de hoogtes van de lagen op zijn afgetekend. Ronde staafjes met 4mm
diameter dienen als afstandhouder tussen proefstuk en achterwand, zodat overtollige mortel weg
kan vloeien. Balk, achterwand en verticale latten zijn waterpas gesteld. De eerste zes lagen van elke
kolom zijn op dag 1 vervaardigd, de volgende ochtend de overige zes lagen.
De belangrijkste eis was volledig (druk)contact tussen de blokken, met andere woorden dat de
voegen vol en zat waren. Ten tweede moest scheefstand zoveel mogelijk voorkomen worden.
De eerste serie proefstukken bleek niet aan de eisen te voldoen, na uitharden waren kieren in de
voegen zichtbaar. Deze eerste serie werd afgekeurd waarna er een nieuwe serie is gemaakt. Een
aantal van de afgekeurde kolommen zijn gebruikt in (test)proeven om de werking van de
proefopstelling te testen. Wat er mis ging in de productie en hoe hier in de productiewijze van de
tweede serie kolommen mee is omgegaan wordt besproken in bijlage C.
Figuur 29: frame waarop de kolommen zijn vervaardigd
5.2 Schaduwproeven
Tegelijk met de kolommen werd een aantal schaduwproefstukken vervaardigd uit dezelfde serie
blokken en uit dezelfde kuip lijmmortel. Een overzicht van alle schaduwproeven met beschrijving en
resultaten is weergegeven in bijlage D.
30
Kalkzandsteen kolommen, biaxiale buiging
Afstudeerrapport
5.2.1 Lijmmortel
In totaal zijn er negen mortelbalkjes vervaardigd en beproefd. In dit onderzoek is gebruik gemaakt
van een oudere lijmmortel. Proeven op mortelbalkjes toonden aan dat de druksterkte voldeed aan
de verwachtingen met 12,41 N/mm2. De buigtreksterkte van de mortelbalkjes was relatief laag met
2 ,34 N/mm2. (In bijlage D is een tabel opgenomen met een vergelijking van de resultaten met
eerdere mortelproeven op dezelfde mortel). Om deze mortel met beperkte hechting alsnog te
gebruiken was een bewuste keuze. In berekeningen van steenconstructies wordt in de regel
gerekend met een (buig)treksterkte van nul.
5.2.2 Kalkzandsteen blokken
De gebruikte blokken zijn standaard kalkzandsteen kimblokken. In drukproeven werd de verticale
verplaatsing van de vijzel gestuurd. De druksterkte kwam uit op gemiddeld 23 N/mm2 per blok.
In figuur 30 is de verticale verplaatsing van de drukplaat uitgezet tegen de normaalkracht. Uit een
berekening volgt een gemiddelde elasticiteitsmodulus van de blokken van ongeveer E≈4.900 N/mm2.
Figuur 30: kracht uitgezet tegen de verticale verplaatsing drukplaat
5.2.3 Lijmwerk
Drukproeven zijn uitgevoerd op twee kolommen van vijf blokken hoog in een drukbank, zie figuur 31.
Hieruit volgde een gemiddelde druksterkte van het lijmwerk van 17,5N/mm2.
5 Blokken:
Silka Kimblokken CS20 (LxBxH)
301 x 150 x 84 mm
Mortel:
Silkafix zomermortel Xella Nederland
Voegdikte 3 mm
Figuur 31: proefopstelling drukproeven
31
Kalkzandsteen kolommen, biaxiale buiging
Afstudeerrapport
Opmerkelijk is de spanning-rek relatie van het materiaal, weergegeven in figuur 32. Aan het begin
van de drukproef is een niet-lineair traject waargenomen. Vanaf een spanning van ± 4 N/mm2 volgt
een lineair traject tot aan ±15 N/mm2. De rek in de drukzone bij het bereiken van de piekkracht is
gemiddeld 8,2 ‰. De elasticiteitsmodulus is berekend uit het verschil in spanningen en rekken in het
(lineaire) gebied tussen 15 N/mm2 en 5 N/mm2. De gemiddelde elasticiteitsmodulus in het lineaire
gebied is 2090 N/mm2. Dit is erg laag vergeleken met de verwachting.
Figuur 32: spanning-rekrelaties uit drukproeven en vergelijking met verwachtte uitkomst
Theorie [EC6-art. 5.3], stelt dat de respons van een constructie bepaald mag worden met een
parabolisch-rechthoekige spanning-rekrelatie. Een piekspanning wordt bereikt bij een rek van ε=2,0‰
en het materiaal bezwijkt bij een rek van ε=3,5‰. Dit theoretische materiaalmodel is in dit geval veel
te stijf en zou onveilige uitkomsten geven.
5.2.4 Verklaring eigenschappen blokken en lijmwerk
Spanning-rek relaties van blokken en lijmwerk zijn uitgezet in figuur 33. In het eerste geval volgt de
rek uit de gemeten verticale verplaatsing van de drukplaat. In het tweede geval volgt de rek uit de
direct op het proefstuk gemeten verkorting met LVDT’s. De manier van meten heeft invloed op de
vorm van het spanning-rek diagram. Bij het meten van de verplaatsing van de drukplaat is de relatief
hoge verplaatsing in het begin van een drukproef het gevolg van het dichtdrukken van kieren
in/tussen het proefstuk en de drukbank. Uit de twee raaklijnen volgt dat de blokken een ruim
tweemaal hogere elasticiteitsmodulus hebben dan het lijmwerk. De oorzaak van de lage
elasticiteitsmodulus en de knik in het spanning-rek diagram zit dan ook in de eigenschappen van de
lijmmortel.
Zoals aangegeven was de buigtreksterkte van de mortel relatief laag, een lage buigtreksterkte zou
naar verwachting geen problemen geven voor de proefresultaten. Dat het bijkomend afwijkende
eigenschappen van het lijmwerk onder druk tot gevolg had was niet voorzien. Uit de drukproeven op
mortelbalkjes werden ‘normale’ druksterkte gemeten (5.2.1).
32
Kalkzandsteen kolommen, biaxiale buiging
Afstudeerrapport
Figuur 33: vergelijking testdata drukproeven blokken met drukproeven lijmwerk
5.3 Positionering van het proefstuk in de proefopstelling
Figuur 34 toont het proefstuk na positionering in de proefopstelling. De posities van de vijzels komen
overeen met centrisch (voor)belasten van het proefstuk (posities A,B,C en D in Figuur 22b). Het
lastblok hangt met twee draadeinden aan het frame (met rood gemarkeerd in figuur 34). Door de
moeren geleidelijk ‘los’ te draaien werd het lastblok langzaam op de kolom gepositioneerd.
a
b
Figuur 34: proefstuk in proefopstelling na positioneren, a: vooraanzicht, b: zijaanzicht
Het midden van de zijvlakken werd afgetekend aan de voet en aan top van de kolom. Tevens zijn de
middenlijnen van de drukplaten boven en onder afgetekend. Bij het positioneren van de kolom werd
33
Kalkzandsteen kolommen, biaxiale buiging
Afstudeerrapport
de onderzijde van de kolom uitgelijnd met de proefopstelling, figuur 35a. Het lastblok werd uitgelijnd
met de top van de kolom, figuur 35b. (N.B. het lastblok is dus niet uitgelijnd met het frame maar met
de kolomtop)
a
b
Figuur 35a: uitlijnen kolom op drukplaat onderzijde, b: kolom en drukplaat bovenzijde
Na positionering werd de meetapparatuur ingesteld. Proefstukken zijn nooit perfect recht en er moet
rekening gehouden worden met een initiële excentriciteit door scheefstand en imperfecties. Na
positionering is de horizontale scheefstand aan de top ten opzichte van de basis van de kolom
gemeten. Deze meting geeft echter onvoldoende informatie over de vorm (kromming) van de kolom.
Bij scheefstand van de kolom kan de druklijn nog altijd overeenkomen met de hartlijn van de kolom,
zie figuur 36a. In een kromme kolom neemt de afstand van de druklijn tot de hartlijn in het midden
van de kolom toe. Door centrisch voorbelasten van elk proefstuk en de uitbuiging te meten aan de
top wordt een beeld gevormd van de invloed van scheefstand en imperfecties op de excentriciteit
van de normaalkracht.
Figuur 36: excentriciteit van de druklijn, a: bij scheefstand, b: bij kromming
34
Kalkzandsteen kolommen, biaxiale buiging
Afstudeerrapport
5.4 Voorbelasten van de proefstukken
Alle proefstukken zijn in een eerste cyclus centrisch voorbelast tot een normaalkracht van 210 kN.
Door voor te belasten is de werking van proefopstelling en meetapparatuur gecheckt en kon de
elasticiteitsmodulus van elk proefstuk worden bepaald. In figuur 37a worden de resultaten gegeven
van één cyclus, de normaalkracht is uitgezet tegen de gemeten verlenging (ΔL) per LVDT. De
vervorming is niet precies gelijk over het gehele doorsnedeoppervlak, dit is het gevolg van
imperfecties in de kolom en/of de proefopstelling. De normaalkracht is omgerekend naar een
spanning en uitgezet tegen het gemiddelde van de rekken (ΔL/L) in figuur 37b. De verwachting was
dat na voorbelasten tot ongeveer 210 kN (σ=4,6 N/mm2) de kolom terug zou vervormen in
oorspronkelijke positie. Echter bleek na een geleidelijk afname van de belasting dat er een blijvende
rek in de kolom over is gebleven.
Deze blijvende vervorming is van invloed op het materiaalgedrag. In vorige paragraaf (5.2) is al
aangetoond dat de oorzaak ligt in de eigenschappen van de mortel. Vermoedelijk is de binding
tussen korrels in de mortel verbroken, waardoor dit vergelijkbaar gedrag heeft als los zand. Na een
opgelegde belasting zijn de korrels dichter op elkaar gedrukt. Bij opnieuw belasten tot een gelijke
kracht is het gedrag naar verwachting stijver. De gestreepte lijn in figuur 37b geeft dit weer.
Figuur 37a: Normaalkracht uitgezet tegen de rek per LVDT, 10b: Gemiddelde rek van de LVDT’s
In alle proeven is een vergelijkbare trend waargenomen. De spanning-rek relaties van de zes
proefstukken zijn weergegeven in Figuur 38. Deze diagrammen tonen eenzelfde niet-lineaire trend
als in het eerste traject van de schaduwproeven, de stijfheid varieert.
35
Kalkzandsteen kolommen, biaxiale buiging
Afstudeerrapport
Figuur 38: spanning-rek relaties bij voorbelasten van de proefstukken tot 200 kN
De elasticiteitsmodulus voor elk proefstuk is berekend uit het verschil in spanningen en rekken op
het interval 50kN tot 200kN (σ=1,1 tot 4,4 N/mm2) en weergegeven in tabel 3. Tevens zijn ter
vergelijking de elasticiteitsmodulus van de twee schaduwproefstukken gegeven. Hieruit blijkt dat de
kolommen een stijver materiaalgedrag hadden dan de schaduwproefstukken. De gemeten
verplaatsing aan de kolomtop bij het bereiken van een normaalkracht van 200kN is gegeven in tabel
3. Met deze verplaatsing en de elasticiteitsmodulus is de excentriciteit berekend met behulp van
formules [56] en [57]:
t=
h
`: ∗ 2F
[56]
2tF/2h [57]
Tabel 3: Elasticiteitsmodulus en uitbuiging per proefstuk
F≈50kN
σ
ε
σ
(N/mm2) (‰) (N/mm2)
Schaduw1
-4,44
-1,12 -0,12
Schaduw2
-1,12 -0,12
-4,44
Kolom 1
-1,09 -0,10
-4,44
Kolom 2
-1,11 -0,11
-4,43
Kolom 3
-1,12 -0,09
-4,43
Kolom 4
-1,11 -0,09
-4,43
Kolom 5
-1,11 -0,09
-4,44
Kolom 6
-1,12 -0,10
F≈200kN
ε
ux
(‰) (mm)
-1,13
-1,08
-0,74 -0,84
-0,76 -0,41
-0,68 -0,17
-0,58 -0,07
-0,72 -0,21
-4,44 -0,86 0,43
uy
(mm)
2,15
-0,83
-1,36
-2,35
-1,09
1,01
E(200-50)
(N/mm2
3279,83
3479,56
5187,22
5117,24
5625,25
6899,78
5287,49
4365,76
ex*
(mm)
-12,6
-6,2
-2,8
-1,2
-3,2
6,5
ey *
(mm)
8,1
-3,1
-5,7
-8,7
-4,1
3,8
* Excentriciteit bepaald op basis van uitbuiging aan de top en elasticiteitsmodulus
Zou de uitbuiging het gevolg zijn van een excentriciteit door kromming/scheefstand van het
proefstuk dan is te verwachten dat deze uitbuiging bij het opvoeren van de belasting geleidelijk zou
toenemen. De trend van de kracht-verplaatsing grafieken voldeed niet aan deze verwachting. In
figuur 39 is de normaalkracht uitgezet tegen de zijdelingse verplaatsing in het midden en aan de top
36
Kalkzandsteen kolommen, biaxiale buiging
Afstudeerrapport
ten opzichte van de voet van de kolom: In proefstuk 1 wijzigt vanaf 20 kN de richting van uitbuiging;
In proefstuk 6 is tot 110 kN de uitbuiging gering, waarna een sterke toename wordt waargenomen.
Twee mitutuyo’s op hetzelfde vlak (Mitu_3 en Mitu_5) meten hier een verplaatsing in tegengestelde
richting.
De berekende excentriciteit, zoals weergegeven in tabel 3 lijkt geen goede indicatie te geven en wordt
niet meegenomen in de analyse van resultaten. Behalve scheefstand en imperfecties kunnen de
volgende zaken tevens een invloed hebben gehad in de gemeten uitbuiging:
- Verlies van materiaalstijfheid (Figuur 37) is niet gelijkmatig verdeeld over het gehele
doorsnedeoppervlak door lokaal bezwijken van de mortel
- Door ongelijke krachten in de vier vijzels, komt de zwaartelijn van de normaalkracht niet
precies overeen met het centrum van het lastblok.
Figuur 39: Normaalkracht uitgezet tegen zijdelingse verplaatsing in kolom 1 en kolom 6 bij centrisch belasten
met blijvende vervorming
5.5 Samenvatting van de conclusies met betrekking tot de proefstukken
Een aantal zaken die zijn waargenomen en besproken in dit hoofdstuk zijn te herleiden op de
eigenschappen van de mortel. De keuze van een mortel met een beperkte hechting had negatieve
consequenties, hier volgt een samenvatting van de conclusies:
- De stijfheid van de kolommen is laag. Tevens is de spreiding in de elasticiteitsmodulus van de
kolommen relatief groot.
- Na voorbelasten van de kolommen tot 200kN (σ=4,4 N/mm2) is er een blijvende vervorming in de
kolommen. Doordat de proefstukken slechts in één cyclus zijn voorbelast is het onduidelijk wat de
invloed van de blijvende vervorming is op het materiaalgedrag. De materiaaleigenschappen die zijn
gevonden in de schaduwproeven zijn dan ook niet meer representaties voor de kolommen.
- De bepaling van een initiële excentriciteit door scheefstand en imperfecties in de kolom geeft geen
betrouwbare uitkomst en wordt niet meegenomen in de analyse van de resultaten.
37
Kalkzandsteen kolommen, biaxiale buiging
Afstudeerrapport
6 Verloop proeven met normaalkracht en buiging
Alvorens de resultaten van de proeven te analyseren wordt een aantal zaken verklaard voor een
beter begrip wat er in het proefstuk gebeurd, niet alles kwam overeen met verwachtingen. Globaal
zou het volgende gebeuren: In een proef wordt de normaalkracht geleidelijk opgevoerd met een
constante excentriciteit van de normaalkracht. Deze excentriciteit volgt uit de positionering van de
vijzels. Moment en kromming zijn aanvankelijk constant over de hoogte van het proefstuk. Door
buiging in de kolom zal de top en het lastblok zijdelings verplaatsen. Door de krachtswerking en
tweede orde effect zal het grootste moment net onder het midden van de kolom gevonden worden,
hier ontstaan de eerste scheuren en zal het proefstuk bezwijken op overschrijding van de
doorsnedecapaciteit.
6.1 Vervormen proefstuk en proefopstelling
In de proeven is gebruik gemaakt van holle cilindervijzels van Holmatro (HHJ20 S5). Per vijzel is de
maximale kracht 20ton (200kN) en de maximale slaglengte is 5 centimeter. Omdat vervormingen
groter waren dan verwacht, liepen proeven vast voor dat een proefstuk bezweek. De oorzaak wordt
uitgelegd aan de hand van Figuur 40: Bij buiging verkort aan de drukzijde de afstand tussen het
lastblok en de onderzijde van de proefopstelling. Aan de trekzijde wordt deze afstand juist groter.
Om in te spelen op de vervormingen is de beginpositie van de vijzels als in figuur 40a, de richting
waarop de plunjer beweegt is weergegeven met rode pijlen.
Proeven liepen onder andere vast doordat vijzels in de drukzijde een maximale slag van 5cm hebben
bereikt, waarna deze niet meer verder de druk op konden voeren. Tevens is het omgekeerde
waargenomen, waarbij de plunjer van een vijzel aan de trekzijde in het zadel zit en verlenging aan
deze zijde werd verhinderd. Het gevolg was een snellere toename van de normaalkracht aan deze
zijde door verhinderde vervorming.
Figuur 40a: beginpositie na opvoeren oliedruk, b: vastlopen proef door bereiken maximale slag vijzels
Figuur 41 toont een proefstuk in vervormde stand. De proefopstelling en draadeinden vervormen
met het proefstuk mee. In Figuur 41b is een proef weergegeven welke was vastgelopen doordat de
vijzel de maximale slaglengte heeft bereikt, in de figuur is een kromming in de draadeinden zichtbaar.
In het ontwerp is aangenomen dat de buigvorm van de kolommen overeen zou komen met een
cirkelboog, uitgaande van een constante kromming over de hoogte van de kolom. Dit is een
38
Kalkzandsteen kolommen, biaxiale buiging
Afstudeerrapport
vereenvoudiging van de werkelijkheid. Uit een berekening met formule [58] volgt dat bij deze
aanname de verplaatsing aan de top een factor 4 groter zou zijn dan de verplaatsing in het midden.
Utop =ML2/(2EI) met M/EI= κ
[58]
Utop 1/2 κ (L) 2
;
Umid =1/2 κ (L/2) 2
Umid = Utop / 4
In de proefresultaten verschilde deze een factor 3 tot een factor 5, voor de figuren wordt verwezen
naar bijlage A. De resultaten komen redelijk overeen met de aanname.
a
b
Figuur 41: zichtbare vervormingen en weergave vastlopen plunjer in proefopstelling
6.2 Scheuren, breuk en bezwijken proefstuk
6.2.1 Scheuren trekzone
Over het algemeen hebben de proefresultaten een bilineair verloop in de kracht-rek en krachtverplaatsing grafieken (Bijvoorbeeld weergegeven in Figuur 62 en Figuur 63 hoofdstuk 7) . Een lineair
verloop wordt gevolgd door een bocht of knik waarna een tweede lineair deel wordt waargenomen.
Het punt waar de eerste lineaire tak eindigt wordt beschouwd als scheurmoment. In alle proeven
met uitzondering van proef 1d werden na deze knik scheuren in de trekzone zichtbaar.
6.2.2 Scheuren drukzone
De eerste tekenen van bezwijken waren waarneembaar door afbraak van stukjes mortel aan het
oppervlak. In twee van de zes proeven (proeven 2 en 3) is een top waarneembaar in de grafiek van
39
Kalkzandsteen kolommen, biaxiale buiging
Afstudeerrapport
de normaalkracht gevolgd door verlies van druksterkte. Doorbelasten na het ontstaan van scheuren
in de drukzone leidde tot afbreken van stukken van de blokken in de drukzone.
a
Figuur 42: scheurvormingen in de kolom a) trekzone b) drukzone
b
6.2.3 Bezwijken kolom en einde proef door vervormingen
Bezwijken van een kolom kan het gevolg zijn van instabiliteit of door het bezwijken van de drukzone
door overschrijding van de druksterkte van het materiaal. Instabiliteit komt voor bij slanke kolommen
en is in dit experimentele onderzoek niet aan de orde. Bij overschrijding van de druksterkte verliest
de kolom aan normaalkrachtcapaciteit, wat zichtbaar is in een proef door een daling van de gemeten
normaalkracht bij toenemende vervorming. In theorie komt dit overeen met een maximale rek in de
drukzone. In proeven is dit bezwijkgeval geïdentificeerd bij een maximale rek in de drukzone van
12,9‰ (proef 2d) en 12,2‰ (proef 3d).
