電子物性第1スライド4-1 電子物性第1 第4回 ーシュレーディンガーの波動方程式ー 目次 ２ ３ ４ ５ ６ はじめに Ψがあると電子がある。 電子の居場所を解析しよう。 ポテンシャル 見えているのはエネルギー ７ ８ ９ 10 11 周波数はエネルギー 周波数の計算 周波数からのエネルギー 波長は運動量 運動量の計算 12 運動エネルギー 13 シュレーディンガーの波動方程式 14 まとめ 電子物性第1 第4回 －シュレーディンガーの波動方程式－ Ψがあると電子がある。 波動関数Ψ の意味を考えよう。 Ψ（x, t）＝ei(kx－ωt) だと電子が一個存在する。（単位[個nm-3]など） 縦軸は、正体不明のまま。 意味するところは、Ψがあれば電子がある。 はじめに 電子物性第1スライド4-2 水素原子の電子のエネルギーは、量子化されている。 電子の波動性 （＝干渉する性質） を考えるとよい。 問題：何が電子の波なのか正体不明。 対応：正体不明のまま波動関数Ψを導入し解析。 ① 波動関数Ψを導入しました。 はじめに 水素原子の電子のエネルギーは、量子化されている。 電子の居場所を解析しよう。 波動関数Ψがあれば電子がある。 電子の波動性 （＝干渉する性質） を考えるとよい。 問題：何が電子の波なのか正体不明。 対応：正体不明のまま波動関数Ψを導入し解析。 Ψがあると電子がある。 Ψ（x, t）＝ei(kx－ωt) の性質 （微分とか） を利用して、 矛盾しない（干渉してなくならない）条件 ⇒電子の所在を解析できる。 電子物性第1スライド4-3 波動関数Ψ の意味を考えよう。 Ψ（x, t）＝ei(kx－ωt) だと電子が一個存在する。（単位[個nm-3]など） 縦軸は、正体不明のまま。 意味するところは、Ψがあれば電子がある。 ① Ψの意味は、それがあるところは電子がある。 Ψがあると電子がある。 波動関数Ψ の意味を考えよう。 Ψ（x, t）＝ei(kx－ωt) ポテンシャル 電子のエネルギー 高い程不安定 波動関数Ψを解析する。 ポイントは電子にとっての ポテンシャルエネルギー だと電子が一個存在する。（単位[個nm-3]など） 縦軸は、正体不明のまま。 原子核＋eの静電気 意味するところは、Ψがあれば電子がある。 電子の波動性はΨが保証。 y x 電子の波 電子の居場所を解析しよう。 V (r) = e2 4 πε0 電子物性第1スライド4-4 波動関数Ψがあれば電子がある。 Ψ（x, t）＝ei(kx－ωt) の性質 （微分とか）を利用して、 矛盾しない（干渉してなくならない）条件 ⇒電子の所在を解析できる。 ① Ψの方程式は電子の居場所を解析します。 r2 電子の居場所を解析しよう。 見えているのはエネルギー 波動関数Ψがあれば電子がある。 電子の波 Ψ（x, t）＝ei(kx－ωt) の性質 （微分とか） を利用して、 e- 電子の仕事 電子のエネルギ ー 矛盾しない（干渉してなくならない）条件 ⇒電子の所在を解析できる。 光h ν 高い程不安定 波動関数Ψを解析する。 ポイントは電子にとっての ポテンシャルエネルギー 原子核＋eの静電気 y x 電子の波 ① 電子の感じるポテンシャルは原子核の静電気。 見え る 。 光と の相互作用 電子物性第1スライド4-5 電子のエネルギー ポテンシャル 電子の波動性はΨが保証。 見え な い。 電子の波自身は... V (r) = e2 4 πε0 r ポテンシャル 周波数はエネルギー 電子のエネルギー 高い程不安定 波動関数Ψを解析する。 ポイントは電子にとっての ポテンシャルエネルギー y 原子核＋eの静電気 x 電子の波 電子の波動性はΨが保証。 V (r) = e2 4 πε0 E = hν は、 時間軸でよく 振れると、 エネルギー大 と示します。 