擬似クリークを列挙する 多項式時間遅延アルゴリズム 宇野 毅明 （国立情報学研究所 ＆総合研究大学院大学） 2007年3月9日 第111回アルゴリズム研究会 問題定義と動機 密な部分構造 ・ グラフから密な構造を見つけ出す、という手法は、データマイニングや データ工学を始めとする情報学の分野で非常に基礎的であり、多くの研 究で用いられている （クラスタリング・webコミュニティー、 グループ化、カテゴリー発見．．．） ・ 従来、密な構造としてクリーク（特に極大）が重宝されてきた クリーク・極大クリークは、十分速く列挙できるようになった ・ 次のステップとして、よりモデルを豊かにするため、あるいはエラーやあ いまいさ、不完全さに対して頑強な結果を得るため「クリークっぽいもの」 の発見が注目されつつある （いくつもの重なり合う極大クリークが１つになる、データにノイズやエラー があっても大丈夫） 応用：クラスタリング 対象： データの関連を現すグラフ （データの項目が頂点、関係のある、類似する項目間に枝） 類似する、あるいは互いに 関連するグループ 互いに背反だが、 立場が同じ項目のグループ ・ データの種類・規模で大きさが変わる ・ 通常、それほど密ではない（次数高々100） ・ 局所的に密な部分が存在 ・ パワー則、スモールワールドが成り立つことが多 Web コミュニティ発見 Webコミュニティ： 内容や嗜好が似ているweb サイトの集合 モデル： webページ、又はwebサイトのリンク構造からグラフを作る このグラフのクリーク・2部クリークは、webコミュニティになっている だろう （リンクは、似た内容・嗜好のページに貼られるから） サイト 趣味バイク バイク好き サイト ホンダ カワサキ バイク万歳 バイク人生 ラーメン 好き ラーメン 命 博多 ラーメン 札幌 ラーメン ヤマハ ・ ごみページを除いた後のグラフの大きさは100万～1億程度 ・ 平均次数10程度、パワー則が成り立ち、局所的に密 類義語群の発見 対象： 単語ネットワーク （単語が頂点、単語AとB を組合せて 複合語ができるとき、枝を張る） 関東 地方 関西 地区 中国 電力 北陸 2部クリークの片側が、 似た意味を持つ単語の集合 ・ 大きなものでも、15万語程度 ・ 通常、それほど密ではない（次数高々200） ・ 局所的に密な部分が存在 ・ パワー則、スモールワールドが成り立つ 類似論文のグループ化 対象： 論文・アブストラクトグラフ （論文が片側の頂点、単語がもう 片側の頂点で、論文のアブストラクト が単語を含むときに枝を張る） 論文A 論文B 論文C 語1 語2 語3 論文D 語： 研究分野を表す単語群 論文： その分野の論文のグループ ・ 大きなものでも、10万語程度 ・ 通常、それほど密ではない（平均次数高々200） ・ 局所的に密な部分が存在 ・ パワー則、スモールワールドが成り立つ 擬似クリーク（密部分グラフ） ・ 頂点部分集合 S に対して、S の枝密度を (S の頂点誘導グラフの枝数) (|S|-1)|S| /2 クリークの 枝数 - S がクリーク 枝密度は 1 - S が独立集合 枝密度は 0 頂点の組のうち 結ばれているも S の枝密度が高ければ、クリークに近くなる のの割合 閾値 θに対して S が擬似クリーク (Sの枝密度) ≧ θ 与えられたグラフの擬似クリークを全て見つける問題を扱う 擬似クリークに関わる既存の結果 ・ １つ見つけるのは簡単 空集合、１頂点の集合、枝の両端点が必ず擬似クリークになる ・ 大きさ k の擬似クリークを見つける問題はNP完全 θ= 1 とすると、大きさ k のクリークを見つける問題になる ・ 最も枝密度の高い頂点数 k の部分グラフを見つける問題はNP完全 － O(|V|1/3-ε) の近似率のアルゴリズムがある － 最適解がある程度濃い、とい条件では O((n/k)ε) 近似 [鈴木徳山] － 枝数が Ω(n2) ならPTASがある[Aroraら] ・データマイニングなどの分野で、擬似クリークを発見するアルゴリズムはいく つか提案されているが、いずれも完全性がなく、列挙問題として捉えている研 究はない 分割法によるアプローチは困難 ・ 列挙アルゴリズムの基本的な構築の仕方として、分割法 （分枝限定法）がある ・ 各反復で、ある頂点を含むものと 含まないものに解集合を分割し、 できた集合が空でなければ、 再帰的に列挙を行う v v1 1 v1, v2 解があるか判定 する問題がNP完全 v1, v2 v1, v2 v1, v2 困難性の証明 Theorem 1 与えられたグラフ G と閾値 θ、頂点部分集合 U に対して、U を含む擬似クリークが存在するかどうかを判定 する問題はNP完全である 証明: 大きさkのクリークの存在判定を帰着 入力グラフ G=(V,E) |V|2 -1 枝密度 = |V|2 2|V|2 個の 頂点を追加 し、Uとする θ= |V|2 -1 |V|2 +ε ・ (U + クリーク) のみが擬似クリーク ・ 大きくなると枝密度が真に増加） ・ εを適当に設定すると、大きさが k 以上のクリークのみが擬似 クリークになる 果たして本当に困難か？ ・ この証明は「とても濃い」グラフの判定問題が難しいことを 証明しただけ 密度が中くらいのところについては、良くわからない 出力多項式時間アルゴリズムはできるかもしれない θ= 1 出力多項式時間 計算時 間が入力の大きさと出力の 大きさに対して多項式 簡単 簡単 θ= 0 困難 ????? 多項式時間（遅延）アルゴリズム 逆探索法によるアプローチ ・ 列挙する対象の間に、非巡回的な親子関係を定義 objects 親子関係が導く根付き木を深さ優先探索することで列挙 探索は、再帰的に子どもを見つけることで行えるので、 子どもを見つけるアルゴリズムがあれば十分 擬似クリークの親 ・ v*(K) ： G[K] の最小次数頂点の中で最小添え字のもの ・ 擬似クリーク K の親を K＼v*(K) で定義 K K の親 ・ K の枝密度 ＝ G[K] の平均次数 ÷(|K|-1) ・ 親は、K から最も枝密度の薄い部分を取り除いたものなので、 やはり擬似クリークになる ・ 親は大きさがちょうど１小さい 親子関係は非巡回的 子どもの発見 ・ 擬似クリークの親は、頂点を１つ取り去って得られる 擬似クリークの子どもは頂点を１つつけることで得られる （子どもの候補 |V| 個しかない） ・ K∪v が K の子どもである ① 擬似クリークであり ② K∪v の親が K （つまりはv*(K∪v) = v ） ・ この条件を各頂点について素朴に評価するとO(|V|+|E|) 時間 ・ もう少し速くしましょう 子どもである条件 ・ degK(v): v に隣接する K の頂点の数 degK(v) がある一定値以上であるときのみ、 K∪v は擬似ク リークになる （① の条件） ・各反復でdegK(v)を更新し（O(deg(v)) 時間）、その値ごとに分類 しておくことで、 ① の条件を満たすものを１つあたり定数時間で 見つけられる ・②の条件 v*(K∪v) = v も、degK(v)の値で場合分けするとクリア － degK(v) < K の最小次数 K∪v は必ず Kの子ども － degK(v) > K の最小次数＋１ K∪v は Kの子どもでない 子どもである条件 (2) ・ S(K): K の最小次数の頂点を、添え字順に並べた列 ・ degK(v) ＝ K の最小次数 or ＋１ v が、 － v より degK、添え字ともに小さい頂点はない － degK(u) ＝ degK(v) かつ添え字が v より小さい u 、および degK(u) ＝ degK(v)-1 かつ添え字が v より大きい u は必ず v と隣接 ・ K の頂点を次数順・添え字順に見て、隣接リストをスキャンし、 K に含まれない各頂点に対して「隣接しない初めての頂点」 を 見つける それと、自分の添え字を比べればよい １反復のチェック・データ更新時間は O(Δ(Δ+log |V|)) となる 計算機実験 実装 実験環境： Pentium M 1.1GHz、256MBメモリ ＋ cywin ＆ C ・ 実装は、単純なものを用いた － degK(v) の更新とグループ分けはするが、並び替えはしない － degK(v)＝ Kの最小添え字 or ＋１ となる頂点に対して、素 朴にチェックをする この条件を満たす頂点はそれほど多くないだろう 隣接しない頂点がすぐ見つかって、頂点１つに対する チェックも結局は短時間でできるだろう 実験に用いたグラフ - 通常のランダムグラフ （確率 p で枝をはる） - 局所的に密なランダムなグラフ （自分と添え字が近い頂点のみに 確率1/2で枝を張る） - ランダムに作成したスケールフリーグラフ （頂点を順に追加し、次数に比例する確率で 他の頂点を定数本選び、枝を張る） - 現実のデータ （ソーシャルネットワークデータ） ランダムグラフ ・ 枝の確率が 0.1 で、頂点数が 200-2000。閾値は90%。時間は 百万個あたり。