授業展開＃４ ２進数世界の数値と文字 表現のレベル 論理表現：０か１ 実装表現：スイッチのオン・オフ リレー、真空管、トランジスタ 自然数の表現 自然数：ここでは０以上の整数。 自然数を０と１で表すために２進記法の表現 を使う たとえば、８ビット固定長で整数を表すとする。 10進 59 ＝ ３２+１６+８+２+１ ＝ ２進 00111011 ２進 １０１１１０１０ ＝ １×２７＋０×２６＋１×２５＋１×２４＋ １×２３＋０×２２＋１×２１＋０×２０＝１２８＋３２＋１６＋８＋２ ＝１０進 １８６ 最大値 ２進 １１１１１１１１＝１２８＋６４＋３２＋１６＋８＋４ ＋２＋１＝１０進 ２５５（２８－１） ２進数の桁の扱い MSB（Most Significant Bit）２進表現のとき最上位の桁 LSB（Least Significant Bit）２進表現のとき最下位の桁 MSB Bit番号 ７ ６ ８bit列 ｘ７ ｘ６ ５ ｘ５ ４ ｘ４ ３ ｘ３ ２ ｘ２ LSB １ ０ ｘ１ ｘ０ ｘi＝0,1 自然数の加算 １桁めの２つの数ｘ１、ｙ１の和を求め、下からの繰り上がりｃi を考慮して、i桁めの数ｘi、ｙiの和を求める。 x y s c 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 x y ci si ci+1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 上記関数表を真理値表ともいう 整数の表現と計算 正負の符号+と-を、0と1に対応させる必要 最も左端のビット（MSB）で正負の符号を表す。 MSB が0 のとき+、1のとき-とする → -127～ +127の範囲の数字が表せる。 計算が複雑 加える２つの数が同符号→絶対値の和にその符号を つける 加える２つの数が異符号→絶対値の差に絶対値の大 きいほうの符号をつける バイアス表現 バイアス表現：数値の並ぶ順序と大きさの順序を一 致させる。ｘ+127をｘとする表現。 -127～ +128の範囲の数字が表せる。 加法では、バイアス分を減じる必要。 10進 さっきの表現 x+127 バイアス表現 -127 11111111 0 00000000 -2 10000010 125 01111101 -1 10000001 126 01111110 0 00000000 or 10000000 127 01111111 1 00000001 128 10000000 2 00000011 129 10000001 127 01111111 254 11111110 128 - 255 11111111 バイアス表現 ｘ+127をｘにする 10進数 さっきの表現 バイアス表現 00000000 0 0 -127 00000001 1 1 -126 00000010 2 2 -125 01111111 127 127 0 10000000 128 -0 1 10000001 129 -1 2 11111101 253 -125 126 11111110 254 -126 127 11111111 255 -127 128 00000010+10000001＝10000011 十進数 2＋129＝131 +を０、-を１としたさっきの表現 2－1＝-3 バイアス表現 -125（+127）+2（+127）＝4+（127） 補数表現 １の補数表現：正の数と０は通常の２進数表現、負 の数は、その絶対値の同じ正の数の０と１を書き換 えたもの。 １０進 56 = 2進 00111000 １０進 -56 = 2進 11000111 正の領域、負の領域で数の順序は保存 加算も桁あふれを考慮すると簡単 ２の補数表現：負の数を表す１の補数表現に１を加 えたもの。 １０進 -56 = 2進 11001000←11000111+1 -128～ +127の範囲の数字が表せる。 加算も簡単、桁あふれは無視 整数の表現（３ビット） 2進 000 001 010 011 100 101 110 111 自然数 最初の表現 バイアス表現 １の補数表現 ２の補数表現 0 1 2 3 4 5 6 7 0 1 2 3 -0 -1 -2 -3 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 0 1 2 3 -3 -2 -1 -0 0 1 2 3 -4 -3 -2 -1 情報の表現とデータ型 実数表現：数字で表したとき小数点を含むような 数値を実数という。 １０進7.375 ＝ ２進111.011 ２進101.1101 ＝１×２２＋０×２１＋１×２０＋１×２－１＋１×２－２ ＋０×２－３＋１×２－４ ＝４＋１＋0.5＋0.25＋0.0625 ＝１０進5.8125 情報の表現とデータ型 固定小数点表現：5.025 浮動小数点表現：1.025×10－５ ここで「1.025」：仮数、「10」：基数、 「－５」：指数 十進記法では有限でも、他の記法では無限小数に なってしまう場合がある。 １０進6.6＝２進110.100100100・・・・ コード（符号） あるデータ、あるいは情報を基準となる記号 の列、記号列で表したものを、そのデータの 符号またはコードといい、符号に変換すること を符号化、エンコード（encode）という。逆に、 符号を元の記号に戻すことを復号（化）また はデコード(decode)という。 