第1章 記述統計の復習 統計学 2014年度 Ⅰ データの種類 Ⅱ 1変量データのまとめ方 a) 特性値による記述 1) 代表値（中心的傾向） ⅰ) 算術平均 ⅱ) メディアン ⅲ) モード ⅳ) 各代表値の特徴 2) 散布度（散らばりの傾向） ⅰ) 分散 ⅱ) 標準偏差 ⅲ) レンジ ⅳ) 四分位範囲、四分位偏差 b) 表・グラフによる記述 1) 2) 3) 4) 5) 折れ線グラフ・棒グラフ・円グラフ・帯グラフ 度数分布表 ヒストグラム・度数折れ線 箱ひげ図 度数分布表における算術平均・分散 Ⅲ 2変量データのまとめ方 a) 特性値による記述 1) 相関係数 b) 表・グラフによる記述 1) 分割表（クロス集計表）・2次元ヒストグラム 2) 散布図 Ⅰ データの種類 10人の学生について下の表のような情報がえられた。 出席番号 学年 性別 出身地 身長 体重 家族の人数 テストの点数 1 2 男 山口県 170.3 61.2 1 60 2 3 女 山口県 155.4 48.6 4 90 3 4 男 広島県 168.2 54.2 5 80 4 2 男 福岡県 171.0 58.5 3 50 5 2 男 島根県 175.4 57.6 2 70 6 3 男 山口県 165.7 63.5 1 10 7 4 女 広島県 157.2 50.1 1 60 8 3 女 愛媛県 162.3 53.4 4 80 9 2 男 山口県 177.1 63.0 3 20 10 3 男 山口県 165.0 52.5 3 80 • 学年、性別、出身地、身長、体重、家族の人数、テストの点数 という7つの変量（変数）について、10個の観測値を持つデー タ。 • データを分析する場合、性別や出身地などの情報はなんら かの数値によって表されることが多い。 出席番号 学年 性別 出身地 身長 体重 家族の人数 テストの点数 1 2 1 35 170.3 61.2 1 60 2 3 2 35 155.4 48.6 4 90 3 4 1 34 168.2 54.2 5 80 4 2 1 40 171.0 58.5 3 50 5 2 1 32 175.4 57.6 2 70 6 3 1 35 165.7 63.5 1 10 7 4 2 34 157.2 50.1 1 60 8 3 2 38 162.3 53.4 4 80 9 2 1 35 177.1 63.0 3 20 10 3 1 35 165.0 52.5 3 80 この例では出身地（都道府県コード）、性別（男－１、女－２）を 数値で表している。 この表にある変量は次のように分類することができる。 質的変量（質的変数） 量的変量（量的変数） 性別、学年、出身地など 離散変量（離散変数） 家族の人数、テストの点数など 連続変量（連続変数） 身長、体重など ＜質的変量と量的変量＞ • • • 数値が量的な意味を持つ変量を量的変量、意味を持たないものを質的 変量という。 家族の人数は数値に意味があるが、性別などは数値に意味が無い。ま た、学年は実際に大学に在学している年数とは異なり、分類のための数 値である。 質的変量か量的変量を見分けるには、「算術平均をとって意味がある か」を考えてみる方法がある。 ＜離散変量と連続変量＞ • • • 量的変量はさらに離散変量と連続変量に分類される。 離散変量は家族の人数やテストの点数など、とびとびの値しかとらない 変量である。 一方、身長や体重などは正確に測ろうとする場合、無限に細かい数値に なる。(身長171.2865...cm)このような変量は連続変量である。 テストの点数（離散変量） 50 51 52 53 身長（連続変量） 170 171 172 173 データの種類によって、まとめ方が異なる Ⅱ 1変量データのまとめ方 • データのまとめ方には 1. 特性値による記述（数値的表現） 2. 表・グラフによる記述（視覚的表現） がある。 • 特性値による記述は、データの特徴をまとめ、それ を用いた分析をおこなうことが中心的な役割である。 • 表・グラフによる記述は、データの特徴を一目でとら えやすくするためにおこなわれる。 a) 特性値による記述 1) 代表値（中心的傾向） • ある集団についてのデータ（例えば50人のクラスの身長な ど）があるとき、集団の特徴をあらわすには、その中心的傾 向を示す数値が必要となる。 • 中心的傾向をあらわす数値として、 – 算術平均 – メディアン（中央値） – モード（最頻値） の3種類がある。 