確率と統計

確率と統計
メディア学部２００6年後期
No.3
平成19年10月18日（木）
お知らせ
• 来週１1月9日（木）は休講ではないかも知れ
ません。掲示に注意していてください。その場
合には、補講はありません。
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前回の内容
• データ解析の演習
1. 度数分布表の作成
2. ヒストグラムの作成
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今日の内容
• データ解析
1. 度数分布表の作成（復習）
2. ヒストグラムの作成（復習)
3. グラフの分析
• （データの）代表値
• （データの）散らばり
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新生児６０人の体重（１９９８）
表. 新生児の体重 (1998年）
3740
2550
2920
2530
3280
2840
2520
3350
3610
3430
3020
3320
2790
3050
3620
3260
3320
3800
2640
3360
3320
4100
2720
4050
3850
3380
3040
2710
4150
3200
4120
2780
3220
2780
2490
2950
2580
2020
3010
2010
2800
2760
4480
2990
3700
2960
2320
3060
3200
3380
3100
2840
2990
3100
3530
3270
2600
3640
3300
4570
単位はグラム
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度数分布表の作成
1.
2.
3.
4.
5.
最大値=____，最小値=___
範囲R=最大値－最小値
区間数k=____
区間幅h=____
最小値と最大値とを勘案して、区間の両端
を決める。
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新生児の体重（1998年）
体重(g)
人数
～2000
0
2000～2400
3
2400～2800
14
2800～3200
16
3200～3600
14
3600～4000
7
4000～4400
4
4400～4800
2
7
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ヒストグラム
16
14
12
10
8
6
4
2
0
47
00
44
00
41
00
38
00
35
00
32
00
29
00
系列1
26
00
23
00
人数
新生児の体重(1998年）
体重(g)
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グラフに関する考察（思考実験）
• データの個数ｎをどんどん増やすと
– 棒グラフがどんどん高くなる
– 度数がゼロの区間がなくなっていく
• 区間の幅ｈをどんどん小さくすると
– 棒グラフがどんどん低くなる
– 度数がゼロの区間が増えていき、ほとんどの区
間で度数がゼロ、あっても１になる。
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グラフに関する考察（思考実験）
• ｎを増やすとともにｈを減らしていくと．．．
• ヒストグラムがある形状に落ち着く！
• これは統計的性質の１つ。
– （大数の法則）
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集団としての特徴値（代表値）
• いろんなグラフを比べてみよう！
• （正規分布、賃金分布、双峰分布など）
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いろいろなグラフ
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集団構造の記述
• 調査や測定により得られるデータの集まりに
対して、その集団の構造(特徴）を端的に表現
する指標（代表値）を求めることを、集団構造
の記述という。
• 平均（平均値）はその代表例。
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平均値
• 例（身長のデータ）：
– データ群A = {167, 150, 161, 158, 164}
– データ群B = {169, 174, 160, 165, 172}
(単位：cm)
150
155
160
165
170
175 cm
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平均値の数学的定義
平均m = (x1 + x2 + x3 + … + xn)÷n
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いろいろな代表値
• 算術平均（いわゆる平均のこと）
• モード (mode)
• 中央値 (Median)
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ここまでのまとめ
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記述統計学
1. まず、データ(data)ありき
2. データの分析
–
–
–
–
–
全体を眺める
整列（ソート）する
度数分布表の作成 => どんな値が何個あるのか？
ヒストグラムの作成 => よりvisualな表現へ
分布曲線（ヒストグラムの概形）を求める
=> 数式表現可能
以上により、データ全体の様子（分布の形状）が
視覚的・感覚的にわかる。
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記述統計学
1. まず、データ(data)ありき
2. データの分析
–
–
–
–
–
全体を眺める
整列（ソート）する
度数分布表の作成 => どんな値が何個あるのか？
ヒストグラムの作成 => よりvisualな表現へ
分布曲線（ヒストグラムの概形）を求める
=> 数式表現可能
以上により、データ全体の様子（分布の形状）が
視覚的・感覚的にわかる。
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ポイント
• 個々のデータ１つ１つに目を奪われることなく
– （データを）全体的にとらえる
– （データの）集団としての特徴をとらえる
ことがポイント。
 データの集団としての特徴を数値的にとらえら
れないか？
 代表値という考えが生まれる。
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代表値
例：
データ：｛1, 1, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 6, 6, 7, 8}
データの個数 n=
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代表値
例：
データ：｛1, 1, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 6, 6, 7, 8}
データの個数 n=12
それでは、簡単に分析してみよう！
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例：
データ：
｛1, 1, 2, 3, 3, 3,
4, 4, 6, 6, 7, 8}
個数 n=12
合計 T=48
表．度数分布表
度数
データの分布の様子
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
系列1
1
2
3
4
5
6
7
データ値
図．ヒストグラム
8
データ個数小計
値
（度数）
1
2
2
2
1
2
3
3
9
4
2
8
5
0
0
6
2
12
7
1
7
8
1
8
n=12 T=48
合計
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ヒストグラム
度数
データの分布の様子
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
系列1
1
2
3
4
5
6
7
8
データ値
図．ヒストグラム
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特徴を分析してみよう
• データの重心（平均）
m = (データの合計)÷（データの個数）
=T/n
= _____
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• モード（最頻値）
– 出現頻度が一番多いの
はどれ？
– Mode= _____
度数
データの分布の様子
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
系列1
1
2
3
4
5
6
7
8
データ値
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• 最大値maxと最小値min
max = _____
min = _____
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• 中央値（median）
データ：｛1, 1, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 6, 6, 7, 8}
大きさの順番に並べたとき、真ん中にある
データの値が中央値
今の場合、med = _____ 3 ? 4 ?
