1
Tropische Meetkunde
In Perspectief, 21 maart 2014
Jan Draisma, TU Eindhoven
Tropische getallen
Twee operaties
R∞ := R ∪ {∞}
a ⊕ b := min{a, b}
a b := a + b
het tropische semilichaam
2
(alternatief: max en −∞)
Tropische getallen
Twee operaties
R∞ := R ∪ {∞}
a ⊕ b := min{a, b}
a b := a + b
het tropische semilichaam
2
(alternatief: max en −∞)
Eigenschappen
3 ⊕ 2 = 2, 3 2 = 5,
a ⊕ ∞ = a, a 0 = a, a ∞ = ∞
a (b ⊕ c) = a + min{b, c} = min{a + b, a + c} = (a b) ⊕ (a c)
Tropische getallen
Twee operaties
R∞ := R ∪ {∞}
a ⊕ b := min{a, b}
a b := a + b
het tropische semilichaam
2
(alternatief: max en −∞)
Eigenschappen
3 ⊕ 2 = 2, 3 2 = 5,
a ⊕ ∞ = a, a 0 = a, a ∞ = ∞
a (b ⊕ c) = a + min{b, c} = min{a + b, a + c} = (a b) ⊕ (a c)
(R∞ , ⊕, ∞, , 0) heeft alle eigenschappen van een
lichaam, behalve dat additieve inverses ontbreken
Tropische veeltermen in e´ e´ n variabele
Ld
i
f =
c
x
i=0 i P
korter: f =“ di=0 ci xi ”
tropische veeltermen kunnen tropisch
worden opgeteld en vermenigvuldigd
3
Tropische veeltermen in e´ e´ n variabele
Ld
i
f =
c
x
i=0 i P
korter: f =“ di=0 ci xi ”
tropische veeltermen kunnen tropisch
worden opgeteld en vermenigvuldigd
Voorbeeld
f =“3(x + 2)2 (x + 6)”
=“3(x2 + 2x + 4)(x + 6)”
=“3(x3 + 2x2 + 4x + 10)”
=“3x3 + 5x2 + 7x + 13”
3
Tropische veeltermen in e´ e´ n variabele
Ld
i
f =
c
x
i=0 i P
korter: f =“ di=0 ci xi ”
tropische veeltermen kunnen tropisch
worden opgeteld en vermenigvuldigd
Voorbeeld
f =“3(x + 2)2 (x + 6)”
=“3(x2 + 2x + 4)(x + 6)”
=“3(x3 + 2x2 + 4x + 10)”
=“3x3 + 5x2 + 7x + 13”
f
functie R∞ → R∞
x 7→ mini (ci + ix)
13
3
Tropische veeltermen in e´ e´ n variabele
Ld
i
f =
c
x
i=0 i P
korter: f =“ di=0 ci xi ”
tropische veeltermen kunnen tropisch
worden opgeteld en vermenigvuldigd
Voorbeeld
f =“3(x + 2)2 (x + 6)”
=“3(x2 + 2x + 4)(x + 6)”
=“3(x3 + 2x2 + 4x + 10)”
=“3x3 + 5x2 + 7x + 13”
f
functie R∞ → R∞
x 7→ mini (ci + ix)
13
7
3
Tropische veeltermen in e´ e´ n variabele
Ld
i
f =
c
x
i=0 i P
korter: f =“ di=0 ci xi ”
tropische veeltermen kunnen tropisch
worden opgeteld en vermenigvuldigd
Voorbeeld
f =“3(x + 2)2 (x + 6)”
=“3(x2 + 2x + 4)(x + 6)”
=“3(x3 + 2x2 + 4x + 10)”
=“3x3 + 5x2 + 7x + 13”
f
functie R∞ → R∞
x 7→ mini (ci + ix)
13
7
5
3
Tropische veeltermen in e´ e´ n variabele
Ld
i
f =
c
x
i=0 i P
korter: f =“ di=0 ci xi ”
tropische veeltermen kunnen tropisch
worden opgeteld en vermenigvuldigd
