数学のかたち R09

数学のかたち
ピタゴラス数を生み出す行列
Masashi Sanae
ピタゴラスの定理
2
2
𝑎 +𝑏 =𝑐
2
c
a
𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ Q
ピタゴラス数
b
ピタゴラス行列
−1
𝑎′
𝑏′ = −2
−2
𝑐′
−2
−1
−2
2
2
3
𝑎
𝑏
𝑐′
ピタゴラス変換
ピタゴラス変換の例①
ピタゴラスツリー①
21
20
29
B
5
12
13
A
3
4
5
C
15
8
17
ピタゴラス変換の例②
ピタゴラスツリー②
21
20
29
B
45
28
53
C
55 B
48
73
5
12
13
A
7
24
25
A
3
4
5
C
15
8
17
ピタゴラスツリー
B
A
119
120
169
C
B
C
B
39
A
80
89
A
B
A
45
28
53
C
B
5
12
13
B
A
A
A
77
C
36
85
B
C
B
A
C
C
55 B
48
73
21
20
29
3
4
5
C
A
C
A
15
8
17
B
C
7
24
25
B
A
65
72
97
C
A
C
33
56
65
C
35
12
37
B
A
B
ピタゴラス行列の特徴
𝑃=𝑃
−1
パラメータへの変換 2変数
2
2
𝑎 +𝑏 =𝑐
y
1
2
P (x, y)
𝑎
𝑐
𝑥=
2
𝑏
+
𝑐
𝑎
,
𝑐
𝑦=
2
=1
𝑏
𝑐
𝑥2 + 𝑦2 = 1
−1
O
−1
(𝑥, 𝑦 > 0, (𝑥, 𝑦) ∈ Q2 )
1 x
パラメータへの変換 1変数
y
1
P 𝑥, 𝑦 , Q −1,0 , R(0, 𝑡)
P (x, y)
1: 𝑡 = 1 + 𝑥: 𝑦
R
−1
𝑦
𝑡=
∈Q
1+𝑥
t
Q
O
−1
1 x
パラメータ 𝑡 を用いた表現
y
1
直線PQ 𝑦 = 𝑡(𝑥 + 1)
P (x, y)
円 𝑥2 + 𝑦2 = 1
R
t
Q
−1
O
𝑥 2 + 𝑡 2 (𝑥 + 1)2 = 1
−1
1 − 𝑡 2 2𝑡
𝑦
𝑥, 𝑦 =
,
⇔𝑡=
2
2
1+𝑡 1+𝑡
1+𝑥
1 x
パラメータ (𝑚, 𝑛) を用いた表現
𝑛
𝑡=
𝑚
𝑚, 𝑛 = 1
2
2
𝑎 𝑏
𝑚 −𝑛
2𝑚𝑛
𝑥, 𝑦 =
,
=
, 2
2
2
𝑐 𝑐
𝑚 + 𝑛 𝑚 + 𝑛2
2
2
2
𝑎, 𝑏, 𝑐 = 𝑚 − 𝑛 , 2𝑚𝑛, 𝑚 + 𝑛
2
𝑚 > 𝑛, 𝑚, 𝑛 は偶奇の組合わせ（要証明）
パラメータ 𝑡 と (𝑎, 𝑏, 𝑐)
𝑎
𝑏
𝑥= ,𝑦=
𝑐
𝑐
𝑏
𝑦
𝑏
𝑐
𝑡=
=
=
𝑎
1+𝑥 1+
𝑎+𝑐
𝑐
パラメータ 𝑡 を用いたピタゴラス変換
𝑡′ =
1
1
2−
𝑡
パラメータ 𝑡 を用いたピタゴラス変換
A
t
1
t
t’
t’
B
C
t’
1
t' =
2+t
t' =
1
1
2+
t
パラメータ 𝑡 を用いた変換例
𝑎, 𝑏, 𝑐 = 3,4,5
4
1
𝑡=
=
3+5 2
パラメータ(𝑚, 𝑛)を用いたピタゴラス変換