ⅰ) 算術平均 • 算術平均 ＝ データの合計 ÷ データ数 𝑥1 + 𝑥2 + ⋯ + 𝑥𝑛 𝑥= = 𝑛 𝑛 𝑖=1 𝑥𝑖 𝑛 （例） 10人のテストの点数 出席番号 点数 1 60 2 90 3 80 4 50 5 70 6 10 7 60 8 80 9 20 10 80 60 + 90 + 80 + 50 + 70 + 10 + 60 + 80 + 20 + 80 600 𝑥= = = 60 10 10 ⅱ) メディアン（中央値、中位数） • メディアン → データを大きさの順に並べたときに 真ん中にくる値。データ数が偶数のときは真ん中の 2つの値を足して2で割る。 出席番号 点数 1 60 2 90 3 80 4 50 5 70 6 10 7 60 8 80 9 20 10 80 点数の低い順に並べ替え 10 20 50 60 60 70 80 80 80 90 真ん中 この2つを足して2で割った （60＋70）÷2=65がメディアン ⅲ) モード（最頻値） • モード － データの中で最も多く出てくる値。10 人のテストの点数の例では 出席番号 点数 1 60 2 90 3 80 4 50 5 70 6 10 7 60 8 80 9 20 10 80 80点が3人と最も多い。モードは80となる。 † データのとりうる値が多いとき、データの最も多く出てくるものではな く、度数分布表にしたときに、最も度数の多い階級の階級値をモード と考える。 ⅳ) 各代表値の特徴 • 下の表は2013年のオリックスバファローズと埼玉西武ラ イオンズの投手別勝利数（上位4人）である。 オリックス 金子 西 ディクソン マエストリ 算術平均 メディアン 埼玉西武 15 9 8 7 岸 野上 サファテ 菊池 9.75 算術平均 8.5 メディアン 11 11 9 9 10 10 データ出典：日本野球機構オフィシャルサイト(www.npb.or.jp) • • オリックスの算術平均は9.75勝、西武の算術平均は10勝と、差はあまり大き くない。 オリックスは、算術平均以上は金子1人で、メディアンは8.5勝と小さくなるの に対し、西武は、算術平均以上と以下が2人ずつで、メディアンも10勝となる。 これは2013年のオリックスが、金子1人に頼っていたのに対し、西武は合格 点の投手が多数いたことを示している。 下の図は貯蓄現在高階級別の世帯分布である。 • 貯蓄現在高が算術平 均(1658万円)より低い 世帯は全世帯の3分の 2におよぶ。ほとんどの 世帯はメディアンである 1001万円ほどの貯蓄も なく、200万円未満の貯 蓄しかない(ここがモー ドである)。 • 少数の大金持ちと多数 の庶民がいるため、こ のようなことがおこる。 出典：総務省統計局『家計簿から見たファミリーライフ』 (http://www.stat.go.jp/data/kakei/family/05.htm) 度数 右にゆがんだ分布の例 ゆがんだ分布であれば、算術平均とメ ディアンは一致しない。（モードも一致 しない） 左右対称な分布であれば、算術平均と メディアンは一致する。また、分布の山 が1つであれば、モードもこれに一致す る。 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 階級 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0 左右対称な分布の例(2) 度数 度数 左右対称な分布の例(1) 1 2 3 4 5 6 7 8 階級 9 10 11 12 13 14 15 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 階級 9 10 11 12 13 14 15 • 算術平均は少数の極端な値が含まれるとき、 その集団の正しい代表値とならないことがある。 メディアンの方が少数の極端な値の影響を受 けづらい。 • しかし、貯蓄現在高のように分布がゆがんでい る場合には、メディアンでも集団の正しい代表 値とはいえない場合もある。（この場合はモー ドが適切か） • しかし、算術平均は数学的な扱いやすさから、 代表値として非常に良く用いられている。 算術平均をうのみにしないようにしよう！ b) 特性値による記述 1) 散布度（散らばりの傾向） 教員A • チャイムの５分後に必ず教室 にくる。 教員B • チャイムと同時に教室にくるこ ともあれば、１０分以上遅れる こともある。 • ２人の教員はともに平均してチャイムの５分後に教室にくる • 2人の教員の特徴を表現するために、平均だけでは不十分。 →散らばりの尺度の必要性 • 散らばりの傾向をあらわす尺度として – 分散、標準偏差 – レンジ（範囲）、四分位偏差 などがある。 ⅰ） 分散 • 分散＝偏差2乗和÷データ数 偏差2乗和 － 個々のデータから算術平均を引いたもの（偏 差）を2乗して、すべて加えたもの。 𝑠2 𝑥1 − 𝑥 = 2 + 𝑥2 − 𝑥 2 + ⋯ + 𝑥𝑛 − 𝑥 𝑛 𝑛 𝑖=1 2 = 𝑥𝑖 − 𝑥 𝑛 2 10人のテストの点数の例では 2 𝑠 = 60 − 60 2 + 90 − 60 6400 = = 640 10 2 + 80 − 60 2 + 50 − 60 2 + 70 − 60 2 + 10 − 60 10 2 + 60 − 60 2 + 80 − 60 2 + 20 − 60 2 + 80 − 60 2 出席番号 点数 1 60 2 90 3 80 4 50 5 70 6 10 7 60 8 80 9 20 10 80 -40 20 400 1600 400 算術平均60を引く 偏差 0 30 20 -10 10 -50 0 20 2乗を求める 0 900 400 100 100 2500 0 合計を求める ６４００ データ数(10)で割る 640 分散 ⅱ） 標準偏差 • 標準偏差 ⇒ 分散の平方根 𝑠= 𝑠2 = 𝑛 𝑖=1 𝑥𝑖 − 𝑥 𝑛 10人のテストの点数の例では 𝑠 = 640 =25.298… 2 ※ 2人の教員が教室に来る時間の例 回 教員A 教員B 1 4.5 0 2 5.3 6 3 4.8 4 4 5 5 5 5.5 11 (単位:分) 6 4.7 4 7 5.2 8 8 4.8 5 9 4.9 1 10 5.3 6 教員A 𝑥𝐴 = 𝑠𝐴2 = = 4.5 − 5 −0.5 2 2 4.5+5.3+4.8+5+5.5+4.7+5.2+4.8+4.9+5.3 10 + 5.3 − 5 + 0.3 2 2 + −0.2 + 4.8 − 5 2 + 0 2 2 + 5−5 + 0.5 2 2 + 5.5 − 5 + −0.3 10 2 + 0.2 2 + 4.7 − 5 10 2 + −0.2 = 0.25 + 0.09 + 0.04 + 0 + 0.25 + 0.09 + 0.04 + 0.04 + 0.01 + 0.09 10 = 0.9 = 0.09 10 𝑠𝐴 = 0.09 =0.3 2 2 + 5.2 − 5 + −0.1 2 2 + 4.8 − 5 + 0.3 2 = 2 50 10 + 4.9 − 5 =5 2 + 5.3 − 5 2 教員B 𝑥𝐵 = 0−5 + 6−5 2 + 4−5 2 + 5−5 2 + 11 − 5 2 = + 4−5 2+ 8−5 = 10 2 2 2 2 2 2 2 −5 + 1 + −1 + 0 + 6 + −1 + 3 + 0 2 + −4 2 + 1 2 = 10 25 + 1 + 1 + 0 + 36 + 1 + 9 + 0 + 16 + 1 = 10 90 = =9 10 𝑠𝐵2 2 0+6+4+5+11+4+8+5+1+6 10 50 10 2 =5 + 5−5 2 + 1−5 2 + 6−5 𝑠𝐵 = 9 =3 𝑠𝐴2 < 𝑠𝐵2 となり、教員Bの分散の方が大きいことがわかる。 標準偏差についても、𝑠𝐴 < 𝑠𝐵 と教員Bの方が大きくなる。 2 ⅲ） レンジ（範囲） • レンジ ⇒ データの取りうる範囲 レンジ ＝ 最大値 － 最小値 • 10人のテストの点数の例では 90 - 10＝８０ ⅳ） 四分位範囲、四分位偏差 • データを大きさの順（小さい順）に並べて、4分割する点をq1,q2,q3とする。 • このとき、四分位範囲、四分位偏差は次式で定義される。 四分位範囲 = 𝑞3 − 𝑞1 𝑞3 − 𝑞1 四分位偏差 = 2 最小値 q1 q2 q3 最大値 （例）9人のテストの点数が次のようになってい たとする。 出席番号 点数 1 60 2 90 3 80 4 50 5 6 7 8 9 70 10 60 80 20 点数の低い順に並べ替え 10 20 50 60 60 最小値 q1 q2 70 80 q3 80 90 最大値 （メディアン） q1⇒最小値とq2（メディアン）の真ん中の値 四分位範囲 = 80 − 50 = 30 q3⇒q2（メディアン）と最大値の真ん中の値 四分位偏差 = 80 − 50 30 = = 15 2 2 b) 表・グラフによる記述 1) 折れ線グラフ・棒グラフ・円グラフ・帯グラフ • 集団の特徴をあらわすためには、代表値や散布度などの数値とともに、 さまざまな表やグラフが用いられる。 • なかでも、折れ線グラフと棒グラフは、さまざまなデータの表現に利用さ れる。 • 折れ線グラフは、主に時系列データ（時間の順序によって並べたデータ） に利用される。棒グラフは時系列データにもクロスセクションデータ（1時 点におけるデータを何らかの項目でまとめたもの）にも利用される。 完全失業率の推移(男女計・季節調整値) チーム別本塁打数 (2013年、パ・リーグ） 5.5 本塁打数(本) 5 4.5 4 3.5 出典：総務省統計局『労働力調査』 140 120 100 80 60 40 20 0 2014年1月 2013年9月 2013年5月 2013年1月 2012年9月 2012年5月 2012年1月 2011年9月 2011年5月 2011年1月 2010年9月 2010年5月 2010年1月 2009年9月 2009年5月 2009年1月 2008年9月 2008年5月 3 2008年1月 完全失業率(%) 6 出典：日本野球機構オフィシャルサイト ＜時系列データとクロスセクションデータ＞ （例） 交通事故死亡者数の推移(中国地方5県) (データ出典： 警察庁「交通事故死者数について」) （単位：人） 年 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 鳥取県 61 79 61 51 45 39 34 30 37 42 26 30 25 島根県 72 73 74 47 69 46 42 42 33 31 31 45 28 岡山県 190 169 175 159 148 144 115 114 107 109 106 112 107 広島県 251 202 187 189 187 165 132 128 142 127 113 125 116 鳥取県の交通事故死亡者数の年次推移 → 時系列データ 2013年の県別交通事故死亡者数 → クロスセクションデータ 山口県 152 141 129 106 116 108 115 91 108 96 74 56 65 都道府県別高等学校数 (2013年5月1日現在) クロスセクション データには、通常 棒グラフを用いる。 500 450 400 350 300 250 200 150 100 50 0 北青岩宮秋山福茨栃群埼千東神新富石福山長岐静愛三滋京大兵奈和鳥島岡広山徳香愛高福佐長熊大宮鹿沖 海森手城田形島城木馬玉葉京奈潟山川井梨野阜岡知重賀都阪庫良歌取根山島口島川媛知岡賀崎本分崎児縄 道 川 山 島 出典：文部科学省『学校基本調査』 右の図は上の図 を折れ線グラフで 描きなおしたもの であるが、隣り合 う県†どうしを線で 結んでも、そこに 意味はない。 †都道府県コードの順 なので、必ずしも隣接 してはいない。 都道府県別高等学校数 (2013年5月1日現在) 500 450 400 350 300 250 200 150 100 50 0 ？？？ 北青岩宮秋山福茨栃群埼千東神新富石福山長岐静愛三滋京大兵奈和鳥島岡広山徳香愛高福佐長熊大宮鹿沖 海森手城田形島城木馬玉葉京奈潟山川井梨野阜岡知重賀都阪庫良歌取根山島口島川媛知岡賀崎本分崎児縄 道 川 山 島 棒グラフは前述のように、クロスセクションデータ対して用い るが、時系列データに用いられることも少なくない。 • 単位の異なる2つの時系列データを1つのグラフであらわすと き、折れ線グラフと棒グラフを重ね合わせて表現することが よくおこなわれる。 出生数と合計特殊出生率の推移 出生数(千人) 合計特殊出生率 5.00 年間出生数 4.50 合計特殊出生率 4.00 （厚生労働省『平成22年 人口動態統計』より作成） 3 000 2 500 3.50 2 000 3.00 1 500 2.50 2.00 1 000 1.50 1.00 500 0.50 年次 2010 2007 2004 2001 1998 1995 1992 1989 1986 1983 1980 1977 1974 1971 1968 1965 1962 1959 1956 1953 1950 1947 0.00 • 円グラフは相対的な割合を表現するときに用いられる。 • 帯グラフは相対的な割合が、時間とともにどのように変化し ていくかなどを表現するときに用いられる。 