Voorbeeld
f =“3(x + 2)2 (x + 6)”
=“3(x2 + 2x + 4)(x + 6)”
=“3(x3 + 2x2 + 4x + 10)”
=“3x3 + 5x2 + 7x + 13”
f
functie R∞ → R∞
x 7→ mini (ci + ix)
13
7
5
3
3
Tropische veeltermen in e´ e´ n variabele
Ld
i
f =
c
x
i=0 i P
korter: f =“ di=0 ci xi ”
tropische veeltermen kunnen tropisch
worden opgeteld en vermenigvuldigd
Voorbeeld
f =“3(x + 2)2 (x + 6)”
=“3(x2 + 2x + 4)(x + 6)”
=“3(x3 + 2x2 + 4x + 10)”
=“3x3 + 5x2 + 7x + 13”
f
functie R∞ → R∞
x 7→ mini (ci + ix)
13
7
5
3
3
Tropische veeltermen in e´ e´ n variabele
3
Ld
i
f =
c
x
i=0 i P
korter: f =“ di=0 ci xi ”
tropische veeltermen kunnen tropisch
worden opgeteld en vermenigvuldigd
Voorbeeld
f =“3(x + 2)2 (x + 6)”
=“3(x2 + 2x + 4)(x + 6)”
=“3(x3 + 2x2 + 4x + 10)”
=“3x3 + 5x2 + 7x + 13”
f
functie R∞ → R∞
x 7→ mini (ci + ix)
13
7
5
3
2
6
Tropische veeltermen in e´ e´ n variabele
3
Ld
i
f =
c
x
i=0 i P
korter: f =“ di=0 ci xi ”
tropische veeltermen kunnen tropisch
worden opgeteld en vermenigvuldigd
Voorbeeld
f =“3(x + 2)2 (x + 6)”
=“3(x2 + 2x + 4)(x + 6)”
=“3(x3 + 2x2 + 4x + 10)”
=“3x3 + 5x2 + 7x + 13”
f
functie R∞ → R∞
x 7→ mini (ci + ix)
13
11
7
5
3
2
( f ⊕ (11 x1/2 ) definieert dezelfde functie!)
6
Nulpunten van tropische veeltermen
Stelling
g : R∞ → R∞ continu, concaaf, stuksgewijs lineair, met
richtingsafgeleiden in Z
∃! veelterm f van de vorm
Qd
“c i=1 (x + xi )” dat aanleiding geeft tot de functie g.
4
Nulpunten van tropische veeltermen
Stelling
g : R∞ → R∞ continu, concaaf, stuksgewijs lineair, met
richtingsafgeleiden in Z
∃! veelterm f van de vorm
Qd
“c i=1 (x + xi )” dat aanleiding geeft tot de functie g.
Definitie
De xi ∈ R∞ (! knikken in grafiek) heten nulpunt van f .
4
Nulpunten van tropische veeltermen
Stelling
g : R∞ → R∞ continu, concaaf, stuksgewijs lineair, met
richtingsafgeleiden in Z
∃! veelterm f van de vorm
Qd
“c i=1 (x + xi )” dat aanleiding geeft tot de functie g.
Definitie
De xi ∈ R∞ (! knikken in grafiek) heten nulpunt van f .
Relatie tot gewone polynomen
K een lichaam met niet-Archimedische valuatie v : K → R∞
P
P
i
Trop : K[x] → R∞ [x], i ci x 7→“ i v(ci )xi ” tropicalisatie
4
Nulpunten van tropische veeltermen
Stelling
g : R∞ → R∞ continu, concaaf, stuksgewijs lineair, met
richtingsafgeleiden in Z
∃! veelterm f van de vorm
Qd
“c i=1 (x + xi )” dat aanleiding geeft tot de functie g.
Definitie
De xi ∈ R∞ (! knikken in grafiek) heten nulpunt van f .