De laatste cycli op de overige proefstukken (1,4,5 en6) werden gestaakt voordat deze bezweken, de
oorzaak is besproken in 6.1. Na het geleidelijk afnemen van de belasting vervormde de kolommen
niet terug in de beginpositie. In deze proeven is geprobeerd alsnog tot bezwijken te belasten door de
laatste cyclus te herhalen. Kolommen bezweken in een aantal gevallen al bij een lagere
normaalkracht dan de maximale kracht in de voorgaande cyclus. De sterkte van het materiaal was
door de voorgaande cyclus al gereduceerd. De resultaten van de herhaling van de laatste cyclus
waren onbruikbaar. Een benadering van de bezwijklast wordt voor deze proefstukken gevonden in
paragraaf 7.4.
40
Kalkzandsteen kolommen, biaxiale buiging
a
Afstudeerrapport
b
Figuur 43: proefstuk na bezwijken, a: zijaanzicht, b: vooraanzicht
6.3 Krachten en momenten
De normaalkracht werd ingeleid met vier vijzels, aangesloten op één oliedrukpomp. De aanname was
dat de krachten in de vier vijzels gelijk zouden zijn. Dit bleek niet altijd het geval. Figuur 44 geeft een
voorbeeld van de toename van de normaalkracht in de vier krachtmeetdozen plus één controle
krachtmeetdoos op positie B (Deze is direct op vijzel geplaatst, weergegeven in figuur 43b). Tevens is
het verschil ten opzichte van de gemiddelde kracht weergegeven in %.
Figuur 44a: normaalkracht per vijzel, b: relatief verschil t.o.v. gemiddelde
De gemiddelde procentuele verschillen van alle proeven met centrische drukkracht zijn weergegeven
in figuur 45a en van proeven met buiging in figuur 45b. Opvallend zijn de hoge verschillen bij lage
krachten, waarna een dalende trend wordt waargenomen, in de kolommen waar centrisch belast
wordt is de trend voor alle proefstukken gelijk. In proeven met druk buiging nemen de verschillen na
een eerste dalende tak weer toe. Deze toename is sneller bij proeven met grotere excentriciteit (zie
bijvoorbeeld 6d ten opzichte van 1d).
41
Kalkzandsteen kolommen, biaxiale buiging
Afstudeerrapport
Figuur 45: gemiddelde verschillen in de krachten, a: bij centrisch belasten, b: bij proeven met buiging
Nu blijft de vraag openstaan of het verschil in buigproeven te wijten is aan een meetfout in de
krachtmeetdozen die toeneemt bij hogere excentriciteit, of dat de werkelijke kracht verschillend is.
Vanwege het feit dat de controle krachtmeetdoos altijd dezelfde trend weergeeft als de
krachtmeetdoos op eenzelfde positie wordt geconcludeerd dat de meting wel klopt. De conclusies
die volgen uit een analyse van de krachten zijn:
1)
Het verschil kan relatief groot zijn bij lage krachten. Dit is waarschijnlijk te wijten aan de
precisie, doordat bij een kleine kracht een klein absoluut verschil leidt tot een groot
procentueel verschil.
2)
In proeven zonder buiging zijn de verschillen in de vier krachten uiteindelijk relatief klein
3)
In proeven met buiging nemen de verschillen in de loop van een proef toe, de verschillen zijn
groter in proeven waar de excentriciteit/buigcomponent groter is.
4)
De gemeten krachten in de draadeinden aan de trekzijde van de kolom waren in alle
buigproeven hoger dan aan de drukzijde. Het gevolg is een verschuiving van het zwaartepunt
van de normaalkracht richting de grootste kracht. De grootste kracht wordt altijd aan de
trekzijde gevonden waardoor de excentriciteit van de resulterende kracht afneemt.
De oorzaak is vermoedelijk wrijving in de vijzels bij een combinatie van druk en buiging, weergegeven
in figuur 46. Dat altijd de grootste kracht aan de trekzijde wordt gevonden heeft waarschijnlijk te
maken met de richting waarin de plunjer beweegt.
Figuur 46: wrijvingspunten in vijzel door ‘scheef’ drukken van de plunjer
42
Kalkzandsteen kolommen, biaxiale buiging
Afstudeerrapport
6.4 Kracht en vlak van rekken
Rechte vlakken blijven recht. Uit de meting van de verlenging met twaalf LVDT’s op het midden van
de zijvlakken volgt een vlak van rekken. Met een meervoudige lineaire regressie analyse kan het best
passende vlak door de meetpunten berekend worden. Dit vlak heeft een vergelijking in de vorm:
[59]
+ €5 + 
met: z is de rek (ε) op coördinaten x en y.
A, B en C zijn constanten die volgen uit de meervoudige regressie analyse.
Figuur 47: vervormde vlak en neutrale as
De neutrale as wordt gevonden door de bovenstaande vergelijking gelijk aan 0 te stellen:

+ €5 +  0
5=− −
5′ = −
€
€
€
[60]
De hoek van de neutrale as en afstand tot het middelpunt is uit bovenstaande af te leiden:
Ø = ‚ƒ„‚…(−/€)
7 = −

∗ „†‡(Ø)
€
[61]
[62]
De uiterste rek in de drukzone (εu) volgt uit de formule van het vlak op coördinaten: (x=b/2 ; y=-t/2)
en de uiterste rek in de trekzone (εt) op coördinaten: (x=-b/2 ; y=t/2).
Figuur 48: Neutrale as, met hoek tov x-as (Ø) en afstand tot middelpunt (η)
In Figuur 49 is een meting van de rekken direct op het proefstuk weergegeven. Een 2D projectie van
de verdeling van het vlak van rekken, loodrecht op de neutrale as, dat volgt uit de regressieanalyse is
hier vergeleken met de rekken direct gemeten op het proefstuk. De waarden zijn tevens gegeven in
Tabel 4.
43
Kalkzandsteen kolommen, biaxiale buiging
Afstudeerrapport
Figuur 49: Verdeling van de rekken in proef 2d bij 165 kN
Tabel 4:Gemeten rekken, coördinaten en rek in het vlak volgend uit regressie analyse
LVDT2-00 LVDT2-01 LVDT2-02 LVDT2-03 LVDT2-04 LVDT2-05 LVDT2-06 LVDT2-07 LVDT3-00 LVDT3-01 LVDT3-02 LVDT3-03
y (ε)
x1 (x)
x2 (y)
-0,83
-120
-90
-1,14
-50
-90
-1,48
50
-90
-1,85
120
-90
-1,66
165
-50
-0,86
165
50
-0,23
120
90
0,10
50
90
0,43
-50
90
0,78
-120
90
0,60
-165
50
-0,19 mm/mm
-165 mm
-50 mm
Vlak (ε)
-0,80
-1,10
-1,53
-1,83
-1,67
-0,80
-0,26
0,04
0,47
0,78
0,62
-0,25 mm
In de berekening van het vlak van rekken wordt tevens een correlatiecoëfficiënt gegeven. De
correlatiecoëfficiënt is in alle gevallen hoger dan 0,99 waaruit geconcludeerd kan worden dat het
vlak van rekken ook werkelijk als een vlak benaderd kan worden.
Vraagtekens werden gesteld bij de betrouwbaarheid van de berekening van de correlatiecoëfficiënt
omdat deze in alle gevallen zeer ‘goede’ resultaten lijkt te geven tussen de 0,990 en 1,0 (waarin 1,0
zou betekenen dat alle punten precies overeenkomen met het vlak).
Een controle van de betrouwbaarheid van correlatiecoëfficiënt is uitgevoerd door middel van het
opzettelijk foutief invullen van één meetwaarde. Bijvoorbeeld door de maximaal gemeten rek met
een factor 2 te vermenigvuldigen. Door dit te doen met de meetwaarde van LVDT2-03 in
bovenstaand voorbeeld zou de correlatiecoëfficiënt veranderen van 0,998 naar 0,849. Een duidelijk
verschil waaruit wordt geconcludeerd dat de berekening betrouwbaar is.
44
Kalkzandsteen kolommen, biaxiale buiging
Afstudeerrapport
7 Verwerking van de resultaten
In vorig hoofdstuk is al globaal besproken hoe de proeven met druk en buiging verliepen en welke
problemen hierbij zijn waargenomen. Een aantal zaken met betrekking tot de krachtswerking en het
materiaalgedrag van de proefstukken kwam niet overeen met de verwachtingen.
In de eerste paragraaf worden de verschillen in gemeten krachten en met name de invloed daarvan
op de excentriciteit van de normaalkracht geanalyseerd. Excentriciteiten worden gerelateerd aan de
vervormingen en de positie en rotatie van de neutrale as.
In paragraaf twee worden in het kort de overeenkomsten en verschillen besproken in belastingcycli
op verschillende proefstukken met een gelijke excentriciteit van de normaalkracht. Vervolgens wordt
een analyse gedaan van de scheurmomenten in paragraaf drie. Tenslotte wordt in paragraaf vier een
schatting gedaan van de bezwijklast van de proefstukken die voortijdig zijn gestaakt. Deze schatting
is gebaseerd op de bilineaire trend die is waargenomen in de overige proeven. Een vergelijking van
de in proeven gevonden bezwijklasten met rekenmodellen volgt in hoofdstuk 8.
7.1 Excentriciteiten van de normaalkracht en de neutrale as
7.1.1 Berekening van de excentriciteit
Met betrekking tot de meting van de krachten in de vijzels en het materiaalgedrag zijn twee vragen
blijven staan:
1)
Welk materiaalgedrag hoort bij de proefstukken? Omdat na voorbelasten in het proefstuk
een blijvende vervorming is waargenomen, is het onduidelijk wat nu de exacte spanning-rek relatie
onder druk is.
2)
Klopt de berekende excentriciteit, hoe betrouwbaar is deze?
De afwijking van de gewenste vijzelkrachten en de uitbuiging van de kolom hebben een significante
invloed op de excentriciteit van de normaalkracht. Het resultaat van de berekening van de
excentriciteit kan afwijken van de werkelijkheid, namelijk doordat:
- Stel de werkelijke kracht in vier vijzels is 100kN. Zou aan één zijde de meting een waarde
geven die 1% te hoog is en de andere zijde een waarde geven die 1% te laag is, dan heeft dit
significante invloed op de berekende excentriciteit, bijvoorbeeld:
2 ∗ ∗ 300`` − ∗ 300`` − ∗ 400``
[63]
= −25``
4
2 ∗ 101 ∗ 300`` − 99 ∗ 300`` − 99 ∗ 400``
[64]
=
= −21,75``
400
25 − 21,75 = 3,25 3,25/25 ∗ 100 = 13%
- De invloed van scheefstand en imperfecties in het proefstuk op de excentriciteit van de
normaalkracht is niet bepaald. Er wordt van uit gegaan dat deze gering is.
- Daarnaast is de berekening van de excentriciteit van de normaalkracht in het midden van
de kolom gebaseerd op een aantal (vereenvoudigde) aannamen, zoals besproken in
hoofdstuk 4.
=
De meetresultaten die in ieder geval wel worden geacht betrouwbaar te zijn worden hier opgesomd:
- De som van de krachten klopt. In het meest ongunstige geval heeft een meetfout van 1%
per vijzel een resulterende meetfout van 1% op de som van vier vijzels.
45
Kalkzandsteen kolommen, biaxiale buiging
Afstudeerrapport
- Meting van de rekken: In de meting van de verlenging en verkorting met LVDT’s, direct op
het proefstuk kan slechts een zeer geringe foutmarge zitten.
- Meting van de zijdelingse verplaatsing ten opzichte van de beginpositie aan de voet, in het
midden en aan de top van de kolom. Deze worden gebruikt in de berekening van de
bijkomende excentriciteit in het midden van het proefstuk.
Tabel 5: Links resultaten die betrouwbaar zijn, recht: Minder betrouwbare resultaten
Proef:
- Som van krachten
- Meting van de rekken
- Meting van de vervormingen
Proef:
- Excentriciteit van de ingeleide normaalkracht
(ex en ey)
- Invloed van initiële kromming en imperfecties
Materiaalmodel:
- Druksterkte lijmwerk: 17,5 N/mm2
- Geen of geringe treksterkte
Materiaalmodel:
- Begintraject: overgang in σ-ε van parabolisch
naar lineair gedrag, Stijfheid ?
Om te oordelen of de analyse van de krachtswerking en de berekening van de excentriciteiten klopt
wordt deze gerelateerd aan de verschuiving en rotatie van de neutrale as, welke volgt uit een meting
van de rekken. Vooraf is een schatting gedaan van de bezwijklast en positie en richting van de
neutrale as. Het uitgangspunt was een parabolisch materiaalgedrag, zoals weergegeven in Figuur
50b. De schatting van de neutrale assen volgt uit een berekening met een spreadsheet aan de hand
van de numerieke methode beschreven in hoofdstuk 1.4. Door middel van ‘trial and error’ werd de
drukzone gevonden waarvan het zwaartepunt overeenkomt met het aangrijpingspunt van de
normaalkracht.
Wat het werkelijke materiaalgedrag is wordt hier vooralsnog buiten beschouwing gelaten. Gekozen is
voor een vergelijking met het geïdealiseerde parabolisch-rechthoekig materiaalgedrag. Zou een ander
materiaalmodel zijn gebruikt dan heeft dit geringe invloed op de positie en richting van de neutrale
as. In de trend, de verschuiving en rotatie van de neutrale as, zou als de verwerking van de resultaten
klopt wel een overeenkomst zijn met de verschuiving van de excentriciteit.
In de berekening van de excentriciteit is onderscheid gemaakt tussen eerste orde excentriciteiten
(ex1, ey1) en totale excentriciteiten (ext, eyt). De eerste volgt uit het zwaartepunt van de vier krachten.
De totale excentriciteit volgt uit een herberekening van de momenten in vervormde toestand
conform de formules besproken in hoofdstuk 4.
Resultaten worden voor elke proef vergeleken in drie fasen, elke fase is gedefinieerd op basis van de
uitbuiging:
Fase 1: 0 > u > 5 mm
Fase 2: 5 > u > 15 mm
Fase 3: 15 > u > einde proef
7.1.2 Verwerking resultaten van een laatste cyclus
De verwerking van de resultaten van de laatste cyclus op proefstuk 1 wordt hier besproken waarna
een overzicht wordt gegeven van de resultaten van de overige proeven. Voor een uitgebreidere
analyse van de overige proeven wordt verwezen naar bijlage A.
46
Kalkzandsteen kolommen, biaxiale buiging
Afstudeerrapport
Na een eerste cyclus met centrisch voorbelasten volgde twee keer een belastingcyclus met uniaxiale
excentriciteit ey = t/6 (ex=0), de positionering van de vijzels is A’BCD, figuur 50a. De laatste cyclus
wordt hier beschouwd. Volgens lineaire berekeningen komt belasten met deze excentriciteit overeen
met een volledig gedrukte doorsnede en ligt de neutrale as precies op de rand van de doorsnede en
parallel aan de x-as. In figuur 50b is de drukzone gemarkeerd zoals die verwacht wordt te vinden bij
genoemde excentriciteit en parabolisch materiaalgedrag. Na het bereiken van de piekspanning zal de
neutrale as verschuiven in de richting van het zwaartepunt van de normaalkracht, zoals is
weergegeven in figuur 50c.
Figuur 50a: positionering vijzels, b: verwachte neutrale as en gedrukte zone bij 150kN, c: bij bezwijken 510
kN
De toename van de normaalkracht in de tijd is weergegeven in figuur 51a. Bij een gemeten kracht
van 60kN (700sec) neemt de kracht op positie A nauwelijks meer toe, dit is het gevolg van het
bereiken van de maximale slag in deze vijzel. Het verschil per vijzel ten opzichte van de gemiddelde
normaalkracht in procenten is uitgezet tegen de som van de vier vijzelkrachten in figuur 51b.
Figuur 51 a: normaalkracht per vijzel, b: relatief verschil t.o.v. gemiddelde
De totale normaalkracht is uitgezet tegen de gemeten horizontale verplaatsingen in het midden en
aan de top van de kolom ten opzichte van de voet van de kolom, in figuur 52a. De verplaatsing in x-
47
Kalkzandsteen kolommen, biaxiale buiging
Afstudeerrapport
richting is zoals verwacht relatief klein, in y-richting neemt deze geleidelijk toe. Vanaf een totale
normaalkracht van 250kN loopt vijzel A vast en verandert de richting van uitbuiging ook.
Uit de krachten en vervormingen volgt een berekening van de excentriciteiten, in figuur 52b is het
verloop van de excentriciteit weergegeven tegen de toename van de normaalkracht. De zwarte
stippellijn op 25mm komt overeen met het zwaartepunt van de vijzels, mits de krachten gelijk
zouden zijn. Door het verschil in vijzelkrachten verschuift het zwaartepunt van de normaalkracht
naar het midden van het lastblok. Vanaf 130 kN (fase2) is een afname van ey1 waarneembaar, dit
komt overeen met de resultaten in figuur 51b; een dalende trend in de relatieve kracht op positie A
en een toename van de relatieve kracht in positie D waardoor het zwaartepunt in positieve y-richting
verplaatst. De excentriciteit van de normaalkracht in het midden van de kolom (2e orde) varieert
tussen ongeveer 18 en 23 mm.
Figuur 52a: gemeten uitbuiging bij toename van de normaalkracht in het midden en aan de top, b:
excentriciteiten
Omdat deze proef met uniaxiale buiging is uitgevoerd is te verwachten dat uit de metingen van de
LVDT’s op het vlak aan de voorzijde (LVDT2-01, 2-02, 2-03) een gelijke verkorting volgt. Hetzelfde
geldt voor de vier LVDT’s op het vlak aan de achterzijde (LVDT2-06, 2-07, 3-01 en 3-02). Op de
zijvlakken hebben LVDT’s 2-04 en 3-03 een gelijke vervorming en hetzelfde geldt voor LVDT’s 2-05 en
3-02. Deze verwachtingen zijn terug te zien in de resultaten, figuur 53.
Tevens kan uit de figuur afgeleid worden dat aanvankelijk de gehele doorsnede onder druk staat en
in de loop van de proef, vanaf ongeveer 100 kN een verlenging wordt geregistreerd aan de
achterzijde (LVDT’s 2-06, 2-07, 3-00, 3-01). In de trend van de kracht-rek figuren is te zien dat de
krachtsverdeling verandert bij een normaalkracht van 250 kN.
48
Kalkzandsteen kolommen, biaxiale buiging
Afstudeerrapport
Figuur 53: gemeten rek per LVDT bij toenemende normaalkracht
Uit de rekken is de positie en richting van de neutrale as, de uiterste rek in de drukzone en de
kromming berekend. In figuur 54 is de neutrale as ingetekend bij respectievelijk 43,5 kN (fase1),
143,7 kN (fase2) en 243,6 kN (fase3), deze fasen zijn tevens met een stippellijnen gemarkeerd in
figuur 52b en in figuur 53. De rode lijn geeft de geschatte positie van de neutrale as, zoals ook is
weergegeven in Figuur 50b. Aanvankelijk ligt de neutrale as buiten de rand van de doorsnede, de
excentriciteit is dan ook lager dan verwacht (ey<t/6). Bij toename van de normaalkracht verschuift de
neutrale as richting het zwaartepunt van de normaalkracht.
Figuur 54: neutrale as in de proef (1 bij 43,5kN, 2 bij 143,7kN en 3 bij 243,6 kN)
In vergelijking met andere proeven is de uiterste rek in de drukzone in proef 1 aan het einde van de
proef laag voordat deze vastliep. Dit kwam mede doordat het proefstuk op een stuk softboard was
geplaatst, met de bedoeling piekspanningen in de interface tussen staalplaat en kolom te voorkomen.
Door het relatief zachte materiaal is een rotatie aan de voet van de kolom waargenomen en zijn de
horizontale verplaatsingen in y-richting relatief groot. In de volgende proeven is dit materiaal niet
meer gebruikt en is de kolom direct op de stalen onderplaat gepositioneerd.
49
Kalkzandsteen kolommen, biaxiale buiging
Afstudeerrapport
7.1.3 Overzicht van de overige resultaten
In de volgende figuren (Figuur 55 tot en met Figuur 59) wordt een overzicht gegeven van de
excentriciteiten en de positie en richting van de neutrale as in de overige proeven. Deze worden
telkens vergeleken in drie fasen van de proef, welke zijn aangegeven in de figuren.
