第5章真直はりの曲げ

第5章真直はりの曲げ
はりの種類
はりの支持方法
真直はりの種類と荷重の種類
せん断力と曲げモーメント
両端支持はりにおけるせん断力と曲げモーメ
ントの考え方
5.6 せん断力と曲げモーメントの一般化
5.7 各種はりの曲げモーメント図およびせん断力図
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
2015/10/1
材料の力学第5章
1
5.1 はりの種類
１）真直はり（straight beam）とは
はりの中立面が真直ぐで，中立面に直交ま
たは斜交した荷重を受けるはり。真直はり，
曲がりはりについて解説を授業でします。
２）曲がり（curved beam)
はりの中立面が直線でないもの。
2015/10/1
材料の力学第5章
2
5.2 はりの支持方法
P
y
P
回転可能
Py
y
x
Px
Px
Rx
Ry
Ry
(1)可動支点
y
回転可能
Py
P
x
(2)固定ヒンジ支点
Py
Rx
Px
M
x
Mr
(3)固定埋め込み支点
Ry
☆はりの支持方法は，上図に示すように，以下の３種類が考えら
れる。すなわち，
１）可動支点（movable support)
２）固定ヒンジ支点（hinged support)
３）固定埋め込み支点（fixed support）
3
5.3 真直はりの種類と荷重の種類
5.3.1 真直はりの種類
１）片もちはり
２）両端支持はり
３）両端固定はり
４）張り出しはり
５）連続はり
P
P
P
P
P
2015/10/1
材料の力学第5章
4
5.3.2 真直はりにかかる荷重の種類
P　１）集中荷重
（concentrated load）
２）分布荷重
（distributed load）
３）移動荷重
（moving load）
P　(a)集中荷重
ｑ　（N/m)
ｑ　（N/m)
（ｂ）分布荷重
P　(c)移動荷重
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材料の力学第5章
5
5.3.3 真直はりの力および曲げモーメントの
つりあい条件式
☆重要な力のつりあい式
１）  P   R  0
（5.1）
２）  P   R  0
(5.2)
３）  M   M  0
（5.3）
ただし，上式における各記号はつぎのようである。
P ：荷重の方向成分
； R ：支点反力の方向成分
； R ：支点反力の方向成分
P ：荷重の方向成分
M ：真直はりのモーメント；M ：支点反力モーメント
x
x
y
y
r
x
y
x
y
r
2015/10/1
材料の力学第5章
6
静定・不静定の判定（演習問題）
図に示したはりは静定･不静定のいずれかな？
y
y
荷重Ｐ
荷重Ｐ
x
x
(a)
y
(b)
y
荷重Ｐ
荷重Ｐ
x
x
(c)
y
(d)
荷重Ｐ
y
荷重Ｐ
x
x
(f)
(e)
2015/10/1
ヒント
各はりにかかる
未知数の個数
を考えて判断す
ること。
材料の力学第5章
7
5.4 せん断力と曲げモーメント
せん断力の符号の取り方
せん断力＞０（左突き上げ）
せん断力＜０（左突き下げ）
曲げモーメントの符号の取り方
たわみ曲線
たわみ曲線
たわみ曲線下に凸＞０
2015/10/1
たわみ曲線上に凸＜０
材料の力学第5章
8
5.5
両端支持はりにおけるせん断力と
曲げモーメントの考え方
ｘ＝Xの左側におけるせん断力を
FLとするとき， FLはつぎのようにな
る。
FL  Ra  P1
(5.6)
一方，ｘ＝Xの右側における
せん断力FRは，
FR  Rb  P2
（5.7）
である。さらに，この両端支持はり
全体の力のつりあいは，
P2
P1
x
Ra
Rb
x=x
a
c
b
L
P1  P2  Ra  Rb
式を変形して，
Rb  P2  Ra  P1  Rb  P2  FR  Ra  P1   FL
∴
FR   FL
はりの任意の位置x＝ｘでは左右の力が大きさ等しく向き反対な，いわゆる
せん断力が生じていることを表している。
9
