korte samenvatting

B
Overzicht Fourier-theorie
In dit hoofdstuk geven we een overzicht van de belangrijkste resultaten van de Fourier-theorie. Dit
kan als steun dienen ter voorbereiding op het tentamen.
Fourier-reeksen van continue functies
Een functie f : R → C wordt periodiek met periode 2π genoemd indien
f (x + 2π) = f (x)
(∀x ∈ R).
We noteren met F (R/2πZ) de ruimte van functies f : R → C periodiek zijn met periode 2π. Voorts
defini¨eren we de ruimte van continue 2π-periodieke functies door
C(R/2πZ) := C(R) ∩ F (R/2πZ).
De ruimte C(R/2πZ), voorzien van de puntsgewijze optelling en scalar vermenigvuldiging is complex lineair.
Uit het college Lineaire Algebra brengen we de volgende definitie van een Hermite’s inproduct in
herinnering.
Definitie B.1 Zij E een lineaire ruimte over C. Een Hermite’s inproduct op E is een afbeelding
(f, g) 7→ hf, gi : E × E → C,
met de volgende eigenschappen.
(a) Voor iedere g ∈ E is f 7→ hf, gi complex-lineair van E naar C.
(b) Voor iedere f, g ∈ E geldt dat hg, f i = hf, gi.
(c) Als f ∈ E en f 6= 0, dan is hf, f i > 0.
Op de ruimte C(R/2πZ) defini¨eren we het integraal-inproduct door
Z π
1
f (x) g(x) dx,
(f, g ∈ C(R/2πZ)).
hf, gi :=
2π −π
(B.3)
Merk op dat de integrand in deze definitie een complexwaardige continue functie is van een re¨ele
variabele. De integratie een dergelijke functie ϕ = ϕ1 + iϕ2 wordt gedefinieerd door middel van de
integralen van het re¨ele en imaginaire deel:
Z b
Z b
Z b
ϕ(x) dx =
ϕ1 (x) dx + i
ϕ2 (x) dx.
a
a
a
Lemma B.2 Het integraal-inproduct (B.3) is een Hermite’s inproduct op C(R/2πZ).
Voor k ∈ Z defini¨eren we de functie k : R → C door
k (x) = eikx ,
(x ∈ R).
Elk der functies k behoort tot C(R/2πZ).
Als f ∈ C(R/2πZ), dan volgt direct uit de definitie van het integraal-inproduct dat
Z π
Z π
1
1
ikx
hf, k i =
f (x)e dx =
f (x)e−ikx dx.
2π −π
2π −π
117
(B.4)
(B.5)
Lemma B.3 De functies (n | n ∈ Z) vormen een orthonormaal systeem, dwz, voor alle m, n ∈ Z
geldt
hm , n i = δmn .
Hierbij hebben we een voor de hand liggende uitbreiding van de Kronecker delta gebruikt: δmm = 1
en δmn = 0 voor alle m, n ∈ Z, m 6= n.
Definitie B.4 Onder een Fourier-polynoom verstaan een functie f : R → C die geschreven kan
worden als eindige lineaire combinatie van de vorm
f=
N
X
cn n .
(B.6)
n=−N
met coefficienten ck ∈ C. (Dit zijn de functies met eindige Fourierreeksen.)
De verzameling van Fourier polynomen wordt genoteerd met P (R/2πZ).
We merken op dat P (R/2πZ) een lineaire deelruimte is van de complex lineaire ruimte C(R/2πZ).
Lemma B.5 Zij f een Fourier polynoom. Indien (B.6) geldt, dan worden de coefficienten cn gegeven
door
Z π
1
cn = hf, n i =
f (x)e−inx dx.
(B.7)
2π −π
Voor |n| > N geldt dat hf, n i = 0.
Een Fourier reeks is een oneindige reeks van functies van de vorm
X
ck eikx .
(B.8)
k∈Z
Vaak laten we de variabele achterwege, en noteren we
X
ck k
k∈Z
Men noemt de Fourier-reeks (B.8) puntsgewijs convergent als de twee reeksen
X
X
ck k en
c−k −k
k≥0
k≥1
puntsgewijs convergeren. In dit geval defini¨eren we de som van de reeks door
∞
X
k=−∞
ck k =
∞
X
ck k +
k=0
∞
X
c−k −k .
k=1
Uniforme en absoluut uniforme convergentie zijn op soortgelijke wijze gedefinieerd door te splitsen
in de reeks van termen met positieve index, en de reeks van termen met negatieve index.
