Large N reduction on group manifolds 土屋麻人（静岡大） 「弦理論研究会」＠立教大学 2010年1月6日 川合光氏（京大)、島崎信二氏（京大）との共同研究 arXiv:0912.1456, 1001.xxxx Introduction Large N reductionの基本的主張 Eguchi-Kawai (’82) ラージNゲージ理論はそれを低次元に次元還元することによって得られる行列模型 と等価 概念的に重要 実用上 重要 今までflat space-timeで調べられてきた。 cf.) S3への拡張、特にN=4 SYM on RxS3の非摂動的定式化 行列の自由度からの時空の出現 格子理論に代わるラージNゲージ理論の 非摂動的定式化 特に超対称ゲージ理論 Ishii-Ishiki-Shimasaki-A.T. (’08) 曲がった時空への拡張は？ 行列模型における曲がった時空の記述 cf.)Hanada-Kawai-Kimura(’06) flat space-timeでの実用上の問題点を解決 ここでは、群多様体およびcoset空間上で成り立つことを示す。 通常large N reductionは運動量空間で説明されるが、実空間で再考すること によりこの拡張が簡単になる。bi-local field theory 目次 1. Introduction 2. Bi-local field theory interpretation of reduced model 3. Large N reduction on group manifolds 4. Large N reduction for N=4 SYM on RxS3 and the AdS/CFT duality 5. Summary and outlook Scalar phi^3 theory on R Action : NxN エルミート行列 Propagator Vertex Planar (’t Hooft) limit d d Scalar phi^3 theory on R Free energy at the two-loop level Planar Non-planar suppressed (cont’d) Large N reduction Rule : Rd上の関数の空間に作用するエルミート演算子 : 座標基底 Reduced model Large N reduction (cont’d) Familiar form 運動量のカットオフ Λを導入し、 Rd 上の関数の空間 とおく N次元ベクトル空間 を対角化する基底をとる 実空間の体積 実空間は N個の体積 のセルに分割 : NxN エルミート行列 が一様に分布 Reduced model as a bi-local field theory Bi-local field theory Change of variables Perturbative expansion in real space Propagator 両端はparticleとして伝搬する 相対座標 は保存する 両端は平行移動される Vertex Free energy at the two-loop level Planar Free energy at the two-loop level (cont’d) Non-planar planar diagramに比べて 1/V2でsuppressされる Correspondence b/w reduced model and original theory Limit in reduced model reduced modelはoriginal theoryのplanar極限を再現する Free energyの対応 相関関数の対応 Large N reduction on Torus T トーラスの体積Vが有限 1/Vによるsuppressionがない とおき、運動量のカットオフ トーラス上の関数の空間 d を導入 n次元ベクトル空間 n次元ベクトル空間と k次元ベクトル空間のテンソル積空間を導入 テンソル積空間の次元: N=nk はテンソル積空間に作用 Reduced modelでの極限 Non-planar diagramは1/k2以上でsuppressされて、reduced model はoriginal theoryのplanar極限を再現する Large N reduction for gauge theory Apply the rule to the field strength Reduced model of YM theory YM理論の０次元への次元還元 は のbackgroundと解釈される Backgroundは０次元 massless 場によって不安定 quenching Bhanot-Heller-Neuberger (’82) SUSYと両立しない ! Gross-Kitazawa (’82) Notes on group manifolds Lie group G: コンパクト連結リー群 : Gのリー環の基底 : G上の関数の空間の座標基底 Left and right translations 左移動 右移動 G上の関数 に対して Notes on group manifolds (cont’d) Killing vectors 右不変キリングベクトル 左移動の生成子 左不変キリングベクトル 右移動の生成子 交換関係 微分演算子として Notes on group manifolds (cont’d) Invariant 1-forms 右不変1形式 左不変1形式 Maurer-Cartan equation Right and left invariant metric 両側不変 Haar measure 両側不変 体積 Notes on group manifolds (cont’d) Example: SU(2)=S3 S3のisometry オイラー角 右不変キリングベクトル 右不変1形式 両側不変計量 Haar測度 S3の半径2 Scalar phi^3 theory on G Scalar phi^3 theory on G : NxNエルミート行列、各要素はG上の関数 GxG対称性をもつ Propagator Vertex Large N reduction on G Rule G上の関数の空間とk次元ベクトル空間のテンソル積空間を考える : テンソル積空間に作用するエルミート演算子 Reduced model 省略 Reduced model as a bi-local field theory Bi-local field theory : G上のbi-local kxk matrix field Change of variables Haar測度は不変 