0 0 0 r2 見えているのはエネルギー 電子物性第1スライド4-6-1 つぎにどうやってΨを解析するか？ ポイントは 見えているもの 測定可能な量 を調べたい。 波でわかったものは、 第1に E = hνのエネルギー h 第2に p = の運動量 λ エネルギーの方でまとめて、 ① 観測できる量は、エネルギーと運動量 ② 波は見えなくとも、エネルギーは見える（図示）。 ポテンシャル 周波数はエネルギー 電子のエネルギー 高い程不安定 波動関数Ψを解析する。 ポイントは電子にとっての ポテンシャルエネルギー y 原子核＋eの静電気 x 電子の波 電子の波動性はΨが保証。 V (r) = e2 4 πε0 E = hν は、 時間軸でよく 振れると、 エネルギー大 と示します。 e- 光h ν 0 0 r2 見えているのはエネルギー 電子の波 0 電子の波自身は... 電子物性第1スライド4-6-2 見え ない。 電子の仕事 電子のエネルギー 光と の相互作用 ① 観測できる量は、エネルギーと運動量 ② 波は見えなくとも、エネルギーは見える（図示）。 見え る 。 見えているのはエネルギー 電子の波 e- 光h ν 電子の波自身は... 見え な い。 電子の仕事 電子のエネルギ ー 見え る 。 光と の相互作用 周波数はエネルギー 周波数の計算 Ψの時間微分 dΨ ｄｔ Ψ ＝ei(kx－ωt) dΨ ｄｔ ＝－iω Ψ ＝－iωei(kx－ωt) で割ってあげると、 と（角）周波数がでました。 電子物性第1スライド4-7-1 エネルギーの方程式で、波動関数Ψを考えます。 まず、光で最初に出てきた、 E = hν式を使います。 すなわち、強さでなく周波数がエネルギーです。 図に示すと、 ① E=hν式で周波数がエネルギーに対応する。 ② エネルギーが増えても振幅ではなく、周波数の増加。 周波数の計算 見えているのはエネルギー 電子の波 e- 光h ν 電子の波自身は... Ψの時間微分 見え な い。 見え る 。 光と の相互作用 時間軸でよく 振れると、 エネルギー大 と示します。 ＝－iωei(kx－ωt) で割ってあげると、 と（角）周波数がでました。 電子物性第1スライド4-7-2 周波数はエネルギー E = hν は、 ｄｔ Ψ ＝ei(kx－ωt) dΨ ｄｔ ＝－iω Ψ 電子の仕事 電子のエネルギ ー dΨ 0 時間 エネルギーが増加 のように 対応し、 0 0 時間 振幅は増加しない。 ① E=hν式で周波数がエネルギーに対応する。 高エネルギー=周波数大 ② エネルギーが増えても振幅ではなく、周波数の増加。 時間 周波数からのエネルギー 周波数はエネルギー E = hν は、 時間軸でよく 振れると、 エネルギー大 と示します。 E = hν 0 = hω （ただし h＝ dΨ 0 0 周波数の計算 h ） からエネルギーは、 2π =h 1 ｄｔ －i Ψ dΨ = ih ｄｔ Ψ 電子物性第1スライド4-8-1 周波数 は、単位[s-1]です。 Ψ は、単位[正体不明]です。 Ψ は、そのまま残してはだめ。 ⇒ 操作（Ψ） として消してしまいたい。 Ψ ① Ψは正体不明のため、割って消して解析したい。 ② Ψを時間微分してΨ自身で割れば、時間分の1。 ③ Ψの時間微分÷Ψの定数倍で周波数がでる。 となります。 周波数からのエネルギー 周波数はエネルギー E = hν は、 時間軸でよく 振れると、 エネルギー大 と示します。 E = hν 0 = hω （ただし h＝ dΨ 0 =h 0 周波数の計算 dΨ h ） からエネルギーは、 2π 1 ｄｔ －i Ψ dΨ = ih ｄｔ Ψ 電子物性第1スライド4-8-2 Ψの時間微分 ｄｔ の単位は[正体不明･s-1]。 