Chapter 26 Steady-State Molecular Diffusion

Chapter 26
Steady-State Molecular Diffusion
Fig. 26.1: Arnold diffusion cell
BへのAの拡散係数の測定
BはA中に拡散しない（一方拡散）
Arnold diffusion cellを用いた
拡散係数測定（p. 458）
液面の
下がる速度
等モル拡散（p.462）
化学反応を伴う物質移動（p.463）
1. Homogeneous reaction：
与えられた領域内において反応が生じる
Eq.(25-11)中のRAが生成項として残る
2. Heterogeneous reaction：
境界orある限られた領域で反応が生じる
Eq.(25-11)中のRAは消える
（ただし境界条件中に反応項が出てくる）
反応速度＞＞拡散速度拡散律速
（diffusion controlled）
(瞬間反応）
反応速度＜＜拡散速度反応律速
（reaction controlled）
C A
 RA  0
Homogeneous Reaction   N A 
t
1次元定常（Fig.26.8、ガス吸収）
dN A, z
dz
対流無し（δ:小）：
 RA  0, RA  k1C A
N A, z   D AB
最終的な解析式：
DAB
d 2C A
 k1C A  0
2
dz
解：Eq.(26-44)
数値解析
dC A
dz
(26-41)
偏微分方程式を解析的に解くのは一部の例外を除き困難
拡散方程式：Eq.(25-17)

C A
v  C A 
 DAB 2C A  RA
t
反応無し
対流無し定常
 2C A  2C A
2次元

0
2
2
x
y
Eq.(26-51)
解：Eq.(26-60)
C A
2
v  C A 
 DAB C A  RA
t
反応無し
対流無し

C A
 2C A
1次元
 DAB
t
z 2
Eq.(27-1)
解：Eq.(27-9)
数値解析法（差分法）
26章のまとめ
化学反応の分類：
・Heterogeneous
・Homogeneous
反応速度定数の入れ方
・境界条件中
・基礎式中
・反応が拡散に比べ速いか？遅いか？
正確な立式（modeling）＋数値解析法
流動を伴う物質移動（p.483）
y
x
δ
NA,y
壁を伝わって流れ落ちる
薄い液膜にA成分が拡散
速度分布：p.96
C A
 NA 
 RA  0
t
反応無し、定常、2次元
N A, x
x

N A, y
y
0
(1) (26-72)
N A, x   DAB
C A
 x A ( N A, x  N B , x )
x
liquid
o[x方向の拡散]<<o[x方向の流動]
N A, x  xA ( N A, x  NB, x )  CAvx
N A, y
N A, y
C A
  DAB
 x A ( N A, y  N B , y )
y
y方向流動無し
C A
  DAB
(3) (26-76)
y
(2) (26-75)
(2), (3)→(1)
C Avx 
 CA
 DAB
x
y 2
2
vx（x方向速度）：y方向のみに依存
C A
 CA
vx
 DAB
x
y 2
2
境界条件（B.C.）必要
(26-78)
C A
 CA
vx
 DAB
x
y 2
2
y
x
δ
NA,y
必要な境界条件の数
xに関して1つ
x=0 : CA=0
yに関して2つ
C A
y0 :
0
y
y=δ : CA= CA 0
この式は？
2
2

 vx
vx
vx 
 vx  vx 
P
  

   vx
 vy
   2  2 
t
y 
x
y 
 x
 x
ρで割る
2
2

vx
vx
vx
 vx  vx 
1 P
 vx
 vy

  2  2 
t
x
y
 x  x
y 
νは何？、単位は？
Navier-Stokes equation
v：動粘度[m2/s]
この式は？
2
2

 T
T
T 
T T
  k  2  2 
Cp
 Cp vx
 vy
t
y   x
y 
 x
ρCpで割る
 T  T 
T
T
T
 vx
 vy
   2  2 
t
x
y
y 
 x
2
2
(19-14, p. 280)
αは何？、単位は？
熱伝導方程式(熱拡散方程式）
α：熱拡散率[m2/s]
この式は？
2
2

