公共経済学

公共経済学
三井清
14．外部性 2：ピグー税とコースの定理
14.1 環境汚染のケース
14.2 共有資源のケース
14.3 補論*：ネットワーク外部性のケース
外部性の問題を解決する方法
• 私的解決方法（除く政府の所有権設定）
– 合併・提携による内部化
– 所有権の適切な設定と私的交渉（コースの定理）
– 司法制度の活用
• 公的解決方法
– ピグー税（罰金）
– 取引可能（排出）許可証市場の創設
（排出権取引、排出量取引）
14.1 環境汚染のケース
＜税金による効率化：ピグー税＞
外部性による問題を公的介入で解決する方法として税（個別消費税など）を用いる方法につ
いて検討する。なお、外部性が存在するもとで効率的な資源配分（生産量）を達成するため
の税は「ピグー税（Pigouvian Tax）
」と呼ばれる。
また、以下で考察する課税は、
（従量）税率であるとして、その税率を t と表すことにする。
すなわち、生産１単位当りの税額（あるいは罰金額）が t （円）である。
税収は一括補助金（給付金）として家計に還付されると想定する。そのとき、水平な需要曲
線が想定されているので、効率的な資源配分は、「生産者余剰（利潤の和）＋税収」を最大
化する資源配分である。そして、（効率的な資源配分を達成する）税率のことを「ピグー税
率」と呼ぶことにする。
このピグー税のもとでの企業１の利潤は、水平な需要曲線 p  p のもとで、
 1  p  x  PC1 ( x)  t  x [  1 ( x, t )]
(14-1)
となる。なお、価格 p は税込み価格である。
d 1
 p  MPC 1 ( x)  t
dx
したがって、税率 t のもとで企業１の利潤を最大化する生産量（つまり供給量）を x s (t ) と
置けば、
p  MPC1 ( xs (t ))  t
(14-2)
が成立することになる。
そして、(13-6)より xs (0)  x m である。ここに、 x は政策的介入がない場合の企業１の供
m
給量である（13.2 節参照）
。
m
MPC1 ( xs (0))  p  MPC1 ( x )
p  MPC1 ( x m )
(13-6)
p  MPC1 ( xs (0))
(14-2)
 1 ( x)  p  x  PC1 ( x)
 1 ( x, t )  p  x  PC1 ( x)  t  x
1 ( x, t )  1 ( x)  t  x
「生産者余剰＋税収」は、ピグー税が存在しない場合の企業 1 の利潤  1 ( x) を用いて、
1 ( x, t )   2 ( x)  tx  1 ( x)  tx   2 ( x)  tx  1 ( x)   2 ( x)
(14-3)
と表すことができる。したがって、ピグー税の存在するもとでの効率的な資源配分も、
(13-11)の条件から求められることになる。
そして、(13-11)、(14-2)を比較すれば、
t *  MD( x* )
(14-4)
となるように税率を定めて課税することで、(13-11)を満たす資源配分を実現できる。つま
り、
xs (t * )  x*
(14-5)
である。
p  MPC1 ( x* )  MD( x* )
(13-11)
p  MPC1 ( xs (t ))  t
(14-2)
（問題 14-1）(14-5)を導出しなさい。
p  MPC1 ( xs (t ))  t (14  2)
t  MD( x ) (14  4)
*
*
p  MPC1 ( x* )  MD( x* ) (13-11)
p  MPC1 ( xs (t * ))  t *
p  MPC1 ( xs (t * ))  MD( x* )
MPC1 ( xs (t * ))  MPC1 ( x* )
*
*
xs (t )  x
(14  5)
（問題 14-1）(14-5)を導出しなさい。
図による説明
p  MPC1 ( x* )  MD( x* )  MSC( x* )
(13-11)
p  MPC1 ( xs (t ))  t
(14-2)
t *  MD( x* )
(14-3)
MSC  MPC1 ( x)  MD( x)
*
MPC1  MPC1( x)  t
MPC1  MPC1 ( x)
p
t*
MD( x)  D( x)   2 ( x)  0
x*
=
xs (t * )
