確率編

確率と統計2010
- 確率編平成22年10月21日(木)
記述統計から推測統計へ

今日はまずいろいろな現象を観察してみましょう。
– さいころ振り
確率と統計2010 (4回目)
さいころ振り

さいころを
– １０回振ったとき
– １００回振ったとき
– １００００回振ったとき
表．サイコロを１０００回振って出た目の度数分布表
出る目１
２
３
４
５
６
合計
頻度
１６０
１７０
１５３
１８０
１６６
１０００
１７１
平均値＝3.509
確率と統計2010 (4回目)
分散＝
サンプリング
標本
推測
母集団
確率と統計2010 (4回目)




今日から「確率」の話しをします。
高校までの「確率」の知識は必要ありません。
この授業で「確率」の基礎を身に付けましょう。
とても難しい話? も少ししますが、そこは聞い
ているだけでもまずは結構です。わかる人は
もちろんしっかり理解してください。
確率と統計2010 (4回目)
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ある質問


イタリアのある貴族がGalileo(1564-1642)
にこう尋ねた。
「３つのサイコロを投げるとき、その目の和
が９になる場合と、１０になる場合の数は
等しいと思っているので、そのどちらに賭
けても同じであると気にしなかったが、実
際には１０になる方が少し多く感じられるの
はどうしたことか？」
Galileoに代りあなたは答えられますか？
確率と統計2010 (4回目)
6
それでは本題に入りましょう。
確率と統計2010 (4回目)
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不規則現象（偶然現象）

例：






サイコロ投げの結果
コイン投げの結果
明日の天気
測定誤差
雑音
手書き文字・発話音声
確率と統計2010 (4回目)
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

確率はこのような不規則現象（偶然現象）
を取り扱う、数学の１分野である。
以下では、まず確率の基本用語を定義す
る。
確率と統計2010 (4回目)
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用語の定義






試行 (trial)
標本点 ω (sample)
標本空間 Ω (sample space)
事象 E (event)
単一事象 (simple event)
複合事象 (composite even)
確率と統計2010 (4回目)
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(ちょっと一言?)
現代ギリシア文字(24文字)の本当の読み方
Α α
アルファ
Ι ι
イョタ
Ρ ρ
ロ
Β β
ヴィタ
Κ κ
カパ
Σ σ ς
シグマ
Γ γ
ガンマ
Λ λ
ラムザ
Τ τ
タフ
Δ δ
ゼルタ
Μ μ
ミ
Υ υ
イプシロン
Ε ε
エプシロン
Ν ν
ニ
Φ φ
フィ
Ζ ζ
ズィタ
Ξ ξ
クシ
Χ χ
ヒ
Η
η
イタ
Ο ο
オミクロン
Ψ ψ
プシ
Θ θ
シタ
Π π
ピ
Ω ω
オメガ
留学生の諸君へ：日本ではギリシャ文字の読み方が人によりバラバラです。
通常はギリシア文字を英語読みしたものを採用しています。
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試行


実験や観測において、繰り返えされる行為
のこと。
例えば、コイン投げで、
「表が出たか裏が出たかを調べる」
行為。
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標本点ω


試行により起こる結果のこと。
例えば，コイン投げでは、
「表が出る」とか
「裏が出る」
といった試行の各結果のこと。
<注>標本点を根元事象と呼ぶこともある。
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標本空間Ω


すべての標本点からなる集合のこと。
例えば、コイン投げでは、
{ H, T }
ただし、
H: 表が出る
T: 裏が出る
を表す。
確率と統計2010 (4回目)
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まず、ここまでのことを例題で確認しよう。
確率と統計2010 (4回目)
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例題１サイコロ投げ



試行：サイコロを投げ、出る目を記録する。
標本点：
１の目が出る (①と記す)
２の目が出る (②と記す)
３の目が出る (③と記す)
４の目が出る (④と記す)
５の目が出る (⑤と記す)
６の目が出る (⑥と記す)
標本空間： Ω={ ①, ②, ③, ④, ⑤, ⑥ }
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例題２２個のコイン投げ



試行：コイン２個を同時に投げ、
出る面を記録する。
標本点：
「表が出る」をH、「裏が出る」をTと記すと、
HH, HT, TH, TT
標本空間： Ω={ HH, HT, TH, TT }
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例題３くじ引き




設定：当たり１枚、はずれ２枚
試行：くじを１枚引く
標本点： A, H1, H2
A: 当たりくじ
H1, H2: はずれくじ
標本空間： Ω={ A, H1, H2 }
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例題４じゃんけん