☆5.5 支点反力，せん断力，モーメント(演習問題)
１．両端支持（集中荷重の場合）
１）支点反力Ra，Rbは
いくらか。
２）X=2.5ｍおけるせん
断力Fx=2.5および曲
げモーメントMx=2.5
はそれぞれいくらか。
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700kgf
500kgf
X=2.5m
x
B
A
C
Ra
1.6m
D
Rb
2.0m
5.0m
材料の力学第5章
10
１．１）支点反力の求め方（その１）
支点反力Ra，Rbの２つが未知量であるから，式が2つ必要である。そこで第
1番目の関係式はｙ方向（はりに垂直方向）の力のつりあいの式を用いる。
Ra  Rb  500 700(kgf )
さらに，第2の関係式はモーメントのつりあいの式を使用する。すなわち，支
点Aまわりのモーメントを考えれば
1.6  500 3.6  700  5  Rb
したがって，
700kgf
1.6  500  3.6  700
Rb 
 664 (kgf )
5
Ra  1200 Rb  536(kgf )
500kgf
X=2.5m
x
C
Ra
となる。
2015/10/1
B
A
1.6m
D
Rb
2.0m
5.0m
材料の力学第5章
11
２）下図の両端支持はり，x=2.5mにおけるせん断力Fx=2.5およ
び曲げモーメントMx=2.5はそれぞれいくらか
。（その２）
☆せん断力は左突き上げなので正であることを考慮して，任意の
点ｘ＝Xにおけるせん断力Fx=Xはその位置から左（または右）の
全ての力の総和と考えればよい。すると，Fx=2.5は
Fx2.5  Ra  500  536 500  36(kgf )
☆任意の点ｘ＝XにおけるモーメントMx=Xはその点から左側の
モーメントの総和を考えればよい。なお，はりは下に凸に曲がる
からモーメンとの符号は正である。すると，Mx=2.5は
M x2.5  Ra X  500 X  1.6  536X  500X  800  36X  800( kgf  m )
 36 2.5  800  890(kgf  m)
700kgf
となり，はりの内部に生じる
抵抗モーメントはこの区間で
は直線的に増加する。
500kgf
X=2.5m
x
B
A
C
Ra
1.6m
D
Rb
2.0m
5.0m
2015/10/1
12
２．両端支持（分布荷重の場合の演習）
図の両端支持はりに分布荷重が作用する場合について，
１）支点反力Ra，Rbはいくらか。
２）X=2.5ｍおけるせん断力Fx=2.5および曲げモーメント
Mx=2.5.はそれぞれいくらか。
x=2.5m
q=1000(N/m)
X
A
Ra
D
C
1.6m
B
Rb
2.0m
5.0m
2015/10/1
材料の力学第5章
13
２．両端支持（分布荷重の演習解答）その１
解答：
１）支点反力Ra，Rbについて
分布荷重全体の大きさをｑ（N）とすれば，
支点反力に関する力のつりあい式は
x=2.5m
q=1000(N/m)
Ra  Rb  2q  1000 2  2000( N )
分布荷重の大きさがｑでその，分布荷重
ｑを一点に集中させたときのA点から作
用点までの距離がL=2.6mであることを
考慮し，A点まわりのモーメントのつりあ
いを考えれば，
X
A
Ra
C
1.6m
D
B
Rb
2.0m
5.0m
qL  2000 2.6  5  Rb
∴
2015/10/1
Rb 
2000  2.6
 1040 ( N )
5
； Ra  w  Rb  2000 1040 960( N )
材料の力学第5章
14
２．両端支持（分布荷重の演習解答）その２
x=2.5m
解答：
q=1000(N/m)
２）ｘ=2.5ｍおけるせん断力Fｘ＝2.5お
よび曲げモーメントMｘ＝2.5はそれぞ
れいくらか。
A
C
D
この場合，せん断力は左突き上げなの
1.6m
2.0m
Ra
で正である。図のｘ＝2.5ｍにおけるせ
5.0m
ん断力は，その左側の力の総和をとれ
ばよいから，