xm
（問題 14-2）企業 2 の生産量 x と効率的な生産量 x * との差 x  x * に対して税率 t の従量税を
課す（したがって、 x  x * がマイナスのときは補助金が支給される）ときの供給
量を x s (t ) と置けば、ピグー税により効率的な資源配分が実現できることを、つま
り xs (t * )  x * であることを説明しなさい。また、この課税システムのもとでの税
収を求めなさい。
1  p  x  PC1 ( x)  t  ( x  x* )
p  MPC1 ( xs (t ))  t
p  MPC1 ( xs (t * ))  t *
p  MPC1 ( xs (t * ))  MD( x* )
xs (t * )  x*
税収  t *  ( xs (t * )  x* )
 t *  ( x*  x* )  0
＜所有権の明確化と交渉による効率化：コースの定理＞
利潤フロンティア＝企業 1 の生産量 x を動かしたときの点  1 ( x), 2 ( x)  の軌跡
 im   i ( x m ) ：企業 1 が自企業の利潤を最大化したときの企業 i の利潤（  2m  0 ）
 m  1m   2m ：企業 1 が自企業の利潤を最大化したときの両企業の利潤の和
 i*   i ( x* ) ：企業 1 が両企業の利潤の和を最大化したときの企業 i の利潤
 *  1*   2* ：企業 1 が両企業の利潤の和を最大化したときの両企業の利潤の和
 i0   i (0) ：企業 1 の生産量がゼロのときの企業 i の利潤
「企業 1 の生産量 x を動かしたときの点  1 ( x), 2 ( x)の軌跡」を利潤フロンティアと呼ぶ
ことにする。それを図示すると次の図のようになる。
2
利潤フロンティア : 1  F ( 2 )
1
たとえば  2 ( x)   2  x であれば、利潤フロンティアは  1   1 ( x) に x   2   2 を代入
して求めることができる。すなわち、利潤フロンティアを
0
(14-4)
1  1 ( 2   2 ) [ F ( 2 )]
と表すことができる。
0
0
（問題 14-3）利潤フロンティア  1  F ( 2 ) が上図のように描かれる理由を、図を用いて説
明しなさい。また、上図に  1 、  2 、  1 、  2 、  1 、  2 を図示しなさい。
m
m
*
*
0
0
2
利潤フロンティア
1
2
 2 ( x)  0
 2   2 ( x)
利潤フロンティア
1  F ( 2 )
0
2 
2
 2( x)  0

 2m
x
xm
x

1
0
1
F ( 2 )  0 for  2m   2   20
1  1m
1
x
xm
 1   1 ( x)
1( x)  0
10  1 (0)  p  0  C1 (0)  t  0  C1 (0)  0
x
（問題 14-3）利潤フロンティア  1  F ( 2 ) が上図のように描かれる理由を、図を用いて説
明しなさい。また、上図に  1 、  2 、  1 、  2 、  1 、  2 を図示しなさい。
m
m
*
0
*
0
利潤フロンティア＝企業 1 の生産量 x を動かしたときの点  1 ( x), 2 ( x)  の軌跡
F ( 2 )  0 for  2m   2   20
 im   i ( x m )
 m  1m   2m
 i*   i ( x* )
 *  1*   2*
 i0   i (0)
2
* m
*
m
利潤フロンティア
 20
 2*
 m  1   2
 *  1   2
 2m
1

0
1
  1 (0)  p  0  C1 (0)  t  0  C1 (0)  0
0
1

*
1

m
1
1
（問題 14-4 ）企業 1 の私的費用関数が PC1 ( x)  x / 2 かつ企業 2 の利潤関数が
2
 2 ( x)   2  x のとき、 F ( 2 )  0 かつ F ( 2 )  0 が成り立つことを示しなさ
0
い。
m
企業 1 と企業 2 が生産量 x の水準を交渉して決定する。
T ＝企業 2 から企業 1 へ補償金
T がマイナスであれば企業 1 から企業 2 へ補償金が支払われている。
企業 1 が生産することで、川の水質を悪化させることを通じて企業 2 に損害を与える
