download - Pythagoras

Pythagoras O ly m p i a d e
■
door Matthijs Coster, Eddie Nijholt en Harry Smit
Doe mee met de Pythagoras Olympiade! Elke aflevering bevat vier opgaven. De eerste twee zijn
wat eenvoudiger; onder de goede inzendingen
van leerlingen uit de klassen 1, 2 en 3 wordt een
cadeaubon van Bol.com ter waarde van 20 euro
verloot. De laatste twee zijn echte breinbrekers;
onder de goede inzendingen van leerlingen (tot
en met klas 6) wordt een bon van 20 euro verloot. Per aflevering wordt maximaal één bon per
persoon vergeven.
Daarnaast krijgen leerlingen (tot en met klas 6)
punten voor een laddercompetitie, waarmee
eveneens een cadeaubon van Bol.com van 20
euro te verdienen valt. De opgaven van de
onderbouw zijn 1 punt waard, de opgaven van
de bovenbouw 2 punten. De leerling met de
hoogste score in de laddercompetitie krijgt een
bon. Zijn puntentotaal wordt weer op 0 gezet.
Wie zes achtereenvolgende keren niets inzendt,
verliest zijn punten in de laddercompetitie.
Met de bovenbouwopgaven kun je ook
een plaats in de finale van de Nederlandse Wiskunde Olympiade verdienen, mocht
30
het via de voorronden niet lukken: aan het
eind van elke jaargang worden enkele goed
scorende leerlingen uitgenodigd voor de
NWO-finale. Niet-leerlingen kunnen met de
Pythagoras Olympiade meedoen voor de eer.
Hoe in te zenden? Inzendingen ontvangen
we bij voorkeur per e-mail (getypt of een scan
van een handgeschreven oplossing):
[email protected]
Je ontvangt een automatisch antwoord zodra
we je bericht hebben ontvangen.
Eventueel kun je je oplossing sturen naar
Pythagoras Olympiade, PWN
p.a. Centrum Wiskunde & Informatica
Postbus 94079
1090 GB Amsterdam
Voorzie het antwoord van een duidelijke toelichting (dat wil zeggen: een berekening of
een bewijs). Vermeld je naam en adres; leerlingen moeten ook hun klas en de naam van
hun school vermelden.
Je inzending moet bij ons binnen zijn vóór
30 april 2014.
De goede inzenders van november 2013
270: Jildert Denneman (klas 4), Erasmiaans Gymnasium
Rotterdam; Wout Gevaert (klas 5), Goese Lyceum, Goes;
Yvette Keij (klas 4), Goois Lyceum, Bussum; Michelle
Sweering (klas 6), Erasmiaans Gymnasium Rotterdam; Tim
Vermeulen (klas 6), Isendoorn College, Warnsveld.
271: Sterre ter Beek (klas 3), Goois Lyceum, Bussum; Ivo
van Dijck (klas 5), Goois Lyceum, Bussum; Wout Gevaert
(klas 5), Goese Lyceum, Goes; Oscar Heijdra (klas 3),
Goois Lyceum, Bussum; Laurens Hilbrands (klas 3), Goois
Lyceum, Bussum; Yvette Keij (klas 4), Goois Lyceum, Bussum; Michelle Sweering (klas 6), Erasmiaans Gymnasium
Rotterdam; Tim Vermeulen (klas 6), Isendoorn College,
Warnsveld; Robert van der Waall, Hilversum; Seb Waterreus (klas 3), Goois Lyceum, Bussum; Marinda Westerveld
(klas 5), Goois Lyceum, Bussum.
272: Kees Boersma, Vlissingen; Wout Gevaert (klas
5), Goese Lyceum, Goes; Oscar Heijdra (klas 3), Goois
Lyceum, Bussum; Michelle Sweering (klas 6), Erasmiaans
Gymnasium Rotterdam; Tim Vermeulen (klas 6), Isendoorn
College, Warnsveld; Marinda Westerveld (klas 5), Goois
Lyceum, Bussum.
273: Kees Boersma, Vlissingen; Wout Gevaert (klas 5),
Goese Lyceum, Goes; Michelle Sweering (klas 6), Erasmi-
aans Gymnasium Rotterdam; Tim Vermeulen (klas 6),
Isendoorn College, Warnsveld; Robert van der Waall,
Hilversum.
Cadeaubonnen: Oscar Heijdra en Wout Gevaert.