Relatie tot gewone polynomen
K een lichaam met niet-Archimedische valuatie v : K → R∞
P
P
i
Trop : K[x] → R∞ [x], i ci x 7→“ i v(ci )xi ” tropicalisatie
Lemma (Gauss/Newton)
Trop( f g) = Trop( f ) Trop(g) (als functies)
v({nulpunten van f in K}) = {nulpunten van Trop( f )}
4
Tropische veeltermen in twee variabelen
f =“ (i, j)∈A ci j xi y j ”, ci j ∈ R, A ⊆ N2
functie R2∞ → R∞ , (x, y) 7→ mini j (ci j + ix + jy)
stuksgewijs lineair, concaaf, geheeltallige gradienten
P
5
Tropische veeltermen in twee variabelen
f =“ (i, j)∈A ci j xi y j ”, ci j ∈ R, A ⊆ N2
functie R2∞ → R∞ , (x, y) 7→ mini j (ci j + ix + jy)
stuksgewijs lineair, concaaf, geheeltallige gradienten
P
Definitie
V( f ) := {(x, y) ∈ R2∞ | f niet lineair} tropische kromme
5
Tropische veeltermen in twee variabelen
5
f =“ (i, j)∈A ci j xi y j ”, ci j ∈ R, A ⊆ N2
functie R2∞ → R∞ , (x, y) 7→ mini j (ci j + ix + jy)
stuksgewijs lineair, concaaf, geheeltallige gradienten
P
Definitie
V( f ) := {(x, y) ∈ R2∞ | f niet lineair} tropische kromme
Voorbeeld
V(“2x + 3y + 1”)
2 + x ≤ 1, 3 + y
tropische lijn
(−1, −2)
2+x=1≤3+y
1 ≤ 2 + x, 3 + y
3+y=1≤2+x
3 + y ≤ 2 + x, 1
2+x=3+y≤1
Tropische veeltermen in twee variabelen
5
f =“ (i, j)∈A ci j xi y j ”, ci j ∈ R, A ⊆ N2
functie R2∞ → R∞ , (x, y) 7→ mini j (ci j + ix + jy)
stuksgewijs lineair, concaaf, geheeltallige gradienten
P
Definitie
V( f ) := {(x, y) ∈ R2∞ | f niet lineair} tropische kromme
Voorbeeld
V(“2x + 3y + 1”)
2 + x ≤ 1, 3 + y
tropische lijn
(−1, −2)
2+x=1≤3+y
1 ≤ 2 + x, 3 + y
3+y=1≤2+x
3 + y ≤ 2 + x, 1
2+x=3+y≤1
tropische varianten van Pappus, Desargues, . . .
Tropische vlakke krommen tekenen
Voorbeeld: f =“0y + 1y4 + (1/2)xy2 + (−1)x3 y + 0x3 y3 + 1x5 ”
1
0
1/2
0
−1
1
6
Tropische vlakke krommen tekenen
Voorbeeld: f =“0y + 1y4 + (1/2)xy2 + (−1)x3 y + 0x3 y3 + 1x5 ”
1
0
1/2
0
−1
1
1. ∆ := convex omhulsel van A
6
Tropische vlakke krommen tekenen
6
Voorbeeld: f =“0y + 1y4 + (1/2)xy2 + (−1)x3 y + 0x3 y3 + 1x5 ”
1
0
1/2
0
−1
1
z
1. ∆ := convex omhulsel van A
2. C := convex omhulsel in R3 van (i, j, z) met (i, j) ∈ A en z ≥ ci j
Tropische vlakke krommen tekenen
6
Voorbeeld: f =“0y + 1y4 + (1/2)xy2 + (−1)x3 y + 0x3 y3 + 1x5 ”
1
0
1/2
0
−1
1
1. ∆ := convex omhulsel van A
2. C := convex omhulsel in R3 van (i, j, z) met (i, j) ∈ A en z ≥ ci j
3. projecteer C naar beneden
reguliere onderverdeling van ∆
Tropische vlakke krommen tekenen
6
Voorbeeld: f =“0y + 1y4 + (1/2)xy2 + (−1)x3 y + 0x3 y3 + 1x5 ”
x
1
y
0
1/2
0
−1
1
V( f ) =Desdakromme
4. (i, j) − (k, l) kant in onderverdeling
⇔ V( f ) heeft lijnstuk waar ci j + ix + jy = ckl + kx + ly < rest
Tropische vlakke krommen tekenen
6
Voorbeeld: f =“0y + 1y4 + (1/2)xy2 + (−1)x3 y + 0x3 y3 + 1x5 ”
x
1
1
0
3
1/2
0
y
2
3
3
1
1
−1
1
1 V( f ) =Desdakromme
4. (i, j) − (k, l) kant in onderverdeling
⇔ V( f ) heeft lijnstuk waar ci j + ix + jy = ckl + kx + ly < rest
5. gewicht van lijnstuk = # roosterpunten op kant min 1
Lokaal evenwicht in de Desdakromme
1
0
7
Lokaal evenwicht in de Desdakromme
7
1
0
1
3
2
Lokaal evenwicht in de Desdakromme
7
1
0
1
3
2
3(−1, −1) + 2(1, 0) + 1(1, 3) = (0, 0)
Stelling
Een tropische vlakke kromme V( f ) is een gewogen, rechtlijnige
graaf in R2∞ met geheeltallige richtingen en lokaal in evenwicht.