ケースを想定する。
(1) その川の水の所有権が企業 1 にあるか、企業 2 にあるか
(2) 企業 1 と企業 2 のどちらの交渉力が強いか、
によって交渉の結果は異なってくる。
たとえば、川の水の所有権が企業 1 にあれば、企業 1 は川の水を汚染する権利がある
ことになる。逆に、川の水の所有権が企業 2 にあれば、企業 1 に川の水を汚染されな
い権利が企業 2 にあることになる。
以下では、次の 4 つのケースに着目する。
(ケース 1-1) 企業 1 が川の水の所有権を持ち、企業 1 の交渉力が圧倒的に強い。
(ケース 1-2) 企業 1 が川の水の所有権を持ち、企業 2 の交渉力が圧倒的に強い。
(ケース 2-1) 企業 2 が川の水の所有権を持ち、企業 1 の交渉力が圧倒的に強い。
(ケース 2-2) 企業 2 が川の水の所有権を持ち、企業 2 の交渉力が圧倒的に強い。
（ケース 1-1）
企業 1 の補償金込の利潤を  1T と置けば、
 1T   1 ( x)  T
(14-7)
である。そして、このケースでは企業 2 の交渉力が圧倒的に弱いので、
(14-8)
 2 ( x)  T   2m
を満たしつつ（  2m   2 ( x m ) ）
、企業 1 は  1T を最大化するように x と T を選ぶこ
とになる。
すなわち、(14-7)を用いて T を消去すれば
(14-9)
 1T   1 ( x)   2 ( x)   2m
を最大化するように企業 1 は x を選択することになる。そして、この最適解は両企
業の利潤の和（すなわち(13-8)）を最大化する問題の最適解と一致する。したがっ
て、その解は効率的な生産水準 x* である。
そして、補償金の金額 T11* は、(14-8)より
T11* ＝  2*   2m  0
となる。
(14-10)
（ケース 2-1）
このケースでは、企業 2 の交渉力が圧倒的に弱いので、
(14-11)
 2 ( x) T   20
0
T
を満たしつつ（  2   2 (0) ）、企業 1 は  1 を最大化するように x と T を選ぶことになる。
すなわち、(14-11)を用いて T を消去すれば
 1T   1 ( x)   2 ( x)   20
(14-12)
を最大化するように企業 1 は x を選択することになる。
この最適解は両企業の利潤の和（すなわち(13-8)）を最大化する問題の最適解と一致する。
*
*
したがって、その解は効率的な生産水準 x である。そして、補償金の金額 T21 は、(14-11)
より
(14-13)
T21* ＝  2*   20  0
*
*
となる（  2   2 ( x ) ）。
（問題 14-5）(14-10)と(14-13)の不等式が成立することを示しなさい。
T11* ＝  2*   2m  0
(14-10)
T21* ＝  2*   20  0
(14-13)
2
*
m
 T21*
利潤フロンティア
 20
 2*
 m  1   2
 *  1   2
T11*
 2m
1
 1*  1m
1
（問題 14-6）ケース 1-2 とケース 2-2 における生産水準と補償金額（ T12 と T22 ）を求めなさい。
*
*
（ケース 1-2）
⇒
企業 1 の交渉力が圧倒的に弱いので、
1*  T12*  1m
*
m
*
⇒ T12  1  1  0
⇒
2
*
m
 T21*
利潤フロンティア
 20
 2*
 m  1   2
 *  1   2
T11*
 2m
1
 1*  1m
T12*
1
（問題 14-6）ケース 1-2 とケース 2-2 における生産水準と補償金額（ T12 と T22 ）を求めなさい。
*
*
（ケース 2-2）
⇒ 企業 1 の交渉力が圧倒的に弱いので、
1*  T22*  10  0
*
0
*
*
⇒ T22  1  1  1  0
⇒
2
*
m
 T21*
利潤フロンティア
 20
 2*
 m  1   2
 *  1   2
T11*
 2m
1
10
 1*  1m
 T22*
T12*
1
以上の議論と問題 14-6 の結果より、
「所有権がどちらの企業に付与されていても、
交渉の結果実現する生産水準は効率的である（コースの定理）
」
という結果が導かれることになる。
PR(n )  MC
(13-15)