学年別の割合 年齢3階級別総人口の推移 年 1930 20% 1950 40% 2年 3年 4年 0-14歳 1970 15-64歳 65歳- 1990 2010 40% 0% 10人の学生の例から作成 20% 40% 60% 80% 100% 出典：総務省統計局『国勢調査』 2) 度数分布表 • 質的変量および量的変量のうち離散変量は、棒グラフや円 グラフとして表すことができる。 • では、連続変量を棒グラフで表したい場合どのようにすれば よいであろうか？そのままあらわすと下図のようになる。 身長の棒グラフ(男子) 度数 1 178 176 177 175 175 173 174 172 173 171 171 169 170 168 169 166 167 165 166 0 • このような棒グラフでは、集団の特徴がよくわからない。 • そこで、データをいくつかの階級に分け、その階級に入る度数を表の形 でまとめた度数分布表を作成する必要がある。 なでしこジャパン ロンドン五輪ベンチ入りメンバー 氏名 福元 美穂 海堀 あゆみ 近賀 ゆかり 矢野 喬子 岩清水 梓 鮫島 彩 熊谷 紗希 澤 穂希 宮間 あや 川澄 奈穂美 阪口 夢穂 田中 明日菜 安藤 梢 丸山 桂里奈 大野 忍 大儀見 優季 高瀬 愛実 岩渕 真奈 身長(cm) 体重(kg) 165 65 170 64 161 53 164 55 162 54 163 53 172 60 165 54 157 52 157 49 165 58 164 52 164 57 163 55 154 50 168 60 164 60 155 52 階 級 以上 150 155 160 165 170 未満 - 155 160 165 170 175 階級値 度数 152.5 157.5 162.5 167.5 172.5 計 † その階級を代表する値 を階級値という。階級の上 限と下限をたして2で割った 値が用いられることが多い。 1 3 8 4 2 18 • 度数分布表の階級の幅は原則として均一にする。ただし、貯 蓄現在高のようにすべて均一にすることによって、度数が極 めて小さくなる場合には、一部の階級幅を広げることもある。 † 質的変量や離散変量 の場合は、とりうる値1つ 1つが階級となる。 ただし、年収・貯蓄のよう にとり得る値が多い場合 には、連続変量と同様に 階級を設定する。 3） ヒストグラム・度数折れ線 • 度数分布表を棒グラフであらわしたものをヒストグラムといい、 それぞれの棒は間隔をつめて描かれる。これは階級と階級 の間が連続していることによる。 • 度数折れ線はヒストグラムにおいてその頂点を折れ線グラフ で結んだものである。 身長のヒストグラム(20歳男子、107人) 20 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 15 度数 度数 なでしこジャパンの身長 10 5 0 152.5 157.5 162.5 階級値 167.5 172.5 159 161 163 165 167 169 171 173 175 177 179 181 183 階級値 • 度数分布表の階級幅、階級の上限と下限の値の取り方によ ってヒストグラムは大きく変化する。 体重のヒストグラム(階級幅５kg) 体重のヒストグラム(階級幅2kg) 6 5 度数 度数 4 3 2 1 0 49 51 53 55 57 59 61 63 65 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 47.5 52.5 階級値 62.5 67.5 階級値 体重のヒストグラム(階級幅３kg(ｂ)) 体重のヒストグラム(階級幅３kg(a)) 6 7 6 5 4 3 2 1 0 5 4 度数 度数 57.5 3 2 1 0 48.5 51.5 54.5 57.5 階級値 60.5 63.5 66.5 49.5 52.5 55.5 58.5 階級値 61.5 64.5 4) 箱ひげ図 最大値、最小値、中央値、四分位点などをグラフに表したものが箱ひげ図である。 下の図は、9人のテストの点数を箱ひげ図に表した1例である。 9人のテストの点数の箱ひげ図 100 最大値 90 q3（第3四分位点） 80 70 60 50 × 中央値 q1（第1四分位点） 40 30 20 10 0 最小値 異なる2つのグループのデータを、 箱ひげ図に表して比較することも可能である。 