Fx2.5  Ra  ( x  1.6)  q  960 (2.5  1.6) 1000 60( N )
X
B
Rb
次に，任意の点ｘ＝ｘにおけるモーメントMｘ=ｘはその点から左側のモーメント
の総和を考えればよい。ただし，分布荷重の場合は，x＝ｘまでの荷重q(ｘ1.6)にモーメント距離をかけるが，そのモーメント距離0.5（ｘ-1.6）に注意が
必要で，結局モーメントは次式となる。
1
M x  2.5  Ra x  qx  1.6   x  1.6  Ra x  0.5q( x  1.6) 2 )
2
 1040 2.5  0.5 1000 (2.5  1.6) 2  2195( J )
2015/10/1
15
5.6 せん断力と曲げモーメントの一般化
図に示すような，非一様な分布荷重が両端支持はり加わった問題を考える。
まず，せん断力Fxは，
x
Fx  Ra   q(  )d
（5.11）
また，任意点ｘ＝ｘにおける曲げモーメントMxはつぎのようになる。
0
x
M x  Ra X   q(  )( x   )d
（5.12）
式（5.12）のモーメントMxをｘで微分して，
0
x
dM x
 Ra   q(  )d  Fx
dx
0
（5.13）
すなわち，せん断力Fxは，曲げモーメント
Mxのx方向変化率に等しいことが分かる。
さらに，せん断力の変化率は式(5.11)から
dFx
 q( x )
dx
（5.14）
このようにして，せん断力Fxをｘで微分
すれば，分布荷重q(x)が求められる。
q(x)
y
C
A
B
Ra
Rb
x
η
ｄη
x
L
C
16
5.7 各種はりの曲げモーメント図およびせん断力図
P
• BMD（曲げモーメント図）
（Bending Moment Diagram）
• SFD（せん断力図）
A
B
Mr
xx
（Shearing Force Diagram）
2015/10/1
L
SFD
5.7.1 片持ちはり
・支点反力；Rｂ=－P
・せん断力；Fx=－P
・曲げモーメント；Mx=－Px
・最大曲げモーメント；Mmax
Mmax=－PL
・固定端曲げモーメント；
Mr＝+PL
反力 Rb
P
最初に片持
ちはりの
BMD,SFD
を学びましょ
う
材料の力学第5章
ｘ
（-）
BMD
Rb
ｘ
（-） M
x  L   PL
M x   Px
17
（２）はりの途中に集中荷重がかかる場合
（演習問題）
☆右図に示されるはりについて，以下の量
を求めよ。
支点反力：Rc＝
せん断力Fx
(A＜ｘ＜B) ；Fx＝
(B＜ｘ＜C) ；Fx＝
曲げモーメントMx
(A＜ｘ＜B)；Mx＝
(B＜ｘ＜C)；Mx＝
(ｘ＝L)での
最大曲げモーメントMmax=
この場合の固定端C点の反力曲げモーメ
ントMrはいくらか？
Mr＝
P
a
A
B
C
Mr
xx
反力 RC
L
SFD
ｘ
P
（-）
BMD
RC
ｘ
（-）
M x L   PL  a 
M x   P( x  a )
2015/10/1
材料の力学第5章
18
（３）片持ちはり(分布荷重の場合)
☆右図に示される片持ちはりについ
て，支点反力，せん断力，モーメン
ト，SFDおよびBMDを考える。
（１）等分布荷重が作用する場合
支点反力：R=qL
せん断力Fx
（A＜ｘ＜B) ；Fx＝－qｘ（５.15）
曲げモーメントMx
（A＜ｘ＜B）；Mx＝－0.5ｑｘ2
（5.16）
固定端（ｘ＝L）のモーメントMr
Mr=0.5ｑL2
2015/10/1
qN / m 
B
A
材料の力学第5章
Mr
反力 R b
xx
L
ｘ
（-）
SFD
 qL
Fx   qx
BMD
ｘ
（-）
M x  0.5qx
0.5qL2
2
19
（４）片持ちはりの途中に分布荷重が存在する場合
☆次に，図に示される片持ちはりの途中に分布荷重が働く
場合について，支点反力，せん断力，モーメント，SFD
およびBMDを考える。
・固定端反力Rc＝2.0ｑ＝200 （N)
・せん断力Fx
（0＜ｘ＜1.5)；Fx=0 （N)