- In de linker figuur is de excentriciteit uitgezet tegen de normaalkracht, deze is berekend op negen
belastingniveau ’s. De stippellijn geeft de excentriciteit weer volgens het initiële ontwerp. De blauwe
en paarse lijnen geven de excentriciteiten weer die volgen uit het zwaartepunt van de vier
vijzelkrachten. De rode lijnen volgen na een berekening van de bijkomende excentriciteit in het
midden van de kolom in vervormde toestand conform de formules die zijn toegelicht in hoofdstuk 4.
- In de rechter figuur is de neutrale as ingetekend die volgt uit metingen in drie fasen van elke proef.
De rode lijn geeft de verwachtte positie van de neutrale as weer die overeenkomt met de
ontwerpexcentriciteit en een berekening zoals toegelicht in de vorige paragraaf.
In proef 2d (Figuur 55) neemt de excentriciteit af van fase 1 naar fase 2, de neutrale as verschuift in
positieve y-richting met als gevolg een vergroting van de drukzone. Van 2 naar 3 neemt de
excentriciteit weer toe met als gevolg een verschuiving van de neutrale as richting het zwaartepunt
van de belasting en dus kleinere drukzone. De excentriciteiten en neutrale as komen redelijk overeen
met het ontwerp.
Figuur 55a: Excentriciteiten proef 2d uitgezet tegen de normaalkracht, b: Neutrale as die volgt uit metingen
van de rekken
De resultaten van proef 3d zijn weergegeven in Figuur 56. Een toename van de excentriciteiten van
fase 1 naar 2 en van fase 2 naar 3 komt overeen met de richting van verschuiving van de neutrale as
en verkleining van het oppervlak van de drukzone. Tevens is een geringe rotatie waarneembaar van
twee naar drie richting de x-as, wat overeenkomt met de naar verhouding sterkere toename van de
excentriciteit in y-richting. Voor het grootste deel van de proef zijn excentriciteiten kleiner dan in het
ontwerp, tegen het einde zijn deze groter. Dit komt overeen met de gemeten neutrale assen in
vergelijking met de vooraf berekende rode lijn.
50
Kalkzandsteen kolommen, biaxiale buiging
Afstudeerrapport
Figuur 56a: Excentriciteiten proef 3d uitgezet tegen de normaalkracht, b: Neutrale as die volgt uit metingen
van de rekken
Van fase 1 naar 2 is in proef 4d (Figuur 57) een geringe reductie in de excentriciteit gemeten wat
overeenkomt met een geringe verschuiving van de neutrale as in positieve y-richting. Van 2 naar 3
komt een toename van de excentriciteit van 40 mm naar 50 mm overeen met een verschuiving van
de neutrale as richting het zwaartepunt van de normaalkracht.
Figuur 57a: Excentriciteiten proef 4d uitgezet tegen de normaalkracht, b: Neutrale as die volgt uit metingen
van de rekken
In proef 5e zijn de excentriciteiten relatief klein ten opzichte van het ontwerp. De drukzone is dan
ook veel groter. Een sterke toename van de excentriciteit om beide assen in proef 5e van fase 1 naar
2 en een lichte toename van fase 2 naar 3 komt overeen met de verschuiving van de neutrale as.
51
Kalkzandsteen kolommen, biaxiale buiging
Afstudeerrapport
Figuur 58a: Excentriciteiten proef 5e uitgezet tegen de normaalkracht, b: Neutrale as die volgt uit metingen
van de rekken
Ten opzichte van andere proeven wijkt in proef 6d de excentriciteit van de normaalkracht sterker af
van het initiële ontwerp. Ook hier komen verschuivingen van de neutrale as overeen met een
verschuiving in de excentriciteit.
Figuur 59a: Excentriciteiten proef 6d uitgezet tegen de normaalkracht, b: Neutrale as die volgt uit metingen
van de rekken
7.1.4 Conclusie
De excentriciteiten van de normaalkracht in het midden van het proefstuk variëren. Enerzijds neemt
deze in de loop van een proef toe doordat het proefstuk gaat vervormen. Anderzijds is aangetoond
dat de krachten in de vijzel aan de trekzijde sneller toenemen dan aan de drukzijde, waardoor de
excentriciteit reduceert.
In de resultaten is het duidelijk dat een verschuiving van de excentriciteit in een proef directe
gevolgen heeft op de positie en richting van de neutrale as. Over het algemeen komt de ligging van
de neutrale as overeen met de verwachtingen en waar dit niet het geval is wordt de oorzaak
52
Kalkzandsteen kolommen, biaxiale buiging
Afstudeerrapport
gevonden in de invloed van het verschil in vijzelkrachten op de excentriciteit. In de verdere analyses
wordt de bepaling van de excentriciteit dan ook als een betrouwbaar resultaat beschouwd.
7.2 Belastingcycli met (gelijke) excentriciteit
In totaal zijn bezwijkproeven uitgevoerd op zes verschillende posities van de normaalkracht. Per
positie zijn referentieproeven uitgevoerd waar de belasting is opgevoerd tot 1/3e van de berekende
bezwijklast.
Een voorbeeld is gegeven in Figuur 60, waar de resultaten zijn weergegeven van alle proeven waar
de normaalkracht volgens het ontwerp werd ingeleid met excentriciteit ex=b/6 en ey=t/6. Links is de
normaalkracht uitgezet tegen de kromming en rechts de excentriciteit, na een herberekening van de
momenten. Op proefstuk 2 is twee maal een cyclus uitgevoerd met genoemde excentriciteit; 2c
(rood) en 2d (groen). In 2d neemt de kromming sneller toe dan in 2c, de excentriciteit is tevens
hoger. Ter referentie is een cyclus op proefstuk 3 (3b, blauw) en op proefstuk 5 (5b, oranje)
uitgevoerd. In de resultaten is een overeenkomstige trend te zien, echter is in proef 3b een stijver
gedrag te zien dan in de overige proeven, in proef 5b is de excentriciteit hoger dan in de overige
proeven.
Figuur 60: Resultaten proeven 3b, 5b, 2c en 2d met; ex ≈ b/6 en ey ≈ t/6
In de resultaten weergegeven in figuur 61 komen de excentriciteiten beter overeen dan in voorgaand
voorbeeld. Opmerkelijk is het effect van cyclus 3c op de volgende cyclus (3d). In 3c is belast tot 80 kN
en een niet-lineair gedrag is waargenomen. In proef 3d is een lineair gedrag gemeten tot 80 kN,
uitkomend in hetzelfde punt als in proef 3c, waarna de grafiek zich voortzet in een knik. Resultaten
van proef 5c komt overeen met 3d. Hier betreft het ook een kolom waar het proefstuk in een
eerdere cyclus al belast is voorbij het lineaire gebied, zie proef 5b in figuur 60.
53
Kalkzandsteen kolommen, biaxiale buiging
Afstudeerrapport
Figuur 61: Resultaten proeven 5c, 3c en 3d met: ex ≈ b/3 en ey ≈ t/6
Het doel was om per proefstuk een aantal referentiecycli te hebben op andere proefstukken met een
gelijke excentriciteit. De excentriciteiten komen niet overeen waar ze dat wel hadden moeten zijn,
hierdoor zijn niet alle resultaten goed vergelijkbaar en worden hier verder geen conclusies aan
gebonden met betrekking tot verschil in buigstijfheid van de proefstukken. Van de overige proeven
zijn resultaten opgenomen in bijlage A3.
7.3 Lineair gedrag en ‘scheurmomenten’
7.3.1 Scheurmomenten
In de proeven is een bilineaire trend in de kracht-rek grafieken waargenomen. Voorbij de eerste
lineaire tak nemen in de proeven de vervormingen sneller toe. Aanvankelijk werd deze overgang
geïdentificeerd als een scheurmoment, omdat aan de trekzijde met het oog scheuren zichtbaar
werden. Daarentegen is uit de voorbelasting cycli geconcludeerd dat de binding in de mortel is
gebroken. Deze heeft de eigenschappen van los zand wat leidt tot de conclusie dat de treksterkte
gelijk is aan nul.
In tabel 6 zijn per proefstuk de gegevens weergegeven van de meetresultaten op het belastingniveau
waar de eerste lineaire tak eindigt. Het einde van de lineaire tak was in metingen herkenbaar door
een sterkere toename van de vervormingen per belastingsinterval. De belastingniveaus waarop de
scheurmomenten zijn gekozen zijn weergegeven in de kracht-rek figuren in bijlage A1, gemarkeerd
met (Lin).
Tabel 6: Belastingniveau per proef voor scheuren van de doorsnede met: excentriciteiten, neutrale as en
verdeling van de rekken
Kracht (kN)
ex (mm)
ey (mm)
N.A. Ø (graden)
N.A. η (mm)
εdruk (‰)
εtrek (‰)
Proef 2d
140,0
45,6
20,8
26,08
54,70
-1,46
0,61
Proef 3d
78,0
93,9
18,5
49,28
7,59
-1,34
1,22
Proef 4d
116,0
-1,1
38,7
0,17
26,08
-1,15
0,56
Proef 5d
65,0
44,3
37,6
16,68
18,26
-1,10
0,80
Proef 6d
45,0
92,2
35,9
29,08
-6,94
-1,13
1,25
54
Kalkzandsteen kolommen, biaxiale buiging
Afstudeerrapport
7.3.2 Vergelijking met lineair elastische berekeningen
Uitgaande van lineair elastisch materiaalgedrag kan de spanning op twee manieren berekend
worden. Op basis van de krachten met formule [66] of op basis van de rekken met de wet van Hooke
[65]. Bij werkelijk lineair-elastisch materiaalgedrag zouden de berekeningen een zelfde uitkomst
geven.
Spanningen, berekend op basis van rekken (Wet van Hooke)
[65]
F∗
= ±
±
Spanningen, berekend op basis van krachten:
[66]
Met, kracht (F) en excentriciteiten (ex en ey) volgend uit tabel 6 en A, zx, zy, Ix en Iy volgend uit de
doorsnede afmetingen; [A=b*t ;zx=b/2; Ix=1/12*b*t3 ; zy=t/2; Iy = 1/12tb3], volgen de resultaten in
tabel 7. Hieruit volgt dat ook in het lineaire deel van de proeven lineair-elastische berekeningen niet
overeenkomen met de resultaten uit de proeven. De verhouding tussen berekende spanning en
gemeten rek (/) is grofweg twee keer zo hoog onder druk als onder trek.
Als we kijken naar de maximale rek in de drukzone dan is er een overeenkomst tussen het einde van
het lineaire gedrag in proeven met buiging en de maximale rek in de drukzone. Deze rek varieert
tussen -1,1 en -1,46 ‰, zie tabel 6. De overgang tussen de twee lineaire delen in de kracht-rek
grafieken is het gevolg van niet-lineair materiaalgedrag onder druk (zie hoofdstuk 4).
Tabel 7: berekening van de spanning en verhouding tussen spanning en rek onder druk en trek
2
σdruk (N/mm )
σtrek (N/mm2)
σdruk/εdruk
σtrek /εtrek
Proef 2d Proef 3d Proef 4d Proef 5c Proef 6d
-8,50
-6,24
-6,49
-4,88
-4,26
2,30
2,78
1,35
2,00
2,27
4.656
5.643
4.433
3.770 Gf9e ∶ fce ≈ 2: 1H
5.821
3.767
2.282
2.414
2.496
1.813 f9e fce
7.3.2 Conclusie
Uit de analyse van de verdeling van rekken en de krachtswerking in de proeven wordt het
vermoeden bevestigd dat lineair-elastisch materiaalgedrag niet overeenkomt met het lineaire gedrag
in proeven. De buigtreksterkte is gelijk aan nul en het verlies van buigstijfheid in de kolommen is het
gevolg van de niet-lineaire spanning-rekrelatie onder druk.
7.4 Bezwijklast proeven
7.4.1 Extrapoleren van de resultaten
In slechts twee van de zes proeven is werkelijk een bezwijklast gevonden met zichtbare
scheurvervormingen en breuk in de drukzone van de kolom. Dit is weergegeven in hoofdstuk 6.2
Figuur 43. In de kracht-vervormingsgrafieken is een bilineaire trend waargenomen. Het tweede
lineaire deel eindigt doordat het proefstuk bezwijkt op druk. De bezwijklast werd bereikt bij een
uiterste rek in de drukzone van 12,9 mm/m in proef 2d en bij 13,8 mm/m in proef 3d.
55
Kalkzandsteen kolommen, biaxiale buiging
Afstudeerrapport
Figuur 62: Normaalkracht, uitgezet tegen uiterste rek in de drukzone, a: Proef 2d, b: Proef 3d
Uitgaande van bilineair gedrag wordt grafisch een schatting gedaan van de bezwijklast van de overige
proefstukken, zoals weergegeven in figuur 63. Een (conservatieve) aanname is gedaan dat een
proefstuk bezwijkt bij een (stuik)rek in de drukzone van 12 mm/m. De gekleurde lijnen zijn de
resultaten welke volgen uit metingen in de proeven. De zwarte-gestippelde lijnen zijn het resultaat
van lineair extrapoleren van deze proefresultaten. Waar deze lijnen de verticale lijn snijden bij een
uiterste rek in de drukzone van 12 mm/m wordt dan de bezwijklast gevonden.
Figuur 63: Extrapoleren van de proefresultaten
Deze methode is een grove benadering. De tweede lineaire tak is in de proeven niet exact lineair. In
proef 1d (oranje) is de tweede lineaire tak relatief kort, waardoor het resultaat minder betrouwbaar
is dan de rest. In de extrapolaties wordt geen rekening gehouden met de variërende excentriciteit
gedurende een proef.
56
Kalkzandsteen kolommen, biaxiale buiging
Afstudeerrapport
Om resultaten te kunnen vergelijken moet de bijbehorende excentriciteit bepaald worden. In
proeven is aangetoond dat deze varieert. Enerzijds neemt de excentriciteit toe door de
vervormingen, anderzijds neemt de excentriciteit af door het verschil in vijzelkrachten. Omdat er niet
een eenduidige trend is gevonden is uitgegaan van het gemiddelde gedurende de proef.
De resultaten zijn omgerekend in dimensieloze parameters en weergegeven in tabel 8. Uitgaande
van een druksterkte van σ’ = 17,5N/mm2, welke volgde uit de schaduwproeven, is de normaalkracht
bij 100% benuttingsgraad van de doorsnede gelijk aan:
N0 = b*t*σ’ = 150*301*17,5*10-3 = 787,5 kN.
Tabel 8: benuttingsgraad van de doorsnede en excentriciteit
Kracht (kN)
ex (mm)
ey (mm)
N/No (-)
ex/b (-)
ey/t (-)
N0 Proef 1d Proef 2d Proef 3d Proef 4d Proef 5d Proef 6d
787,5
540,0
320,0
160,0
230,0
190,0
105,0
0
0,64
49,19
97,53
2,18
48,46
91,46
0
22,22
26,83
22,68
49,23
45,65
38,82
1
0,69
0,41
0,20
0,29
0,24
0,13
0
0,00
0,16
0,32
0,01
0,16
0,30
0
0,15
0,18
0,15
0,33
0,30
0,26
57
Kalkzandsteen kolommen, biaxiale buiging
Afstudeerrapport
8 Vergelijking van proefresultaten met rekenmodellen
Proefresultaten worden vergeleken met de in hoofdstuk 1 besproken rekenmodellen. In de
resultaten wordt altijd gekeken wat er gebeurd in de doorsnede in het midden van de kolomhoogte.
Ten eerste worden de meetresultaten vergeleken met berekende M-N-κ-relaties. Normaalkracht en
momenten worden berekend uit de gemeten rekken in de proeven. De rekenresultaten worden
vergeleken met de in het proefstuk ingeleide normaalkracht en momenten op de beschouwde
belastingniveau ’s
In de tweede paragraaf worden proefresultaten vergeleken met berekeningen van de bezwijklast. De
capaciteit van de normaalkracht volgt uit doorsnedeberekeningen. Berekeningen zijn gebaseerd op
geïdealiseerde materiaalmodellen zoals besproken in de theorie (hoofdstuk 1.2). Daarnaast wordt
het werkelijke materiaalgedrag beschouwd in de berekening.
Voor de berekening van krachten en momenten werd gebruik gemaakt van de in hoofdstuk 1.4
beschreven numerieke methode met behulp van een spreadsheet. Hierin is de doorsnede opgedeeld in
50 x 50 cellen. Uit de coördinaten van het centrum van elke cel en de vergelijking van het vlak van
rekken volgt de gemiddelde rek per cel. Uit de rek volgt een spanning conform het gebruikte
materiaalmodel en deze vermenigvuldigd met het oppervlak resulteert in een normaalkracht. Uit de
sommaties van de krachten en hun afstand tot de hoofdassen werden de resulterende normaalkracht
en momenten berekend. In de capaciteitsberekeningen volgde evenwicht uit een procedure van ‘trial
and error’. In de vergelijking met M-N-κ-relaties werden normaalkracht en momenten direct berekend
uit de in de proef gemeten rekken.
8.1 Vergelijking van resultaten met berekeningen van de krachten uit de
rekken
8.1.1 materiaalmodellen
Uit schaduwproeven volgde een parabolisch-lineair materiaalgedrag, zoals weergegeven in hoofdstuk
5.2 figuur 32. Deze spanning-rek relatie is aanvankelijk gebruikt in de vergelijking van resultaten. Hier
is met een 4e-graads parabolische vergelijking een ‘best-fit’ geconstrueerd die overeenkomt met de
spanning-rek relatie die volgde uit schaduwproeven. In de berekende resultaten waren de verschillen
met de proefresultaten zeer groot.
De oorzaak van de grote verschillen ligt in het eerste traject van de spanning-rek relatie. Proefstukken
zijn doorbelast waarbij na ontlasten een blijvende rek is overgebleven in de proefstukken, zoals reeds
besproken in hoofdstuk 5.4. Wat het precieze effect is op de stijfheid van het materiaal is niet
gemeten, het proefstuk zal zich waarschijnlijk stijver gedragen dan gemeten in de eerste cyclus. Hier
wordt uitgegaan van een lineair traject tot een spanning van 4,5 N/mm2. De bijbehorende waarde
voor de rek is geschat op -0,0006 mm/m. Het materiaalmodel is weergegeven in figuur 64 en
opgedeeld in drie delen. Het tweede en derde deel komen overeen met de gemeten spanningrekrelatie in de schaduwproeven. De buigtreksterkte is gelijk aan nul.:
1) Lineair en relatief stijf gedrag ten opzichte van schaduwproeven:
σ = 4,5 N/mm2 en −0,0006 mm/m
E = 4,5 / 0,0006 = 7500 N/mm2
58
Kalkzandsteen kolommen, biaxiale buiging
Afstudeerrapport
2) Lineair deel met hellingshoek volgend uit schaduwdrukproeven met:F 2100/``
Tot:
−0,006 en −16N/mm2
3) Top: Parabolisch met piek op : σ’ = 17,5 N/mm2 en −0,008
Figuur 64: spanning-rek relatie van gebruikte materiaalmodel
8.1.2 Vergelijking tussen de in het proefstuk ingeleide normaalkracht en excentriciteiten
en de berekende normaalkracht en excentriciteiten
Alvorens de resultaten te bespreken wordt de opzet van de figuren toegelicht. Het zou voor de hand
liggen om resultaten te vergelijken middels M-N-κ diagrammen zoals besproken in hoofdstuk 1. De
momenten om de hoofdassen zijn uitgezet tegen de kromming conform een constante richting van
de neutrale as en een constante normaalkracht. In Figuur 65a en b is een voorbeeld gegeven waarin
resultaten van proef 2d, vergeleken worden met twee M-N-κ diagrammen. In dit experimentele
onderzoek werd in een belastingcyclus de excentriciteit (enigszins) constant gehouden en nemen
zowel de normaalkracht als momenten geleidelijk toe. De resultaten uit proeven (Normaalkracht,
richting van buiging en kromming) komen maar op één punt overeen met het M-N-kappa-diagram.
Om praktische redenen worden resultaten vergeleken in diagrammen met een andere vorm.
Figuur 65, M-N-k relaties voor proefstuk 2d, bij a: 150kN en b: 250 kN
59
Kalkzandsteen kolommen, biaxiale buiging
Afstudeerrapport
Omdat het doel is berekende M-N-κ relaties op meerdere belastingniveau ‘s te vergelijken met
proefresultaten worden andere diagrammen gebruikt. Ter referentie: In Mavichak [Mavichak76]
worden uit vergelijkbare proeven resultaten vergeleken in diagrammen waar per belastingniveau de
berekende en de ingeleide normaalkracht en momenten zijn uitgezet tegen de kromming, een
voorbeeld is gegeven in bijlage E figuur 3. In dit rapport is er voor gekozen om in twee diagrammen
de normaalkracht en de excentriciteiten uit te zetten tegen de kromming. De excentriciteit volgt uit
normaalkracht en momenten (e=M/N). Voor deze weergave is gekozen omdat het de verschillen
tussen proef en rekenresultaten duidelijker in beeld brengt.