5) 度数分布表における算術平均・分散の導出 • 先の例では、なでしこJAPAN18人の身長のデータを度数分 布表にまとめた。 • 反対に個々のデータが入手できず、度数分布表のみ入手で きる場合がある。その場合、度数分布表から18人の身長の 算術平均、分散の近似値を求めることができる。 階 級 以上 150 155 160 165 170 計 未満 - 155 160 165 170 175 階級値 152.5 157.5 162.5 167.5 172.5 度数 1 3 8 4 2 18 • 上のような度数分布表のみが入手できたとする。 • この度数分布表で、155cm以上160cm未満の階級は3人い るが、この3人の個々の身長については情報がないとする。 階 級 以上 • 算術平均を求める場合、 この階級3人の個々の身 長について、何らかの仮 定が必要となる。 150 155 160 165 170 計 未満 - 155 160 165 170 175 階級値 y1 152.5 y2 157.5 y3 162.5 y4 167.5 y5 172.5 度数 f1 f2 f3 f4 f5 1 3 8 4 2 18 • 4人全員が上限のあたりや下限のあたり(3人全員が155ｃｍと か、3人全員が159cmとか)という状態はあまり考えられない。 通常は上限の近くから下限の近くまで適当に散らばっていると 考えられる。このとき、3人の算術平均を取れば階級の真ん中 あたりの値となると考えるのは自然な発想である。 • 階級値は、そういう意味で階級を代表する値である。 • 算術平均、分散を求める場合、3人全員が階級値の157.5cm であったと仮定する。 • 算術平均を求める場合、3人の身長の合計は 3×157.5 = 472.5(cm) となる。(記号で表すとf2y2) • このように、各階級について 度数×階級値 (fiyi)を求め、そ れを全階級について加えたものが全員の身長の合計(に近 い値)と考えられる。 • よって、算術平均は（度数×階級値）の総和÷度数の総和 として求められる。 𝑓1 𝑦1 + 𝑓2 𝑦2 + ⋯ + 𝑓𝑚 𝑦𝑚 𝑦= = 𝑓1 + 𝑓2 + ⋯ + 𝑓𝑚 𝑚 𝑖=1 𝑓𝑖 𝑦𝑖 𝑚 𝑖=1 𝑓𝑖 • 度数分布表において算術平均を求めるには、度数×階級値 (fiyi)の列を計算し、その和を求める。 • そしてその和を度数の合計で割れば算術平均が求まる。 階 級 以上 150 155 160 165 170 計 未満 - 155 160 165 170 175 階級値(yi) 152.5 157.5 162.5 167.5 172.5 度数(fi) 1 3 8 4 2 18 fiyi fiyi2 152.5 23256.25 472.5 74418.75 1300 211250 670 112225 345 59512.5 2940 480662.5 • 算術平均は 2940 𝑦= = 163.333 ⋯ 18 となる。 （元のデータから算術平均を求めると、162.94cmとなる） • 分散の計算において、この階級の3人の偏差2乗和は 3×（157.5 – 163.33)2 = 3×33.9889 = 101.9667 となる。 • 各階級について 度数×（階級値－算術平均）2 を求め、その 総和を度数の総和で割ったものが分散となる。 𝑠2 = 𝑓1 𝑦1 − 𝑦 2 + 𝑓2 𝑦2 − 𝑦 2 + ⋯ + 𝑓𝑚 𝑦𝑚 − 𝑦 𝑓1 + 𝑓2 + ⋯ + 𝑓𝑚 2 = 𝑚 𝑖=1 𝑓𝑖 𝑦𝑖 − 𝑚 𝑖=1 𝑓𝑖 𝑦 2 この式は次のように変形できる。 f1 ( y1 y ) 2 f 2 ( y2 y ) 2 f m ( ym y ) 2 s f1 f 2 f m 2 f1 y12 2 f1 y1 y f1 y 2 f 2 y22 2 f 2 y2 y f 2 y 2 f m ym2 2 f m ym y f m y 2 f1 f 2 f m f1 y12 f 2 y22 f m ym2 2 y ( f1 y1 f 2 y2 f m ym ) y 2 ( f1 f 2 f m ) f1 f 2 f m f1 y12 f 2 y22 f m ym2 2y y y2 f1 f 2 f m f1 y12 f 2 y22 f m ym2 y2 f1 f 2 f m よって、fiyi2の列を求め、その総和を度数の総和で割り、算術 平均の2乗を引いたものが分散の近似値となる。 