118
Stelling B.6 Zij ck ∈ C voor k ∈ Z en veronderstel dat de reeks
Dan convergeert de de Fourier-reeks
X
ck k
P
k∈Z |ck |
convergeert.
k∈Z
absoluut uniform op R en behoort de somfunctie f : R → C, gedefinieerd door
∞
X
f (x) =
ck eikx ,
(x ∈ R),
(B.9)
k=−∞
tot C(R/2πZ). Bovendien wordt door de coefficient ck in termen van f gegeven door
1
f (x)e−ikx dx.
2π
ck = hf, k i =
Zij f ∈ C(R/2πZ), dan defini¨eren we k-de Fourier-co¨effici¨ent van f (voor k ∈ Z) door
Z π
1
f (x)e−ikx dx.
(Ff )k = hf, k i =
2π −π
(B.10)
We noteren met CZ de complexe lineaire ruimte van functies k 7→ ck , Z → C. Dan definieert
F : f 7→ F(f ) een lineaire afbeelding C(R/2πZ) die we Fourier transformatie noemen.
Lemma B.7 De Fourier transformatie F : C(R/2πZ) → CZ is injectief.
Stelling B.8 Zij f : R → C continu en P
periodiek met periode 2π. Noteer de Fourier-co¨effici¨enten
van f met ck := F(f )k , voor k ∈ Z. Als k∈Z |ck | < ∞, dan geldt
∞
X
f (x) =
ck eikx ,
(x ∈ R),
k=−∞
met absoluut uniforme convergentie van de reeks op R.
Voorbeeld B.9 De 2π-periodieke functie f op R, waarvoor f (x) = |x| als x ∈ ]−π, π], is continu.
Maak een schets! De Fourier-co¨effici¨enten worden gegeven door
Z π
Z
1
1 π
π
c0 =
|x| dx =
x dx = ,
2π −π
π 0
2
en voor k 6= 0 door
1
ck =
2π
Z
π
−ikx
|x|e
−π
1
dx =
2π
Z
π
|x|
−π
1 d −ikx
e
dx.
−ik dx
De laatste integraal kunnen schrijven als de som van de integraal over [−π, 0] en de integraal over
[0, π]. Op ieder van deze integralen passen we een parti¨ele integratie toe, hetgeen uiteindelijk leidt tot
ck =
(−1)k − 1
,
π k2
Hieruit leiden we af dat
|ck | ≤
k 6= 0.
2 1
· ,
π k2
119
P
waaruit we zien dat
|ck | convergeert. Op grond van uniforme majorantie concluderen we hieruit
dat de Fourier-reeks van f absoluut uniform convergeert. Op grond van Stelling B.8 krijgen we nu dat
|x| = c0 +
∞ X
ck eikx + c−k e−ikx .
k=1
Opmerkend dat ck = 0 als k even is en k 6= 0 en ck = −2/πk 2 als k oneven is, vinden we tenslotte
dat
∞
π
4 X cos((2j − 1) x)
|x| = −
, |x| ≤ π,
(B.11)
2 π
(2j − 1)2
j=1
waarbij de convergentie uniform is.
Door x = 0 in te vullen vinden we in het bijzonder dat
∞
X
j=1
Noteren we
π2
1
=
.
(2j − 1)2
8
(B.12)
∞
X
1
,
s :=
n2
n=1
dan geeft splitsing van de som over n = 2j en over n = 2j − 1, met j ∈ Z>0 , dat
s=
∞
X
π2
s π2
1
+
=
+
4j 2
8
4
8
j=0
dus
∞
X
4 π2
π2
1
=
=
.
n2
3 8
6
(B.13)
n=1
Deze identiteit is afkomstig van Euler, uit het midden van de 18e eeuw.
Functies met sprongen
De ruimte van 2π-periodieke lokaal Riemann-integreerbare functies R → C wordt genoteerd met
R (R/2πZ).
CZ
Voor functies f ∈ R(R/2πZ) defini¨eren we zoals voorheen de Fourier-getransformeerde F(f ) ∈
door
Z π
1
F(f )k :=
f (x)e−ikx dx,
(k ∈ Z)
2π −π
We defini¨eren nu een ruime klasse van niet noodzakelijk continue functies die een Fourier-ontwikkeling
zullen blijken te hebben.
Definitie B.10 Laat a, b ∈ R zijn met a < b. Een functie f : [a, b] → C heet stuksgewijs C 1 als er
een verdeling a = a0 < a1 < · · · < an = b van het interval [a, b] bestaat met de volgende eigenschap.
Voor iedere 1 ≤ j ≤ n bestaat een fj ∈ C 1 ([aj−1 , aj ]) zo dat f = fj op ]aj−1 , aj [.
In het vervolg zullen we de notatie C st,1 (R/2πZ) gebruiken voor de ruimte van functies f : R →
C met
120
(a) f (x + 2π) = f (x) voor alle x ∈ R;
(b) f is stuksgewijs C 1 op het interval [−π, π].
