PORTFOLIO 16 DEEL XI HOOFDSTUK 4 TOEPASSINGEN

Naam: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Klas: . . . . . . . . . . . . . . .
Nr.: . . . . .
16
PORTFOLIO
DEEL XI HOOFDSTUK 4 TOEPASSINGEN OP INTEGRALEN
4 Toepassingen op integralen
technieken - deel 2
Basis
?
??
Verdieping
?
??
4.1 Omwentelingslichamen
3 Inhoud van een omwentelingslichaam
1
2
3
1
3
1
3
4.1 Omwentelingslichamen
3 Booglengte van een functie
9
9
10
8
9
4.1 Omwentelingslichamen
3 Oppervlakte van een omwentelingslichaam
14
13
14
4.3 Toepassingen
7
Uitbreiding
?
??
4
5
6
11
14
15
16
23
Oefeningen bij §4.1 - Inhoud van een omwentelingslichaam
B
Oefening 1. Bereken telkens algebra¨ısch de inhoud van het omwentelingslichaam dat verkregen wordt door de gegeven functie, beperkt over het aangegeven interval [a, b], te wentelen om de x-as. Maak telkens een schets van het
omwentelingslichaam.
√
B (a) f (x) = − x
[a, b] = [0, 4]
B? (d) f (x) = sin x
[a, b] = [0, 2π]
h √ √ i
p
B (b) f (x) = 2x
[a, b] = [1, 4]
B? (e) f (x) = x 2 − x2
[a, b] = − 2, 2
h π πi
1
B?? (c) f (x) = ln x
[a, b] = e−1 , e
B (f) f (x) =
[a, b] = − ,
cos x
4 4
Oefening 2. Bereken telkens de inhoud van het omwentelingslichaam dat verkregen wordt door de gegeven functie,
beperkt over het aangegeven interval [a, b], te wentelen om de x-as. Maak telkens een schets van het omwentelingslichaam.
(a) f (x) = e−x
2
[a, b] = [−10, 10]
(b)
f (x) =
sin x
x
[a, b] = [0, 00001; 2π]
Oefening 3. Bereken telkens algebra¨ısch de inhoud van het omwentelingslichaam dat verkregen wordt door het vlakdeel begrensd door de gegeven krommen te wentelen om de x-as. Maak telkens een schets van het omwentelingslichaam.
K
B
(a)
f (x) = 4x − x2 ,
g(x) = x
y = x2 + 2x,
y = 4x − x2
2
(b) y = x ,
B? (c)
B? (d) 4x2 − y 2 = 4,
1
B?? (e) y = (6 − x),
2
U
y2 = x
x=2
√
y = 6−x
Oefening 4 (parabolo¨ıde). Een parabolo¨ıde is het omwentelingslichaam dat verkregen wordt door een parabool
P : y 2 = 2p x met p ∈ R+
0
te wentelen om de x-as. Bepaal de inhoud van een parabolo¨ıde over een interval [0, k].
Po-53
U?
Oefening 5 (ellipso¨ıde).
wordt door een ellips
Een ellipso¨ıde is het omwentelingslichaam dat verkregen
E:
y2
x2
+ 2 =1
2
a
b
met a, b ∈ R+
0
te wentelen om de x-as.
(a) Bepaal de inhoud van een ellipso¨ıde.
(b) Leid hieruit de inhoud van een bol met straal r af.
U??
Oefening 6 (hyperbolo¨ıde). Een (´e´enbladige) hyperbolo¨ıde is het omwentelingslichaam dat verkregen wordt door een hyperbool
H:
y2
x2
−
=1
a2
b2
met a, b ∈ R+
0
te wentelen om de y-as. Bepaal de inhoud van een hyperbolo¨ıde over een interval
[−k, k].
V?
Oefening 7. Tot op een hoogte van 2, 8cm volgt het binnenste van een wijnglas een parabolische vorm met vergelijking
y = x2 /8. Verder wordt het glas naar boven toe smaller, zo worden geuren beter in het glas gevangen. Een goede
sommelier vult de glazen tot een hoogte van net 2, 8cm. Hoeveel glazen haalt een ober uit een fles van 75cl? Bereken
algebra¨ısch.
Oefeningen bij §4.1 - Booglengte van een functie
h πi
Oefening 8. Bereken algebra¨ısch de booglengte van de grafiek van f (x) = ln(cos x) beperkt over het interval 0, .
4
B??
Oefening 9. Bereken telkens de booglengte van de grafiek van f beperkt over het aangegeven interval [a, b]. Maak
telkens een schets.
(a)
B
f (x) = x3
?
B (b) f (x) = ln x
B
(c)
f (x) = Arctan x
V
(e)
[a, b] = [1, e]
[a, b] = [−10, 10]
2
x −2
px
f (x) = 9x − x2
B? (d) f (x) =
[a, b] = [−1, 1]
[a, b] = [2, 5]
[a, b] = [0, 9]
B?
Oefening 10. Bepaal de booglente van de kromme met vergelijking 24xy = x4 + 48 waarbij x behoort tot [2, 4].
