記述統計の復習

第1章記述統計の復習
統計学 200６年度
Ⅰ データの種類
Ⅱ 1変量データのまとめ方
a) 特性値による記述
1) 代表値（中心的傾向）
ⅰ) 算術平均 ⅱ) メディアン ⅲ) モード ⅳ) 各代表値の特徴
2) 散布度（散らばりの傾向）
ⅰ) 分散 ⅱ) 標準偏差 ⅲ) レンジ ⅳ) 四分位偏差
b) 表・グラフによる記述
1) 棒グラフ・円グラフ・帯グラフ・折れ線グラフ
2) 度数分布表
3) ヒストグラム・度数折れ線
Ⅲ 2変量データのまとめ方
a) 特性値による記述
1) 相関係数
b) 表・グラフによる記述
1) 分割表（クロス集計表）・2次元ヒストグラム
2) 散布図
Ⅰ データの種類
10人の学生について下の表のような情報がえられた。
出席番号学年性別出身地身長
体重
家族の人数テストの点数
1
2
男山口県 170.3
61.2
1
60
2
3
女山口県 155.4
48.6
4
90
3
4
男広島県 168.2
54.2
5
80
4
2
男福岡県 171.0
58.5
3
50
5
2
男島根県 175.4
57.6
2
70
6
3
男山口県 165.7
63.5
1
10
7
4
女広島県 157.2
50.1
1
60
8
3
女愛媛県 162.3
53.4
4
80
9
2
男山口県 177.1
63.0
3
20
10
3
男山口県 165.0
52.5
3
80
• 学年、性別、出身地、身長、体重、家族の人数、テストの点数
という7つの変量（変数）について、10個の観測値を持つデー
タ。
• データを分析する場合、性別や出身地などの情報はなんら
かの数値によって表されることが多い。
出席番号学年性別出身地身長
体重
家族の人数テストの点数
1
2
1
35
170.3
61.2
1
60
2
3
2
35
155.4
48.6
4
90
3
4
1
34
168.2
54.2
5
80
4
2
1
40
171.0
58.5
3
50
5
2
1
32
175.4
57.6
2
70
6
3
1
35
165.7
63.5
1
10
7
4
2
34
157.2
50.1
1
60
8
3
2
38
162.3
53.4
4
80
9
2
1
35
177.1
63.0
3
20
10
3
1
35
165.0
52.5
3
80
この例では出身地（都道府県コード）、性別（男－１、女－２）を
数値で表している。
この表にある変量は次のように分類することができる。
質的変量（質的変数）
量的変量（量的変数）
性別、学年、出身地など
離散変量（離散変数）
家族の人数、テストの点数など
連続変量（連続変数）
身長、体重など
＜質的変量と量的変量＞
•
•
•
数値が量的な意味を持つ変量を量的変量、意味を持たないものを質的
変量という。
家族の人数は数値に意味があるが、性別などは数値に意味が無い。ま
た、学年は実際に大学に在学している年数とは異なり、分類のための数
値である。
質的変量か量的変量を見分けるには、「算術平均をとって意味がある
か」を考えてみる方法がある。
＜離散変量と連続変量＞
•
•
•
量的変量はさらに離散変量と連続変量に分類される。
離散変量は家族の人数やテストの点数など、とびとびの値しかとらない
変量である。
一方、身長や体重などは正確に測ろうとする場合、無限に細かい数値に
なる。(身長171.2865...cm)このような変量は連続変量である。
テストの点数（離散変量）
50
51
52
53
身長（連続変量）
170
171
172
173
データの種類によって、まとめ方が異なる
Ⅱ 1変量データのまとめ方
• データのまとめ方には
1. 特性値による記述（数値的表現）
2. 表・グラフによる記述（視覚的表現）
がある。
• 特性値による記述は、データの特徴をまとめ、それ
を用いた分析をおこなうことが中心的な役割である。
• 表・グラフによる記述は、データの特徴を一目でとら
えやすくするためにおこなわれる。
a) 特性値による記述
1) 代表値（中心的傾向）
• ある集団についてのデータ（例えば50人のクラスの身長な
ど）があるとき、集団の特徴をあらわすには、その中心的傾
向を示す数値が必要となる。
• 中心的傾向をあらわす数値として、
– 算術平均
– メディアン（中央値）
– モード（最頻値）
の3種類がある。
ⅰ) 算術平均
• 算術平均＝データの合計 ÷ データ数
n
x  x    xn
x 1 2

n
x
i 1
i
n
（例） 10人のテストの点数
出席番号
点数
x
1
60
2
90
3
80
4
50
5
70
6
10
7
60
8
80
9
20
10
80
60  90  80  50  70  10  60  80  20  80 600

