計測工学10 データの補間 スプライン補間 1 .復習 階差 近似多項式の次数の 決定法 • 等間隔階差 – 関数y=f(x)で、xの値 が等間隔の場合 等間隔：x0, x0+h, x0+2h・・・ yの値： y0 , y1 , y2 ・・・ • これらの階差は – 第１階差：y1-y0=⊿01, y2-y1=⊿11, ・・・, ⊿i1, ・・・ – 第２階差：⊿11-⊿01=⊿02, ⊿21-⊿11=⊿12, ・・・ – 第３階差： ⊿12-⊿02=⊿03, ・・・ • 第N階差が同じくらいの値（第（N+1）階差が０くら い）になれば、N次式で近似する 2 .復習 ラグランジュの補間公式 • N+1点のデータを通るN次式を求め、この式で補 間する • 例）N=3の場合 y – 4点のデータを通る3次式を求めて補間する x 3 .復習 ラグランジュの補間公式 • N+1点のデータを通るN次式を求め、この式で補 間する • 例）N=3の場合 y – 4点のデータを通る3次式を求めて補間する x 4 .復習 ラグランジュの補間公式. • N+1点のデータを通るN次式を求め、この式で補 間する • 例）N=3の場合 y – 4点のデータを通る3次式を求めて補間する x 5 .復習 ラグランジュの補間公式. • N+1点のデータを通るN次式を求め、この式で補 間する • 例）N=3の場合 y – 4点のデータを通る3次式を求めて補間する x 6 .復習 ラグランジュの補間公式. • N+1点のデータを通るN次式を求め、この式で補 間する • 例）N=3の場合 y – 4点のデータを通る3次式を求めて補間する x 7 .復習 ラグランジュの補間公式. • N+1点のデータを通るN次式を求め、この式で補 間する • 例）N=3の場合 y – 4点のデータを通る3次式を求めて補間する x 8 .復習 ラグランジュの補間公式. • N+1点のデータを通るN次式を求め、この式で補 間する • 例）N=3の場合 y – 4点のデータを通る3次式を求めて補間する x 9 .復習 ラグランジュの補間公式. • N+1点のデータを通るN次式を求め、この式で補 間する • 例）N=3の場合 y – 4点のデータを通る3次式を求めて補間する x 10 .復習 ラグランジュの補間公式 • N+1点のデータを通るN次式を求め、この式で補 間する • 例）N=3の場合 y – 4点のデータを通る3次式を求めて補間する x 11 .復習 ラグランジュの補間公式 i ( x) pN ( x) yi i 0 i ( xi ) N ただし、 ( x) ( x x0 )(x x1 ) ( x xN ) ( xi ) (xi x0 )(xi x1 ) (xi xN ) ( x) i ( x) ； ( x)から ( x xi )を除いたもの x xi ( xi ) i ( xi ) ； ( xi )から ( xi xi )を除いたもの xi xi 12 スプライン補間法 • 混合スプライン – 連続した４点を１組にした補間公式を作成し、中央２点間のみを 用いる。 – デ－タ点を必ず通る。 – デ－タ点にて、両側の区間の２階微分係数が一致する。 – デ－タは等間隔でなくてはならない。 • ベーススプライン – – – – デ－タ点は等間隔。 デ－タ点で、１階および２階微分が一致する。 補間が連続的になるが、デ－タ点を必ずしも通らない。 連続した４点から３次式を求め、中央２点間を補間。 • 雲形定規スプライン – デ－タ点を必ず通る。 – デ－タ点にて、両側の区間の１階微分係数が一致する。 • ３次スプライン – データ点を必ず通る。 13 – データ点にて、両側区間の１階微分係数および２階微分係数が 一致する。 予備知識 Excelで行列の計算をする • 配列数式を使う – 配列数式とは複数の行と列（行列）に対する演算を行 うもの • 行列積、逆行列のための関数の利用 – MMULT関数 行列の積 – MINVERSE関数 逆行列を求める • 演習用Excelシートで行列の計算をやってみる 14 .３次スプライン補間 • N+1個のデータのために N個の区間のためのN個 の３次式を求める y ５個のデータには４個の３次式 区間0 区間1 区間2 区間3 x 15 .３次スプライン補間 • N+1個のデータのために N個の区間のためのN個 の３次式を求める • 式には以下の条件をつけ る y – 全てのデータ点を通る それぞれの３次式は区間両側 の２点を通る 区間0 区間1 区間2 区間3 x 16 .３次スプライン補間 • N+1個のデータのために N個の区間のためのN個 の３次式を求める • 式には以下の条件をつけ る y – 全てのデータ点を通る – 各々の区分補間式は、境 界点の１次導関数は連続 データ点上で傾きが連続 区間0 区間1 区間2 区間3 x 17 .３次スプライン補間 • N+1個のデータのために N個の区間のためのN個 の３次式を求める • 式には以下の条件をつけ る y – 全てのデータ点を通る – 各々の区分補間式は、境 界点の１次導関数は連続 – 各々の区分補間式は、境 界点の２次導関数は連続 データ点上で傾きの変化が 連続 区間0 区間1 区間2 区間3 x 18 ３次スプライン補間 • N+1個のデータのために N個の区間のためのN個 の３次式を求める • 式には以下の条件をつけ る y – 全てのデータ点を通る – 各々の区分補間式は、境 界点の１次導関数は連続 – 各々の区分補間式は、境 界点の２次導関数は連続 – 両端の２次導関数の値を０ （自然スプライン） 両端では直線 区間0 区間1 区間2 区間3 x 19 ３次スプライン補間とラグラン ジュの補間の比較 • ２点のデータ点間の補完のために – ３次スプライン • ２点を通る３次式 • 隣り合う区間で傾きと傾きの変化が連続 – ラグランジュ補間 • ４点を通る３次式 • 隣り合う区間で特に条件はない 20 ３次スプライン補間とラグラン ジュの補間の比較 ３次スプライン y y ラグランジュの補間 ここで、傾きと傾 きの変化が連続 区間0 区間1 区間2 x 区間3 区間0 区間1 区間2 区間3 x 21 ３次スプライン補間の計算法（計算 式の導出は省略） • N+1個のデータに対しN個の区間でのN個 の３次式（jは区間の番号） y aj(x xj )3 bj(x xj )2 cj(x xj ) dj y x x0 x-x0 区間0 区間1 区間2 区間3 x 22 ３次スプライン補間の計算法（計算 式の導出は省略） • x=xjにおける２次導関数の値をujとすると h1 0 2(h0 h1 ) h1 2(h1 h2 ) h2 0 h2 2(h2 h3 ) hN 2 ただし h j x j1 x j (j 0,1,2,3) u1 v1 u v 2 2 u3 v 3 2(hN2 hN1 ) uN1 vN1 v j 6 ((yj1 y j )/hj ) ((yj y j1 )/hj1 ) • この連立方程式を解くことでujを求める。また条 件より、u0=uN=0とする。 23 ３次スプライン補間の計算法（計算 式の導出は省略） • 求めたujより各区間の係数a,b,c,dを以下の 式で決定する aj (uj1 u j ) 6hj uj 2 h 1 c j (yj1 y j ) j (2uj u j1 ) hj 6 bj dj y j • この係数を使い、各区間の補間を以下の 式で行う y aj(x xj )3 bj(x xj )2 cj(x xj ) dj 24
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