(1.5＜ｘ＜3.5)；Fx=－q(ｘ－1.5)＝－100（ｘ－1.5）
＝－100ｘ+150
（3.5＜ｘ＜5)；Fx=－Rｃ＝－200 （N）
・曲げモーメントMx
（０＜ｘ＜1.5)；Mx=０
（1.5＜ｘ＜3.5)；
Mx  0.5q( x  1.5)2  50( x  1.5)2 （5.17）
q  100( N / m)
A
C
B
Mr
1.5ｍ
2.0ｍ
xx
1.5ｍ
反力 RC
L
ｘ
SFD
（-）
（3.5＜ｘ＜5)；
Mx  2.0q( x  2.5)  200( x  2.5) 200 x  500
上の式にｘ=L=5mを代入して，最大曲げモーメンMmax
は，（ｘ=L）で生じ，その大きさは，
M max  200(5.0  2.5)  500( J )
Fx   q( x  1.5)
BMD
Mx ?
RC
ｘ
（-）
M max  ?
Mx ?
・固定端C点の反力モーメントMrは，
Mr  M max  500( J )
2015/10/1
材料の力学第5章
20
5.7.2 両端支持，集中荷重はりのSFD，BMD
(集中荷重の場合）
・支点反力Ra，Rdについて，
Ra  Rd  P1  P2
A点まわりのモーメントのつりあいから，
P1  a  P2  a  b  Rd  L  0
ゆえに， Rd  P1  a  P2  a  b / L
Ra  P1  P2   Rd
（5.18），（5.19）
・せん断力Fxについて，
（A＜ｘ＜B）；Fx=Ra ：（B＜ｘ＜C）；Fx=Ra－P１
（C＜ｘ＜Ｄ）；Fx=Ra－(P1+P2)
・曲げモーメントMxについて
（Ａ＜ｘ＜Ｂ）；Mx=RaX
（Ｂ＜ｘ＜Ｃ）；Mx=RaX－P1(ｘ－a)
（C＜ｘ＜Ｄ）；Mx=RaX－P1(ｘ－a)－P2{ｘ－(a＋ｂ)}
・最大曲げモーメントMmax：
Mx  Rax  P1 x  a   P2 ( x  a  b))
Mxへｘ=a+bを代入して，
(ｘ=a+b)；
（5.21）
M max  Ra(a  b)  P1 a  b  a  P2 (a  b  a  b))
 Ra(a  b)  P1b
P2
P1
a
A
B
c
b
C
D
xx
Ra
Rd
L
Ra (+)
ｘ
SFD
（-） Rd
M x  Ra x  P1 x  a 
M x  Ra x  P1 x  a  P2 x  (a  b) 
M x  Ra x
（+）
BMD
ｘ
21
（２）両端支持はり（分布荷重の場合)
･支点反半Ra，Rｄについて，
Ra+Rｄ=qｂ
であり，点まわりのモーメントのつりあいを考慮して，
qN / m 
A
・せん断力Fxについて，
（A＜ｘ＜B）；Fx=Ra
（B＜ｘ＜C）；Fx=Ra－ｑ(ｘ－a)
（C＜ｘ＜D)；Fx=Ra－qb＝－Rb
・曲げモーメントMxについて，
（A＜ｘ＜B）；Mx=Raｘ
（B＜ｘ＜C)；Mx=Raｘ－0.5q（ｘ－a）2
（C＜ｘ＜D）；Mx=Raｘ－ｑb（（ｘ－(a+0.5B))
・最大モーメントMmax；
Ra
C
B
a
b
D
c
Rd
xx
L
Fx  Ra  q x  a 
Ra
(+)
ｘ
SFD
Mx ?
（-） Rd
M x  Ra x
課題：Ra,Rｄを求めよ
（+）
Mmaxとそれが生じるx座標の式を求めよ
2015/10/1
材料の力学第5章
ｘ
BMD
Mx ?
22
5.7.3 より高度な問題（３角形分布荷重）
（１）三角形分布荷重（片持ちはり）
・Q１；全荷重はいくらか？
（底辺×高さ×0.5）
・Q2；全荷重が働く位置はどこ？
（３角形の重心）
・Q3；反力Rbはいくらか？
（全荷重）
・Q4；せん断力Fxはどのように表せるか？
3角形分布荷重の相似から考える。
全荷重 Pt
B
Ｄ
A
ｑ0 L2
Mr 
６
η
q
q
q x2
0
0
0
x
x
F   0 d  
0d  
x
L
L
2L
（5.25）
・Q5；曲げモーメントMxはどのように与えられるか？
2
3 x
x q
M x   0 0 x   d   q0  x   
L
L  2
3 0
q0 x 3
（5.27）