𝑠2 480662.5 = − 163.33 18 2 = 26703.47 − 26676.69 = 26.78 （元のデータから分散を求めると、21.83となる） Ⅲ 2変量データのまとめ方 • 2変量データ → 2つの対になったデータ （例）なでしこJAPANの身長と体重 ※ なでしこJAPANの身長と男子日本代表の体重は2 つのデータであるが、対になっていない。 ※ 2変量データはその組合せを変えることはできない → 澤の身長と川澄の体重を組み合わせても、意味 がない。 • 2変量データの記述 → それぞれ1変量の記述 ＋ 2変量の関係の記述 a) 特性値による記述 1) 相関係数 𝑟= 𝑥𝑖 − 𝑥 𝑦𝑖 − 𝑦 𝑥𝑖 − 𝑥 2 𝑦𝑖 − 𝑦 2 • 相関係数 r は2変量間の関連の強さを表す尺度 であり、-1と1の間の値をとる。 r＞０ 正の相関 1に近いほど関連度が強い r＜０ 負の相関 -1に近いほど関連度が強い r＝０ 無相関 後で説明する散布図と密接な関係がある。 b) 表・グラフによる記述 1) 分割表（クロス集計表）・2次元ヒストグラム • 2変量についてクロス集計した度数分布表のことを、分割表（またはクロ ス集計表）という。 • 質的変量、または離散変量で取りうる値の少ないものは、それぞれに対 応する度数を数えればよい。 例) 血液型と性別でクロス集計したもの 男 A型 B型 O型 AB型 計 女 16 9 16 3 44 計 1 2 3 3 9 17 11 19 6 53 • 一方、連続データや離散データでとりうる値の多いものは、2次元の度数 分布表となる。 なでしこジャパン ロンドン五輪ベンチ入りメンバー 身長(cm) 体重(kg) 165 65 170 64 161 53 164 55 162 54 163 53 172 60 165 54 157 52 157 49 165 58 164 52 164 57 163 55 154 50 168 60 164 60 155 52 体 重 48-51 51-54 54-57 57-60 60-63 63-66 計 身長 150-155 155-160 160-165 165-170 170-175 1 1 0 0 0 0 2 3 0 0 0 0 3 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 3 8 4 2 なでしこジャパンの身長と体重 4 3 度数 氏名 福元 美穂 海堀 あゆみ 近賀 ゆかり 矢野 喬子 岩清水 梓 鮫島 彩 熊谷 紗希 澤 穂希 宮間 あや 川澄 奈穂美 阪口 夢穂 田中 明日菜 安藤 梢 丸山 桂里奈 大野 忍 大儀見 優季 高瀬 愛実 岩渕 真奈 2 1 0 身長 体重 計 2 5 4 2 3 2 18 2次元の度 数分布表は、 右のように2 次元ヒスト グラム（グラ フは3D）で あらわすこ とができる。 ２） 散布図 連続データや離散データでとりうる値の多いものは、横軸にX、縦軸にYをとった 座標軸上に、個々のデータをあらわした散布図であらわされることも多い。 なでしこジャパン ロンドン五輪予選ベンチ入りメンバー 氏名 福元 美穂 海堀 あゆみ 近賀 ゆかり 矢野 喬子 岩清水 梓 鮫島 彩 熊谷 紗希 澤 穂希 宮間 あや 川澄 奈穂美 阪口 夢穂 田中 明日菜 安藤 梢 丸山 桂里奈 大野 忍 大儀見 優季 高瀬 愛実 岩渕 真奈 身長(cm) 体重(kg) 165 65 170 64 161 53 164 55 162 54 163 53 172 60 165 54 157 52 157 49 165 58 164 52 164 57 163 55 154 50 168 60 164 60 155 52 なでしこジャパンの身長と体重 70 65 体重(kg) • 60 55 50 45 150 155 160 165 身長(cm) 170 175 • 相関係数と散布図は密接な関係があり、右上がりの散布 図は相関係数が＋であり、右下がりの散布図は相関係 数が－である。 • また、相関係数が±１に近いほど、散布図は直線に近く なる。 正の相関（r＞0) 負の相関（r＜0) •Xが大きな値をとる ほど、Yも大きな値を とる。 •Xが大きな値をとる ほど、Yは小さな値を とる。 無相関（r=0) •Xの値とYの値に一 定の傾向がみられな い。
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