Een voorbeeld is gegeven in Figuur 66 met de resultaten van proef 1d, resultaten worden vergeleken
op negen belastingniveau ‘s. In het linker diagram wordt de in de proef ingeleide normaalkracht
uitgezet tegen de kromming op de beschouwde belastingniveau ‘s, de negen punten zijn verbonden
met een doorgetrokken rode lijn. In het rechter diagram worden de ingeleide excentriciteiten op
dezelfde beschouwde belastingniveau ‘s uitgezet tegen de kromming en de punten verbonden met
twee doorgetrokken rode lijnen.
De gemeten rekken op de beschouwde belastingniveau ‘s worden gebruikt als invoer in het
rekenmodel. Uit de rekken volgen de spanningen en met een spreadsheet zijn de normaalkracht en
excentriciteiten berekend. De rekenresultaten zijn weergegeven met de blauwe markeringen en
verbonden met gestreepte lijnen.
In proef 1d varieert het verschil in ingeleide en berekende normaalkracht tussen de 0 en 13 kN. Het
rekenmodel geeft een onderschatting van de normaalkracht. De excentriciteit in x-richting verschilt
gemiddeld 3 mm, de ingeleide en berekende excentriciteit in y-richting komt beter overeen.
Figuur 66: normaalkracht en excentriciteiten uitgezet tegen de kromming voor proef 1d
In de diagrammen van proeven 2d, 3d en 4d (weergegeven in Figuur 67, Figuur 68, en Figuur 69)
worden vergelijkbare trends waargenomen. Aanvankelijk geven de rekenresultaten een lichte
overschatting van de normaalkracht. In het middendeel wordt dit een onderschatting waarna tegen
het einde van de proeven de berekening weer een overschatting geeft van de normaalkracht. In
proeven 3d en 4d lopen de resultaten tegen het einde van de proef verder uit elkaar. De ingeleide en
berekende excentriciteiten komen over het algemeen goed met elkaar overeen.
60
Kalkzandsteen kolommen, biaxiale buiging
Afstudeerrapport
Figuur 67: Normaalkracht en excentriciteiten uitgezet tegen de kromming voor proef 2d
Figuur 68: Normaalkracht en excentriciteiten uitgezet tegen de kromming voor proef 3d
Figuur 69: Normaalkracht en excentriciteiten uitgezet tegen de kromming voor proef 4d
Een vergelijking van de resultaten van de laatste twee proeven zijn weergegeven in Figuur 70 en
Figuur 71. Opmerkelijk is dat in deze proeven het rekenmodel in alle resultaten een overschatting
van de normaalkracht geeft. De absolute verschillen tussen normaalkracht en excentriciteiten zijn
hier groter dan in de overige proeven en nemen tegen het einde van de proeven toe. Het verschil in
krachten varieert van 10 kN tot 38 kN in proef 5e en van 8 kN tot 24 kN in proef 6d.
61
Kalkzandsteen kolommen, biaxiale buiging
Afstudeerrapport
Figuur 70: Normaalkracht en excentriciteiten uitgezet tegen de kromming voor proef 5e
Figuur 71: Normaalkracht en excentriciteiten uitgezet tegen de kromming voor proef 6d
8.1.3 Discussie van de resultaten
Over het algemeen zijn goede overeenkomsten gevonden tussen proeven en het rekenmodel. Met
name in proeven met een kleine excentriciteit zijn de verschillen tussen de berekende en de in het
proefstuk ingeleide normaalkracht klein.
Over het algemeen blijken rekenresultaten bij het benaderen van de bezwijklast een grotere
overschatting van de normaalkracht te. Dit is te zien in het divergeren van de rode en blauwe lijnen
in proeven 3d, 4d, 5e en 6d.
De absolute verschillen zijn groter in de laatste twee proeven, met een overschatting van de
normaalkracht. Deze proeven worden gekenmerkt door biaxiale buiging met een relatief grote
excentriciteit ten opzichte van de zwakke as.
Een overschatting van de normaalkracht komt hier overeen met een onderschatting van de
kromming. Dit zou in een berekening van de vervormingen op basis van deze M-N-κ relaties
neerkomen op onveilige resultaten!
In de berekening van de excentriciteiten zijn goede overeenkomsten gevonden. Over het algemeen
zijn de verschillen het grootst in de eerste metingen. De oorzaak kan hier liggen in de relatief grote
meetfout bij lage krachten zoals reeds besproken in hoofdstuk 6.3.
62
Kalkzandsteen kolommen, biaxiale buiging
Afstudeerrapport
8.2 Vergelijking proefresultaten met berekeningen van de bezwijklast
In hoofdstuk 7.4 is de bepaling van de bezwijklast voor de zes proefstukken besproken. Deze wordt
vergeleken met doorsnedeberekeningen en vereenvoudigde rekenmethoden. In de eerste plaats
worden berekeningen uitgevoerd op basis van geïdealiseerde materiaalmodellen, zoals
voorgeschreven in Eurocode 6. Vervolgens worden deze vergeleken met berekeningen op basis van
het werkelijke materiaalgedrag van de proefstukken. Ten slotte worden resultaten vergeleken met
de Reciprocal Load Method.
8.2.1 Berekening van de bezwijklast: Geïdealiseerde materiaalmodellen
In Eurocode 6 worden verschillende materiaalmodellen voorgeschreven waarmee de respons van
een constructie mag worden bepaald. De vier spanning-rek diagrammen die worden beschouwd zijn
reeds besproken in hoofdstuk 1 van dit verslag en nogmaals weergegeven in Figuur 72.
Proefresultaten worden vergeleken met een berekening van de bezwijklast in overeenstemming met
deze materiaalmodellen. Hierin wordt telkens uitgegaan van een druksterkte σ’= 17,5 N/mm2.
Figuur 72: Spanning-rek relaties volgens Eurocode 6, a: lineair, b: parabolisch, c: parabolisch-rechthoekig en
d: rechthoekig
In figuur 73 en figuur 74 zijn op zes punten de in de proeven gevonden bezwijklasten weergegeven.
Deze punten zijn uitgezet tegen de excentriciteit ten opzichte van de hoofdassen. De zes gekleurde
lijnen geven de maximale excentriciteit weer, overeenstemmend met de in de zes proeven gevonden
bezwijklasten en het beschouwde materiaalmodel.
In figuur 73a zijn de lijnen weergegeven, welke zijn berekend met een lineaire spanning-rekrelatie. In
de berekening wordt altijd een ondergrens gevonden. Het resultaat van proef 6 komt het meest
overeen met de berekening. In proeven 1 en 2 is het verschil met de berekening het grootst. In figuur
73b worden resultaten vergeleken een berekening op basis van een rechthoekige spanning-rek
relatie. In dit geval wordt zoals verwacht een bovengrens gevonden in de berekening. Redelijke
overeenkomst wordt hier gevonden bij relatief lage excentriciteiten. Opmerkelijk is de sterkere
afname van de doorsnedecapaciteit bij toenemende excentriciteit in de proefresultaten ten opzichte
van de rekenmethode.
63
Kalkzandsteen kolommen, biaxiale buiging
Afstudeerrapport
Figuur 73: Vergelijking resultaten proeven met berekeningen met a: lineair σ-ε en b: rechthoekig σ-ε
Resultaten op basis van parabolisch en parabolisch-rechthoekig, zijn weergegeven in Figuur 74a en b.
Deze liggen tussen de in figuur 73a en b weergegeven onder- en bovengrens in. Ook deze resultaten
vormen voornamelijk een bovengrens van de bezwijklast. In het laatste geval zijn de lijnen bijna gelijk
aan die gevonden met een rechthoekige spanning-rek relatie (figuur 73b).
Figuur 74: Vergelijking resultaten proeven met berekeningen met a: parabolisch σ-ε en b: parabolischrechthoekig σ-ε
N.B. De resultaten in Figuur 73b zijn berekend met behulp van de rekenregels van Anselmi,
besproken in hoofdstuk 1.5 van dit verslag.
De lijnen in de overige interactiediagrammen (Figuur 73a en Figuur 74) volgen uit het berekenen
van een negental punten op elke lijn. Deze punten volgen uit een doorsnedeberekening waar steeds
de richting van de neutrale as per interval wijzigt, beginnend bij 0 graden ten opzichte van de x-as
en eindigend bij 90 graden.
64
Kalkzandsteen kolommen, biaxiale buiging
Afstudeerrapport
Voor de berekeningen is gebruik gemaakt van de methode beschreven in hoofdstuk 1.4 van dit
verslag. De richting van de neutrale as en maximale rek in de drukzone worden in elke
evenwichtsberekening constant gehouden. Door te schuiven met de positie van de neutrale as
wordt middels ‘trial and error’ evenwicht gevonden met de beschouwde normaalkracht, waarna
tevens de bijbehorende excentriciteiten volgen uit de berekening.
(Door middel van een spreadsheet en een script is dit proces geautomatiseerd waardoor relatief
snel de punten berekend kunnen worden.)
8.2.2 Berekening van de bezwijklast: Werkelijk materiaalgedrag
Ter vergelijking wordt een berekening van de bezwijklast uitgevoerd met het materiaalmodel
weergegeven in Figuur 64, de resultaten zijn weergegeven in Figuur 75. Uit proef 1d volgt een hogere
bezwijklast dan in de berekening. Proeven 2d, 4d en 5e geven een goede overeenkomst met de
berekening, de punten die volgen uit de proeven komen overeen met de lijnen. De bezwijklast in
proeven 3 en 6 zijn opvallend laag ten opzichte van de berekeningen.
De afwijkende resultaten kunnen het gevolg zijn van een grote spreiding in materiaaleigenschappen
van de kolommen.
Figuur 75, Bezwijklasten proef, uitgezet in ex en ey,, vergeleken met rekenwaarden
Een vergelijking van de berekende benuttingsgraad ten opzichte van proefresultaten op basis van
gelijke excentriciteiten is weergegeven in Tabel 9. Ten opzichte van de proefresultaten verschillen
uitkomsten van berekeningen met lineair materiaalgedrag (Nu,Lin/Nproef ) van een factor 0,73 tot een
factor 1,0. Uitkomsten van berekeningen met een rechthoekige spanning-rekrelatie (Nu,RH /Nproef)
verschillen ten opzichte van de proefresultaten van een factor 1,03 tot een factor 1,62. Zoals te
verwachten liggen de resultaten in de laatste berekeningen over het algemeen het dichtst bij de
uitkomsten van de proeven.
In alle resultaten is een trend waargenomen waarbij de reductie van de normaalkrachtcapaciteit in
de proeven groter is dan berekend bij toename van de excentriciteiten.
65
Kalkzandsteen kolommen, biaxiale buiging
Afstudeerrapport
Tabel 9: Vergelijking van benuttingsgraad van de doorsnede tussen proeven en rekenresultaten
Proefstuk nr.
Excentriciteit
Proef
Lineair σ-ε
Rechthoekig σ-ε
Werkelijk σ-ε
Relatieve
verschillen
ex/b
ey/t
Nproef/No (-)
Nu,Lin/No (-)
Nu,RH/No (-)
Nu,alt/No (-)
Nu,Lin/Nproef
Nu,RH/Nproef
Nu,alt,/Nproef
1
0,00
0,15
0,69
0,53
0,71
0,65
0,77
1,03
0,94
2
0,16
0,18
0,40
0,29
0,46
0,42
0,73
1,15
1,03
3
0,33
0,15
0,22
0,17
0,28
0,24
0,85
1,40
1,21
4
0,01
0,33
0,29
0,25
0,35
0,32
0,86
1,21
1,08
5
0,16
0,30
0,24
0,18
0,30
0,26
0,75
1,25
1,06
6
0,30
0,26
0,13
0,13
0,21
0,18
1,00
1,62
1,36
8.2.3 Berekening van de bezwijklast: Reciprocal Load Method
De ‘Reciprocal Load Method’ [67] is beschreven in hoofdstuk 1.6. De parameters P0 , Pux en Puy zijn de
berekende bezwijklasten bij respectievelijk een volledig gedrukte doorsnede, buiging om de x-as en
buiging om de y-as. Deze worden in dit geval bepaald met een rechthoekig spanningsfiguur,
vergelijking [4] hoofdstuk 1. Het voordeel van deze rekenmethode is de relatieve eenvoud.
1
1
1
1
= + −
[67]
YZ0[ Y Y
Y,
De resultaten zijn weergegeven in tabel 10. In proef 1 komen de resultaten redelijk overeen. In de
overige proeven wordt een bovengrens gevonden met een uitschieter in proef 6d, waar de
berekende waarde een factor 2,1 hoger is. Ten opzichte van de doorsnedeberekeningen, waar al is
aangetoond dat de resultaten onveiliger worden naarmate de excentriciteit toeneemt, zijn de
resultaten hier nog onveiliger. Daarmee lijkt deze methode dan ook ongeschikt voor
steenconstructies.
Tabel 10: Vergelijking bezwijklasten met Reciprocal Load Method berekening (Pu,biax= Berekende bezwijklast)
P0=N0 =787,50 kN
kN
Npref
ex
mm
ey
mm
Pu,x
kN
Pu,y
kN
Pu,biax
kN
Pu,biax/Nproef
Proef 1d Proef 2d Proef 3d Proef 4d Proef 5d Proef 6d
540,00
320,00
170,00
230,00
190,00
105,00
0,64
49,19
97,53
2,18
48,46
91,46
22,22
26,83
22,68
49,23
45,65
38,82
786,75
531,87
278,11
778,68
535,69
309,95
556,05
507,50
551,15
271,48
309,23
381,12
555,67
387,49
241,53
270,42
261,05
218,33
1,23
1,41
1,17
1,38
2,15
1,03
N.B. In experimenteel onderzoek naar biaxiale buiging voor gewapende betonconstructies
[Mavichak76] wordt gesteld dat deze methode een goede schatter is van de bezwijklast. Voor
dergelijke constructies geeft dit betere overeenkomsten doordat doorsneden gewapend zijn dus niet
alleen de gedrukte zone effectief werkt. Bij hogere excentriciteiten is de drukzone kleiner en heeft
wapening in de doorsnede naar verhouding meer invloed op de capaciteit van de doorsnede.
66
Kalkzandsteen kolommen, biaxiale buiging
Afstudeerrapport
9 Conclusies en aanbevelingen
Het doel van dit afstudeeronderzoek was het verkrijgen van meer inzicht in het gedrag en de
capaciteit van kalkzandsteen lijmwerk kolommen belast met biaxiale buiging. Hiertoe is een
experimenteel onderzoek uitgevoerd waar kolommen van kalkzandsteen lijmwerk zijn belast door
een normaalkracht. Daarin werd gevarieerd met excentriciteiten ten opzichte van de twee
hoofdassen.
De conclusies volgen uit de resultaten van proeven op zes proefstukken. Het beperkte aantal
uitgevoerde proeven maakt het niet mogelijk om de conclusies statistisch te onderbouwen. Daarnaast
kan niet gegarandeerd worden of alle resultaten representatief zijn voor kalkzandsteen lijmwerk,
omdat het materiaalgedrag in de proeven afweek van wat verwacht wordt in
kalkzandsteenconstructies.
9.1 Conclusies
9.1.1 Krachten en vervormingen
Kracht-vervormingsrelaties in de proeven zijn over het algemeen op te delen in drie delen: a) een
lineaire tak, gevold door b) een bocht of knik, afgesloten met c) een tweede lineaire tak tot
bezwijken van het proefstuk.
Lineair gedrag is waargenomen tot ongeveer de helft à eenderde van de bezwijklast. Het einde van
de eerste lineaire tak werd aanvankelijk geïdentificeerd als een scheurmoment. Na een analyse blijkt
de oorzaak niet te liggen in overschrijding van de (buig-)treksterkte. De relatief snelle toename van
vervormingen was in dit geval het gevolg van verlies van materiaalstijfheid in de drukzone van de
kolom. In dit geval is het juist om te rekenen met een materiaal zonder buigtreksterkte.
Berekende M-N-κ-relaties werden vergeleken met de in de proef ingeleide normaalkracht en
excentriciteit. Hiertoe werden de normaalkracht en excentriciteiten berekend uit de gemeten rekken
in de proeven met behulp van een spreadsheet. Voor de spanning-rekrelatie is in de berekeningen
gebruik gemaakt van een benadering van het werkelijke materiaalgedrag.
In de resultaten is een duidelijke overeenkomst gevonden tussen de ingeleide en de berekende
normaalkracht en excentriciteit. Over het algemeen geven berekeningen betere resultaten
bij proeven met een kleine excentriciteit van de normaalkracht. Bij grotere excentriciteiten nemen de
verschillen toe, de rekenresultaten worden onveilig.
9.1.2 Berekening van de bezwijklast
Proefresultaten zijn vergeleken met berekeningen van de capaciteit van de doorsnede met een
aantal geïdealiseerde materiaalmodellen, welke worden voorgeschreven in Eurocode 6.
Een berekening met een lineaire spanning-rekrelatie geeft in alle gevallen een ondergrens van de
bezwijklast. De verhouding tussen berekende normaalkracht en proefresultaten varieerde van een
factor 0,73 tot een factor 1,0. Een berekening met een rechthoekige spanning-rekrelatie geeft in alle
gevallen een bovengrens van de bezwijklast. In verhouding tot de proefresultaten varieerden deze
van een factor 1,03 tot een factor 1,62. In proeven met een grote excentriciteit was de bezwijklast
naar verhouding laag.
67
Kalkzandsteen kolommen, biaxiale buiging
Afstudeerrapport
Tenslotte zijn proefresultaten vergeleken met doorsnedeberekeningen waarin het werkelijke
materiaalgedrag is gebruikt. Hiermee is, zoals te verwachten, een betere overeenstemming met de
resultaten gevonden dan met de geïdealiseerde materiaalmodellen.
In alle resultaten is een trend waargenomen waarbij de normaalkrachtcapaciteit in de proeven naar
verhouding laag is bij grotere excentriciteiten.
Een berekening van de capaciteit met een rechthoekige spanning-rek relatie is relatief eenvoudig uit
te voeren met de rekenregels van Anselmi. In de praktijk zou het voor de hand liggen om deze
methode te gebruiken. Een reductiefactor zou het probleem van de bovengrensbenadering kunnen
oplossen. Uit de proefresultaten volgt dat hier voorzichtig mee omgegaan moet worden. Bij grotere
excentriciteiten geeft een capaciteitsberekening met een lineaire spanning-rekrelatie betere
overeenkomsten met de proefresultaten.
De ‘Reciprocal Load Method’ geeft over het algemeen onveilige waarden voor de capaciteit bij
biaxiale buiging en is dan ook een ongeschikte rekenmethode voor steenconstructies.
68
Kalkzandsteen kolommen, biaxiale buiging
Afstudeerrapport
9.2 Aanbevelingen
De krachtswerking in proefstukken kwam niet overeen met het ontwerp. Dit en de afwijkende
materiaaleigenschappen maakte het verwerken en analyseren van resultaten lastiger dan verwacht.
Een aantal aanbevelingen die meegenomen kunnen worden in een volgend experimenteel onderzoek
zijn hier op een rij gezet.
9.2.1 Materiaal en productie
Een eerste serie proefstukken was mislukt doordat voegen niet goed gevuld waren. Hierdoor kon de
helft ervan niet meer gebruikt worden. Voor een volgend onderzoek wordt geadviseerd de
proefstukken telkens in series van twee of drie te vervaardigen. Dan kan per serie beoordeeld
worden of deze aan de gestelde eisen voldoet.
Het aantal schaduwproeven was relatief laag. Uit twee drukproeven op korte kolommen volgde een
andere spanning-rekrelatie dan verwacht. Tevens bleken deze schaduwproefstukken een lagere
stijfheid te hebben dan de kolommen. Elasticiteitsmodulus, spanning-rekrelaties en
normaalkrachtcapaciteit bij ‘zuivere’ druk kunnen beter bepaald worden met kolommen die identiek
zijn aan de overige kolommen en die getest worden in dezelfde proefopstelling als de proeven met
druk en buiging.
De materiaaleigenschappen kwamen niet overeen met de verwachtingen. De oorzaak ligt in de
eigenschappen van de mortel. Het gevolg was een verlies van stijfheid (niet-lineair gedrag) in het
begin van een spanning-rek diagram. Met het feit dat de mortel een slechte hechting kon hebben
was wel rekening gehouden en werd niet als een probleem gezien. Het effect op de sterkte en
stijfheid van het lijmwerk was niet voorzien en problematisch.