Het omgekeerde geldt ook.
Tropische stelling van B´ezout
Klassieke stelling van B´ezout
C1 , C2 vlakke krommen, graden d1 , d2
8
|C1 ∩ C2 | = d1 d2 .
Tropische stelling van B´ezout
Klassieke stelling van B´ezout
C1 , C2 vlakke krommen, graden d1 , d2
8
|C1 ∩ C2 | = d1 d2 .
Tropische stelling van B´ezout
Klassieke stelling van B´ezout
C1 , C2 vlakke krommen, graden d1 , d2
?
multipliciteiten!
8
|C1 ∩ C2 | = d1 d2 .
Tropische stelling van B´ezout
Klassieke stelling van B´ezout
C1 , C2 vlakke krommen, graden d1 , d2
?
multipliciteiten!
?
over C!
8
|C1 ∩ C2 | = d1 d2 .
Tropische stelling van B´ezout
Klassieke stelling van B´ezout
C1 , C2 vlakke krommen, graden d1 , d2
?
multipliciteiten!
?
over C!
8
|C1 ∩ C2 | = d1 d2 .
?
projectief!
Tropische stelling van B´ezout
Klassieke stelling van B´ezout
C1 , C2 vlakke krommen, graden d1 , d2
?
multipliciteiten!
?
over C!
8
|C1 ∩ C2 | = d1 d2 .
?
projectief!
?
schuiven!
Tropische stelling van B´ezout
Klassieke stelling van B´ezout
C1 , C2 vlakke krommen, graden d1 , d2
?
multipliciteiten!
?
over C!
8
|C1 ∩ C2 | = d1 d2 .
?
projectief!
?
schuiven!
Stelling [Richter-Gebert, Sturmfels, Theobald 2003]
Idem voor tropische krommen.
d1 = 2
d2 = 2
Tropische stelling van B´ezout
Klassieke stelling van B´ezout
C1 , C2 vlakke krommen, graden d1 , d2
?
multipliciteiten!
?
over C!
8
|C1 ∩ C2 | = d1 d2 .
?
projectief!
?
schuiven!
Stelling [Richter-Gebert, Sturmfels, Theobald 2003]
Idem voor tropische krommen.
d1 · d2 = 6
Tropische stelling van B´ezout
Klassieke stelling van B´ezout
C1 , C2 vlakke krommen, graden d1 , d2
?
multipliciteiten!
?
over C!
8
|C1 ∩ C2 | = d1 d2 .
?
projectief!
?
schuiven!
Stelling [Richter-Gebert, Sturmfels, Theobald 2003]
Idem voor tropische krommen.
schuiven
d1 · d2 = 6
Tropische stelling van B´ezout
Klassieke stelling van B´ezout
C1 , C2 vlakke krommen, graden d1 , d2
?
multipliciteiten!
?
over C!
8
|C1 ∩ C2 | = d1 d2 .
?
projectief!
?
schuiven!