MSR(n* )  MC
(13-18)
m
14.2 共有資源のケース
＜税金による効率化：ピグー税＞
共有資源問題における過剰な船の数を抑制させるためにピグー税（＝混雑税、入漁料）を
活用すると効率的な船の数（＝資源配分）を達成できることを検討しよう。なお、税が課
されているときの効率的な船の数は、「生産者余剰＋税収」を最大化する船の数である。
m
税率（1 年間の料金）t の入漁料（混雑税）が課されたときの市場均衡における船の数を n (t )
とおけば、
PR(n (t ))  MC  t
m
(14-12)
が成立する。したがって、(13-15)より、 n (0)  n である。そして、(13-18)を満たす効
m
m
*
率的な船の数 n を用いて、
t  PR(n )  MC
*
*
(14-13)
と入漁料を設定（税率を定めて課税）すれば、(14-12)より、 n (t )  n が成立する。すな
m
*
*
*
*
*
わち、税率 t の課税をすることで、効率的な船の数 n を実現できる。なお、 t はピグー税
率と呼ばれる。
（問題 14-7）(14-13)を満たす入漁料 t * を定めれば効率的な資源配分を実現できることを、
図を用いて説明しなさい。
PR, MSR
MSR(n)
PR(n)
MC
n
t*の下での生産者余剰+税収
 SR(nm (t * ))  nm (t * )(MC  t * )  nm (t * )  t *
問題14-7
 SR(n* )  n*MC
PR, MSR
=（Ⅰ+Ⅲ+Ⅵ）－ Ⅵ
=Ⅰ+Ⅲ
=n*の下での生産者余剰（問題13-8）
MSR=MSR(n)
Ⅰ
PR(n*)
t*
Ⅱ
PR=AR(n)
Ⅳ
Ⅲ
厚生損失=0
Ⅴ
PR(n ) = MC
m
Ⅷ
t*で効率的な資源配分を実現
Ⅵ
Ⅶ
n*
=
n m (t * )
nm
n
問題14-8
問題13-9のケース
R=8n-n2
MC=2
において、
t*=?
問題14-9
＜高速道路の料金＞
• 都市圏の高速道路
• 地方圏の高速道路
⇒ 高い料金設定をすべきなのはどっち？
＜鉄道の運賃＞
• 通勤・通学時間の運賃
• 日中の運賃
⇒ 高い運賃を設定すべきなのはどっち？
問題14-9
• 社会的価値観の教育
• 罰金システム
⇒ メリットとデメリット？
（例）
• 家電リサイクルと不法投棄問題
• 禁酒法と密造酒（マフィア）
＜入漁権市場による効率化＞
参入が自由な競争的な入漁権市場について検討しよう。政府は入漁権の供給量（＝
船の数） n を提示し、そのもとで各船主は入漁料（入漁権価格） r を入札すると想
定する。
そして、
参入が自由な競争的な市場の均衡においては、
入漁権の供給量 n は完売し、
入漁料 r は利潤がゼロとなるように決定されるとする。すなわち、入漁権の供給量
n が提示されたときの均衡における入漁料 r は次の式を満たすように決定される。
(14-13)
PR(n )  MC  r
（問題 14-11）入漁権の供給量 n のもとでの均衡における入漁権価格 r を図示しなさい。
PR
nn
PR(n )
PR(n)
PR(n )  MC  r
r
MC
n
n
（問題 14-12）入漁権の供給量 n を n * として入札を実施することで効率的な船の数を実現
できることを、問題 14-11 に限界社会的漁獲量曲線 MSR  MSR(n) を描き加え
*
ることで説明しなさい。また、そのときに実現する入漁料 r を図示しなさい。
MSR, AR
n  n*
AR(n)
AR(n* )
r*
MSR  MSR(n)
MC
AR(n* )  MC  r *
n
n*
MSR(n )  MC
*
(1318)
（問題 14-13）問題 13-9 の特殊例における入漁権市場の均衡入漁料 r を求めなさい。
*
（問題 14-14）入漁料を設定する政策と入漁権市場を創設する政策を比較検討しなさい。ま
た、地球温暖化対策としての炭素税と排出権
（排出量）取引市場を用いる政策を、
政府の果たす役割などの観点から比較検討しなさい。
（問題 14-15）市場を創設するコスト（取引コスト）について排出権取引のケースを例にし
て検討しなさい。また、
「大きな政府」と「小さな政府」の問題を市場創設コス
トの観点から検討しなさい。
14.3 補論*：ネットワーク外部性のケース