C A
C A
C A
 CA  CA 

 vx
 vy
 DAB  2 
2 
t
x
y
y 
 x
(25-18, p. 437)
DABは何？、単位は？
拡散方程式
DAB：拡散係数[m2/s]
ν、α、DAB： L2/t ex) m2/sec
組み合わせれば無次元数
ν/α=Pr（プラントル数）
熱が、対流と熱伝導のどちらで伝わるか
ν/DAB=Sc（シュミット数）
物質が、対流と分子拡散の
どちらで移動するか？
α /DAB=Le（ルイス数）
分子拡散と熱伝導とどちらが大きいか？
Pr、Sc、Le：全て物性値
Fluxの表し方－１ Flux=物性値×勾配
τyx = -μ
q
A
x 0
du
dy
T
 k
x
C A
N A   DAB
y
Newtonの法則
x 0
y 0
Fourierの法則
Fickの法則
物性値は不変、対流の影響は勾配に反映
コーヒーの中の砂糖を考える
濃度
かき混ぜていないとき
砂糖から十分離れた
所ではC=0
0
δ
0
砂糖表面からの距離
コーヒーの中の砂糖を考える
濃度
かき混ぜたとき
砂糖から十分離れた
所ではC=0
0
δ
0
砂糖表面からの距離
かき混ぜることにより、勾配がきつくなった
C A
N A   DAB
y
y 0
ここが大きくなった
Fluxの表し方－2
q
A
x 0
Flux=定数×駆動力
 hT Newton’s law of cooling
p.208, Eq.(15-11)
N A  kC C A
  Cf

2
p.428, Eq.(24-68)
(v  v )
2

2
0
p.138, Eq.(12-3)
駆動力は不変、対流の影響は定数に反映
Heat Fluxの表し方：p.270
q
A
x 0
T
 k
x
x 0
 hT
名称は？
h
T
x
k
x
x 0
x
T
無次元：Nu（ヌッセルト数）
Mass Fluxの表し方：p.520
C A
N A   DAB
y
y 0
 kc C A
kc x C A

DAB
y
y 0
x
C A
無次元：Sh（シャーウッド数）
hx
Nu 
k
kC x
Sh 
DAB
物質が対流と分子拡散の
どちらで移動するか
kC：物質移動係数
28.1 類題
(a) 293K, 1.013×105Paの空気中を拡散するCO2の
シュミット数を求めよ。
Appendix JのTableJ.1（p691）
 DCO2  air 
 D CO air  air


T

2
DCO2 air P  1.378[m2 Pa / s]
1.378
5
2

1
.
360

10
[
m
/ s]
5
1.013 10

 D CO air  air
 


T
 293 
2



 273
5
6
 DCO2 air (18.13106 ) 

(
1
.
360

10
)(
17
.
15

10
)

 




293
273
 273

 293 
DCO2 air  1.381105[m2 / s]
Sc 
 air
DCO2 air
1.505105

 1.09[]
5
1.38110
(b)293Kの水中を拡散するCO２のシュミット数を求めよ。
Appendix JのTableJ.2（p693）
D CO
Sc 
2  water
 1.77109 [m 2 / s]
 water
DCO2 water
0.995106

 562[]
9
1.77 10
28.18 類題
平板上で形成される層流層のシャーウッド数は
Shx  0.332Re
1/ 2
x
Sc1/ 3
平板上で形成される乱流層のシャーウッド数は
4/ 5
Shx  0.0292Re x Sc1/ 3
(a)レイノルズ数が100 000である任意の点の物質移動係数
の値を算出せよ
平板流れの層流から乱流への遷移は Re x  2 105
Shx  0.332Re x
1/ 2
kc x
Shx 
DAB
Sc1/ 3
12
0.332DAB Re x Sc1 3
kc 
x
0.332DAB (100000)1 2 Sc1 3
kc 
x
105.0 DAB Sc1 3
kc 
x
(b)平板の先端からレイノルズ数が100 000である点までの
平均境膜物質移動係数 kc の値を算出せよ
平板の先端からレイノルズ数100 000の点までの距離：L
平均境膜物質移動係数は
L
kc
k dx


 dx
c
0
L
0
(a)より
0.332DAB Re x
kc 
x
12
Sc1 3
12
v
0.332DAB   Sc1 3
 
kc 
x1 2
12
v
0.332DAB   Sc1 3
L
 
dx
12
0
x
kc  L
 dx
0
12
v
0.664DAB   Sc1 3
 
 kc 
L1 2
Re x 
xv

(c)レイノルズ数が1000 000である任意の点の物質移動係数
の値を算出せよ
平板流れの層流から乱流への遷移は Re x  2 105
Shx  0.0292Re x
kc x
Shx 
DAB
4/ 5
Sc1/ 3
kc x
4/5
 0.02921000　000 Sc1/ 3
DAB
1842 .4
kc 
DAB Sc1/ 3 m / s
x

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