バリアオプションの価格公式バリアオプションの価格公式発表の流れバリアオプションとは実際の例価格計算公式の導出価格計算の例岩田将平矢野雅俊若林尚貴バリアオプションとはバリアオプション最も簡単な経路依存型オプションの一つ．満期までの間に原資産価格がある設定価格（バリア価格）に達したかどうかに因って権利が発生（または消滅）する．通常のオプション価格よりも安価となるため投資家にとって魅力的な商品となる．バリア価格 T バリアオプションの分類ノックアウト or ノックイン原資産価格が満期までの間に1度でもバリア価格に達すると，オプション契約の権利が消滅するものをノックアウトオプションといい，バリア価格に1度も至らなかった場合のみ約定に即した取引が行われる．逆に原資産価格がバリア価格に到達して初めてオプション契約の権利が発生するものをノックインオプションという．アップ or ダウン原資産価格がバリア価格に下から上に向かって達するアップ逆に上から下に向かって達するダウンがある．上記の組み合わせによってバリア・オプションはダウン・アンド・アウトコール，アップ・アンド・インプットなど，全部で8種類ある．バリアオプションの実際の例ダウン･アンド･アウトプットオプションの例現在の原資産価格S=110円/$，行使価格K=108円/$，バリア価格 100円/$ の円-$通貨プットオプションの場合．現在の為替レート110円/$から円高が進み、将来108円/$を超えるが 100円/$を超えない範囲での円高を予想する投資家にとっては通常のオプションより安く買うことができるので魅力的な商品となる．しかし予想以上に円高が進み100円/$を超えた場合には権利が消滅してしまうというリスクも負うことになる．原資産価格 110円行使価格 108円バリア価格 100円 T 価格計算公式の導出1 ダウン・アンド・アウトコールの場合ブラック･ショールズのオプション価格公式 V V 1 2V 2 2  rS   S  rV  0 2 t S 2 S ただし、定義域は次のようになる． 0, T    B, ) また、境界条件、初期条件としては V  B, t   0 V  S , T   max  S  K ,0 0,T   0, ) 価格計算公式の導出2 以下の変数変換により、式を変形する． 2 2 S 1 r    x   x  log ,  T  t ,V  e U ,    2 ,   r B 2  2 ブラック･ショールズ方程式は熱伝導方程式に変形される． U  2 2U   2 x2 境界条件、初期条件は  U  0,   0  x  x U x ,0  max be  1 e K ,0         価格計算公式の導出3  1  1        S  S   r T  t   V  S , t   S   d1       d3   Ke  d   d  4    2   B B             S  2  ln   r   T  t  K  2  d  , d 2  d1   T  t ただし、 1  T t 2 S 2 S 2r d3  d1  ln , d 4  d 2  ln ,    2   T t B  T t B ブラック･ショールズのヨーロピアンオプションの価格を VE  S , t  とするとバリアオプションの価格は S  V  S , t   VE  S , t     B  1  B2  VE  , t   S  価格計算の例バリアを考えていない場合 S0  100,   0.3, r  0.1 価格計算の例1 バリア B=50 の場合 S0  100,   0.3, r  0.1 価格計算の例2 バリア B=90 の場合 S0  100,   0.3, r  0.1 価格計算の例3 満期 T=1.0 でバリアを変化させた場合価格計算の例3 V vs B K=60の場合 S0  100,   0.3, r  0.1