問題 13-10 と問題 13-11 より 2 つある Nash 均衡のうち一方は（パレート）効率的
な均衡であるがもう一方の均衡は非効率である。
そこで、政府が（ピグー）補助金を給付することで、（パレート）効率的な均衡だけ
が Nash 均衡になるようにゲームの構造を変換できることを示そう。
政府はソフトウェア購入費用の全額を補助するとともに、その財源 c  ( x1  x2 ) を
人頭税で賄うとする。そのとき、人頭税は c  ( x1  x2 ) / 2 となるので予算制約式は
yi  mi  c  ( x1  x2 ) / 2
(14-15)
である。
(14-15)を効用関数(13-13)に考慮すると、効用水準を
ui  f ( x1 , x2 ) xi  mi  c  ( x1  x2 ) / 2
と表すことができる。
(14-16)
1/ 2  c  1
N
N
（問題 14-16）上記のゲームを戦略形で表すとともに、Nash 均衡 ( x1 , x2 ) を求めなさい。
x2
0
x1
0
1
m1
1
m2
,
m1  (1  c) / 2, m2  c / 2
m1  c / 2 , m2  (1  c) / 2
m1 1  c , m2 1  c
( x1 , x2 )  (1,1)
N
ui  f ( x1 , x2 ) xi  mi  c  ( x1  x2 ) / 2
N
「補助金政策＋人頭税」のもとでの
N
N
問題 14-16 と問題 13-9 より、Nash 均衡 ( x1 , x2 ) は（パレート）効率的である。すなわち、
（ピグー）補助金政策と人頭税を組み合わせる政策により、ネットワーク外部性により資源
配分が歪む可能性を解消できるのである。
ネットワーク外部性が存在するような状況で、ネットワークへの参加者の人数を「社会関係
資本（social capital）
」と呼ぶことにしよう。
上記の例においては、ソフトウェア購入者数がネットワーク参加者数である。したがって、
社会関係資本を SC と置けば、
SC  x1  x2
となる。
そして、
「社会関係資本」がゼロのときの Nash 均衡は非効率的であり、
「社会関係資本」が
2 のときの Nash 均衡は効率的である。言い換えれば、社会関係資本が蓄積されると資源配
分の効率性が高まるのである。
（問題 14-4 ）企業 1 の私的費用関数が PC1 ( x)  x / 2 かつ企業 2 の利潤関数が
2
 2 ( x)   2  x のとき、 F ( 2 )  0 かつ F ( 2 )  0 が成り立つことを示しなさ
0
m
い。
1( x)  px  PC1( x)  px  x / 2
2
1( x )  p  x  0
m
2  2  x
0
F ( 2 )  1( 2   2 )  p( 2   2 )  ( 2   2 ) / 2
0
0
0
F ( 2 )   p  ( 2   2 )
0
F ( 2 )  1
2
m
2  2  x  2  p
m
0
m
0
F ( 2 )   p  ( 2   2 )  0
m
0
m
（問題 14-8）問題 13-9 の特殊例において効率的な資源配分を実現できる入漁料 t * を求めな
さい。
問題13-9のケース
SR=8n-n2
MC=2
において、
t*=?
（問題 14-8）問題 13-9 の特殊例において効率的な資源配分を実現できる入漁料 t * を求めな
さい。
問題13-9より、
n*=3
である。また、
PR=8-n
MSR=8-2n
なので、
t*=AR(n*)-MSR(n*)
より、
t*=(8-n*)-(8-2n*)=(8-3)-(8-6)=5-2=3
である。
(14-7)
（問題 14-13）問題 13-9 の特殊例における入漁権市場の均衡入漁料 r を求めなさい。
*
問題13-9より、
n*=3
である。また、
PR=8-n
MC=2
なので、
r*=PR(n*)-MC
より、
r*=(8-n*)-2=(8-3)-2=3
である。
← (14-15)
14．外部性 2：ピグー税とコースの定理
14.1 環境汚染のケース
14.2 共有資源のケース
14.3 補論*：ネットワーク外部性のケース

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