𝑚′ = 1 −2
0 −1
𝑛′
𝑚
𝑛
パラメータ(𝑚, 𝑛)を用いたピタゴラス変換
パラメータ (𝑚, 𝑛) を用いた変換例
𝑎, 𝑏, 𝑐 = 3,4,5
1 𝑛
𝑡= =
2 𝑚
𝑚, 𝑛 = (2,1)
ピタゴラスツリー
B
A
119
120
169
C
B
C
B
39
A
80
89
A
B
A
45
28
53
C
B
5
12
13
B
A
A
A
77
C
36
85
B
C
B
A
C
C
55 B
48
73
21
20
29
3
4
5
C
A
C
A
15
8
17
B
C
7
24
25
B
A
65
72
97
C
A
C
33
56
65
C
35
12
37
B
A
B
ピタゴラスツリー
29
12
B
19
12
18
5
A
12
5
C
22
5
16
9
B
C
16
7
21
8
B
A
B
12
7
A
14
3
7
2
C
11
2
B
8
3
11
8
A
5
2
C
B
9
2
B
20
9
C
13
2
10
7
A
2
1
A
A
13
8
C
C
15
4
14
9
A
C
4
1
B
17
4
C
4
3
A
B
11
4
5
4
9
4
C
A
10
3
7
4
A
3
2
B
18
7
B
C
C
19
8
8
5
A
8
1
C
6
1
B
13
6
A
11
6
B
22
9
ピタゴラスツリー
12
29
B
12
19
5
18
7
16B
3
14
7
12
A
3
8
5
8
A
A
C
2
11
8
11
C
5
22
9
16
A
2
5
C
B
2
9
B
9
20
C
2
13
7
10
A
A
A
8
13
1
2
C
C
4
15
B
4
B
4
11
A
4
5
1
8
C
1
6
B
6
13
4
9
C
4
17
C
3
4
9
14
A
C 1
A
3
10
4
7
A
2
3
B
7
18
B
C
C
8B
19
2
7
B
5
12
B
C
8
21
A
A
6
11
B
9
22
ピタゴラス変換のまとめ
(𝑎, 𝑏, 𝑐)
変換
−1 −2
𝑎′
𝑏′ = −2 −1
−2 −2
𝑐′
(𝑚, 𝑛)
2
2
3
𝑎
𝑏
𝑐
𝑚′ = 1
0
𝑛′
−2
−1
A
(−𝑎, 𝑏, 𝑐)
(−𝑛, −𝑚)
B
(−𝑎, −𝑏, 𝑐)
(𝑛, −𝑚)
C
(𝑎, −𝑏, 𝑐)
(𝑚, −𝑛)
𝑡
𝑚
𝑛
𝑡′ =
1
2−
1
𝑡
1
−
𝑡
−𝑡
1
𝑡
変数変換のまとめ
(𝑎, 𝑏, 𝑐)
𝑚, 𝑛
𝑡
𝑎
𝑚2 − 𝑛2
𝑏 =
2𝑚𝑛
𝑐
𝑚2 +𝑛2
𝑎
1
𝑏 = 𝑚2
2𝑡
𝑐
1+𝑡 2
− 𝑡2
(𝑥, 𝑦)
𝑥
𝑦 =
𝑥
𝑦 =
𝑡
𝑚2 − 𝑛2
𝑚2 + 𝑛2
2𝑚𝑛
𝑚2 + 𝑛2
𝑛
𝑡=
𝑚
1 − 𝑡2
1+𝑡 2
2𝑡
1+𝑡 2
𝑦
𝑡=
1+𝑥
𝑏
=
𝑎+𝑐
A, B, C 3タイプの判定法①
A, B, C 3タイプの判定法①
−1 −2 2
𝑎′
𝑏′ = −2 −1 2
−2 −2 3
𝑐′
𝑎
−1 −2 2
𝑏 = −2 −1 2
𝑐