Ψ は、単位[正体不明]です。 割ってあげると、 dΨΨ は、そのまま残してはだめ。 -1]で、 周波数が出せる。 ｄｔ 操作（Ψ） は、単位[s として消してしまいたい。 ⇒ Ψ Ψ ① Ψは正体不明のため、割って消して解析したい。 ② Ψを時間微分してΨ自身で割れば、時間分の1。 ③ Ψの時間微分÷Ψの定数倍で周波数がでる。 となります。 周波数からのエネルギー 周波数はエネルギー E = hν は、 時間軸でよく 振れると、 エネルギー大 と示します。 E = hν 0 = hω （ただし h＝ dΨ 0 =h 0 周波数の計算 dΨ h ） からエネルギーは、 2π 1 ｄｔ －i Ψ dΨ = ih ｄｔ Ψ 電子物性第1スライド4-8-3 Ψの時間微分 ｄｔ ＝－iωei(kx－ωt) i(kx－ωt) Ψ ＝e 割ってあげると、 は、単位[正体不明]です。 dΨΨ は、そのまま残してはだめ。 -1]で、 νが出せる。 ｄｔ ＝－iω と（角）周波数がでました。 操作（Ψ） は、単位[s として消してしまいたい。 ⇒ Ψ Ψ ① Ψは正体不明のため、割って消して解析したい。 ② Ψを時間微分してΨ自身で割れば、時間分の1。 ③ Ψの時間微分÷Ψの定数倍で周波数がでる。 となります。 周波数の計算 Ψの時間微分 dΨ ｄｔ Ψ ＝ei(kx－ωt) dΨ ｄｔ ＝－iω Ψ 波長は運動量 ＝－iωei(kx－ωt) 0 x で割ってあげると、 0 y と（角）周波数がでました。 波が立つ 波があまり立たない。 電子が運動している。 電子が運動していない。 電子物性第1スライド4-9 周波数からのエネルギー h E = hν = hω （ただし h＝ 2π ） からエネルギーは、 =h dΨ dΨ 1 ｄｔ ｄｔ －i Ψ ① もちろん、微分して出したνにhを掛けてエネルギー。 = ih Ψ となります。 周波数からのエネルギー E = hν = hω （ただし h＝ dΨ =h 1 ｄｔ －i Ψ 運動量の計算 h ） からエネルギーは、 2π dΨ = ih ｄｔ Ψ となります。 波長は運動量 次は運動量です。 h p= で求められます。 λ 空間で波が密だと運動 していることになります。 ① 運動量は電子の波長の逆数から出せます。 ② 電子の運動する方向に沢山波が立ちます。 ③ 運動していない方向には電子の波は立ちません。 運動量の計算 pは、 dΨ ｄx となります。 p = h ｰi Ψ dΨ = ikei(kx－ωt) = ikΨ を使っています。 ｄx 電子物性第1スライド4-10-1 例えば、 周波数からのエネルギー E = hν = hω （ただし h＝ dΨ =h 1 ｄｔ －i Ψ 運動量の計算 h ） からエネルギーは、 2π dΨ = ih ｄｔ Ψ となります。 運動量の計算 pは、 dΨ ｄx となります。 p = h ｰi Ψ dΨ = ikei(kx－ωt) = ikΨ を使っています。 ｄx 電子物性第1スライド4-10-2 波長は運動量 次は運動量です。 h p一方、運動していない = で求められます。 λ 方向に波を見ると、 空間で波が密だと運動 していることになります。 ① 運動量は電子の波長の逆数から出せます。 ② 電子の運動する方向に沢山波が立ちます。 ③ 運動していない方向には電子の波は立ちません。 x 0 波が立つ 電子が運動している。 周波数からのエネルギー E = hν = hω （ただし h＝ dΨ =h 1 ｄｔ －i Ψ 運動量の計算 h ） からエネルギーは、 2π dΨ = ih ｄｔ Ψ となります。 