Tijdens het voorbelasten waren vervormingen onregelmatig en na ontlasten vervormde de kolom
niet terug. Dit had invloed op de materiaaleigenschappen. Door voor te belasten in twee of meer
cycli wordt een beter inzicht verkregen in het materiaalgedrag en imperfecties in de proefstukken.
9.2.2 Ontwerp Proefopstelling
De afmetingen van de proefstukken zijn gekozen op basis van een (gangbare) slankheid van ongeveer
zeven-en-een-half. De buigstijfheid van de kolom bleek lager dan verwacht met het gevolg dat
vervormingen in de proeven groter waren dan verwacht. Het bijkomende gevolg was dat proeven
niet meer doorbelast konden worden tot de kolom bezweek.
Kortere kolommen van vijf tot zeven blokken hoog zouden ook geschikt zijn geweest voor dit
onderzoek. Drie blokken voor het meetgebied en één of twee blokken aan de boven- en onderzijde
voor een goede inleiding van de belasting.
Met vier vijzels en een lastblok is het goed gelukt om de normaalkracht met een excentriciteit in te
leiden. Achteraf blijken de krachten en momenten niet precies overeen te komen met het ontwerp.
Door een verschil in vijzelkrachten varieert de excentriciteit gedurende een proef. In de analyses is
aangetoond dat de krachtswerking in de proef wel goed berekend kan worden. Het feit dat de
krachtswerking varieert maakte de verwerking en analyse van de resultaten lastiger dan verwacht.
69
Kalkzandsteen kolommen, biaxiale buiging
Afstudeerrapport
Voor volgend onderzoek wordt aanbevolen om de krachten anders te sturen. Zou bijvoorbeeld de
kracht in elk van de vier vijzels computergestuurd zijn dan kunnen resultaten beter vergeleken
worden met M-N-kappa diagrammen. Een normaalkracht kan bijvoorbeeld centrisch ingeleid worden
met vier (of drie) vijzels op gelijke afstand. Vervolgens kan een moment ingeleid worden door
krachten in de vijzels afzonderlijk te sturen waarbij de normaalkracht constant blijft. Een bijkomend
voordeel is dat het lastblok kleiner en lichter uitgevoerd kan worden.
70
Kalkzandsteen kolommen, biaxiale buiging
Afstudeerrapport
Literatuurlijst
Normen
[EUR 6]
NEN-EN 1996-1-1, Ontwerp en berekening van constructies van metselwerk, 2011,
Technische Commissie CEN/TC250 “Structural Eurocodes”
[EUR 2]
NEN-EN 1992-1-1, Ontwerp en berekening van betonconstructies, 2011, Technische
Commissie CEN/TC250 “Structural Eurocodes”
Publicaties, theorie
[Anselmi12]
Yield surface of a zero-tension rectangular masonry section subjected to an eccentric
compressive force, journal of the international masonry society, 2012, Vol. 25 No 3
[Charif09]
Charif A., RC-BIAX software, 2009, King Saud University, Civil Engineering Department
[Pallarés09]
Pallarés L., Bonet J.L., The influence of the weak axis on the behavior of high strength
RC slender columns subjected to biaxial bending, 2009, Polytechnic University of
Valencia, Spain
[Sato02]
Sato T, Simple Numerical Method for Biaxial Bending Moment-Curvature Relations of
Reinforced Concrete Column Section, 2002
[Martens06]
Martens D.R.W, Fysisch niet-lineair gedrag van metselwerk onder samengestelde
buiging, 2006, Cement, 58(4), 80-84
Publicaties, experimenteel onderzoek
[Pallarés08]
Pallarés L., Bonet J.L. (2008), Experimental research on high strength concrete slender
columns subjected to compression and biaxial bending forces, Polytechnic University
of Valencia, Spain
[Kim99]
Kim J-K, Lee S-S, The behavior of reinforced concrete columns subjected to axial force
and biaxial bending, 1999, Department of Civil Engineering, Korea Advanced Institute
of Science and Technology, Kusong 373-1, Yusong, Taejon, South Korea
[Mavichak76] Mavichak V. and Furlong R.W., STRENGTH AND STIFFNESS OF REINFORCED CONCRETE
COLUMNS UNDER BIAXIAL BENDING, 1976, Texas State Department of Highways and
Public Transportation; Transportation Planning Division,
Boeken
[Roberts01]
Roberts J., Concrete masonry designer's handbook, 2011, Spon Press, Londen
[Pluijm99]
Pluijm R.v.d., Out-of-plane bending of masonry: behavior and strength, 1999, TU/e,
Eindhoven
[digitaal]
[Hendry98]
Hendry A.W.: Structural Masonry, 1998, McMillan, London
[Drysdale94]
Drysdale R.G., Masonry structures : behavior and design, 1994, Englewood Cliffs :
Prentice Hall
[digitaal]
71
Kalkzandsteen kolommen, biaxiale buiging
[Orton93]
Orton A., Structural design of masonry, 1993, Longman, Londen
[Sahlin71]
Sahlin S., Structural Masonry, 1971, Englewood Cliffs : Prentice Hall
Afstudeerrapport
Overige normen/boeken/publicaties/dictaten, gebruikt in vooronderzoek
[NEN 6790]
Technische grondslagen voor bouwconstructies - TGB 1990 - Steenconstructies Basiseisen en bepalingsmethoden, 1991, Nederlands Normalisatie-instituut
[BS5628]
Code of practice for the use of masonry, 2005,
[Martens 03]
Martens D.R.W., Tabel 6 van NEN 6790 ter discussie gesteld, 2003, Cement, 55(3), 97100.
[McKenzie01] Mckenzie M.C., Design of structural masonry, 2001, Palgrave, Londen
[IStructE08]
Institution of Structural Engineers: Manual for the design of plain masonry in building
structures to Eurocode 6, 2008, IStructE, Londen
[Mechanica 2] Janssen H.J.M., Mechanica 2: spanningen en vervormingen, 2005, TUE, Eindhoven
[Mechanica 4] Janssen H.J.M., Mechanica 4: constructief gedrag van elementen, 2009, TUE,
Eindhoven
[Bonet04]
Bonet J.L. (2004), Biaxial bending moment magnifier method, Polytechnic University
of Valencia, Spain
[Slatford57]
Chapman J.C., Slatford S., The elastic buckling of brittle columns, 1957, ICE
PROCEEDINGS,
[Groot67]
Groot A.K., De stabiliteit van kolommen en wanden van ongewapend beton, 1967,
Heron, 15(3/4), 65-90
Indirecte verwijzingen (artikel zelf niet gelezen)
[Bresler60]
Bresler B., Design criteria for reinforced columns under axial load and biaxial bending.
ACI Journal of the American Concrete Institute 1960;57(5):481–90.
72
Kalkzandsteen kolommen, biaxiale buiging
Afstudeerrapport
Bijlage A – Grafieken en tabellen behorende bij de overige resultaten
A1 - Verwerking van de meetresultaten van de overige cycli
A1.1 Proefstuk 2, laatste cyclus (2d)
In deze proef werd belast met een excentriciteit ey=t/6=25mm en ex=b/6=50mm met de vijzels op
posities A’’BCD. In figuur a1b en c is de verwachtte positie van de neutrale as getekend, de
berekende bezwijklast is 370 kN.
Figuur A1a: positionering vijzels A’’BCD, b: verwachte neutrale as bij 150kN, c: bij bezwijken 370 kN
Het verloop van de krachten en de relatieve verschillen zijn weergegeven in figuur a2. Het proefstuk
is geleidelijk doorbelast tot bezwijken van de drukzone. De krachten in vijzel C en D nemen naar het
einde van de proef sneller toe dan de krachten in A en B.
Figuur A2a: normaalkracht per vijzel, b: relatief verschil t.o.v. gemiddelde
Voor het naderen van de bezwijklast is een bi-lineaire trend waarneembaar, gekoppeld met een
gebogen deel tussen 150kN en 170kN, Figuur A3a. De verplaatsing in het midden is ongeveer 1/3e
R. Bisschop
Bijlage A – Grafieken en tabellen behorende bij de overige resultaten
A.1
Kalkzandsteen kolommen, biaxiale buiging
Afstudeerrapport
van de verplaatsing aan de top in x-richting en ongeveer 1/4e in y-richting. De excentriciteiten zijn
weergegeven in Figuur A3b, in de loop van de proef neemt de excentriciteit eerst af in beide
richtingingen waarna de excentriciteit weer teoneemt.
Figuur A3a: gemeten uitbuiging bij toename van de normaalkracht in het midden en aan de top, b:
Berekende excentriciteit tegen toename van de normaalkracht
Een bi-lineair gedrag is ook te zien in de kracht-rek grafieken. Vanaf 140kN (Ml) buigen de lijnen af
gevolgd door een tweede lineaire tak in de meting van de rekken vanaf 170kN. De LVDT’s 2-06 en 303 liggen ongeveer op de neutrale as, aanvankelijk in de drukzone en vanaf 200kN in de trekzone.
Figuur A4: Normaalkracht uitgezet tegen de rek per LVDT
R. Bisschop
Bijlage A – Grafieken en tabellen behorende bij de overige resultaten
A.2
Kalkzandsteen kolommen, biaxiale buiging
Afstudeerrapport
Breuk in het proefstuk ontstaat in de blokken vanaf de onderzijde in laag 3 tot en met laag 7. De
neutrale as is weergegeven in figuur a5. Aanvankelijk wordt een verschuiving van de neutrale as
waargenomen van 1 naar 2, in omgekeerde richting dan verwacht. Dit komt overeen met een
reductie van de excentriciteit door verschuiving van het zwaartepunt van de normaalkracht. Van 2
naar 3 verschuift de neutrale as richting het zwaartepunt van de normaalkracht, de excentriciteit
neemt toe. De hoek van de neutrale as ten opzichte van de zwakke as is aanvankelijk redelijk
constant rond de 25 graden (lijn1). Een geringe rotatie richting de zwakke as is waarneembaar van 25
(lijn2) graden tot 22 graden(3).
Figuur A5: neutrale as in de proef (1 bij 44,2kN, 2 bij 169,15kN en 3 bij 269,52 kN)
A1.2 Proefstuk 3, laatste cyclus (3d)
In deze proef werd belast met de vijzels op posities A’’’BCD, daaruit volgt een excentriciteit
ey=t/6=25mm en ex=b/3=100mm. In figuur a6b en c is de verwachtte positie van de neutrale as
getekend. De berekende bezwijklast is 182kN.
Figuur A6a: positionering vijzels A’’’BCD, b: verwachte neutrale as bij 146kN en c: bij bezwijken 182 kN
In figuur a7a is het verloop van de krachten weergegeven. Het proefstuk is geleidelijk doorbelast tot
bezwijken van de drukzone bij een totale normaalkracht van 167 kN. De verschillen in krachten
nemen tegen het einde van de proef toe (vanaf 600 seconden).
R. Bisschop
Bijlage A – Grafieken en tabellen behorende bij de overige resultaten
A.3
Kalkzandsteen kolommen, biaxiale buiging
Afstudeerrapport
Figuur A7a: normaalkracht per vijzel, b: relatief verschil t.o.v. gemiddelde
De horizontale verplaatsing is in twee richtingen bijna gelijk en in het midden van de kolom ongeveer
1/4e tot 1/5e van de verplaatsing aan de top. De berekende excentriciteiten 1e orde en 2e orde zijn
weergegeven in figuur a8. Aanvankelijk zou ex gelijk zijn aan 100mm en ey aan 25mm. Bij de eerste
metingen is de eerste orde excentriciteit al relatief laag door het verschil in krachten. De
excentriciteit neemt in de loop van de proef toe tot 160kN, tegen het einde als het proefstuk
bezwijkt veranderd ook de krachtsverdeling.
Figuur A8a: gemeten uitbuiging bij toename van de normaalkracht in het midden en aan de top, b:
Berekende excentriciteit tegen toename van de normaalkracht
Ook hier is een bilineaire trend waarneembaar in de kracht-rek grafiek, figuur a9. Lineair gedrag is
waargenomen tot ongeveer 78 kN, waarna de helling afneemt. Bij 87 kN is een duidelijke knik in de
meting van de rekken te zien, in andere proeven is een dergelijke knik niet waargenomen
R. Bisschop
Bijlage A – Grafieken en tabellen behorende bij de overige resultaten
A.4
Kalkzandsteen kolommen, biaxiale buiging
Afstudeerrapport
Figuur A9: gemeten rek per LVDT bij toenemende normaalkracht
De gedrukte zone is aan het begin van de proef groter dan verwacht, zie figuur a10. de neutrale as
verschuift in de loop van de proef richting het zwaartepunt van de normaalkracht en de excentriciteit
neemt ook toe. Ook in deze proef is een rotatie van de neutrale as waarneembaar richting de zwakke
as, van ongeveer 50 graden (1) naar ongeveer 44 graden (3),
Figuur A10: neutrale as in de proef fase 1, 2 en 3 vergeleken met de voorspelling (rood)
A1.3 Proefstuk 4, laatste cyclus (4d)
In deze proef werd belast met de vijzels op posities A’B’CD, daaruit volgt een excentriciteit ey=t/3=50
mm en ex= 0 mm. Overeenkomstig met proef 1d is dit een proef met buiging om één hoofdas, de
excentriciteit in y-richting is twee keer zo groot en de drukzone is half zo groot als in proef 1d. In
figuur a11b en c is de verwachtte positie van de neutrale as getekend, de drukzone is ongeveer de
helft de drukzone in proef 1. De berekende bezwijklast is 255kN.
R. Bisschop
Bijlage A – Grafieken en tabellen behorende bij de overige resultaten
A.5
Kalkzandsteen kolommen, biaxiale buiging
Afstudeerrapport
Figuur A11a: positionering vijzels A’B’CD, b: neutrale as en gedrukte zone bij 146kN, c: bij bezwijken 255 kN
Toename van de vijzelkrachten en het verschil ten opzichte van het gemiddelde zijn weergegeven in
figuur a12. DE trend is gelijk aan de overige proeven, vijzels C en D hebben een hogere kracht. Het
proefstuk is doorbelast tot 250 kN, de proef is gestaakt doordat de horizontale verplaatsing te groot
werd.
Figuur A12a: normaalkracht per vijzel, b: relatief verschil t.o.v. gemiddelde
In Figuur A13 is te zien dat de meting van de horizontale verplaatsing aan de top bij 190 kN al aan het
maximale meetbereik zit met 32mm, de verplaatsing aan de top is ongeveer een factor vier hoger
dan in het midden. De verplaatsing in x-richting is zoals verwacht bijna gelijk aan 0.
In verhouding tot andere proeven neemt de uitbuiging na het scheurmoment hier sneller toe. Dit kan
te maken hebben met het feit dat om de zwakke as belast wordt en dat bij het ontstaan van
scheuren dit gebeurt over de gehele rand van de doorsnede ipv in een hoek van de doorsnede,
resulterend in een sneller verlies van buigstijfheid.
R. Bisschop
Bijlage A – Grafieken en tabellen behorende bij de overige resultaten
A.6
Kalkzandsteen kolommen, biaxiale buiging
Afstudeerrapport
Figuur A13a: gemeten uitbuiging bij toename van de normaalkracht in het midden en aan de top, b:
excentriciteiten lastblok en na herberekening van de momenten
Net als in proef 1 is te verwachten dat LVDT’s op gelijke y-coördinaat een zelfde verlenging
registeren, dit is ook te zien in figuur a14. Hieruit volgt dat de neutrale as parallel ligt aan de x-as en
de gedrukte zone in grofweg de helft van de doorsnede ligt.
Figuur A14: gemeten rek per LVDT bij toenemende normaalkracht
R. Bisschop
Bijlage A – Grafieken en tabellen behorende bij de overige resultaten
A.7
Kalkzandsteen kolommen, biaxiale buiging
Afstudeerrapport
Aanvankelijk verschuift de neutrale as in positieve y-richting, dit komt overeen met een reductie van
de excentriciteit (van 1 naar 2, figuur a15). Daarna neemt de excentriciteit toe en verplaatst de
neutrale as in negatieve y-richting zoals verwacht (van 2 naar 3).
Figuur A15: neutrale as in de proef fase 1, 2 en 3 vergeleken met de voorspelling (rood)
A1.4 Proefstuk 5, laatste cyclus (5e)
In deze proef werd belast met de vijzels op posities A’’B’CD, daaruit volgt een excentriciteit als volgt:
ey=t/3=50 mm en ex=b/6=50 mm. Overeenkomstig met proef 3d, waar ook met 1/6e en 1/3e van de
doorsnedeafmetingen werd belast maar dan om de omgekeerde assen, is de berekende bezwijklast
182kN. In figuur a16b en c is de verwachtte positie van de neutrale as getekend.
Figuur A16 a) positionering vijzels A’’B’CD b) verwachte neutrale as bij 146kN en c) bij bezwijken 182 kN met
een hoek t.o.v. de x-as van 13,5 graden
De toename van de krachten is weergegeven in figuur a17. Het proefstuk is doorbelast tot 165 kN
waarna door de vervormingen vijzel B aan een maximale slag zat en de kracht hier niet meer kon
toenemen.
R. Bisschop
Bijlage A – Grafieken en tabellen behorende bij de overige resultaten
A.8
Kalkzandsteen kolommen, biaxiale buiging
Afstudeerrapport
Figuur A17 a: normaalkracht per vijzel, b: relatief verschil t.o.v. gemiddelde
Ook in Figuur A18a is een bilineair verloop in de kracht-verplaatsingsgrafiek te zien. Op 160kN is de
uitbuiging aan de top in y-richting 32 mm en wordt de toename niet meer geregistreerd. De
uitbuiging aan de top van de kolom is ongeveer 3 tot 4 keer groter dan in het midden. De
excentriciteiten zijn aanvankelijk in beide richtingen lager dan 50mm. In de loop van de proef neemt
de excentriciteit in y-richting toe van 35 tot 45 mm, in x-richting van 40 naar 50 mm.
Figuur A18a: gemeten uitbuiging bij toename van de normaalkracht in het midden en aan de top, b:
excentriciteiten lastblok en na herberekening van de momenten
Uit de kracht-rek grafiek volgt dat de gedrukte zone overeenkomt met ongeveer de helft van de
doorsnede, de neutrale as snijdt de rand ongeveer bij LVDT’s 2-05 en 3-03.
R. Bisschop
Bijlage A – Grafieken en tabellen behorende bij de overige resultaten
A.9
Kalkzandsteen kolommen, biaxiale buiging
Afstudeerrapport
Figuur A19, gemeten rek per LVDT bij toenemende normaalkracht (LVDT3-02 functioneerde niet goed)
In figuur a20 is de neutrale as ingetekend op drie belastingniveau ‘s. In vergelijking met de
voorgaande proeven is de trend hetzelfde. Ook in deze proeven is een rotatie van de neutrale as
waarneembaar in de richting van de zwakke as van ongeveer 18 graden (1) naar 16 graden (3).
Figuur A20: neutrale as in de proef fase 1, 2 en 3 vergeleken met de voorspelling (rood)
R. Bisschop
Bijlage A – Grafieken en tabellen behorende bij de overige resultaten
A.10
Kalkzandsteen kolommen, biaxiale buiging
Afstudeerrapport
A1.5 Proefstuk 6, laatste cyclus (6d)
In deze proef werd belast met de vijzels op posities A’’’B’CD, daaruit volgt een excentriciteit als volgt:
ey=t/3=50 mm en ex=b/3=100 mm. Overeenkomstig met proef 3d, waar ook met 1/6e en 1/3e van de
doorsnedeafmetingen werd belast maar dan om de omgekeerde assen, is de berekende bezwijklast
182kN. In figuur a16b en c is de verwachtte positie van de neutrale as getekend.
Figuur A21a: positionering vijzels A’’BCD, b: verwachte neutrale as bij 73kN, c: bij bezwijken 92kN met een
hoek tov de x-as van 26,5 graden
De proef is doorbelast tot 130 kN, zie figuur a22. Het proefstuk is niet bezweken.
Figuur A22 a: normaalkracht per vijzel, b: relatief verschil t.o.v. gemiddelde
In de kracht-verplaatsing figuur is aanvankelijk een bilineair gedrag waargenomen. Vanaf 100 kN
nemen de vervormingen minder snel toe, dit is het gevolg van de verandering in krachtsverdeling. De
resultaten vanaf 100 kN worden dan ook niet meegenomen in de analyses. De verplaatsing aan de
top is in x-richting factor 4 hoger dan in het midden en tegen het einde van de proef zelfs een factor
5 hoger in y-richting.