設定：２人、１回勝負
試行：じゃんけんをし、それぞれが何を
出したかを記録する。
標本点： (G, G), (G, C), (G, P),
(C, G), (C, C), (C, P),
(P, G), (P, C), (P, P)
標本空間Ω={ (G, G), (G, C), (G, P),(C, G),
(C, C), (C, P), (P, G), (P, C), (P, P) }
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例題５２個のサイコロ投げ



試行：
標本点：
標本空間：
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例題６壺からの球の取出し(1)




設定：赤球２個、白球１個。
試行：球を１個取り出し、球の色を記録する。
標本点：①, ②, ①
標本空間Ω={ ①, ②, ① }
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例題7 壺からの球の取出し(２)




設定：赤球２個、白球１個。
２個を同時に取り出す。
試行：球を2個取り出し、球の色を記録する。
標本点：{①, ②}, {①, ①}, {②,①}
標本空間
Ω={ {①, ②}, {①, ①}, {②,①} }
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用語の定義(2)






試行 (trial)
標本点 ω (sample)
標本空間 Ω (sample space)
事象 E (event)
単一事象 (simple event)
複合事象 (composite even)
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用語の定義






試行 (trial)
標本点 ω (sample)
標本空間 Ω (sample space)
事象 E (event)
単一事象 (simple event)
複合事象 (composite even)
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事象



標本空間Ωの部分集合のこと。
例えば、コイン投げでは、
{H}, {T}, {H, T}
などはすべて事象である。
{H}は「表が出る出来事」と解釈でき、
{H,T}は「表が出るか裏が出る出来事」と
解釈できる。
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単一事象と複合事象



単一事象：要素が１個の事象
複合事象：要素が２個以上の事象
例えば、Ω={HH, HT, TH, TT}に対して、
単一事象： {HH}, {HT}, {TH}, {TT}
複合事象： {HH,HT}, {HH,TH}, {HH,TT},
{HT,TH}, {HT,TT}, {TH,TT},
{HH,HT,TH},{HH,HT,TT},{HH,TH,TT}, HT,TH,TT}
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ここまでのことをまとめると…
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例題８コイン投げ


標本空間Ω={H, T}
事象の集合F={φ, {H}, {T}, Ω}
{H}: 単一事象
{T}: 単一事象
φ: 空事象
Ω: 全事象
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例題９２個のコイン投げ


Ω={HH, HT, TH, TT}
F={φ, {HH}, {HT}, {TH}, {TT},
{HH, HT}, {HH, TH}, {HH, TT},
{HT, TH}, {HT, TT}, {TH, TT},
{HH, HT, TH}, {HH, HT, TT},
{HH, TH, TT}, {HT, TH, TT}, Ω}
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例題９２個のコイン投げ


Ω={HH, HT, TH, TT}
F={φ, {HH}, {HT}, {TH}, {TT},
{HH, HT}, {HH, TH}, {HH, TT},
{HT, TH}, {HT, TT}, {TH, TT},
{HH, HT, TH}, {HH, HT, TT},
{HH, TH, TT}, {HT, TH, TT}, Ω}
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ここまで準備ができれば後は簡単。
確率を定義しよう！
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確率の定義

ある試行で起こりうる単一事象の総数（標
本点の個数と同じ）がNで、これらの単一
事象がすべて同じ確からしさ（蓋然性）で
起こるものとする。このとき、ある事象Aがｎ
個の単一事象からなるならば、その事象A
の起こる確率は、
P(A) = n / N
である。
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確率の定義（２）
P(A)=#A / #Ω
ただし、#Sとは集合Sの要素の個数を表す。

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例題１０サイコロ投げ




Ω={ ①, ②, ③, ④, ⑤, ⑥ }
１の目が出る確率：
P({①}) = #{①} / #Ω = 1 / 6
奇数の目が出る確率：
P({①,③,⑤}) = #{①,③,⑤} / #Ω
= 3 / 6 = 1 /2
５以上の目が出る確率：
P({⑤,⑥}) = 2 / 6 = 1 / 3
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例題１０サイコロ投げ(2)
⑤
①
③
⑥
②
④
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例題１１
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自由研究 Galileo問題

３個のサイコロを投げるとき、その目の和
をTとする。このとき、
P(T=10) = P(T=9) ?
P(T=10) < P(T=9) ?
P(T=10) > P(T=9) ?
実際にサイコロを投げて調べてみよう。
（理論値は次週説明します。）
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