運動量の計算 pは、 dΨ ｄx となります。 p = h ｰi Ψ dΨ = ikei(kx－ωt) = ikΨ を使っています。 ｄx 電子物性第1スライド4-10-3 波長は運動量 0 x 0 y 波が立つ 波があまり立たない。 電子が運動していない。 ① 運動量は電子の波長の逆数から出せます。 ② 電子の運動する方向に沢山波が立ちます。 ③ 運動していない方向には電子の波は立ちません。 電子が運動している。 運動エネルギー 波長は運動量 0 x 0 y 波が立つ 波があまり立たない。 電子が運動していない。 電子が運動している。 運動量の計算 1 2 1 p2 mv = (mv)2 = 2 2m 2m d2Ψ 2 i(kx－ωt) 2 = (ik) e ですが、 p は、 二階微分 = ｰk2Ψ ｄ x2 2 dΨ 2 p2 1 より、 ｰ h2 ｄ x2 Ek = = (hk) = 2m 2m 2m Ψ 運動エネルギーは、 Ek = 電子物性第1スライド4-11-1 h 運動量の計算は、 p= を波数kで、 λ h p= k = hk とすれば簡単です。 2π ① 運動量は波数kに比例します。 ② 波数kはΨの空間微分で出てきます。 ③ 運動量はΨの空間微分から計算可能です。 運動エネルギー 波長は運動量 0 1 2 1 p2 mv = (mv)2 = 2 2m 2m d2Ψ 2 i(kx－ωt) 2 = (ik) e ですが、 p は、 二階微分 = ｰk2Ψ ｄ x2 2 dΨ 2 p2 1 より、 ｰ h2 ｄ x2 Ek = = (hk) = 2m 2m 2m Ψ 運動エネルギーは、 x 0 y 波が立つ 波があまり立たない。 電子が運動していない。 電子が運動している。 Ek = 電子物性第1スライド4-11-2 運動量の計算 h を波数kで、 λ p = hk とすれば簡単で、 Ψをxで微分します。 運動量の計算は、 すなわち、 p= dΨ = ikei(kx－ωt) ｄx ① 運動量は波数kに比例します。 ② 波数kはΨの空間微分で出てきます。 ③ 運動量はΨの空間微分から計算可能です。 =ikΨ です。 運動エネルギー 波長は運動量 0 x 0 y 波が立つ 波があまり立たない。 電子が運動していない。 電子が運動している。 運動量の計算 1 2 1 p2 mv = (mv)2 = 2 2m 2m d2Ψ 2 i(kx－ωt) 2 = (ik) e ですが、 p は、 二階微分 = ｰk2Ψ ｄ x2 2 dΨ 2 p2 1 より、 ｰ h2 ｄ x2 Ek = = (hk) = 2m 2m 2m Ψ 運動エネルギーは、 Ek = 電子物性第1スライド4-11-3 運動量の計算 pは、 dΨ ｄx となります。 p = h kｰi Ψ dΨ = ikei(kx－ωt) = ikΨ を使っています。 ｄx ① 運動量は波数kに比例します。 ② 波数kはΨの空間微分で出てきます。 ③ 運動量はΨの空間微分から計算可能です。 運動量の計算 運動量の計算 pは、 dΨ ｄx となります。 p = h ｰi Ψ dΨ = ikei(kx－ωt) = ikΨ を使っています。 ｄx 運動エネルギー シュレーディンガーの波動方程式 ｰ h2 2m d2Ψ ｄ x2 + V(r)Ψ = ih dΨ ｄｔ がシュレーディンガーの波動方程式です。 これを満たすΨが存在する場所に電子がいます。 電子物性第1スライド4-12 1 1 p2 2 2 (mv) = 運動エネルギーは、 Ek = mv = 2 2m 2m 2 dΨ 2ei(kx－ωt) 2Ψ 2 = (ik) ですが、 p は、二階微分 = ｰ k ｄx 2 d2 Ψ 2 p2 1 2 より、 ｰ h2 ｄ x Ek = = = (hk) 2m 2m 2m Ψ ① 運動エネルギーはΨの２階微分で求めます。 