R. Bisschop
Bijlage A – Grafieken en tabellen behorende bij de overige resultaten
A.11
Kalkzandsteen kolommen, biaxiale buiging
Afstudeerrapport
Evenals in proef 5 is de excentriciteit in y-richting gedurende de proef aanzienlijk lager dan 50mm,
deze neemt toe van 36 naar 42 mm. In x-richting neemt de excentriciteit toe van 80 naar 100mm.
Figuur A23a: gemeten uitbuiging bij toename van de normaalkracht in het midden en aan de top, b:
excentriciteiten lastblok en na herberekening van de momenten
De kracht-rek grafiek is weergegeven in Figuur A24, met hierin eenzelfde trend als in de krachtverplaatsingsfiguur. Vier van de twaalf LVDT’s registreren een verkorting, minder dan de helft van de
doorsnede is gedrukte zone.
Figuur A24: gemeten rek per LVDT bij toenemende normaalkracht
R. Bisschop
Bijlage A – Grafieken en tabellen behorende bij de overige resultaten
A.12
Kalkzandsteen kolommen, biaxiale buiging
Afstudeerrapport
Bij toename van de normaalkracht neemt de excentriciteit toe en de neutrale as schuift richting het
zwaartepunt van de normaalkracht.
FiguurA 25: neutrale as in de proef fase 1, 2 en 3 vergeleken met de voorspelling (rood)
R. Bisschop
Bijlage A – Grafieken en tabellen behorende bij de overige resultaten
A.13
Kalkzandsteen kolommen, biaxiale buiging
Afstudeerrapport
A2 - Overzicht van de resultaten in tabellen
Krachten, excentriciteiten, uitbuiging aan de top, neutrale as en kromming die volgen uit de
metingen op negen belastingniveau ‘s per proef.
Tabel A1: Proef 1d, normaalkracht en excentriciteiten, verplaatsing aan de top, neutrale as en kromming
Kracht
ext
eyt
ex1
ey1
ux
uy
Neutrale As
εu
κ*103
kN
mm
mm
mm
mm
mm
mm
graden
mm
mm/m
1/m
43,50
1,70
19,20
1,70
17,40
-0,02
3,77
-1,42
95,25
-0,23
1,38
93,70 118,60 143,70 169,30 193,70 217,90 243,60 269,10
0,60
0,60
0,60
0,20 -0,40 -1,40 -0,50
6,80
22,50 22,70 22,70 21,90 21,30 20,30 21,80 19,10
0,50
0,30
0,40 -0,10 -0,70 -1,70 -0,90
6,30
20,60 20,60 20,20 18,90 17,60 15,90 15,70 12,10
-0,11 -0,16 -0,19 -0,20 -0,25 -0,32 -0,36
0,50
6,40
7,65
9,07 10,69 12,46 14,27 17,84 19,65
-1,78 -1,83 -1,74 -1,89 -2,23 -2,82 -2,80 -0,01
84,40 78,08 71,46 67,45 65,01 63,62 57,40 59,36
-0,51 -0,67 -0,88 -1,16 -1,51 -1,92 -2,68 -3,44
3,27
4,53
6,19
8,43 11,26 14,66 21,45 25,58
Tabel A2: Proef 2d normaalkracht en excentriciteiten, verplaatsing aan de top, neutrale as en kromming
Kracht
ext
eyt
ex1
ey1
ux
uy
Neutrale As
εu
κ*103
kN
mm
mm
mm
mm
mm
mm
graden
mm
mm/m
1/m
44,23
49,75
24,90
49,68
23,58
0,73
1,14
24,90
42,91
-0,50
2,87
94,40 144,24 169,15 194,18 219,41 244,71 269,52 315,29
48,66 45,22 44,95 46,39 47,62 50,19 51,92 52,80
23,92 20,59 21,29 22,92 24,83 26,22 27,53 28,44
48,33 44,61 44,14 45,04 45,65 47,39 48,11 47,02
22,12 18,23 18,03 17,80 17,70 16,85 15,86
9,87
1,32
2,03
2,95
4,78
6,66
8,79 10,95 17,38
2,07
3,17
4,82
8,10 11,58 15,46 19,44 30,94
25,31 26,14 25,91 25,75 25,36 24,88 24,45 21,96
49,66 55,17 48,87 39,23 33,88 30,56 27,66 11,24
-0,94 -1,52 -2,23 -3,62 -5,13 -6,83 -8,49 -12,88
5,20
8,05 12,24 21,05 30,86 53,37 71,10 85,64
Tabel A3: Proef 3d normaalkracht en excentriciteiten, verplaatsing aan de top, neutrale as en kromming
Kracht
ext
eyt
ex1
ey1
ux
uy
Neutrale As
εu
κ*103
R. Bisschop
kN
mm
mm
mm
mm
mm
mm
graden
mm
mm/m
1/m
19,26
88,43
13,54
87,84
12,07
1,04
1,04
48,93
11,95
-0,36
4,62
49,44
92,49
17,00
91,14
15,19
2,25
2,07
49,68
10,30
-0,85
5,71
79,53
93,92
18,52
91,65
16,01
3,69
3,27
49,25
7,47
-1,39
8,13
89,79 99,84 129,50 145,45 160,79 169,41
94,88 95,74 101,74 103,35 101,56 90,24
19,25 20,76 23,89 28,28 30,51 26,11
91,83 91,59 92,94 91,70 87,22 72,74
15,83 15,83 12,03 12,22 10,53
2,87
5,08
7,24 15,55 20,75 24,98 27,23
4,48
6,38 14,70 19,87 24,27 25,13
48,38 47,35 44,86 44,37 43,71 37,10
-6,10 -13,10 -26,21 -29,35 -30,95 -10,51
-2,02 -2,98 -7,84 -10,76 -13,78 -15,42
12,94 20,10 58,86 83,09 108,29 110,09
Bijlage A – Grafieken en tabellen behorende bij de overige resultaten
A.14
Kalkzandsteen kolommen, biaxiale buiging
Afstudeerrapport
Tabel A4: Proef 4d normaalkracht en excentriciteiten, verplaatsing aan de top, neutrale as en kromming
Kracht
ext
eyt
ex1
ey1
ux
uy
Neutrale As
εu
κ*103
kN
mm
mm
mm
mm
mm
mm
graden
mm
mm/m
1/m
22,55
2,67
40,35
2,60
38,42
0,05
1,32
1,42
14,00
-0,26
2,82
52,20
0,79
41,10
0,67
38,63
0,06
2,53
0,91
19,35
-0,53
5,50
82,38
0,37
40,97
0,13
38,02
0,08
3,66
0,78
22,48
-0,78
7,87
99,37 118,19 136,39 151,81 166,79 189,65
-0,30 -1,08 -0,96 -1,68 -2,53 -2,79
40,14 38,49 41,79 46,02 48,84 51,75
-0,58 -1,40 -1,19 -1,72 -2,53 -2,82
36,77 34,47 34,28 33,44 30,50 28,43
0,06
0,04
0,04 -0,09 -0,25 -0,50
4,37
5,39
9,78 16,05 23,22 29,86
0,45
0,07 -0,18 -0,58 -0,83 -1,09
24,10 25,98 12,70
3,47 -0,19 -0,10
-0,94 -1,19 -2,02 -3,29 -5,01 -6,71
9,35 11,74 23,15 42,80 68,95 93,24
Tabel A5: Proef 5e normaalkracht en excentriciteiten, verplaatsing aan de top, neutrale as en kromming
N
ext
eyt
ex1
ey1
ux
uy
Neutrale As
εu
κ*103
kN
mm
mm
mm
mm
mm
mm
graden
mm
mm/m
1/m
32,02
40,15
36,30
39,89
34,28
0,62
1,72
17,82
18,06
-0,59
4,32
49,35
42,47
37,27
42,08
34,86
0,91
2,53
17,29
18,92
-0,84
6,18
67,78
44,59
37,57
44,08
34,56
1,23
3,57
16,63
18,01
-1,15
8,63
89,48 105,73 119,19 135,56 151,97 165,67
46,78 48,46 48,90 48,77 49,94 50,49
37,68 39,82 41,55 41,45 45,26 46,05
45,96 46,94 46,54 45,58 45,18 44,50
33,33 32,29 30,74 27,62 26,65 24,74
1,91
3,32
4,83
6,34
8,49 10,00
5,64 10,21 15,09 19,86 27,37 31,85
16,68 16,86 16,80 16,70 16,19 15,92
13,12
1,45 -3,00 -3,97 -6,03 -6,37
-1,77 -3,18 -4,73 -6,28 -8,39 -9,89
13,85 27,22 42,09 56,49 77,76 92,43
Tabel A6: Proef 6d normaalkracht en excentriciteiten, verplaatsing aan de top, neutrale as en kromming
N
ext
eyt
ex1
ey1
ux
uy
Neutrale As
εu
κ*103
R. Bisschop
kN
mm
mm
mm
mm
mm
mm
graden
mm
mm/m
1/m
23,23
88,12
35,47
87,58
32,68
1,14
1,94
25,39
0,43
-0,57
4,27
32,65
90,19
36,18
89,33
33,01
1,62
2,65
26,68
-2,85
-0,79
5,98
42,52 52,50 62,49 72,55 82,51 93,95 100,73
92,01 93,16 93,17 92,71 96,72 99,49 98,47
36,33 35,35 35,49 35,55 38,97 41,92 41,96
90,73 91,16 90,17 88,86 90,09 89,77 87,91
32,63 30,52 28,13 25,32 23,36 21,07 19,94
2,23
3,37
5,44
7,90 12,30 16,89 18,18
3,51
4,95
7,73 10,95 16,92 23,07 24,73
28,37 30,88 32,64 33,71 34,16 34,44 34,61
-6,07 -11,89 -22,57 -27,67 -33,27 -36,05 -35,63
-1,04 -1,50 -2,62 -4,08 -6,55 -9,00 -9,76
7,91 11,60 21,51 34,50 57,77 81,11 97,35
Bijlage A – Grafieken en tabellen behorende bij de overige resultaten
A.15
Kalkzandsteen kolommen, biaxiale buiging
Afstudeerrapport
A3 - Grafieken met resultaten van vergelijkbare belastingcycli
Zie hoofdstuk 7.2. De proefresultaten die niet in het verslag zelf zijn weergegeven worden hier
getoond.
Figuur A.26: figuren proefresultaten met overeenkomende belastingconfiguratie
R. Bisschop
Bijlage A – Grafieken en tabellen behorende bij de overige resultaten
A.16
Kalkzandsteen kolommen, biaxiale buiging
Afstudeerrapport
A4 - Tabellen met gegevens behorende bij de figuren
Zie hoofdstuk 8.1, in de figuren zijn in de proef ingeleide normaalkracht en excentriciteiten
vergeleken met een berekening uit de rekken op negen belastingniveau ‘s. Zie ook bijlage A2. De
absolute verschillen zijn weergegeven in de volgende zes tabellen.
Proef 1d
κ*10^6(1/mm)
1,38
3,27
4,53
6,19
8,43
11,26
14,66
21,45
25,58
Verschil F (kN)
Verschil ex (mm)
Verschil ey (mm)
0,95
3,64
0,46
0,26
3,41
0,27
0,46
3,39
0,66
6,07
3,18
0,52
10,99
2,90
0,31
13,29
2,86
0,22
13,50
2,72
0,78
9,18
3,81
1,42
3,52
6,86
3,62
κ*10^6(1/mm)
2,87
5,20
8,05
12,24
21,05
30,86
42,19
53,63
84,05
Verschil F (kN)
Verschil ex (mm)
Verschil ey (mm)
3,90
1,09
2,55
1,10
2,35
0,62
8,93
5,16
0,24
9,26
5,09
0,81
2,62
3,13
0,53
3,55
1,77
0,61
13,12
2,81
0,53
16,65
3,77
0,75
11,53
5,43
0,02
κ*10^6(1/mm)
4,62
5,71
7,87
12,94
20,10
46,23
69,90
83,66
108,29
Verschil F (kN)
Verschil ex (mm)
Verschil ey (mm)
8,89
2,28
1,30
5,66
4,19
0,61
1,09
6,60
2,41
2,55
4,42
1,69
0,53
3,59
1,57
10,42
3,87
1,23
22,27
4,76
0,50
21,73
4,96
2,62
20,17
4,18
5,15
κ*10^6(1/mm)
2,82
5,50
7,87
10,84
12,64
19,02
30,33
48,36
76,86
Verschil F (kN)
Verschil ex (mm)
Verschil ey (mm)
2,67
1,53
4,94
3,05
1,74
2,42
0,89
1,47
0,62
6,47
1,42
0,64
8,20
1,03
1,02
8,73
0,59
0,78
3,47
0,81
0,69
6,78
0,21
1,68
29,84
1,19
3,31
5,31
7,81
11,44
14,65
27,22
42,09
56,49
77,76
101,67
14,35
3,97
1,79
13,91
2,88
0,82
11,06
7,57
0,89
9,93
7,93
0,92
11,56
4,87
2,38
18,18
2,34
3,13
25,37
1,13
4,73
34,91
2,11
3,44
39,39
4,86
4,71
2,40
5,98
7,91
11,60
21,51
34,50
57,77
81,11
87,45
6,48
15,11
6,39
9,49
13,60
1,69
8,26
12,98
0,08
8,11
10,54
0,94
9,11
5,49
0,72
12,86
1,82
0,31
21,30
2,20
1,94
26,51
3,37
4,20
26,71
2,57
4,63
Gemm.
6,47 kN
3,64 mm
0,92 mm
Proef 2d
Gemm.
7,85 kN
3,40 mm
0,74 mm
Proef 3d
Gemm.
10,37 kN
4,32 mm
1,90 mm
Proef 4d
Gemm.
7,79 kN
1,11 mm
1,79 mm
Proef 5d
κ*10^6(1/mm)
Gemm.
Verschil F (kN)
Verschil ex (mm)
Verschil ey (mm)
19,85 kN
4,19 mm
2,53 mm
Proef 6d
κ*10^6(1/mm)
Gemm.
Verschil F (kN)
Verschil ex (mm)
Verschil ey (mm)
R. Bisschop
Bijlage A – Grafieken en tabellen behorende bij de overige resultaten
14,31 kN
7,52 mm
2,32 mm
A.17
Kalkzandsteen kolommen, biaxiale buiging
R. Bisschop
Afstudeerrapport
Bijlage A – Grafieken en tabellen behorende bij de overige resultaten
A.18
Kalkzandsteen kolommen, biaxiale buiging
Afstudeerrapport
Bijlage B - Controle van de krachtswerking met Scia Engineer
Een analyse van de vervormingen in de proefopstelling leidt tot een herberekening van de
krachtswerking. De krachtswerking en formules gebruikt voor herberekening van de momenten zijn
weergegeven in hoofdstuk 4 van dit verslag. Met Scia Engineer zijn de uitkomsten van de formules
vergeleken met een lineair 3d model.
Figuur B1, Tekening proefopstelling en model in Scia-Engineer met initiële vervorming
Figuur B1c geeft een weergave van de kolom in de proefopstelling zoals ingevoerd in Scia Engineer,
hierin geldt:
- De kolom heeft afmetingen 301*150mm en 1.000mm hoog en elasticiteitsmodulus
2.300N/mm2.
- Het lastblok bestaat uit oneindig buigstijve elementen, verbonden met draadeinden op een
hoogte van 300mm ten opzichte van het kolomuiteinde.
- De draadeinden zijn gemodelleerd als ronde staven Ø20,4 met elasticiteitsmodulus
E=2E+5N/mm2. Aan de onderzijde kan de oplegging vrij verplaatsen in verticale richting.
- De belasting is 25 kN per vijzel + 5,9 kN door het eigen gewicht van het lastblok.
- Het zwaartepunt van de vier vijzelkrachten heeft een excentriciteit om de sterke as gelijk
aan b/6 = 50mm, rekenend met een moment om de y-as 4*25*0,05= 5kNm.
- Het eigen gewicht van het lastblok grijpt aan als een puntlast aan de top van de kolom
- Vijzelkrachten zijn ingevoerd als een verticale kracht onder in de draadeinden.
In drie modellen worden de rekenstappen, welke worden beschreven in hoofdstuk 4, getoetst met
drie varianten van dit model. In het eerste model zijn de ronde staven (draadeinden) aan de
uiteinden scharnierend verbonden. Hier wordt gecontroleerd of de randvoorwaarden goed
gemodelleerd zijn en de uitkomsten overeenkomen met lineair elastische berekeningen. In het
tweede model zijn de draadeinden aan de uiteinden ingeklemd. In het derde model is de kolom
ingevoerd met een initiële vervorming.
R. Bisschop
Bijlage B - Controle krachtswerking met Scia Engineer
B.1
Kalkzandsteen kolommen, biaxiale buiging
Afstudeerrapport
Model 1, Scharnierende draadeinden en controle buigvorm
Berekening vervorming constructie bij buiging om de hoofdas, om te controleren wat het effect is
van inklemming van de draadeinden worden eerst de resultaten weergegeven in het geval dat deze
scharnierend verbonden zouden zijn. Deze worden in volgend model vergeleken met resultaten bij
ingeklemde draadeinden.
Tabel B1, output Scia Engineer
K5: Onderzijde kolom: 0,0 mm
K53: Midden kolom: 3,21 mm
K52 Top Kolom:
12,84 mm
K6: Top Lastblok:
20,54 mm
Hoekverdraaiing aan de top: 25,7 mrad
Krachten in de kolom:
Normaalkracht:
105,9 kN
Moment (x):
5,0 kNm
Het moment komt overeen met een lineair elastische berekening, het lastblok drukt in de zwaartelijn
van de kolom en heeft dus geen invloed op het buigend moment:
‫ = ܯ‬෍ ‫ܨ‬௜ ‫ݖ‬௜ = 2 ∗ 25 ∗ 0,3 + 2 ∗ 25 ∗ −0,2 + 5,9 ∗ 0 = 5 ݇ܰ݉
Controle berekening cirkelboog
Berekening van de hoekverdraaiing en scheefstand van het lastblok met de formules gebruikt in de
rekensheet met coordinaten van de meetpunten:
(0 ; 0) ;
(500 ; 3,210) ;
(1000 ; 12,840)
Drie punten op de cirkelboog A,B en C (zie figuur 26a hoofdstuk 4.1 van het verslag):
A = ඥ(‫ݔ‬ଵ − ‫ݔ‬ଶ )ଶ + (‫ݕ‬ଵ − ‫ݕ‬ଶ )ଶ = ඥ(0 − 3,210 )ଶ + (0 − 500)ଶ = 500,010304 mm
B = ඥ(‫ݔ‬ଶ − ‫ݔ‬ଷ )ଶ + (‫ݕ‬ଶ − ‫ݕ‬ଷ )ଶ = ඥ(3,210 − 12,840 )ଶ + (500 − 1000)ଶ = 500,0927 ݉݉
C = ඥ(‫ݔ‬ଷ − ‫ݔ‬ଵ )ଶ + (‫ݕ‬ଷ − ‫ݕ‬ଵ )ଶ = ඥ(1000 − 0)ଶ + (12,840 − 0)ଶ = 1000,082 mm
஺஻஼
Straal:
ܴ=
= 38952,045 mm
ඥ(஺ା஻ା஼)(஺ା஻ି஼)(஺ା஼ି஻)(஻ା஼ି஺)
ଵ
ଵ
Kromming:
Hoekverdraaiing kolomtop:
ߢ = ோ = ଷ଼ଽହଶ,଴ସହ = 2,567 ∗ 10ିହ 1/mm
߮ = ߢ ∗ ‫ = ܮ‬2,567 ∗ 10ିହ ∗ 300 = 0,02567 ݉݉‫݀ܽݎ‬
Verplaatsing van het zwaartepunt van het lastblok (zie hoofdstuk 4.1 verslag):
U௧௢௣ = 12,840 + 0,02567 ∗ 300 = 20,54 ݉݉
De resultaten uit de formules komen overeen met het model.
R. Bisschop
Bijlage B - Controle krachtswerking met Scia Engineer
B.2
Kalkzandsteen kolommen, biaxiale buiging
Afstudeerrapport
Model 2, ingeklemde draadeinden
Tabel B2, output Scia Engineer
K5: Onderzijde kolom: 0,0 mm
K53: Midden kolom: 3,138 mm
K52 Top Kolom:
12,552 mm
K6: Top Lastblok:
20,084 mm
Hoekverdraaiing aan de top: 25,1 mrad
Krachten in de kolom:
Normaalkracht:
Moment (x):
105,9 kN
4,89 kNm
De normaalkracht is gelijk als in model 1. Het gereduceerde moment door de buigstijfheid van de
draaeinden is (5,00-4,89)=0,11 kNm.