Stand laddercompetitie: Michelle Sweering (24 p;
cadeaubon), Jelmer Hinssen (18 p), Bram Jonkheer (18
p), Jori Koolstra (18 p), Tara van Belkom (8 p), Lennart
Muijres (7 p), Wout Gevaert (6 p), Nathan van ’t Hof (6
p), Tim Vermeulen (6 p), Eva Kapitein (5 p), Frenk Out
(5 p), Eline Vounckx (5 p), Art Waeterschoot (5 p), Bob
Zwetsloot (5 p), Ronen Brilleslijper (4 p), Marijke Bot
(3 p), Elien Cambie (3 p), Jonas Cambie (3 p), Jildert
Denneman (3 p), Oscar Heijdra (3 p), Ritchie Keijsper (3
p), Jia-Jia ter Kuile (3 p), Marleen Meliefste (3 p), Timen
Schenk (3 p), Pim Spelier (3 p), Sjoerd de Vries (3 p),
Marinda Westerveld (3 p), Matthijs Buringa (2 p), Maud
Jonker (2 p), Yvette Keij (2 p), Alex Keizer (2 p), Tom
Smeding (2 p), Jelle den Uil (2 p), David Welling (2 p),
Luka Zwaan (2 p), Sterre ter Beek (1 p), Lisa Clappers
(1 p), Ivo van Dijck (1 p), Thijs van Etten (1 p), Laurens
Hilbrands (1 p), Bram Honig (1 p), Bastiaan vd Kooij (1
p), Rein Lukkes (1 p), Anne Noom (1 p), Alexander Vermeersch (1 p), Seb Waterreus (1 p), Marc Zuurbier (1 p).
P YTHAGORAS FEBRUARI 2014
278
Sinds de 49ste jaargang
van Pythagoras (20092010) staan er in elke aflevering vier opgaven in
de Pythagoras Olympiade. Elke jaargang bestaat
uit zes afleveringen (twee
afleveringen voor Oud en
Nieuw en vier afleveringen na Oud en Nieuw).
Veronderstel dat de Pythagoras Olympiade nog
??ste JAARGANG - NUMMER ? - ?????
blijft bestaan tot en met
de aflevering van Pythagoras waain de opgave staat die hetzelfde nummer
heeft als het jaartal waarin die opgave verschijnt. In
welke aflevering van Pythagoras (jaargang en nummer) staat dan die opgave?
WISKUNDETIJDSCHRIFT VOOR JONGEREN
281
In een gelijkzijdige driehoek met zijde 3 zijn alle
wanden spiegels. Op een van de zijden wordt op
afstand 14 π van een hoekpunt een laserstraal afgeschoten onder een hoek van 60°. Na vijf keer spiegelen komt de laserstraal weer terug waar hij was.
Wat is de afstand die het licht aflegt voordat het
weer terug is waar het begon?
1
4
279
Gegeven is een vierkant ABCD waarvan de zijden
lengte 1 hebben. Een cirkel gaat door A, B en het
midden M van zijde CD. Wat is de straal van deze
cirkel?
M
D
C
1
A
B
280
Gegeven is een rij getallen a0, a1, a2, ... De verschilrij v0, v1, v2, ... is als volgt gedefinieerd:
vn = an+1 – an.
De tweede verschilrij w0, w1, w2, ... is de verschilrij
van de verschilrij, dus:
wn = vn+1 – vn.
De rij a0, a1, a2, ... is gelijk aan w0, w1, w2, ...
Bovendien is gegeven dat a3 = 60. Bereken a12.
3
270
Susan heeft drie gelijke dropveters, die ze eerlijk
moet verdelen over vijf personen. Wat is het kleinste aantal keer dat ze een dropveter of een stuk
dropveter in twee stukken moet delen, om dit voor
elkaar te krijgen?
Oplossing. Het eindresultaat moet zijn dat alle vijf
personen 3 van een dropveter hebben. Deel eerst
5
alle drie de dropveters in twee stukken: één stuk
3
van deel en één stuk van 2 deel. Drie personen
5
5
kunnen hun deel al ontvangen. Eén van de resterende stukken dropveters moet nog worden opgedeeld in twee stukken van 15 deel. De twee personen die nog niets hadden, krijgen nu elk een stuk
van 2 deel en een stuk van 1 deel. Er moet in to5
5
taal dus vier keer worden gedeeld. Met minder dan
vier keer delen is het onmogelijk om de drie dropveters zo te verdelen over vijf personen dat elk 3
5
deel krijgt.