Stelling [Richter-Gebert, Sturmfels, Theobald 2003]
Idem voor tropische krommen.
schuiven
d1 · d2 = 6
Tropische hyperoppervlakken
f tropische veelterm in n variabelen
functie Rn∞ → R∞
V( f ) tropisch hyperoppervlak
9
Tropische hyperoppervlakken
f tropische veelterm in n variabelen
functie Rn∞ → R∞
V( f ) tropisch hyperoppervlak
Voorbeeld
P
f =“ π∈S 3 x1π(1) x2π(2) x3π(3) ”, de tropische determinant
dim V( f ) = 8, evenwichtige polyhedrale waaier in R9∞
elke kegel bevat (si + t j )i j = (si t j )i j , een 5-dim ruimte
modulo deze ruimte een 3-dimensionale waaier in R4
snijden met 3-sfeer geeft 2-dimensionaal complex:
9
Tropische hyperoppervlakken
f tropische veelterm in n variabelen
functie Rn∞ → R∞
V( f ) tropisch hyperoppervlak
Voorbeeld
P
f =“ π∈S 3 x1π(1) x2π(2) x3π(3) ”, de tropische determinant
dim V( f ) = 8, evenwichtige polyhedrale waaier in R9∞
elke kegel bevat (si + t j )i j = (si t j )i j , een 5-dim ruimte
modulo deze ruimte een 3-dimensionale waaier in R4
snijden met 3-sfeer geeft 2-dimensionaal complex:
9 knopen
6 driehoeken
9 vierhoeken
S 2 n S 32 werkt hierop
9
Hogere codimensie
Tropicalisatie
(K, v) niet-Archimedisch lichaam
X ⊆ K n gegeven door veeltermvergelijkingen f1 = f2 = . . . = 0
I = h f1 , . . . , fk i ⊆ K[x1 , . . . , xn ] het voortgebrachte ideaal
10
Hogere codimensie
Tropicalisatie
(K, v) niet-Archimedisch lichaam
X ⊆ K n gegeven door veeltermvergelijkingen f1 = f2 = . . . = 0
I = h f1 , . . . , fk i ⊆ K[x1 , . . . , xn ] het voortgebrachte ideaal
Definitie
T
Trop(X) := f ∈I V(Trop( f )) ⊆ Rn∞ tropicalisatie van X
10
Hogere codimensie
10
Tropicalisatie
(K, v) niet-Archimedisch lichaam
X ⊆ K n gegeven door veeltermvergelijkingen f1 = f2 = . . . = 0
I = h f1 , . . . , fk i ⊆ K[x1 , . . . , xn ] het voortgebrachte ideaal
Definitie
T
Trop(X) := f ∈I V(Trop( f )) ⊆ Rn∞ tropicalisatie van X
Stelling (Bieri-Groves, 1984)
Trop(X) is een evenwichtig polyhedraalcomplex en dim = dim X.
Hogere codimensie
10
Tropicalisatie
(K, v) niet-Archimedisch lichaam
X ⊆ K n gegeven door veeltermvergelijkingen f1 = f2 = . . . = 0
I = h f1 , . . . , fk i ⊆ K[x1 , . . . , xn ] het voortgebrachte ideaal
Definitie
T
Trop(X) := f ∈I V(Trop( f )) ⊆ Rn∞ tropicalisatie van X
Stelling (Bieri-Groves, 1984)
Trop(X) is een evenwichtig polyhedraalcomplex en dim = dim X.
Opmerkingen:
• voor k = 1 is dit V(Trop( f1 ))
T
• i.h.a. kleiner dan i V(Trop( fi ))
• er bestaat software gfan om Trop(X) uit te rekenen
Tropische Grassmannian van vlakken
11
ϕ : K m × K m → K m(m−1)/2 , (y, z) 7→ (yi z j − y j zi )i< j
beeld X gegeven door ∀i < j < k < l: xi j xkl − xik x jl + xil x jk = 0
Grassmanniaan van 2-ruimten in m-ruimte
Tropische Grassmannian van vlakken
11
ϕ : K m × K m → K m(m−1)/2 , (y, z) 7→ (yi z j − y j zi )i< j
beeld X gegeven door ∀i < j < k < l: xi j xkl − xik x jl + xil x jk = 0
Grassmanniaan van 2-ruimten in m-ruimte
Wat is Trop(X)?
Tropische Grassmannian van vlakken
11
ϕ : K m × K m → K m(m−1)/2 , (y, z) 7→ (yi z j − y j zi )i< j
beeld X gegeven door ∀i < j < k < l: xi j xkl − xik x jl + xil x jk = 0
Grassmanniaan van 2-ruimten in m-ruimte
Wat is Trop(X)?