コンピュータ：すべての情報を０、１のビット列 からなる符号で表す。 文字コード 文字コード：文字列を符号化したもの。 英字のコード：アスキーと呼ばれる８ビット＝１バイトコード。 日本語文字は１バイトでは２５６字種しか使用できないので、 JIS（Japanese Industrial Standard、日本工業規格）で は、１バイトコードとしては、カタカナ、数字と英字の大文字を 割り当てている。 通常の日本語文字としては、かな文字や漢字も使えるように するため、JISでは２バイト＝１６ビットコードを設定して定義 している。 １バイトコードと２バイトコードの混在の問題や、日本語コード の規格の乱立などいろいろと問題がある。（旧JIS、新JIS、 EUC、DEC） ＪＩＳコード表現 上位ビット 下 位 ビ ッ ト ０ １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ０ NUL DLE (SP) ０ ＠ Ｐ ｀ ｐ １ SOH DC1 ！ １ Ａ Ｑ ａ ｑ ２ STX DC2 ” ２ Ｂ Ｒ ｂ ３ ETX DC3 ＃ ３ Ｃ Ｓ ４ EOT DC4 ＄ ４ Ｄ ５ ENQ NAK ％ ５ ６ ACK SYN ＆ ７ BEL ETB ８ BS ９ ８ ９ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ ー タ ミ 。 ア チ ム ｒ 「 イ ツ メ ｃ ｓ 」 ウ テ モ Ｔ ｓ ｔ エ ト ヤ Ｅ Ｕ ｅ ｕ ・ オ ナ ユ ６ Ｆ Ｖ ｆ ｖ ヲ カ ニ ヨ ’ ７ Ｇ Ｗ ｇ ｗ ァ キ ヌ ラ CAN （ ８ Ｈ Ｘ ｈ ｘ ィ ク ネ リ HT EM ） ９ Ｉ Ｙ ｉ ｙ ゥ ケ ノ ル Ａ LF SUB ＊ ： Ｊ Ｚ ｊ ｚ ェ コ ハ レ Ｂ VT ESC ＋ ； Ｋ ［ ｋ ｛ ォ サ ヒ ロ Ｃ FF FS ， ＜ Ｌ ￥ ｌ ｜ ャ シ フ ワ Ｄ CR GS － ＝ Ｍ ］ ｍ ｝ ュ ス ヘ ン Ｅ SO RS ． ＞ Ｎ ＾ ｎ ￣ ョ セ ホ ゛ Ｆ SI US ／ ？ Ｏ ＿ ｏ DEL ッ ソ マ ゜ 数字「５」＝上位３＋下位５→００１１＋０１０１→００１１０１０１ 文字「ア」＝上位Ｂ＋下位１→１０１１＋０００１→１０１１０００１ Ｅ Ｆ １６進数表現 ０～９まで進んだ後、Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆとして 繰り上がる記数法。 １６進数表現１つで２進数４ビットと対応できる。 （１）10＝（０００１）２＝（１）１６ （1５）10＝（１１１１）２＝（Ｆ）１６ ＪＩＳ漢字コード表 第２バイト 21 22 23 24 25 26 27 28 29 2A 2B 2C 2D 第 １ バ イ ト 21 、 。 22 ◆ □ ■ 23 24 ぁ あ ぃ 25 ァ ア ィ ， ． ・ ： ； ？ ！ ゛ ゜ ´ △ ▲ ▽ ▼ ※ 〒 → ← ↑ ↓ い ぅ う ぇ え ぉ お か が き イ ゥ ウ ェ エ ォ オ カ ガ キ 30 亜 唖 娃 阿 哀 愛 挨 姶 逢 葵 茜 穐 悪 31 院 陰 隠 韻 吋 右 宇 烏 羽 迂 雨 卯 鵜 32 押 旺 横 欧 殴 王 翁 襖 鴬 鴎 黄 岡 沖 ０と１の世界の構成 電気での表現 ０：オフ、１：オン （正理論の対応、逆は負理論の対応） 基本 • • • ＯＲ（論理和、選言） ＡＮＤ（論理積、連言） ＮＯＴ（補、否定） ＯＲ，ＡＮＤ、ＮＯＴの真理値表 x 0 0 1 1 y 0 1 0 1 x OR y x AND y 0 1 1 1 0 0 0 1 x NOT x 0 1 1 0 ブール代数：０、１からなる世界で論理演算を対象に系統的に数学的に組み上げた体系 論理演算回路 基本論理演算回路 ０ Ｘ １ ０ Ｘ Ｙ １ ０ Ｙ ０ ０ Ｘ １ １ １ ＯＲ ＡＮＤ ＮＯＴ ＭＩＬ(Military Standard)記号表現 Ｘ Ｙ Ｘ Ｙ ＯＲ Ｘ ＡＮＤ ＮＯＴ 回路の合成 x y z ((x AND y) OR (NOT z)) ＡＮＤ x y z ＯＲ ＮＯＴ ((x AND y) OR (NOT z)) 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 演習 ① 以下の２進数を１０進数に、１０進数を２進数 に変換せよ。 （１０１０１０１）２＝ （１００）１０＝ ② 次の真理値表を完成せよ。 x y z 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 x and (y or z) x or (not y) 真理値表1 x y z 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 y or z x and (y or z) 1 1 0 1 0 0 0 1 真理値表2 x y not y x or (not y) 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 次週（１０／２９）小テスト 電卓、筆記用具、直筆ノート
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