 60
10
10
ⅱ) メディアン（中央値、中位数）
• メディアン → データを大きさの順に並べたときに
真ん中にくる値。データ数が偶数のときは真ん中の
2つの値を足して2で割る。
出席番号
点数
1
60
2
90
3
80
4
50
5
70
6
10
7
60
8
80
9
20
10
80
点数の低い順に並べ替え
10
20
50
60
60
70
80
80
80
90
真ん中
この2つを足して2で割った
（60＋70）÷2=65がメディアン
ⅲ) モード（最頻値）
• モード－データの中で最も多く出てくる値。10
人のテストの点数の例では
出席番号
点数
1
60
2
90
3
80
4
50
5
70
6
10
7
60
8
80
9
20
10
80
80点が3人と最も多い。モードは80となる。
† データのとりうる値が多いとき、データの最も多く出てくるものではな
く、度数分布表にしたときに、最も度数の多い階級の階級値をモード
と考える。
ⅳ) 各代表値の特徴
• 下の表は2005年の阪神と巨人の打者別本塁打数（上位
5人）である。
阪神
金本
今岡
シーツ
矢野
鳥谷
算術平均
メディアン
40
29
19
19
9
巨人
小久保
ローズ
阿部
清原
高橋(由)
23.2 算術平均
19 メディアン
34
27
26
22
17
25.2
26
データ出典：日本野球機構オフィシャルサイト(www.npb.or.jp)
• 巨人は算術平均とメディアンの差が0.8本と小さいのに対し、阪神は
4.2本もある。これは巨人が5人ともそこそこ打っているのに対し、阪
神は金本と今岡で大部分を占めているからである。
• 下の図は貯蓄現在高階級別の世帯分布である。
出典：総務省統計局『明日への統計 2005』(www. stat.go.jp/info/guide/asu/2005/17.htm)
• 貯蓄現在高が算術平均より低い世帯は全世帯の3分の2におよぶ。ほ
とんどの世帯はメディアンである1027万円ほどの貯蓄もなく、200万
円未満の貯蓄しかない(ここがモードである)。
• 少数の大金持ちと多数の庶民がいるため、このようなことがおこる。
• 算術平均は少数の極端な値が含まれるとき、
その集団の正しい代表値とならないことがある。
メディアンの方が少数の極端な値の影響を受
けづらい。
• しかし、貯蓄現在高のように分布がゆがんでい
る場合には、メディアンでも集団の正しい代表
値とはいえない場合もある。（この場合はモー
ドが適切か）
• しかし、算術平均は数学的な扱いやすさから、
代表値として非常に良く用いられている。
算術平均をうのみにしないようにしよう！
b) 特性値による記述
1) 散布度（散らばりの傾向）
教員A
• チャイムの５分後に必ず教室
にくる。
教員B
• チャイムと同時に教室にくるこ
ともあれば、１５分以上遅れる
こともある。
• ２人の教員はともに平均してチャイムの５分後に教室にくる
• 2人の教員の特徴を表現するために、平均だけでは不十分。
→散らばりの尺度の必要性
• 散らばりの傾向をあらわす尺度として
– 分散、標準偏差
– レンジ（範囲）、四分位偏差
などがある。
ⅰ）分散
• 分散＝偏差2乗和÷データ数
偏差2乗和－個々のデータから算術平均を引いたもの（偏
差）を2乗して、すべて加えたもの。
n
( x1  x ) 2  ( x2  x ) 2    ( xn  x ) 2
s 

n
2
 (x  x)
i 1
2
i
n
10人のテストの点数の例では
(60 60)2  (90 60)2  (80 60)2  (50 60)2  (70 60)2  (10 60)2  (60 60)2  (80 60)2  (20 60)2  (80 60)2
s 
10
2