Voor x ∈ Trop(X) moet i.i.g. gelden: ∀i < j < k < l:
min{xi j + xkl , xik + x jl , xil + x jk } wordt ≥ 2 keer aangenomen.
Tropische Grassmannian van vlakken
11
ϕ : K m × K m → K m(m−1)/2 , (y, z) 7→ (yi z j − y j zi )i< j
beeld X gegeven door ∀i < j < k < l: xi j xkl − xik x jl + xil x jk = 0
Grassmanniaan van 2-ruimten in m-ruimte
Wat is Trop(X)?
Voor x ∈ Trop(X) moet i.i.g. gelden: ∀i < j < k < l:
min{xi j + xkl , xik + x jl , xil + x jk } wordt ≥ 2 keer aangenomen.
Stelling (Speyer-Sturmfels, 2005)
Dit is ook voldoende, en Trop(X) “is” de ruimte
van fylogenetische bomen met m bladeren.
Fylogenetische bomen
12
Van bomen naar metrieken
boom met m bladeren en positieve kantlengtes
j
metriek op m punten.
i
a
b
c
d
j
i
a+b+c+d
Fylogenetische bomen
12
Van bomen naar metrieken
boom met m bladeren en positieve kantlengtes
j
metriek op m punten.
i
a
b
c
d
j
i
a+b+c+d
Van metrieken naar bomen
Welke metrieken (di j )i j komen van bomen?
Fylogenetische bomen
12
Van bomen naar metrieken
boom met m bladeren en positieve kantlengtes
j
metriek op m punten.
i
a
b
c
d
j
i
a+b+c+d
Van metrieken naar bomen
Welke metrieken (di j )i j komen van bomen? i
Antwoord
Precies die waarvoor ∀i < j < k < l
max{di j + dkl , dik + d jl , dil + d jk }
tenminste 2 keer aangenomen wordt.
j
dik + d jl
= dil + d jk
> di j + dkl
k
l
Grassmanniaan voor m = 5
m=5
Trop(X) is een 7-dimensionale waaier in R10
• modulo (ai + a j )i< j
2-dimensionaal in R5
• snijden met een 4-sfeer geeft . . .
13
Grassmanniaan voor m = 5
13
m=5
Trop(X) is een 7-dimensionale waaier in R10
• modulo (ai + a j )i< j
2-dimensionaal in R5
• snijden met een 4-sfeer geeft . . . de Petersengraaf!
1
3
2
4
5
1
3
2
4
5
1
3
2
4
5
Samenvatting
14
• R∞ : bijna een lichaam
• tropische univariate veeltermfuncties zijn te ontbinden
• tropische vlakke krommen: volledige karakterisatie
• tropische hyperoppervlakken: combinatorisch goed begrepen
• hogere codimensie: polyhedraal complex, juiste dimensie, maar
slechts sommige voorbeelden goed begrepen
Samenvatting
14
• R∞ : bijna een lichaam
• tropische univariate veeltermfuncties zijn te ontbinden
• tropische vlakke krommen: volledige karakterisatie
• tropische hyperoppervlakken: combinatorisch goed begrepen
• hogere codimensie: polyhedraal complex, juiste dimensie, maar
slechts sommige voorbeelden goed begrepen
Niets over gezegd
• toepassingen in algebra¨ısche statistiek
• relatie tot Berkovichruimtes
• enumeratieve meetkunde
• merkwaardige naam, . . .
Samenvatting
14
• R∞ : bijna een lichaam
• tropische univariate veeltermfuncties zijn te ontbinden
• tropische vlakke krommen: volledige karakterisatie
• tropische hyperoppervlakken: combinatorisch goed begrepen
• hogere codimensie: polyhedraal complex, juiste dimensie, maar
slechts sommige voorbeelden goed begrepen
Niets over gezegd
• toepassingen in algebra¨ısche statistiek
• relatie tot Berkovichruimtes
• enumeratieve meetkunde
• merkwaardige naam, . . .
Dankuwel!
1/2
© Copyright 2024 ExpyDoc
