連星BH半周定理東工大椎野克＠市大 ○目次 • • • • 背景直感的考察１，２連星BH半周定理．．． ○背景 • 合体連星BHの数値実験 AHの連星軌道運動（十数回転） Ref:例えばPretorius PRL 95 121101 • 事象の地平線のトポロジー共形図（注、acausal crease set）を書いてみると回転するような気がしない。 Ref:MS(2000) • どのように理解できるか？ Event horizonに関して言えば上限回転角があるかもしれない。（数値実験と整合？AH or EH） ○直感的考察その１ Crease set • 合体する軌道は非因果的 • ブラックホールの速度は高々光速 2R Θ 半径をRとすると合体するまでに ΔT ＜ R/c この間の回転角Θは Θ＜cΔT/R＜１で高々1ラジアンより小さい。 ΔT ○直感的考察その２ EH of BH EH of BH たくさんの重力波少しの重力波動的準定常回転トーラスEH 半周に上限か？ In another timeslicing ○回転角の上限の存在 • 回転角に上限が存在するかもしれないが定義に角度座標相対論的な問題がある 1 共変的回転角の議論 boost 2 大きさのあるBH （三次元運動） 3 見せ掛けの回転？ ○連星BH半周定理 • 半周なら回転角は角度座標と無関係 1rad＜半周： 180度の軸は真っ直ぐ • 軌道面の存在は仮定（軌道面鏡映）角度が決められない • 見せかけの回転も光速を超えない（原点＝ Timelike 条件） ○議論 • 何故LROを使ったか。 • AHとEHの関係（GW） • より現実的なcorollaryは？ある程度の対称性を仮定した方が良いかも。特に座標条件に関しても条件付けが可能？定義：comoving ball • globally hyperbolicを仮定。 • T（時間ベクトル）はいたる所でtimelike • oはTにtangent T S(tf) U o BU T • 境界BUもtimelike T U T o(t) S(t) T T S(ti) 定義：Light Ray Opposite • pの原点oに対するｔ2上の反対側を図のλ（p，t2）によって o 定義する。 g p J+(p) gp(tc) pt 2 Ot 2 l(p,t2) p 注、短いかもしれない、無いかもしれない（γはJ+のgenerator）定義：合体する連星BH系 O(tf) H Hpo O(t’) O(ti) Hpr 定義：連星軌道の半周 • 各々のブラックホールについてある点pが存在し時刻t2までの間にそのLROをブラックホールの軌道φが横切る。 o J+(p) gp HA∩ Ot2 pt2 pt Ot2 Ot Ot1 HA∩ Ot1 p HA∩ Ot ft A ft2A l(p,t ) 2 l(p,t) 主張 ∀pI∈BI、∀pII∈BII、 Opr∩J+（pI）∩J+（pII） + + J(pII)∩Opr J(pI)∩Opr Ot’ o Opr Oti pI pII BI BII 系 oが両方のcausal futureと交わる事はない補助定理 • どちらかは正しい • LRO λ（pI，t2）はJ+（pI）∩Oprと交わらない • For II、、 o p gpI + J (pI) + J(pI)∩Opr pt q 2 pt o(t2) Ot2 2 l(pI,t2) pI timelike curve 半周定理 • 補助定理より、半周できない。 ○picture（timelikeな時間ベクトル）議論 • 定理はcovariant • LROが短いかも、無いかも • AHでの定理 • 観測、、〇back light ×重力波注意、free fall timeがRより小さい～(M>R) • 特異点（or caustic）に支えてLROが作れない。 • 定義：modified LRO • Lemmaは同様に成立 J(p)⊂J（p’）⊂J（p’’）。それでも駄目な場合とは宇宙論的particle horizon 未来向きnull MLRO o(t) ∂t p p’ p’’ • Proposition 二つの causal future は交わらない。 o(t)は両方とは交わらない。 LRO p B1 o(t) q • Lemma p,qから出たnull generatorが両方ともそれぞれのLROと交わることは無い。 Theorem 軌道断面上、あるpがあって LRO（p）はみんな到達するので、任意のo(t)について半周しない。 B2 • 定義「light ray opposite」 • 定義「連星system」軌道面上、将来合体２BH （まだしていない）、timelikeな原点 • 定義「連星の半周期」軌道断面上で各点の任意のmoveφ LRO でLROに到着 Φ 未来向きnull o(t) LRO o ∂t p Φ LRO 軌道面