（5.28）
（X－η）
ｄη
xX
反力Rｂ 
ｑ0 L
2
L
ｘ
SFD
(-)
6L
・Q6；最大曲げモーメントMmaxはいくらか？
ｘ=Lで最大モーメントが発生する。その大きさは式(5.27)へ
ｘ=Lを代入して
q0 L3
q0 L2
M max  

6L
6
q0
xG
BMD

q x2
Fx   0
2L
ｘ
(-)

q0 x 3
Mx  
6L
q0 L
2
2
q0 L
6
・Q7；SFD，BMDを描け。右図のBMD，SFDを参照。
2015/10/1
材料の力学第5章
23
（２）三角形分布荷重(両端支持はり，演習問題)
全荷重作用点
Q1；全荷重はいくらか？
(Ans：
）
Q2；全荷重が働くｘ座標位置はどこ
か？
(Ans：
)
Q3；支点反力Ra，Rbはいくらか？
(Ans：
)
Q4；せん断力Fxはどのように表せる
か？
（Ans：
）
Q5；曲げモーメントMxはどのように
与えられるか？ (Ans：
)
Q6；最大曲げモーメントMmaxおよび
Mmaxが発生するｘ座標を求めよ。
Q7；SFD，BMDを書け
xG  2L 3
A
全荷重Pt
Ra

Rb
x 
d
xx
L
ｑ0 L
6
SFD
ｘ
（＋）
ｑｘ
Fx  Ra - 0 ｄ
L 0

Mx  RaX -
ｑ0
L
（-）

ｑ0 L
3
ｘ
 X -  ｄ
0
（＋）
BMD
2015/10/1
ｑ0
B
モーメント最大の
Xの位置は？
M max  ?
ｘ
24
5.7.４張り出しはり（その１）
・支点反力Ra，Rbについて
まず，はりにかかる全荷重Ptは，
Pt  q0 2a  b であり，この荷重を支点
AとBで受け持つことになる。したがって，
全荷重Ptは
Pt  Ra  Rb  2Ra
P q 2a  b 
Ra  Rb  t  0
2
2
B
A
a
b
a
反力Rb
反力Ra
(+)
(+)
SFD


 q0 a
BMD

材料の力学第5章
x
(-)
(-)
q0 b
2
2
（A＜ｘ＜B）；すなわち（ａ＜ｘ＜a+b）でFxは
2015/10/1
q0
q0 b
2
Fxa  q0 a  Ra
 q 0 a 
D
q0 a
∴
・せん断力Fxは
（Ｃ＜ｘ＜Ａ）； Fx  q0 x
ｘ=aで，支点反力Raが働き，せん断力Fｘ
はつぎのようになる。
q0 2a  b 
C

q0 2
b 4  a2
2
(-)
q0 b
2

x
(-)

q0 a 2
2
25
5.7.４張り出しはり（続き，その２）
（A＜ｘ＜B）；すなわち（ａ＜ｘ＜a+b）でFxは
Fx  Fx  a  q0 x  a  
q0 b
 q0 x  a 
2
したがって，ｘ=(a+b)の支点Bにおいては，支点反力Rbが働くから
qb
q b q 2a  b 
Fx a b  0  q0 a  b  a   Rb   0  0
 q0 a
2
2
2
（B＜ｘ＜C）；すなわち，（a+b＜ｘ＜2a+b）で，Fxは
Fx  Fxab  q0 ( x  (a  b)  q0 a  q0 x  q0 a  q0b  2q0 a  q0 ( x  b)
ここで，ｘ=2a+bの張り出しはりの終端で，Fx=0となることを確認しなさい。
・曲げモーメントMxについて
x
q0 x 2
M