Vanwege de periodiciteit is elke functie f ∈ C st,1 (R/2πZ) stuksgewijs C 1 op ieder gesloten en
begrensd interval. In het bijzonder zien we dat
C st,1 (R/2πZ) ⊂ R(R/2πZ).
Laat f ∈ C st,1 (R/2πZ). Dan geldt voor elke x ∈ R dat de limieten
f (x−) := lim f (x − h),
h↓0
en f (x+) := lim f (x + h)
h↓0
bestaan. Uiteraard geldt dat f continu is in x dan en slechts dan als f (x+) = f (x−) = f (x), in welk
geval 21 (f (x−) + f (x+)) = f (x).
Stelling B.11 Zij f ∈ C st,1 (R/2πZ) en schrijf ck = (Ff )k Dan geldt voor elke x ∈ R dat
lim
n→∞
X
f (x−) + f (x+)
.
2
ck eikx =
|k|≤n
Voor punten x ∈ R waar de functie f uit de bovenstaande stelling continu is, geldt dus:
X
f (x) = lim
ck eikx
n→∞
|k|≤n
Opmerking B.12 De symmetrische parti¨ele Fourier-som van f kan ook geschreven worden als
X
ck eikx = c0 +
|k|≤n
n
X
(ck eikx + c−k e−ikx )
k=1
hetgeen weer geschreven kan worden als
a0 +
n
X
ak cos kx + bk sin kx)
k=1
met a0 = c0 , ck = ak = (ck + ck ) en bk = i(ck − c−k ).
Voorbeeld B.13 Beschouw de zaagtandfunctie f die ontstaat als de 2π-periodieke uitbreiding van de
functie f (x) = x op ]0, 2π[. Voor de waarde f (0) = f (2π) van f in het sprongpunt kunnen we iedere
gewenste waarde nemen. Merk op dat voor iedere keuze geldt f (0+) = 0 en f (0−) = f (2π−) = 2π.
De functie f behoort tot C st,1 (R/2πZ). Maak een schets!
De Fourier-co¨effici¨enten worden gegeven door
c0 =
1 1
(2π)2 = π
2π 2
terwijl we voor k 6= 0 met behulp van een parti¨ele integratie krijgen dat
Z 2π
1
1 d −ikx
1
x
e
dx = −
ck =
2π 0
−ik dx
ik
121
Hiermee is de Fourier-reeks c0 +
P
k≥1 (ck k
π−
+ c−k −k ) van f gegeven door
X 2 sin(kx)
.
k
k≥1
Voor x = 0 convergeert deze, op een flauwe manier, met som gelijk aan π, hetgeen precies midden
tussen f (0+) = 0 en f (0−) = 2π in ligt. Dit suggereert dat f (0) = π de natuurlijke keuze is voor
de waarde van f in het sprongpunt.
Stelling B.11 impliceert anderzijds dat
lim
n→∞
n
X
sin(kx)
k=1
k
=
π−x
,
2
0 < x < 2π,
(B.14)
een fraaie klassieke formule.
Stelling B.14 De convergentie in Stelling B.11 is uniform op ieder gesloten en begrensd interval
I ⊂ R dat geen discontinu¨ıteit van de functie f bevat.
B.1
De gelijkheid van Parseval
Voor 2π-periodieke lokaal Riemann-integreerbare functies geldt de volgende fraaie gelijkheid van
Parseval, die opgevat kan worden als oneindig dimensionale versie van de stelling van Pythagoras.
Stelling B.15 (De gelijkheid van Parseval) Zij f ∈ R(R/2πZ). Noteer ck = (F)k , voor k ∈ Z.
Dan geldt dat
Z π
∞
X
1
|ck |2 .
(B.15)
|f (x)|2 dx =
2π −π
k=−∞
Voorbeeld B.16 We beschouwen de 2π-periodieke functie f : R → C die op ] − π, π] gedefinieerd
wordt door f (x) = x. Er geldt dat
Z π
1
1 1 3 π
π2
|f (x)|2 dx =
x =2· .
2π −π
2π 3 −π
6
De Fourier co¨effici¨enten ck van f berekenen we als volgt. Het is evident dat c0 = 0. Met parti¨ele
integratie vinden we voor k 6= 0 dat
Z π
1
ck =
xe−ikx dx
2π −π
Z π
π
1 1
=
x e−ikx −
e−ikx dx
2π −ik
−π
−π
=
(−1)k
.
−ik
Derhalve
X
k∈Z
∞
X
1
|ck | = 2
.
k2
2
k=1
122
De bovenstaande gelijkheid van Parseval leidt in dit geval dus tot de bekende identiteit
∞
π2 X 1
.
=
6
k2
k=1
123

Download Report