6400
 640
10
出席番号
点数
1
60
2
90
3
80
4
50
5
70
6
10
7
60
8
80
9
20
10
80
-40
20
400 1600
400
算術平均60を引く
偏差
0
30
20
-10
10
-50
0
20
2乗を求める
0
900
400
100
100 2500
0
合計を求める
６４００
データ数(10)で割る
640
分散
ⅱ）標準偏差
• 標準偏差 ⇒ 分散の平方根
n
s  s2 
2
(
x

x
)
 i
i 1
n
10人のテストの点数の例では
s  640  25.298
ⅲ）レンジ（範囲）
• レンジ ⇒ データの取りうる範囲
レンジ＝最大値ー最小値
• 10人のテストの点数の例では
90 - 10＝８０
ⅳ）四分位偏差
• データを大きさの順（小さい順）に並べて、4分割す
る点をq1,q2,q3とする。
• このとき、次式で定義されるQを四分位偏差という。
(q3  q1 )
Q
2
最小値
q1
q2
q3
最大値
（例）9人のテストの点数が次のようになってい
たとする。
出席番号
点数
1
60
2
90
3
80
4
50
5
6
7
8
9
70
10
60
80
20
点数の低い順に並べ替え
10
20
50
60
60
最小値
q1
q2
70
80
q3
80
90
最大値
（メディアン）
q1⇒最小値とq2（メディアン）の真ん中の値
q3⇒q2（メディアン）と最大値の真ん中の値
Q
(80  50) 30

 15
2
2
b) 表・グラフによる記述
1) 棒グラフ・円グラフ・帯グラフ・折れ線グラフ
• 集団の特徴をあらわすためには、代表値や散布度などの数
値ととも、さまざまな表やグラフが用いられる。
学年別の割合
3.5
3
20%
度数
2.5
2
40%
1.5
2年
3年
1
4年
0.5
0
1人
2人
3人
4人
5人
40%
家族の人数
• 棒グラフは、家族の人数や学年などの各変量がとる値の度
数をあらわすのに用いられる。
• 円グラフは、その度数の全体に占める割合をあらわすのに
用いられる。
年齢3階級別総人口の推移
年
完全失業率の推移
(%)
5.0
4.8
4.6
4.4
2006年1月
2005年11月
2005年9月
100%
2005年7月
80%
2005年5月
60%
2005年3月
40%
2005年1月
20%
2004年11月
0%
2004年9月
2004
2004年7月
1990
4.2
4.0
3.8
3.6
2004年5月
0-14歳
15-64歳
65歳-
1970
2004年3月
1950
2004年1月
1930
年・
月
• 帯グラフは、度数の割合が時間とともにどのように変化する
かなどを見るために利用される。
• 折れ線グラフは、主に時系列データ（時間の順序によって並
べたデータ）の変化を表すために利用される。
2) 度数分布表
• 質的変量および量的変量のうち離散変量は、棒グラフや円
グラフとして表すことができる。
• では、連続変量を棒グラフで表したい場合どのようにすれば
よいであろうか？そのままあらわすと下図のようになる。
身長の棒グラフ(男子)
度数
1
178
176
177
175
175
173
174
172
173
171
171
169
170
168
169
166
167
165
166
0
• このような棒グラフでは、集団の特徴がよくわからない。
• そこで、データをいくつかの階級に分け、その階級に入る度
数を表の形でまとめた度数分布表を作成する必要がある。
サッカー日本代表
対エクアドル戦ベンチ入りメンバー
身長(cm ) 体重(kg)
氏名
76
185
楢崎　正剛
84
184
土肥　洋一
78
179
川口　能活
74
178
田中　誠
72
176
宮本　恒靖
69
178
三都主アレサンドロ
67
179
坪井　慶介
73
177
加地　亮
78
187
中澤　佑二
77
181
茂庭　照幸
70
174
村井　慎二
71
171
駒野　友一
72
173
小笠原満男
77
181
福西　崇史
74
175
小野　伸二
77
177
阿部　勇樹
65
177
長谷部　誠
73
181
久保　竜彦
63
173
玉田　圭司
81
184
巻　誠一郎
64
170
佐藤　寿人
階
級
以上
170
175
180
185
計
未満
-
175
180
185
190
階級値
172.5
177.5
182.5
187.5
度数
5
9
5
2
21
† その階級を代表する値
を階級値という。階級の上
限と下限をたして2で割った
値が用いられることが多い。
• 度数分布表の階級の幅は原則として均一にする。ただし、貯
蓄現在高のようにすべて均一にすることによって、度数が極
めて小さくなる場合には、一部の階級幅を広げることもある。
† 質的変量や離散変量の場合は、とりうる値1つ1つが階級となる。
ただし、年収・貯蓄のようにとり得る値が多い場合には、連続変量と同様
に階級を設定する。
＜度数分布表からの算術平均、分散の導出＞
• 度数分布表にまとめられたデータについて、算術平均と分散
を求めることができる。
階級値
y1
y2
…
ym
度数
f1
f2
…
fm
• 上のような度数分布表があったとする。
このとき、
算術平均＝（度数×階級値）の総和÷度数の総和
として求められる。
m
f y  f 2 y2    f m ym
y 1 1