Controle berekening moment draadeinden
2‫ܫܧ ݑ‬
‫ܮ‬ଶ
‫ = ݑ‬20,118 ݉݉
‫ܯ‬ௗ௥௔௔ௗ௘௜௡ௗ =
஠ ଶ଴,ସర
‫ = ܫܧ‬4 ∗ 200.000 ∗ ଺ସ = 7,14 ∗ 10ଽ ܰ݉݉ଶ
2 ∗ 20,084 ∗ 7,14 ∗ 10ଽ
‫ܯ‬ௗ௥௔௔ௗ௘௜௡ௗ =
= 112.239 ܰ݉݉ = 0,11 ݇ܰ݉
1600ଶ
De handberekening komt overeen met het verschil in momenten uit de Scia berekening
Model 3, initiële scheefstand
Om de juiste krachtswerking te vinden wordt rekening gehouden met een bijkomende excnetriciteit
van de normaalkracht. De vervormingen gevonden in de voorgaande analyse, tabel b2, zijn
handmatig gemodelleerd. De kolom is gemodelleerd als een stapeling van 12 blokken met begin- en
eindpunten op een cirkelboog.
Utop,vijzels = 20,08 mm
Utop,kolom = 12,55 mm
Umidden,kolom = 3,14 mm
Uonderzijde,kolom = 0,0 mm
De cirkelboog is geconstrueerd uit drie punten op de coördinaten (in mm) in het y-z vlak: (0 ; 0) ,
(0,003138 ; 0,5) , (0,012552 ; 1,0). De krachten zijn gelijk als in model 2, met 25 kN per draadstang. In
de analyse wordt onderscheid gemaakt tussen het bijkomende moment door eigen gewicht van het
lastblok en het bijkomend moment in het midden van de kolom door kromming.
R. Bisschop
Bijlage B - Controle krachtswerking met Scia Engineer
B.3
Kalkzandsteen kolommen, biaxiale buiging
Afstudeerrapport
Figuur B2a: Kolom met initiële kromming, b: Vervormingen en rotaties per blok als weergegeven in Scia
Uit de berekening met initiële scheefstand volgt een bijkomende verplaatsing en hoekverdraaiing aan
de top:
Onderzijde kolom:
0,0 mm
Midden kolom:
3,530mm
Top Kolom:
14,265 mm
Top Lastblok:
22,450 mm
Hoekverdraaiing:
28,0 mrad
Zoals te verwachten zijn de verplaatsingen groter dan in model 2, een vergelijking van de
momentenlijnen is weergegeven in Figuur B3.
Figuur B3a: Momentenlijn model 2, b: Momentenlijn model 3
Het verschil in vervormingen tussen model 2 (perfect recht) en model 3 (initiële kromming) is
weergegeven in Tabel B3. Hier zijn de resultaten weergegeven waar het eigen gewicht van het
lastblok niet is meegenomen (3A) en vervolgens waar dit eigen gewicht wel is meegenomen als een
verticale kracht van 5,9 kN, aangrijpend in het zwaartepunt (3B).
R. Bisschop
Bijlage B - Controle krachtswerking met Scia Engineer
B.4
Kalkzandsteen kolommen, biaxiale buiging
Afstudeerrapport
Tabel B3, vergelijking My na berekening met initiële vervorming
Utop
My boven
My midden
My onder
Model 2
12,55 mm
4,89 kN
4,89 kN
4,89 kN
Model 3A
14,00 mm
5,26 kN
5,57 kN
5,25 kN
Model 3B
14,27 mm
5,31 kN
5,67 kN
5,37 kN
∆(2-3A)
1,72
0,42
0,68
0,48
∆(3A-3B)
0,27
0,05
0,10
0,12
Verhouding
1 : 1,12 : 1,14
1 : 1,06 : 1,09
1 : 1,14 : 1,16
1 : 1,07 : 1,10
Bijkomend moment ten gevolge van scheefstand lastblok
Zoals te verwachten geeft het lastblok een groter buigend moment aan de onderzijde van de kolom
(0,12kNm). Dit verschil in momenten komt overeen met een handberekening met verticale kracht
door eigen gewicht (5,9kN) vermenigvuldigd met de horizontale verplaatsing aan de top (20,8mm):
5,9*20,8/1000=0,12 kNm).
In het midden is het verschil 0,10kNm, uit een handberekening volgt: 5,9*(20,8-3,1) /1000=0,10.
Bijkomend moment ten gevolge van verschuiving druklijn vijzelkrachten
De momenten ten gevolge van het eigen gewicht en excentriciteit van het lastblok zijn in deze
vergelijking niet meegenomen. De momenten aan de top, midden en onder in de kolom ten gevolge
van de vijzelkrachten zijn vergeleken na een berekening met initiële scheefstand, zie Tabel B3. Het
bijkomende moment door verschuiving van de druklijn van de vijzelkrachten (∆2-3A Tabel B3) is in
het midden van de kolom 0,68 kNm.
Vergelijking met handberekening
De bijkomende excentriciteit ten opzichte van de kolomas volgt uit figuur 26c hoofdstuk 4.1. Deze is
de helft van de verplaatsing aan de top, verminderd met de gemeten uitbuiging in het midden van de
kolom. Een handberekening met de initiële krachten en vervormingen in model 3, met:
utop=20,08mm en umid,kolom =3,14mm:
eୠ୧୨୩୭୫ୣ୬ୢ =
ଶ଴,଴଼
−
ଶ
3,14 = 6,9mm
Bijkomend moment tgv vijzels (4*25kN):
Mୠ୧୨୩୭୫ୣ୬ୢ = 100 ∗ 6,9/1000 = 0,69 kNm (≈ 6,8 kN )
R. Bisschop
Bijlage B - Controle krachtswerking met Scia Engineer
B.5
Kalkzandsteen kolommen, biaxiale buiging
Afstudeerrapport
Voorbeeld één meetresultaat proef
In proeven kwam het voor dat de krachten in vijzels niet precies gelijk waren. Tevens moet rekening
gehouden worden met vervormingen in twee richtingen. In een model worden de gemeten
verplaatsingen (midden en kolomtop) en krachten in de proef ingevoerd, waarna de krachten die
volgen uit een berekening met rekenblad zijn vergeleken met de uitkomsten in de software. Proef
2D, gegevens uit meting van de krachten (Tabel B4) en zijdelingse verplaatsingen (Tabel B5):
Tabel B4, gemeten kracht en coordinaten per vijzel
Vijzel
F
coord. X
coord. Y
A (00)
65,05
-100
-400
B (01)
65,99
300
-300
C (02)
D (03)
68,69
300
300
69,78
-300
300
Tabel B5, gemeten verplaatsing in twee richtingen
Kolom-
U(x,y)
Hoogte
voet (y)
voet (x)
midden (y) midden (x)
mm
mm
mm
0
0
0
0
-5,04
500
top (y)
top (x)
mm
mm
mm
3,69
500
-19,44
1000
10,95
1000
Figuur B4, model in Scia en positie van de krachten
De kolom is ingevoerd in Scia Engineer, de kolomas is geconstrueerd als cirkelboog op coördinaten
(X,Y,Z):
(0 ; 0 ; 0)
(3,7 ; 5,0 ; 500)
(11,0 ; 19,4 ; 1000)
De resulterende krachten in het midden van de kolom:
N = 275,46 kN
My = 14,02 kNm
Mx = 7,18 kNm
R. Bisschop
Bijlage B - Controle krachtswerking met Scia Engineer
B.6
Kalkzandsteen kolommen, biaxiale buiging
Afstudeerrapport
Berekeningen in stappen in een spreadsheet:
Tabel B6: Uitkomsten spreadsheet
Hoekverdraaiing top
0,82 graden
2,32 graden
ØX
ØY
Bijkomende verplaatsing lastblok op 300mm van
kolomtop
4,29 mm
12,15 mm
extopbij = 300*Ø
eytopbij = 300*Ø
Verplaatsing zwaartepunt lastblok tov kolomvoet
15,24 mm
-31,59 mm
ex top
ey top
Moment door lastblok tov midden kolom
0,068 kNm
0,216 kNm
My lastblok
Mx lastblok
Moment draadeinden tgv uitbuiging
0,085 kNm
0,176 kNm
My draadeind
Mx draadeind
Verplaatsing zwaartelijn vijzels tov kolomas midden
3,93 mm
-10,75 mm
ex
ey
Moment vijzels tov kolomas midden
14,02 kNm
7,17 kNm
My vijzels
Mx vijzels
Resulterende krachten in midden kolom
275,42 kN
14,01 kNm
7,09 kNm
F totaal
My totaal
Mx totaal
Verschillen in de uitkomst:
My :
14,02/14,01 0,2%
7,18 / 7,09 1,3%
Mx :
Een klein verschil in de resultaten kan te wijten zijn aan afrondingsfouten.
R. Bisschop
Bijlage B - Controle krachtswerking met Scia Engineer
B.7
Kalkzandsteen kolommen, biaxiale buiging
R. Bisschop
Bijlage B - Controle krachtswerking met Scia Engineer
Afstudeerrapport
B.8
Kalkzandsteen kolommen, biaxiale buiging
Afstudeerrapport
Bijlage C - Productie van de proefstukken
Productie eerste serie
In hoofdstuk 5 van dit verslag is de productiewijze van de eerste serie proefstukken toegelicht. Met
een lijmkam werd de lijm op het lijmoppervlak aangebracht en uitgestreken zodat deze goed
verdeeld was over het hele oppervlak. Vervolgens werd het volgende blok geplaatst en aangedrukt
tot deze waterpas stond. Ondanks dat de mortel geheel over het lijmoppervlak verdeeld was, blijkt
deze achteraf niet overal even goed de voegen te vullen. Dit was vooral het geval in de hoeken van
de voegen.
Figuur C1: voorbeeld van een slecht gevulde voeg
Een verklaring voor het ongewenste resultaat is als volgt: Na aanbrengen en uitstrijken van de mortel
met een kam werd het blok geplaatst. Vervolgens werd deze aangedrukt tot het bovenvlak perfect
horizontaal was. Het blok dreef als het ware op de mortel en door aan een zijde op het blok te
drukken kon de andere zijde wat opgetild worden (hefboomwerking). Doordat het water uit de
mortel direct door de kalkzandsteen opgezogen werd had de mortel niet meer de oorspronkelijke
vloeibare eigenschappen, waardoor ruimte tussen blokken niet meer goed gevuld werden.
Testproefstukken
De eerste serie werd afgekeurd en er zijn twee korte testproefstukken gemaakt. Het doel was een
productiewijze te vinden waar de voegen wel voldoen aan de eisen.
testproefstuk A
In het eerste proefstuk is de mortellaag extra dik aangebracht en niet uitgestreken met een lijmkam.
Het tweede blok wordt opgelegd en aangedrukt, waarna de mortel aan alle kanten ruim uitvloeit. De
uitgevloeide mortel is aan de zijkanten afgeschraapt.
testproefstuk B
In het tweede geval zijn de oppervlakken eerst nat gemaakt met een borstel, waarna de lijmmortel
werd aangebracht. Zo zal het blok het water niet direct uit de mortel opzuigen. De mortel blijft langer
vloeien wat meer tijd geeft om dit blok goed te positioneren.
R.Bisschop
Bijlage C – Productie van proefstukken
C.1
Kalkzandsteen kolommen, biaxiale buiging
Afstudeerrapport
a
b
c
d
Figuur C2: twee overgebleven helften van twee testproefstukken, a en b: voorzijde, c en d: oppervlak
opengebroken voeg
Eén dag na productie zijn beide testproefstukken beproefd in een driepuntsbuigproef. Uit beide
proeven volgde een buigtreksterkte van het lijmwerk van ongeveer 0,6N/mm2. In beide gevallen
waren de oppervlakken goed gevuld. Het resultaat is weergegeven in Figuur C2. In a en b is aan het
vooraanzicht te zien dat mortel over de gehele breedte uit de voeg vloeide. In c en d is aan de grijze
oppervlakken te zien dat de mortel over de gehele voeg was gevuld, in tegenstelling tot het
oppervlak in Figuur C1 waar een duidelijk contrast te zien is tussen mortel (donkergrijs) en het deel
waar de mortel ontbrak (lichtgrijs/wit).
De productiewijze die uiteindelijk toegepast is op de definitieve proefstukken wijkt af van de
oorspronkelijke productiewijze. De te lijmen oppervlakken werden nat gemaakt zodat het water
minder snel uit de mortel werd gezogen. Een blok werd geplaatst op een dikke laag mortel waarna
deze werd aangedrukt totdat de mortel aan alle zijde uitvloeide zodat het zeker was dat alle ruimten
tussen de blokken goed gevuld waren. Aan de zijden waar dit mogelijk was werd de overtollige
mortel van het oppervlak afgeschraapt. Figuur C3 toont een deel van een kolomoppervlak, na
uitharden, waar de kolom tegen een verticale achterwand was geplaatst.
Figuur C3: achterzijde kolom
R.Bisschop
Bijlage C – Productie van proefstukken
C.2
Kalkzandsteen kolommen, biaxiale buiging
Afstudeerrapport
Bijlage D - Materiaalproeven
In een berekening van kolommen in kalkzandsteen lijmwerk volgens de Eurocode wordt alleen de
druksterkte beschouwd. De buigtreksterkte wordt aangenomen gelijk te zijn aan nul. Voor de
proevenseries zal de buigtreksterkte wel een rol spelen. In kolommen zal een combinatie van druk en
een buigend moment optreden. Met schaduwproeven worden druksterkte, elasticiteitsmodulus en
buigtreksterkte van het lijmwerk bepaald. Tevens wordt de kubusdruksterkte van de blokken en
druk- en buigtreksterkte van de mortel bepaald.
- Druksterkte van de blokken volgens
- Druksterkte en buigtreksterkte van de lijmmortel volgens
- Buigtreksterkte (hechtsterkte) van het lijmwerk
- Druksterkte en elasticiteitsmodulus van het lijmwerk
EN772-1
EN1015-11
Materiaal
Kimblokken kalkzandsteen, afmetingen 150x300x80 (nameten)
Ontvangst metselstenen op woensdag 8 mei 2013. Totaal 228 blokken waarvan 144 blokken
gebruikt worden voor de kolommen. Ongeveer 80 blokken beschikbaar voor materiaalproeven, een
aantal blokken zullen afvallen door beschadigingen.
Lijmmortel Xella zomermortel
De lijmmortel is een restant van proevenseries in de zomer van 2011. De mortel is bijna twee
jaar over de houdbaarheidsdatum volgens fabrikant maar in niet aangebroken verpakking
opgeslagen in laboratorium.
Vervaardiging
De schaduwproefstukken worden vervaardigd op dezelfde dag als de kolommen. Voor de
schaduwproeven worden metselblokken en lijmmortel gebruikt uit dezelfde levering en mortelkuip
als die voor de kolommen.
Opslag
Na vervaardiging worden de mortelbalkjes bedekt met folie. Proefstukken zijn opgeslagen in het
laboratorium onder constante temperatuur en relatieve vochtigheid. Proeven worden uitgevoerd
vanaf minmaal 28 dagen na vervaardiging.
R. Bisschop
Bijlage D - Materiaalproeven
D.1
Kalkzandsteen kolommen, biaxiale buiging
Afstudeerrapport
Druksterkte kalkzandsteen blokken
a) Norm: NEN-EN 772-1, Methods of test for masonry units - Part 1: Determination of
compressive strength, juli 2000
b) Organisatie: Pieter van Musschenbroek Laboratorium Constructief Ontwerpen, Technische
Universiteit Eindhoven;
c) Datum beproeven: 3 juni 2013 (blokken 1-3) en xx juni 2013 (blokken 4-9)
d) Type en herkomst: Kalkzandsteen kimblokken, Xella Nederland, b*h*l = 150x84x300 mm
e) Aantal proefstukken: 9
I) Datum ontvangst proefstukken in laboratorium: 8 mei 2013
g) Schets van proefstuk en te belasten oppervlak: Uit de geleverde blokken zijn kubusjes gezaagd met
breedte x dikte x hoogte: 80 x 80 x 84 mm.
Figuur D1, schets proefstukken
‘
’
h) Conditionering: Air dry : opslag in laboratorium: T = 20°C en rel. vochtigheid 65%;
gedurende > 14 dagen droogtijd na zagen.
Tabel D1, tabel eigenschappen kubussen tbv drukproeven
Nr.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Gemiddeld
b
(mm)
80,17
80,27
80,11
79,41
79,21
79,05
79,13
79,81
78,42
t
(mm)
79,84
78,89
78,89
79,36
80,73
79,95
79,89
78,98
80,33
h
(mm)
84,17
84,10
84,09
84,00
84,01
84,00
83,84
83,74
84,00
A (b*t)
(mm2)
6400,77
6332,50
6319,88
6301,98
6394,62
6320,05
6321,70
6303,39
6299,48
m
(gram)
1004,10
1016,10
995,50
989,50
988,90
977,80
ρ
(kg/m3)
1896,80
1891,43
1875,17
1866,94
1873,46
1847,85
F
(kN)
140,60
139,50
138,30
163,40
168,70
162,10
153,10
152,80
140,80
151,03
f’
(N/mm2)
21,97
22,03
21,88
25,93
26,38
25,65
24,22
24,24
22,35
23,85
vormfactor
0,94
0,94
0,94
0,94
0,94
0,94
0,94
0,94
0,94
Nominale druksterkte kalkzandsteen blokken: 23,85*0,94 = 22,40 N/mm2
Opmerking:
- Eerste serie (blokken 1-3) beproeft direct na zagen blokken, tweede serie (blokken 4-9)
beproefd na 14 dagen Air dry conditioning.
- Proef uitgevoerd in 250kN drukbank. Belastingsnelheid 0,7mm/m. Duur tot bezwijken 1 a
2 minuten.
- De genormaliseerde gemiddelde druksterkte na verrekening met materiaalfactor
fb=22,4N/mm2
- Karakteristieke druksterkte voor lijmwerk (‘masonry with thin layer mortar’) in klasse 1
en langsvoegen met een dikte tussen 0,5mm en 3mm [IStructE08 tabel 4.5]:
fk = 0,8 * 22,40,85 = 11,25 N/mm2
R. Bisschop
Bijlage D - Materiaalproeven
D.2
Kalkzandsteen kolommen, biaxiale buiging
Afstudeerrapport
Druksterkte en buigtreksterkte lijmmortel
Norm: NEN-EN1015-11, determination of flexural and compressive strength of hardened mortar,
augustus 1999
Locatie en datum: Pieter van Musschenbroek laboratorium Constructief Ontwerpen, 29 mei (serie1)
/30 mei (serie2&3) 2013
Methode van nemen monster: Uit kuip met lijmmortel voor de proefstukken een deel genomen om
mortelprisma’s mee te maken in stalen mallen, geolied. Na storten tot +-50% vol trillen op triltafel,
aanvullen tot overvol en trillen op triltafel en vervolgens overtollige mortel afschrapen.
Type: Kalkzandsteen lijmmortel, Silkafix zomermortel Xella Nederland
Datum van beproeving: 19 juli 2013
Opslag: Verpakt in folie en opslag in Pieter van Musschenbroek lab, na 9 dagen uit mal gehaald en
verpakt in folie tot datum van beproeving
Ouderdom van proefstuk: 50 dagen
Resultaten buigtrek en drukproef in Tabel D2 en Tabel D3.
Figuur D2, schematisering en foto driepuntsbuigproef en drukproef op mortelbalkjes
Tabel D2, buigtreksterkte lijmmortel
W (mm3)
Nr.
L (mm)
F (N)
M(Nmm) buigtreksterkte
(N/mm2)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Gemiddeld
St. dev.
R. Bisschop
10666,7
10666,7
10666,7
10666,7
10666,7
10666,7
10666,7
10666,7
10666,7
100
100
100
100
100
100
100
100
100
941
894
896
879
1063
944
1208
936
1228
23525
22350
22400
21975
26575
23600
30200
23400
30700
2,21
2,10
2,10
2,06
2,49
2,21
2,83
2,19
2,88
2,34
0,317
Bijlage D - Materiaalproeven
D.3
Kalkzandsteen kolommen, biaxiale buiging
Afstudeerrapport
Tabel D3, druksterkte lijmmortel
Nr.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Gemiddeld
St. dev.
