アルゴリズムとデータ構造 補足資料10-2 「nクイーン」 横浜国立大学 理工学部 数物・電子情報系学科 富井尚志 バックトラックアルゴリズム • とりあえずやってみる • ダメなら戻って別の道を探る – あのとき別の道を選んでいたら、、、 • 試行錯誤（trial and error） – 結局全部のケースをやってみる（完全解） nクイーン（n-queens） • チェスの「クイーン」 nクイーン（n-queens） • チェスの「クイーン」、n x nの盤面上で、 n個のクイーンが お互いに取らない （効き筋にならない） ように配置 nクイーン（n-queens） • この問題を解くためのデータ構造 nクイーン（n-queens） • この問題を解くためのデータ構造 column 列 row 行 row = 0 row = 1 row = 2 row = 3 row = 4 col = 0 col = 1 col = 2 col = 3 col = 4 nクイーン（n-queens） • この問題を解くためのデータ構造 column 列 row 行 • すでに効き筋 row = 0 →FALSE row = 1 • queenを置ける row = 2 →TRUE col = 0 col = 1 col = 2 col = 3 col = 4 TRUE FALSE TRUE FALSE TRUE FALSE FALSE FALSE TRUE TRUE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE TRUE TRUE TRUE FALSE TRUE FALSE TRUE row = 3 row = 4 nクイーン（n-queens） • この問題を解くためのデータ構造 column 列 row 行 • すでに効き筋 row = 0 →FALSE row = 1 • queenを置ける row = 2 →TRUE row = 3 これを2次元配列で 書いてもよいが、ここでは 次の3つの配列で表現 row = 4 col = 0 col = 1 col = 2 col = 3 col = 4 TRUE FALSE TRUE FALSE TRUE FALSE FALSE FALSE TRUE TRUE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE TRUE TRUE TRUE FALSE TRUE FALSE TRUE nクイーン（n-queens） • この問題を解くためのデータ構造 column 列 row 行 配列１： row = 0 q_row[row] row = 1 その行にqueenが いるときにFALSE row = 2 いないときにTRUE col = 0 col = 1 col = 2 col = 3 col = 4 TRUE FALSE TRUE FALSE TRUE FALSE FALSE FALSE TRUE TRUE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE TRUE TRUE TRUE FALSE TRUE FALSE TRUE row = 3 row = 4 nクイーン（n-queens） • この問題を解くためのデータ構造 column 列 row 行 配列2： row = 0 q_se[col-row+N-1] row = 1 南東斜め筋は row = 2 col-rowが一定！ col = 0 col = 1 col = 2 col = 3 col = 4 TRUE FALSE TRUE FALSE TRUE colrow=-1 FALSE FALSE FALSE TRUE TRUE FALSE colrow=-1 FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE colrow=-1 FALSE TRUE TRUE TRUE colrow=-1 FALSE TRUE row = 3 FALSE row = 4 TRUE FALSE nクイーン（n-queens） • この問題を解くためのデータ構造 column 列 row 行 配列3： q_sw[col+row] col = 0 col = 1 col = 2 col = 3 col = 4 FALSE TRUE col+row =-3 FALSE TRUE FALSE FALSE col+row =-3 FALSE TRUE TRUE FALSE col+row =-3 FALSE FALSE FALSE FALSE col+row =-3 FALSE FALSE FALSE TRUE TRUE TRUE FALSE TRUE FALSE TRUE row = 0 TRUE row = 1 南西斜め筋は row = 2 col+rowが一定！ row = 3 row = 4 nクイーン（n-queens） • この問題を解くためのデータ構造 column 列 row 行 配列： q_pos[col]=row row = 0 row = 1 この配列だけ、 row = 2 前の3つと値が row = 3 異なることに注意 row = 4 col = 0 col = 1 col = 2 col = 3 col = 4 nクイーン（n-queens） • バックトラックによる解法 column 列 row 行 配列： q_pos[col]=row に、とりあえず 置いてみる。 q_pos[0]=0 row = 0 row = 1 row = 2 row = 3 row = 4 col = 0 col = 1 col = 2 col = 3 col = 4 nクイーン（n-queens） • バックトラックによる解法 column 列 row 行 配列： q_pos[col]=row row = 0 col = 0 col = 1 col = 2 col = 3 col = 4 FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE row = 1 FALSE に、とりあえず 置いてみる。 q_pos[0]=0 効き筋を埋める row = 2 FALSE row = 3 FALSE row = 4 FALSE nクイーン（n-queens） • バックトラックによる解法 column 列 row 行 配列： q_pos[col]=row row = 0 col = 0 col = 1 col = 2 col = 3 col = 4 FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE row = 1 FALSE に、とりあえず 置いてみる。 次の候補は A, B, C row = 2 row = 3 row = 4 A B C FALSE FALSE FALSE nクイーン（n-queens） • バックトラックによる解法 column 列 row 行 配列： q_pos[col]=row row = 0 col = 0 col = 1 col = 2 col = 3 col = 4 FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE row = 1 FALSE とりあえずA q_pos[1]=2 に置いてみる row = 2 FALSE row = 3 FALSE row = 4 FALSE nクイーン（n-queens） • バックトラックによる解法 column 列 row 行 配列： q_pos[col]=row とりあえずA 効き筋チェック row = 0 col = 0 col = 1 col = 2 col = 3 col = 4 FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE row = 1 row = 2 row = 3 FALSE row = 4 FALSE FALSE nクイーン（n-queens） • バックトラックによる解法 column 列 row 行 配列： q_pos[col]=row とりあえずA 次の候補はA row = 0 col = 0 col = 1 col = 2 col = 3 col = 4 FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE A FALSE row = 1 row = 2 row = 3 FALSE row = 4 FALSE nクイーン（n-queens） • バックトラックによる解法 column 列 row 行 配列： q_pos[col]=row とりあえずA q_pos[2]=4 に置いてみる row = 0 col = 0 col = 1 col = 2 col = 3 col = 4 FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE row = 1 row = 2 row = 3 FALSE row = 4 FALSE FALSE nクイーン（n-queens） • バックトラックによる解法 column 列 row 行 配列： q_pos[col]=row とりあえずA 効き筋チェック row = 0 col = 0 col = 1 col = 2 col = 3 col = 4 FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE row = 1 row = 2 row = 3 row = 4 FALSE nクイーン（n-queens） • バックトラックによる解法 column 列 row 行 この場合には row = 0 うまくいっていますが、 col = 0 col = 1 col = 2 col = 3 col = 4 FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE row = 1 row = 2 次の候補がなければ キャンセルして row = 3 前に戻る （バックトラック） row = 4 FALSE nクイーン（n-queens） • チェスの「クイーン」、n x nの盤面上で、 n個のクイーンがお互いに取らない （効き筋にならない）ように配置 • 考え方： – とりあえず、置いてみる。 – 行き詰ったら、前に戻って（バックトラック）、別の選 択肢でやってみる。
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