−2 −2 3
𝑎
𝑏
𝑐
𝑎’
𝑏′
𝑐′
A : 𝑎 < 0, 𝑏 > 0
B : 𝑎 < 0, 𝑏 < 0
C : 𝑎 > 0, 𝑏 < 0
A, B, C 3タイプの判定法① 例
33
𝑎′
𝑏′ = 56
65
𝑐′
𝑎
−1 −2 2
𝑏 = −2 −1 2
𝑐
−2 −2 3
33
−15
56 = 8
65
17
𝑎 < 0, 𝑏 > 0 より A タイプ
A, B, C 3タイプの判定法②
𝑎′
𝑐′
𝑏′
𝑐′
1
−1 −2 2
= −2 −1 2
−2 −2 3
−1 −2
𝑥′
𝑦′ = −2 −1
−2 −2
1
𝑥
−1 −2
𝑦 = −2 −1
1
−2 −2
2
2
3
2
2
3
𝑎
𝑐
𝑏
𝑐
1
𝑥
𝑦
1
′
′
−𝑥
−
2𝑦
+2
𝑥′
𝑦′ = −2𝑥 ′ − 𝑦 ′ + 2
−2𝑥 − 2𝑦 ′ + 3
1
A, B, C 3タイプの判定法②
−𝑥 ′ − 2𝑦 ′ + 2 < 0
3
A : 𝑎 < 0, 𝑏 > 0 ⇔
⇔ 0 < 𝑥′ <
′
′
5
−2𝑥 − 𝑦 + 2 > 0
−𝑥 ′ − 2𝑦 ′ + 2 < 0
3
4
B : 𝑎 < 0, 𝑏 < 0 ⇔
⇔ < 𝑥′ <
′
′
5
5
−2𝑥 − 𝑦 + 2 < 0
−𝑥 ′ − 2𝑦 ′ + 2 > 0
4
C : 𝑎 > 0, 𝑏 < 0 ⇔
⇔ < 𝑥′ < 1
′
′
5
−2𝑥 − 𝑦 + 2 < 0
A, B, C 3タイプの判定法② 例
33
𝑎′
𝑏′ = 56
65
𝑐′
′
𝑎
33 3
′
𝑥 = ′=
<
𝑐
65 5
′
3
5
0 < 𝑥 < より A タイプ
A, B, C 3タイプの判定法②
ピタゴラス変換の図的表現
𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐 2
𝑎
𝑐
𝑥=
2
𝑏
+
𝑐
𝑎
,
𝑐
𝑦=
2
=1
𝑏
𝑐
𝑥2 + 𝑦2 = 1
ピタゴラス変換の図的表現
パラメータ 𝑡 の極限値
B
C
A
B
C
A
B
A
B
C
A
A
C
B
B
C
B
C
A
C
A
A
C
A
B
B
C
B
B
C
A
A
C
C
A
B
C
A
B
パラメータ 𝑡 の極限値
1 2 3 4
𝑛
A ∶ , , , ,⋯
𝑡𝑛 =
→1
2 3 4 5
𝑛+1
1 1 1 1
1
C ∶ , , , ,⋯
𝑡𝑛 =
→0
2 4 6 8
2𝑛
1 2 5 12
B: , , , , ⋯
2 5 12 29
1 2
1
5
1
1
, =
,
=
=
2 5 2 + 1 12 2 + 2 2 + 1
1
2
5
2+
2
パラメータ 𝑡 の極限値
1 2
1
5
1
1
B: , =
,
=
=
2 5 2 + 1 12 2 + 2 2 + 1
1
2
5
2+
2
1
1
𝛼 =2+
=2+
𝛼 =1+ 2
1
𝛼
2+
2 +⋱
𝑡𝑛 →
1
1+ 2
= 2−1

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