左から６個目
右から６個目
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• 中央値（median）
データ：｛1, 1, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 6, 6, 7, 8}
大きさの順番に並べたとき、真ん中にある
データの値が中央値
今の場合、med = (3 + 4)÷2
= 3.5
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分析結果
例：
データ：｛1, 1, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 6, 6, 7, 8}
データの個数
n = 12
（算術）平均
m= 4
モード（最頻値）
mode = 3
中央値(メディアン） med = 3.5
最大値
max = 8
最小値
min = 1
<= 代表値
<= 代表値
<= 代表値
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• 例２：
データ:
{-9, -7, -4, -1, 3, 3, 4, 6, 8, 12, 15, 18}
データの個数
n=
（算術）平均
m=
<= 代表値
モード（最頻値）
mode =
<= 代表値
中央値(メディアン） med =
<= 代表値
最大値
max =
最小値
min =
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• 例２：
データ:
{-9, -7, -4, -1, 3, 3, 4, 6, 8, 12, 15, 18}
データの個数
n = 12
（算術）平均
m=4
<= 代表値
モード（最頻値）
mode = 3
<= 代表値
中央値(メディアン） med = 3.5
<= 代表値
最大値
max = 18
<= 分布の位置
最小値
min = -9
<= 分布の位置
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例１と例２のデータの比較
• 例１：
｛1, 1, 2, 3, 3, 3,
4, 4, 6, 6, 7, 8}
データ数
n = 12
平均
m=4
モード
mode = 3
中央値
med = 3.5
最大値
max = 8
最小値
min = 1
• 例２：
{-9, -7, -4, -1, 3, 3,
4, 6, 8, 12, 15, 18}
データ数 n = 12
平均
m=4
モード
mode = 3
中央値
med = 3.5
最大値
max = 18
最小値
min = -9
分布が異なっているにもかかわらず、代表値は同じ！ => 何がいけないのか？
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平均が同じでも分布の形状が違う例
O
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平均が同じでも分布の形状が違う例
• データの重心（平均）が同じでも、
データの散らばり方が違っている！
=> 散らばりを定式化してみよう！
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散らばりの定式化
• アイデア１：
– データの存在範囲
範囲(range) R = 最大値 – 最小値
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アイデア１
• 範囲(range) R = 最大値ー最小値
• 長所：
– 単純（計算が楽）
• 短所：
– ２個のデータしか利用していない。
つまり、最大値と最小値の間に存在するデータを利用し
ていない。n-2個のデータが無駄。
=> すべて（n個）のデータを利用するには…?
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アイデア２
• 平均からのズレの総和Sの平均
– 平均mから各データがどれだけズレているかが偏差。
偏差 di = xi – m (i=1,2,3, … , n)
– 偏差の和 S = (x1 – m) + (x2 – m) + … + (xn – m)
= 0 <= いつも必ずゼロ
– 偏差の和の平均
mean of S = S÷n = 0 <= いつも必ずゼロ
• 長所
– すべてのデータの情報を利用
• 短所
– いつもゼロになり意味がない。
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アイデア3
• 平均からの距離の総和Sの平均
– 各データの平均からの距離 D = | di | = | 偏差 |
偏差 di = xi – m (i=1,2,3, … , n)
– S = | x1 – m | + | x 2 – m | + … + | xn – m |
– 偏差の絶対値の平均（平均偏差M.D.） = S÷n
• 長所
– すべてのデータの情報を利用
• 短所
– 数学的取り扱いが大変（どうやって絶対値をはずす？）
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アイデア４
• 平均からの距離の二乗の総和Sの平均
– 各データの平均からの距離 D = | di | = | 偏差 |
偏差 di = xi – m (i=1,2,3, … , n)
– S = (x1 – m) 2 + (x2 – m) 2 + … + (xn – m)2
– 距離の自乗の平均 = S÷n
• 長所
– すべてのデータの情報を利用
– 数学的に取り扱いやすい
• 短所
– 計算が大変？ <= コンピュータを利用すればOK!
– 解釈は？(データｘやｍと、Sの次元がちがう！)
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分散と標準偏差
• 分散S 2 = {(x1 – m) 2 + (x2 – m) 2 + … +
(xn – m)2}÷n
• 標準偏差S = √ S 2 (分散の平方根)
（短所の２番目を配慮して平方根をとった。）
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散らばり
• 以上のような経緯により、データの散らばりの
尺度として、
– 標準偏差S
– 分散S 2
– 範囲R
– 平均偏差M.D.
<= 一般によく利用される。
<=一般によく利用される。
<= 工場等でよく利用される。
<= これも利用されることが
ある。
などが用いられる。
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平均の考え方の重要性
• データ{xi | i=1, 2, 3, …, n}
• 平均 m = (x1 + x2 +…+ xn)÷n
• 分散：
xi から (xi – m)2 を作り出し、この平均を求め
ている。
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例１と例２のデータの比較
• 例１：
｛1, 1, 2, 3, 3, 3,
4, 4, 6, 6, 7, 8}
データ数
n = 12
平均
m=4
モード
mode = 3
中央値
med = 3.5
最大値
max = 8
最小値
min = 1
分散
• 例２：
{-9, -7, -4, -1, 3, 3,
4, 6, 8, 12, 15, 18}
データ数 n = 12
平均
m=4
モード
mode = 3
中央値
med = 3.5
最大値
max = 18
最小値
min = -9
分散
分布が異なっているにもかかわらず、代表値は同じ！ => 散らばりも考慮しよう！
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おまけ
http://www.stat.go.jp/ の右下にある
「How to 統計」のページを参考に、自習
することをお勧めします。特に、世の中に
どのような統計データが収集・公開されて
いるのかを知ってください。
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