f1  f 2    f m
fy
i 1
m
i
f
i 1
i
i
分散＝｛（階級値－算術平均）2×度数｝の総和÷度数の総和
として求められる。
m
f1 ( y1  y ) 2  f 2 ( y2  y ) 2    f m ( ym  y ) 2
s 

f1  f 2    f m
2

i 1
f i ( yi  y ) 2
m
f
i 1
i
計算のためには、
m
s 
2
fy
i 1
m
i
f
i 1
2
i
 y2
i
これらの算術平均と分散は原データから求めた算術平均と分
散の近似値となる。
サッカー日本代表の度数分布表について考えてみると
階
級
以上
170
175
180
185
未満
-
175
180
185
190
階級値
度数
172.5
177.5
182.5
187.5
計
5
9
5
2
21
算術平均（原データで計算すると178.10）
y
5 172.5  9 177.5  5 182.5  2 187.5 3747.5

 178.45
595 2
21
分散（原データで計算すると20.28）
5  172.52  9  177.52  5  182.52  2  187.52
s 
 178.452
595 2
669181.25

 31844.40 20.52
21
2
３）ヒストグラム・度数折れ線
• 度数分布表を棒グラフであらわしたものをヒストグラムといい、
それぞれの棒は間隔をつめて描かれる。これは階級と階級
の間が連続していることによる。
• 度数折れ線はヒストグラムにおいてその頂点を折れ線グラフ
で結んだものである。
サッカー日本代表の身長
身長のヒストグラム(20歳男子、107人)
10
20
15
6
度数
度数
8
4
10
5
2
0
172.5
177.5
182.5
階級値
187.5
0
159 161 163 165 167 169 171 173 175 177 179 181 183
階級値
• 度数分布表の階級幅、階級の上限と下限の値の取り方に
よってヒストグラムは大きく変化する。
体重のヒストグラム(階級幅５kg)
5
10
4
8
3
6
度数
度数
体重のヒストグラム(階級幅2kg)
2
4
1
2
0
0
63
65
67
69
71
73 75
階級値
77
79
81
83
85
62.5
72.5
階級値
77.5
82.5
体重のヒストグラム(階級幅３kg(ｂ)
体重のヒストグラム(階級幅３kg(a))
6
7
6
5
4
3
2
1
0
5
4
度数
度数
67.5
3
2
1
0
64.5
67.5
70.5
73.5
76.5
階級値
79.5
82.5
85.5
62.5
65.5
68.5
71.5
74.5
階級値
77.5
80.5
83.5
Ⅲ 2変量データのまとめ方
• 2変量データ → 2つの対になったデータ
（例）サッカー日本代表の身長と体重
※ 日本代表の身長と韓国代表の体重は2つのデータ
であるが、対になっていない。
※ 2変量データはその組合せを変えることはできない
→ 楢崎の身長と川口の体重を組み合わせても、意
味がない。
• 2変量データの記述
→ それぞれ1変量の記述＋ 2変量の関係の記述
a) 特性値による記述
1) 相関係数
r
 (x  x )(y - y)
 (x  x )  (y - y)
i
i
2
i
2
i
• 相関係数ｒは-1と1の間の値をとる。
– r＞０正の相関
– r＜０負の相関
– r＝０無相関
b) 表・グラフによる記述
1) 分割表（クロス集計表）・2次元ヒストグラム
• 2変量についてクロス集計した度数分布表のことを、分割
表（またはクロス集計表）という。
体
重
62-65
65-68
68-71
71-74
74-77
77-80
80-83
83-86
計
170-175 175-180
2
0
0
2
1
1
2
2
0
2
0
2
0
0
0
0
5
9
身長
180-185 185-190
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
2
1
1
0
1
0
5
2
計
2
2
2
5
3
5
1
1
21
• 分割表は下のような2次元ヒストグラムであらわすことが
できる。
2
83-86
80-83
77-80
74-77
71-74
68-71
65-68
180-185
170-175
身長
62-65
1
0
体重
２）散布図
• 横軸にX、縦軸にYをとった座標軸上に、個々のデータを
あらわしたもの。
• 相関係数と密接な関係がある。
正の相関（r＞0)
負の相関（r＜0)
•Xが大きな値をとる
ほど、Yも大きな値を
とる。
•Xが大きな値をとる
ほど、Yは小さな値を
とる。
無相関（r=0)
•Xの値とYの値に一
定の傾向がみられな
い。

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