A
F1
F2
1600
1600
1600
1600
1600
1600
1600
1600
1600
22,56
16,47
22,29
20,3
19,06
20,24
19,44
17,81
19,52
24,03
20,48
22,29
16,11
19,54
20,09
18,86
18,76
19,67
Druksterkte 1
(N/mm2)
Druksterkte 2
(N/mm2)
14,10
10,29
13,93
12,69
11,91
12,65
12,15
11,13
12,20
12,41 N/mm2
15,02
12,80
13,93
10,07
12,21
12,56
11,79
11,73
12,29
1,21
Opmerkingen:
De gebruikte lijmmortel was een restant uit 2011 maar droog en in onaangebroken verpakking
bewaard. Een vergelijking van de resultaten met proeven op mortel van dezelfde pallet in 2011
[Tossings] wordt gegeven:
- De gemiddelde druksterkte komt overeen met 12,41 mm2 tov 12,7 N/mm2
- De gemiddelde buigtreksterkte van de lijmmortel is in dit geval lager (2,34 tov 3,2 N/mm2)
De relatief lage buigtreksterkte kan een indicatie zijn van het verlies van kwaliteit na 2 jaar (droge)
opslag.
Druksterkte en elasticiteitsmodulus van het lijmwerk
Proefstukken: De proefstukken zijn korte kolommen van vijf blokken hoog, deze zijn gelijktijdig met
de andere proefstukken vervaardigd. De proefstukken worden centrisch gedrukt tot bezwijken.
Tijdens het drukken worden met LVDT’s de rekken gemeten, waaruit een elasticiteitsmodulus wordt
berekend.
Aantal proefstukken: 2
Datum vervaardiging: 29 mei (1) en 30 mei (2)
Tekening proefstuk met afmetingen:
Figuur D3, drukproef en bepaling elasticiteitsmodulus lijmwerk
R. Bisschop
Bijlage D - Materiaalproeven
D.4
Kalkzandsteen kolommen, biaxiale buiging
Afstudeerrapport
Tabel D4, Druksterkte en Elasticiteitsmodulus lijmwerk
Nr.
B
T
A
(mm) (mm) (mm2)
1
2
301
301
150
150
45150
45150
Tijd to
Fmax
(sec)
1292
1433
Fmax
(kN)
σu
E*
2
(N/mm ) (N/mm2)
E**
(N/mm2)
782
809
17,3
17,9
3239
3383
1887
2293
* De Elasticiteitsmodulus is bepaald op het interval 5N/mm2 en 15N/mm2, de trend in de spanningrek relatie is op dit interval lineair.
** De norm schrijft voor een elasticiteitsmodulus te berekenen uit de hellingshoek op het interval
σ=0 tot 1/3e van de maximale spanning, deze waarde is gegeven in de laatste kolom van Tabel D4.
Hieruit volgen hogere waarden dan in hierboven genoemde methode.
Spanning-rek diagrammen:
FiguurD 4, spanning rek relatie van de schaduwproefstukken onder druk
Opmerkingen:
In de figuur is de gemiddelde rek weergegeven. Rekken werden gemeten op vier punten op het
oppervlak en waren niet overal in de omtrek gelijk. In de drukproeven was de maximale in proef 1 en
2 respectievelijk 14% en 12% hoger dan het gemiddelde.
De stijfheid is veel lager dan de verwachtingen. Zo schrijft Eurocode voor dat bij ontbreken van
testdata een stijfheid voor korte duur bepaald mag worden met E=KE*fk met KE = 700. Hieruit zou
volgen: E=700*11,25 = 7875 N/mm2.
R. Bisschop
Bijlage D - Materiaalproeven
D.5
Kalkzandsteen kolommen, biaxiale buiging
Afstudeerrapport
Buigtreksterkte van het lijmwerk
De buigtreksterkte van het lijmwerk is bepaald in een vierpuntsbuigproef op lijmwerk prisma’s
bestaande uit 4 blokken met lijmvoegen.
Aantal proefstukken: 2
Aantal blokken: 2x4=8
Tekening proefstuk met afmetingen:
Figuur D5, vierpuntsbuigproef op lijmwerk
M = F * 83 (Nmm)
W = b*h2/6 (mm3)
σ = M/W (N/mm2)
Tabel D5, buigtreksterkte lijmwerk
Nr.
B (mm)
H (mm)
L (mm)
W (mm3) F (N)
1
301
150
255 1128750
M (Nmm) buigtreksterkte
(N/mm2)
21190 1801150
1,60
2
301
150
255 1128750
21900
Gemiddeld
1861500
1,64
1,62
Opmerkingen:
R. Bisschop
Bijlage D - Materiaalproeven
D.6
Kalkzandsteen kolommen, biaxiale buiging
Afstudeerrapport
Bijlage E - Samenvatting referentie experimenteel onderzoek
E1: Een alternatieve proefopstelling
Mavichak V. and Furlong R.W, 1976, Texas State Department of Highways and Public
Transportation; Transportation Planning Division,
Dit rapport omvat een onderzoek naar sterkte en stijfheid van gewapend betonkolommen onder
druk en biaxiale buiging. Om datapunten te verkrijgen in een interactiediagram werden negen
rechthoekige en vijftien cirkelvormige kolommen werden beproefd tot bezwijken. Parameters zijn de
normaalkracht en richting van het buigend moment.
Een proefstuk werd gedrukt met een centrische belasting. Na bereiken van de maximale drukkracht
is het moment om de hoofdassen opgevoerd tot bezwijken van de kolom terwijl de normaalkracht
constant blijft. Testdata omvat metingen van rekken in de lengterichting en zijdelingse
verplaatsingen van de kolom. Experimentele resultaten werden vergeleken met een discrete
elementen analytisch model.
a
b
c
Figuur E1: tekening van de proefopstelling uit [Mavichek76], a en b: voor- en zijaanzicht, c: schematisering
R. Bisschop
Bijlage E – Samenvatting referentie experimenteel onderzoek
E.1
Kalkzandsteen kolommen, biaxiale buiging
Afstudeerrapport
Inleiding van krachten en momenten
Door een vijzel wordt via een holle metalen bollager (hemisfeer), welke is gelast aan een vlakke
plaat, een centrische drukkracht in het proefstuk ingeleid. Door de hoge drukkrachten wordt de
“hemisfeer” wat ingedrukt, echter wordt gesteld dat dit geen invloed heeft op buiging in het
proefstuk. Het moment werd ingeleid door te drukken op de uiteinden van twee momentarmen.
In een eerste stap is de kolom tot 10% van de verwachte druksterkte centrisch belast en vervolgens
weer ontlast. Voorbelasten helpt de proefopstelling en meetapparatuur te ‘settelen’.
De kolom werd in 10 stappen belast tot de maximale axiale drukkracht. Tussen elke stap werden
rekken en uitbuiging gemeten. De momentbelasting werd opgevoerd in stappen, na elke stap werd
de drukkracht gecontroleerd en indien nodig (bij afwijking van 5% of meer) werd deze bijgesteld. De
drukkracht is de som van de drie vijzelkrachten.
Na de proevenseries vond een herberekening van de momenten plaats. Factoren welke
meegenomen werden waren de excentriciteit van de centrisch geplaatste vijzel en een excentriciteit
door rotatie van de kolomuiteinden in vervormde toestand.
Verwerking resultaten
Een vlak van rekken in de doorsnede werd geconstrueerd aan de hand van vier metingen van
vervormingen in de lengterichting, één meting per kolomvlak. Uit de metingen kan een vlak
geconstrueerd worden. De algemene vergelijking van het vlak is ‫ ݔܣ‬+ ‫ ݕܤ‬+ ‫ ݖܥ‬+ ‫ = ܦ‬0 en kan
opgelost worden met de x, y en z coördinaten van drie meetpunten. De vierde meting werd gebruikt
als controlepunt.
Figuur E2, vlak van rekken, overgenomen uit [Mavichek76]
Vergelijken van proefresultaten met een berekening van de krachten uit de rekken
Op deze manier worden met negen proeven, waar gevarieerd wordt met drie waardes voor de
normaalkracht, direct drie punten op een drietal curven gevonden in een interactiediagram zoals
weergegeven in Figuur E3. Tevens kunnen direct M-N-κ diagrammen opgesteld worden uit de
metingen, een voorbeeld is gegeven in figuur. Uit metingen van de rekken werden normaalkracht en
moment berekend. Het rekenmodel gaat uit van parabool-rechthoekig materiaalgedrag. De
R. Bisschop
Bijlage E – Samenvatting referentie experimenteel onderzoek
E.2
Kalkzandsteen kolommen, biaxiale buiging
Afstudeerrapport
berekende krachten bleken in alle gevallen lager dan de toegepaste krachten in de proef, de trend in
het gedrag bij toenemende buiging was gelijk. In de figuur wordt moment om de x-as tegen de
kromming om de x-as uitgezet en moment om de y-as tegen kromming om de y-as. Voor elke proef
zijn vergelijkbare diagrammen opgesteld.
Figuur E3, vergelijking van M-N-κ in de proef met berekende M-N-κ relaties overgenomen uit [Mavichek76]
De Reciprocal Load Method is geselecteerd op basis van eenvoud van de formule en geeft
uitkomsten die met experimenten overeenkomen mits het gebruikte model voor voorspelling van
bezwijklast van uniaxiale buiging ook overeenkomt.
Moment Magnification Factor volgens de ACI geeft een overschatting van de bijkomende vervorming
bij hoge normaalkracht en onderschatting bij lage normaalkracht.
R. Bisschop
Bijlage E – Samenvatting referentie experimenteel onderzoek
E.3
Kalkzandsteen kolommen, biaxiale buiging
Afstudeerrapport
E2: High strength concrete slender columns
Pallarés L., Bonet J.L., Miguel P.F., Fernández Prada M.A., Experimental research on high strength
concrete slender columns subjected to compression and biaxial bending force, 2008.
Het doel van dit onderzoek is om experimentele data te verschaffen en bij te dragen aan kennis van
het gedrag van HSB kolommen onder biaxiale buiging. Testresultaten helpen bij het valideren van
numerieke modellen gebruikt ter analyse van slanke kolommen onder druk en biaxiale buiging.
Onderzoeksparameters zijn excentriciteit(afstand), hoek van belasting(skew angle) en slankheid.
Materiaal en afmetingen
Dit onderzoek is gericht op slanke kolommen, met 56 kolommen met een doorsnede van
100x200mm en variërend in hoogte van 1m, 2m en 3m. In dit onderzoek wordt gebruik gemaakt van
hoge sterkte beton met een kubusdruksterkte van 103MPa.
Figuur E4, proefopstelling overgenomen uit [Bonet08]
Krachtinleiding
Een ankerplaat is verankerd in het proefstuk met bouten en een lastplaat waar in scharnierende
oplegging is gerealiseerd is geschroefd aan de ankerplaat, Figuur E5. De lastplaat kan geroteerd
worden ten opzicht van de ankerplaat, waardoor verschillende excentriciteiten kunnen worden
gerealiseerd met β=0, β=14.04, β=26.56, β=45, β=90. De afstand van excentriciteit kan gevarieerd
worden door de ‘cone plate’ te fixeren op variabele afstand. Elke belastingcyclus duurde 15 tot 30
minuten.
Metingen
Twee rekstroken van 3mm lang zijn aan de langswapening gelijmd. Tevens zijn vier rekstroken aan de
drukzijde van de kolom gelijmd met een lengte van 125mm. De uitbuiging wordt op het midden van
de kolomhoogte gemeten.
R. Bisschop
Bijlage E – Samenvatting referentie experimenteel onderzoek
E.4
Kalkzandsteen kolommen, biaxiale buiging
Afstudeerrapport
Figuur E5: oplegging kolom, overgenomen uit [Bonet08]
Identificeren bezwijkgevallen
Één van de doelstellingen is het identificeren van bezwijkgevallen, namelijk instabiliteit of bezwijken
van de doorsnede.
Criterium op basis van krachten
In kracht-verplaatsing diagrammen is instabiliteit herkenbaar wanneer de normaalkracht een piek
heeft bereikt en het moment nog toeneemt, zie Figuur E6: grafieken a en c. In dit geval proefstukken
met een slankheid van λ20, resp. λ30 en relatieve lage excentriciteit ζ2 betekend e=40 en buiging om
alleen de zwakke as .
Grafieken b en d zijn geïdentificeerd als bezwijken van de doorsnede, in dit geval proefstukken met
gelijke slankheid (λ20 resp. λ30) maar grotere excentriciteit ζ4 e=160mm. Bij het bereiken van een
piek van de normaalkracht een quasi horizontaal verloop van het moment bij toenemende
vervorming.
In het geval van slankheid gelijk aan 10 bezweken proefstukken plotseling vanwege hogere waarde
van druk in het beton en trek in het staal.
R. Bisschop
Bijlage E – Samenvatting referentie experimenteel onderzoek
E.5
Kalkzandsteen kolommen, biaxiale buiging
Afstudeerrapport
Figuur E6, kracht vervorming diagrammen, overgenomen uit [Bonet08]
Criterium op basis van rekken
Het bezwijktype kan geïdentificeerd worden op basis van de rekken. Bij bezwijken van de doorsnede
zal het staal of het beton de uiterste waarde voor de rek bereikt hebben. In het geval van instabiliteit
zal bij het bereiken van een piekkracht de rek in beton en staal nog niet de uiterste waarde bereikt
hebben. De positie van de rekstroken is weergegeven in Figuur E7.
Figuur E7: posities rekstroken, overgenomen uit [Bonet08]
Uit de rekken kan tevens de invloed van de zwakke as waargenomen worden. Bij een proefstuk met
hoge slankheid en biaxiale buiging (λ=30_β=27°_e=139mm), in de eerste fase van het opvoeren van
belasting gedraagt deze zich als bij biaxiale buiging, echter bij hogere normaalkracht wordt buiging
om de zwakke as overheersend. Dit is te zien in de metingen in de rekstroken, (AC2 en AT2)
overlappen bij hoge kracht en HCI veranderd van druk in trek wat er op neerkomt dat de neutrale as
tussen HCI(trek) en HCD(druk) ligt.
R. Bisschop
Bijlage E – Samenvatting referentie experimenteel onderzoek
E.6
Kalkzandsteen kolommen, biaxiale buiging
Afstudeerrapport
Figuur E8: verloop van rekken bij toenemende normaalkracht, kolom_λ30_β27°_e139mm, [Bonet08]
Conclusies artikel
Zowel toename van slankheid als toename van excentriciteit heeft een negatief invloed op de
opneembare normaaldrukkracht. Het is waargenomen dat bij een kleine excentriciteit de slankheid
een aanzienlijke reductie geeft. Bij een grote excentriciteit van de normaalkracht is de bezwijklast
voor de drie variaties in slankheid gelijk. Slanke kolommen met een kleine excentriciteit bezwijken op
uitknikken. Slanke kolommen met een grote excentriciteit bezwijken op sterkte, evenals kolommen
met een lage slankheid. De zwakke as is belangrijk voor de buigvorm, ook waar de excentriciteit niet
direct voor buiging om de zwakke as zorgt.
R. Bisschop
Bijlage E – Samenvatting referentie experimenteel onderzoek
E.7
Kalkzandsteen kolommen, biaxiale buiging
Afstudeerrapport
Bijlage F - Voorstel voor een discrete elementen methode tbv tweede orde
berekeningen
Bron:
Caprani C., Structural Analysis III, The Moment Area Method –Mohr’s Theorem, 2007/8
Met behulp van deze methode kunnen met eenvoudige formules de kromming en vervormingen
bepaald worden ten gevolge van het buigend moment. Deze maakt gebruik van de analogieën van
Mohr, deze zijn uitgelegd aan de hand van figuur 29.
“Mohr’s First Theorem “
݀‫߮݀ ∗ ܴ = ݏ‬
1/ܴ = ‫ܯ‬/‫ܫܧ‬
(Euler/Bernoulli theorie)
Hieruit volgt:
݀߮ = ‫ܯ‬/‫ݏ݀ ∗ ܫܧ‬
Voor kleine vervormingen geldt ds ≈ dx dus:
݀߮ = ‫ܯ‬/‫ݔ݀ ∗ ܫܧ‬
Het verschil in rotatie tussen A’ en B’ wordt de
integraal over afstand x.
஻
୆୑
‫׬‬஺ dΦ = ‫׬‬୅ ୉୍ dx
୆
ߠ஻ – ߠ஺ = ‫׬‬୅ M/EI ∗ dx
“Mohr’s Second Theorem”:
݀߂ = ‫ߠ݀ ∗ ݔ‬
݀߂ = ‫ܯ‬/‫ݔ݀ ∗ ݔ ∗ ܫܧ‬
Dus voor deel AB geldt:
஻
୆
M
න dΔ = න
x ∗ dx
஺
୅ EI
୆
M
Δ୆୅ = ቈන
dx቉ ∗ x′
୅ EI
Figuur 1: afleiding Mohr’s Theorems
Hierin is x’ de afstand het zwaartepunt van het momentoppervlak tot punt B.
Toepassing op kolom in metselwerk
In het geval van een kolom van metselwerk, zal de doorsnede scheuren en buigstijfheid EI variëren
over de hoogte. Door de kolom op te delen in moten (discrete elementen, bijvoorbeeld 3 elementen
Figuur F2), kan met deze methode een benaderende oplossing gevonden worden van de (tweede
orde) vervormingen. Na het bepalen van de randvoorwaarden, de afmetingen en het aantal
elementen volgt een iteratieve procedure. In een instabiel systeem zal per iteratiestap de vervorming
toenemen.
Stap 1: Uit de momentenlijn volgt het buigend moment in het midden van elke moot.
‫݁( ∗ ܨ = ܯ‬଴ + ‫ݕ‬௫ )
Stap 2: De bijbehorende kromming κ wordt gevonden in het M-N-k diagram. Vanuit de kromming kan
de rotatie over de lengte van de moot bepaald.
ߠ௜ = ߢ௜ ∗ ݈௜
R. Bisschop
Bijlage F –Discrete elementen methode tbv tweede orde berekeningen
F.1
Kalkzandsteen kolommen, biaxiale buiging
Afstudeerrapport
Figuur F2: kolom verdeeld in moten
Stap 3: Uitgaande van een kolom die aan twee zijden scharnierend is opgelegd met een symmetrisch
momentverloop, zal de hoekverdraaiing in het midden van de kolom gelijk zijn aan nul (Verticale
raaklijn). Uit de afmetingen en de berekende kromming kan vanaf het midden van de kolom de
rotatie in elk knooppunt en aan de oplegging bepaald worden.
R1,0 = R3,0 = θ2 /2 + θ1
Stap 4: Vervolgens kan door analogie de uitbuiging in het midden van elk deel bepaald worden ten
opzichte van de oorspronkelijke as.
Δ1 = R1,0 * L/2
Δ2 = R1,0 * 3L/2 - θ1* L
Δ3 = R1,0 * 5L/2 - θ1* 2L – θ2* L = Δ1
Stap 5: Uit de vervormingen kunnen de vergrootte momenten per moot berekend worden. De
berekening kan worden herhaald voor elke iteratiestap tot een evenwicht is gevonden.
Toepassing bij biaxiale buiging
Bovenstaande methode is in vijf stappen per iteratie uitgelegd aan de hand van buiging om één
hoofdas. De methode kan gebruikt worden in een spreadsheet programma. In de toepassing op
kolommen met biaxiale buiging zouden de momenten, (Stap 1) de hoekverdraaiing (Stap 3), de
vervormingslijn (Stap 4) en een nieuwe momentenlijn (Stap 5) per iteratiestap voor beide hoofdassen
apart kunnen worden uitgevoerd.
Het probleem zit dan in stap twee, waar de M-N-κ relatie per element en per iteratie opnieuw
berekend moeten worden. Bij biaxiale buiging wordt evenwicht gevonden middels een procedure
van “Trial and error”. Om deze methode geschikt te maken voor een geautomatiseerde berekening
met spreadsheet zou een oplossing gevonden moeten worden waar automatisch evenwicht
gevonden kan worden tussen krachten, momenten en de kromming in de doorsnede. In de
berekening zou per element tevens rekening gehouden moeten worden met rotatie om de
kolomlengteas (torsie).
R. Bisschop
Bijlage F –Discrete elementen methode tbv tweede orde berekeningen
F.2

Fiche

KOMO kwaliteitsverklaringen bbk Kalkzandsteen - IKOB-BKB

vto 2014 – antwoorden voorronde

Zorgprogramma Longtransplantatie UZ Leuven Prof. dr G. Verleden

Hoofdstuk 9 D

Opgave 2 (G-)Krachtmetingen in een attractiepark

Landenlijst DGGF - Rijksdienst voor Ondernemend Nederland

Stallingstarieven

6 Theezakje - Havovwo.nl

http://excel-spreadsheet.nl: revisienummer 2014.094745bs