U?
Oefening 11 (kettinglijn). De kettinglijn is de grafiek van cosinus hyperbolicus
(zie Deel Afgeleiden)
x
−x
def e + e
cosh x =
2
(a) Schets de grafiek van de kettinglijn.
(b) Bereken algebra¨ısch de booglengte van de kettinglijn beperkt tot het interval
[−1, 1].
K
Oefening 12. Een serre heeft een lengte van 15m. Een dwarsdoorsnede heeft de
3
vorm van de parabool met als vergelijking y = − x2 + 3. Hoeveel zeil is er nodig
16
om de serre te overspannen? De voor-en achterzijde wordt niet afgedekt.
Po-54
Een hangende ketting
neemt de vorm aan van een
cosinus hyperbolicus.
Oefeningen bij §4.1 - Manteloppervlakte van een omwentelingslichaam
B??
Oefening 13. Bereken algebra¨ısch de manteloppervlakte van het omwentelingslichaam dat verkregen wordt door de
functie f (x) = e3x , beperkt over het interval [−1, 1], te wentelen om de x-as. Maak een schets van het omwentelingslichaam.
Oefening 14. Bereken telkens de manteloppervlakte van het omwentelingslichaam dat verkregen wordt door de
gegeven kromme, beperkt over het aangegeven interval [a, b], te wentelen om de aangegeven as. Maak telkens een
schets van het omwentelingslichaam.
f (x) = x2
p
V? (b) x = y 3 − y
B
B
V
U?
(a)
(c)
f (x) = 3 sin(2x)
(d) x = y
3
wentelen om de x-as
[a, b] = [−2, 2]
wentelen om de y-as
[a, b] = [1, 4]
wentelen om de x-as
[a, b] = [0, π]
wentelen om de y-as
[a, b] = [0, 1]
Oefening 15 (parabolo¨ıde). Een parabolo¨ıde is het omwentelingslichaam dat
verkregen wordt door een parabool
P : y 2 = 2p x met p ∈ R+
0
te wentelen om de x-as. Bepaal de manteloppervlakte van een parabolo¨ıde over een
interval [0, k].
U??
Oefening 16 (ellipso¨ıde). Een ellipso¨ıde is het omwentelingslichaam dat verkregen
wordt door een ellips
E:
x2
y2
+ 2 =1
2
a
b
met a, b ∈ R+
0
te wentelen om de x-as.
(a) Bepaal de oppervlakte van een ellipso¨ıde.
(b) Leid hieruit de oppervlakte van een bol met straal r af.
B?
Oefeningen bij §4.3
Oefening 23. De aantrekkings-of afstotingskracht tussen twee elektrische ladingen
q1 en q2 wordt volgens de wet van Coulomb gegeven door
F =k·
q1 q2
r2
met F uitgedrukt in Newton
met
3 q1 , q2 de absolute waarde van de ladingen (uitgedrukt in Coulomb)
3 r de afstand tussen beide ladingen (uitgedrukt in meter)
3 k = 8, 9876 · 109 de constante van Coulomb 1 .
De meeste elektrische ladingen blijken een veelvoud te zijn van de zogenaamde elementaire lading
2
e = 1, 602192 · 10−19 C
De kern van een waterstofatoom bevat een proton (lading +e) en een elektron (lading −e) op een afstand van 5, 3 ·
10−11 m van elkaar verwijderd. Bereken de arbeid die nodig is om het elektron uit het elektrisch veld van het proton
te halen (afronden tot op 4 beduidende cijfers).
2 Coulomb
1780.
alle elektrische ladingen zijn een veelvoud van e. In de jaren ’60 ontdekte men dat quarks electrische ladingen hebben in eenheden
e
2e
van
en
. Strikt genomen is de term ‘elementaire lading’, die verwijst naar de electrische lading van een electron, niet langer correct.
3
3
2 Niet
Po-55
Reflectie
Vul dit overzicht aan telkens je een oefening gemaakt of verbeterd hebt. Zo reflecteer je over je
• leerproces,
• effici¨entie van werken,
• sterke en zwakke elementen in de uitvoering van je oefeningen.
oefening verbeterd? (kruisje)
31/12
99a
X
Waarom is deze oefening gelukt/niet gelukt?
Welke fouten heb ik gemaakt?
• voldoende tijd besteed?
• notatiefout (NF)
• opgave goed gelezen?
• eenheden (EF)
• nauwkeurig gewerkt?
• grafisch rekenmachine (GF)
• modelvoorbeelden bekeken?
• rekenfout (RF)
• opgave begrepen?
• interpretatie van de opgave (IF)
• leerstof voldoende begrepen?
• denkfout (DF)
gelukt: m.b.v. modelvoorbeelden
EF, NF
verder oefenen nodig? (kruisje)
oefening nummer
vb.
datum oefening afgewerkt
Bovendien maak je je reflectie concreet door aan te stippen of je nog verder moet oefenen op het leerstofonderdeel.

Download Report