Perturbative expansion Propagator Haar measureのもとでのデルタ関数 flat spaceのときと、同じ構造をもつ 摂動展開はflat spaceのときと、並行に進む Large N reductionはG上で成り立つ UV regularization G上の関数の空間はGの正則表現の表現空間と同一視される Peter-Weylの定理 rはGの既約表現をラベル : r表現での の表現行列 : r表現の次元 UVカットオフ rの和を の導入し、 に制限 GxG対称性を保つ を定義 Correspondence b/w reduced model and original theory 作用 GxG対称性 をもつ : NxNエルミート行列 G上の関数の空間～n次元ベクトル空間 パラメータ 全体の行列のサイズ セルの体積 極限 Free energyの対応 reduced modelはoriginal theoryのplanar極限を再現する 相関関数の対応 に対して Example: G=SU(2)=S SO(4)=SU(2)xSU(2)を保つ正則化 極限 3 3 Another background for S Ishii-Ishiki-Shimasaki-A.T. (’08) S3~S2上のS1束 : S2上の運動量カットオフ : S1上の運動量カットオフ SU(2)を保つ正則化 極限 Gauge theories on group manifolds ゲージ場1形式を展開し、Maurer-Cartan equationを使う YM action Ishii-Ishiki-Shimasaki-A.T. (’08) Reduced model backgroundを吸収 YM actionの次元還元 は古典解 Gauge theories on group manifolds (cont’d) 随伴表現の物質場に対しても同じ吸収 次元還元 ゲージ対称性 Gが半単純なら理論はmassive、摂動展開の全次数でbackgroundは安定 他の古典解へのtunnelingは でsuppressされる quenchingなどのremedy必要なし。ただ、backgroundの周りで展開するだけ ゲージ対称性とSUSYとGxG対称性を保つ正則化 Chern-Simons-like theories on group manifolds ゲージ対称性 Poincare双対性より を調整して Reduced model の周りで展開 Chern-Simons-like theories on group manifolds (cont’d) G=SU(2)の場合、S3上のpure Chern-Simons theoryになる をとったとき、分配関数やunknot Wilson loopの期待値の planar limitを再現することを陽に示せる。 Ishiki-Shimasaki-A.T. (’09) Large N reduction on coset spaces H: Gの部分リー群 G/H H G/H上の理論を得るための拘束条件 または Reduced modelの変形 ゲージ場についても同様 例 S4=SO(5)/SO(4)上のゲージ理論 体積∞極限でR4上の理論？ 3 N=4 SYM on RxS conformal mappingにより、N=4 SYM on R4 に等価 10次元のnotationで PSU(2,2|4)対称性 Reduced model （32 supercharges） 時間方向は連続 plane wave matrix model (Berenstein-Maldacena-Nastase (’02))の形 SU(2|4)対称性 （16 supercharges） Background ゲージ対称性とSU(2)xSU(2|4)を保つ正則化 ゲージ対称性とSU(2|4)を保つ正則化 保っているSUSYの数最大 保っているSUSYの数最大 Testing AdS/CFT duality: Wilson loops Locally BPS Wilson loop in N=4 SYM Maldacena (’98) λが大きいとき重力側で Sは極小局面の面積 C AdS5の境界 Corresponding Wilson loop in the reduced model は または の周りで展開 Testing AdS/CFT duality: Wilson loops (cont’d) 重力側の予言と一致 Circular Wilson loop ( globally half-BPS) 4 R large R4でファインマンゲージ+planar ladder近似 Erickson et. al.(’00) Localization Pestun (‘07) Ishiki-Shimasaki-A.T. Reduced modelでR におけるファインマンゲージに相当する ゲージをとり、planar ladder近似を適用すると上の結果を再現する 4 Rectangular Wilson loop (non-BPS) 4 R W-boson potential Honda-Ishiki-Nishimura-A.T. λが小さいときゲージ理論での結果 reduced modelで再現 λが大きいとき重力側からの予言 数値シミュレーションで再現→AdS/CFTの非自明な検証 Testing AdS/CFT duality: chiral primary operators Chiral primary operator traceless symmetric reduced modelでは 対応 Honda-Ishiki-Kim-Nishimura-A.T. 例えば4点non-extremal を数値シミュレーションで求め ることにより、 AdS/CFTの非自明な検証ができる • • • • • • • まとめ 群多様体上でlarge N reductionが成立することを示した。 coset空間上の理論を得るための、reduced modelの変形 を与えた。広い意味でcoset空間上でもlarge N reductionは成立 群多様体上およびcoset空間上のChern-Simons-like theoryを構成し、そのreduced modelを与えた。 N=4 SYM on RxS3のlarge N reductionを用いて、 AdS/CFT対応の検証を提案した。 展望 非コンパクトの場合 一般の多様体 N=4 SYMの数値シミュレーション、解析的手法の開発 Honda-Ishiki-Kim-Nishimura-A.T. • 重力、弦理論
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