q
x



（C＜ｘ＜A）；すなわち（０＜ｘ＜ａ）でMxは， x
0
2
2
2
q
a
；
で，
0
xa
M 
x
（５.32）
（5.33）
（5.34）
（5.34）
2
（A＜ｘ＜B）；すなわち（ａ＜ｘ＜a+b）でMxは，
q 0 ( 2a  b )
q0 x 2
1
M x  Ra( x  a )  q0 x  x 
( x a)
2
2
2
（B＜ｘ＜D）；すなわち（a+b＜ｘ＜2a+b）でMxは
M x  q0 ( 2a  b  x )  12 ( 2a  b  x )  
q0
( 2a  b  x ) 2
2
（5.35）
（5.36）
・モーメントの最大値Mmaxは，はりが左右対称であることから，ｘ=a+(b/2)でMxは最大となり，
式（5.36）にこの値を代入しすれば，最大位置が次のように求められる。
（5.37）

q0  b 2
2
M max 
2015/10/1
  a 
2  4

材料の力学第5章
26
☆6.7.5 張り出しはり（集中荷重の場合）
図に示される張り出しはりに集中荷重が
加わるときのSFD，BMDを求めよう。以下
の空欄を各自で埋めよ。
・Q1；支点反力Ra＝
，Rb=
・Q2；せん断力Fxについて
（C＜ｘ＜）A) でFx＝
；
（A＜ｘ＜B）でFx=
（B＜ｘ＜D）でFx=
・Q3；曲げモーメントMxについて，
（C＜ｘ＜A) でMx=
；
（A＜ｘ＜B)でMx=
（B＜ｘ＜D）でMx=
・Q4；最後にSFD，BMDを書け。
P
P
C
a
D
B
A
b
a
反力Ra
反力Rb
P
(+)
X
SFD
(-)
-P
X
BMD
(-)
(-)
-Pa
2015/10/1
材料の力学第5章
27
☆6.7.5 張り出しはり（演習問題）
（１）支点反力Ra,Rbを求めよ。
1000N
500N
☆右図に示した張り出しはりについて，
A
B
（２）各区間ごとに，せん断力Fxを
1.5m
C
Rｂ
Mxを求めよ。
2015/10/1
E
1.5m
7m
500N
SFD
(+)
-500N
(-)
（４）SFDを描け。
（５）BMDを描け。
D
Rｄ
2ｍ
2m
求めよ。
（３）各区間ごとに曲げモーメント
500N
BMD
材料の力学第5章
(+)
x
(-)
250J
-750J
28
第5章総合演習問題（その１）
１．図に示すはりについて，支点反力，せん断力およ
び曲げモーメントを求め，BMD，SFDを図示せよ。
q  200N / m 
500N
A
Ra
2015/10/1
C
B
1m
2m
材料の力学第5章
D
1.5m
x
Rb
29
第5章総合演習問題（その２）
２．図に示す各種はり
について，支点反力，
せん断力および曲げ
モーメントを求め，
BMD，SFDを図示せよ。
ただし，図中の各寸法
および荷重は以下のよ
うである。
a=1ｍ，ｂ＝2ｍ，ｃ＝1.5ｍ，
L=5.5ｍ，P1=400N，
P2=800N，ｑ＝200N/m
P2
P1
P1
a
a
Ra
Rb
L
Ra
(b)
qN / m 
qN / m 
Rb
Ra
Ra
L
a
b
a
b
L
Rb
(d)
qN / m 
P
qN / m 
Ra
Rb
L
(a)
(c)
2015/10/1
b
c
Rb
Rb
Ra
L
L
(e)
(f)
材料の力学第5章
30

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