Opmerking. Enkele inzenders geven de volgende
oplossing: deel alle drie de dropveters in tweeën;
geef vijf stukken weg en gooi de laatste halve dropveter weg. Deze oplossing, waarbij in totaal slechts
drie keer wordt gedeeld, wordt fout gerekend, omdat gevraagd wordt om drie gelijke dropveters te
verdelen over vijf personen. Dan kan je er niets van
weggooien!
P YTHAGORAS FEBRUARI 2014
31
271
A
M
180
0
180
360
B
D
F
C
A
B
Oplossing. Zie onderstaande figuur. Teken de diagonalen AC, AE, BD, BF, CE en DF. Teken vervolgens in de blauwe zeshoek de diagonalen PR, PS,
RU en SU. Ga zelf na dat FAR = 30°. Spiegel driehoek FAR in lijn FC, dat geeft driehoek FEQ. Nu
volgt eenvoudig: driehoek FQR is gelijkzijdig en QR
ligt op lijnstuk AE. Nu volgt dat de driehoeken FQR
en FAQ gelijke oppervlakte hebben. Elk van de getekende driehoeken in onderstaande figuur is congruent met driehoek FQR óf met driehoek FAQ. Nu
is het een kwestie van driehoeken tellen. In totaal
zijn er 18 driehoeken, waarvan er 6 in het blauwe
gebied liggen. De blauwe zeshoek heeft dus oppervlakte 1 .
3
360
B
De regelmatige zeshoek ABCDEF hieronder heeft
oppervlakte 1. In de zeshoek zijn zes rechthoekige
driehoeken geplaatst. Wat is de oppervlakte van de
kleine blauwe zeshoek?
E
C
C
E
een van de hoeken kleiner is dan 180° en de ander
groter is dan 180°, kan driehoek ABC zowel scherpals stomphoekig zijn. In de rechterfiguur zijn de
punten B en C tegen elkaar uitgezet. We kleuren de
punten (b, c) rood danwel groen, als de bijbehorende driehoek ABC scherp danwel stomp is. Door de
oppervlakte te bepalen van het groene vlakdeel ten
opzichte van het totale vlak, vinden we dat de kans
op een stomphoekige driehoek gelijk is aan 43 .
273
Tien kerstballen zitten in een vierkante doos, zoals
in de figuur aangegeven. De straal van elke kerstbal
is 5. Hoe lang is één zijde van de doos?
D
S
32
R
T
Q
U
F
C
P
A
B
272
Op een cirkel worden willekeurig drie punten A,
B en C gekozen. Wat is de kans dat driehoek ABC
stomphoekig is?
Oplossing. Zie de figuur bovenaan de volgende kolom. Kies eerst punt A willekeurig op de cirkel en
draai de cirkel vervolgens zo, dat A helemaal rechts
ligt (linkerfiguur). De hoeken AMB en AMC nemen een waarde aan tussen 0° en 360° (positieve
draairichting, d.w.z.: tegen de klok in). Als beide
hoeken kleiner zijn dan 180°, of beide groter zijn
dan 180°, is driehoek ABC stomphoekig (de getekende groene driehoek is een voorbeeld waarbij de
hoeken AMB en AMC kleiner zijn dan 180°). Als
Oplossing. Zie onderstaande figuur. Merk eerst op
dat de middelpunten M, N, P en Q op één lijn liggen. We kunnen de lengte van de zijde van de doos
(z) nu uitdrukken in zowel x (de rode lijnstukjes)
als h (de blauwe lijnstukken): z = 2x + 30 en
z = 3h + 10, ofwel 2x + 30 = 3h + 10. We vinden:
x = 3 h – 10. Met de stelling van Pythagoras in drie2
hoek MTN vinden we: (5 + 1 x)2 + h2 = 102, ofwel
2
3
( h) 2 + h2 = 100. Na wegwerken van de haakjes
4
25 2
vinden we 16 h = 100, ofwel h = 8. Dus de gevraagde zijde is dus z = 3 · 8 + 10 = 34.
Q
N
P
h
z
N
h
M
x
M
R
z
P YTHAGORAS FEBRUARI 2014
5
T
x
5
R

Download Report