運動エネルギー まとめ 1 2 1 p2 mv = (mv)2 = 運動エネルギーは、 Ek = 2 2m 2m d2Ψ 2 i(kx－ωt) 2 = (ik) e ですが、 p は、 二階微分 = ｰk2Ψ ｄ x2 2 dΨ 2 p2 1 より、 ｰ h2 ｄ x2 Ek = = (hk) = 2m 2m 2m Ψ シュレーディンガーの波動方程式は、 Ψの時間微分から、周波数とエネルギーを、 Ψの空間微分から、運動量、運動エネルギーを それぞれ、求め、電子の所在を解析します。 シュレーディンガーの波動方程式 電子物性第1スライド4-13-1 運動エネルギーは、 位置エネルギーを足して全エネルギー ですから、 d2 Ψ ｰ h2 ｄx 2 2m Ψ ① 運動エネルギー＋ポテンシャルでエネルギー ② 周波数から求めたエネルギーも代入できる。 ③ シュレーディンガーの方程式ができました。 + V(r) = 周波数からの エネルギー 運動エネルギー まとめ 1 2 1 p2 mv = (mv)2 = 運動エネルギーは、 Ek = 2 2m 2m d2Ψ 2 i(kx－ωt) 2 = (ik) e ですが、 p は、 二階微分 = ｰk2Ψ ｄ x2 2 dΨ 2 p2 1 より、 ｰ h2 ｄ x2 Ek = = (hk) = 2m 2m 2m Ψ シュレーディンガーの波動方程式は、 Ψの時間微分から、周波数とエネルギーを、 Ψの空間微分から、運動量、運動エネルギーを それぞれ、求め、電子の所在を解析します。 シュレーディンガーの波動方程式 電子物性第1スライド4-13-2 運動エネルギーは、 位置エネルギーを足して全エネルギー ですから、 dΨ d2Ψ ｰ h2 ｄx 2 2m Ψ ① 運動エネルギー＋ポテンシャルでエネルギー ② 周波数から求めたエネルギーも代入できる。 ③ シュレーディンガーの方程式ができました。 + V(r) = ih ｄｔ Ψ ですが、これにΨを掛けて、 運動エネルギー まとめ 1 2 1 p2 mv = (mv)2 = 運動エネルギーは、 Ek = 2 2m 2m d2Ψ 2 i(kx－ωt) 2 = (ik) e ですが、 p は、 二階微分 = ｰk2Ψ ｄ x2 2 dΨ 2 p2 1 より、 ｰ h2 ｄ x2 Ek = = (hk) = 2m 2m 2m Ψ シュレーディンガーの波動方程式は、 Ψの時間微分から、周波数とエネルギーを、 Ψの空間微分から、運動量、運動エネルギーを それぞれ、求め、電子の所在を解析します。 シュレーディンガーの波動方程式 ｰ h2 2m d2Ψ ｄx2 + V(r)Ψ = ih 電子物性第1スライド4-13-3 dΨ ｄｔ がシュレーディンガーの波動方程式です。 これを満たすΨが存在する場所に電子がいます。 ① 運動エネルギー＋ポテンシャルでエネルギー ② 周波数から求めたエネルギーも代入できる。 ③ シュレーディンガーの方程式ができました。 シュレーディンガーの波動方程式 ｰ h2 2m d2Ψ ｄ x2 + V(r)Ψ = ih dΨ ｄｔ スライドを終了します。 がシュレーディンガーの波動方程式です。 これを満たすΨが存在する場所に電子がいます。 まとめ 電子物性第1スライド4-14 シュレーディンガーの波動方程式は、 Ψの時間微分から、周波数とエネルギーを、 Ψの空間微分から、運動量、運動エネルギーを それぞれ、求め、電子の所在を解析します。 ① Ψの微分演算を工夫して波動方程式を作りました。
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