クリーク列挙と比べると10倍程度遅い r a ndom gr a ph p=0.1 #clique time per 1M clique time clique #p-clique 0.9 time per 1M 0.9 time 0.9 #p-clique 0.8 time per 1M 0.8 time 0.8 1000000000 100000000 10000000 1000000 100000 1000 100 10 1 0.1 6400 4524 3200 2262 1600 1131 800 565 400 282 0.01 200 time (sec) & #cliques 10000 #vertices 次数が大きくなるにつれて、ほぼ線形に時間が伸びる 局所的に密なランダムグラフ ・ 自分の回り±30頂点に確率が 0.5で枝を張る ・ 100～25600 頂点、閾値は90%。同じくクリークより10倍遅い locally dense random graph #clique 1000000000 time per 1M clique 100000000 10000000 time clique 1000000 #p-clique 0.9 time per 1M 0.9 10000 1000 time 0.9 100 #p-clique 0.8 10 time per 1M 0.8 1 0.1 time 0.8 3E+05 64000 16000 4000 0.01 1000 time (sec) & #cliques 100000 #vertices 次数が変化しないので、時間は伸びない ランダムに作成したスケールフリーグラフ ・ 大きさ10のクリークに１つずつ頂点を加える ・ 次数に比例する確率で他の頂点を10個選び、枝をはる 10000000 1000000 100000 #clique time per 1M clique time clique #p-clique 0.9 time per 1M 0.9 time 0.9 #p-clique 0.8 time per 1M 0.8 time 0.8 10000 1000 100 1 0.1 16 00 0 32 00 0 64 00 12 0 80 0 25 0 60 00 80 00 40 00 20 00 0.01 10 00 time & #cliques 10 時間は非常にゆっくりと増加 #vertices 現実問題 ・ 論文の共著関係を表すグラフ ・ 頂点数は3万、枝数は12万5千、スケールフリー 1000000000 real-world data 100000 #p-clique time time per 1M 1000 10 0.83 0.85 0.88 0.9 0.93 0.95 0.98 1 0.1 1 time & #p-cliques 10000000 threshold 1個あたりの計算時間は閾値によらないようだ 閾値を変化させる ・ 10000頂点の局所的に密なグラフで、閾値を変化させる change of threathold 次数が小さくなると、候補が増えるため時間が増大 2 5 8 11 1 14 epsilon 10 20 10 25 40 55 70 85 1 100 17 10 time(sec) per 1M 100 10 0 time(sec) per 1M change of threathold epsilo 考察＋α ・ 実際の列挙の時間は、ひとつあたりほぼ定数時間 ・ 理論的なバウンド、最大次数の２乗よりはるかに小さい ・ なぜ現実的には速いのか？ － データの更新の時間は、追加された頂点の次数に線形 degK を小さくする頂点の次数が大きいとは思えない － 子どもかどうかチェックしなければならない頂点は少ない 子どもの数の定数倍 まとめ ・ 擬似クリーク（枝密度の高い部分グラフ）を列挙する初の多項式時間ア ルゴリズムを提案 ・ 分枝限定法的なアプローチは難しいであろうと思われることを、子問題 がNP困難となることで証明 ・ 計算実験により、現実的な、疎なグラフに対して有効に働くことを実証 将来の課題： ・ 計算量と現実的な計算時間のギャップを、より良く説明できないか ・ 計算量は減らせないか ・ 困難性の証明を、より小さい閾値に適用できるよう、改良できないか ・ 極大な擬似クリーク、またはそれに類するものが効率良く列挙可能か
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