確率と統計2004

確率と統計2011
平成23年10月13日(木)
第3日目の続き
本資料の内容
1. 平均（算術平均）の性質
2. 平均偏差の性質
3. 分散の性質
H. Kameda ( Tokyo University of Technology )
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平均の性質
定義：
平均＝（データの総量）÷（データの個数）
m=T/N
m: 平均(mean)
T: データの総量
T = x 1 + x2 + … + x N
N: データの個数
H. Kameda ( Tokyo University of Technology )
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平均の性質（続き）
定義：
平均＝（データの総量）÷（データの個数）
m=T/N
m = ( x1 + x2 + … + xN )÷N
m = ( x1 + x2 + … + xN ) / N
m = (Σxi ) / N
書き方はいろいろですが、どれも同じ！
慣れてください。
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例(あるいはProblem)
• わかりきった話ですが…
実際に計算し考えることは大切です。
常に練習（計算・思考）をしましょう。
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練習問題
• Problem
次のようなデータが得られた。
平均mを求めてみよう。
データ： 16, 45, 39, 53, 67
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解答例
• Answer:
平均m = ( 16 + 45 + 39 + 53 + 67 ) / 5
= 220 / 5
= 44
図形的考察：
10
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考察（続き）
xi
10
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30
40
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60
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xi - m
A = (x1 – m) + ( x2 – m) + … + (x5 – m)
を計算してみると…
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A = (x1 – m) + ( x2 – m) + … + (x5 – m)
= ( x1 + x2 + … + xN ) – N×m
= ( x 1 + x 2 + … + xN ) –
N×( x1 + x2 + … + xN ) / N
=0
これは平均の性質の１つ！
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得られた知見
定理：
関数f(a) = (x1 – a) + ( x2 – a) + …
+ (xN – a)
に対して、f(a) = 0 となるのは、a = m のとき
である。
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考えてみよう！
Problem：
関数g(a) = |x1 – a| + |x2 – a| + …
+ |xN – a|
に対して、g(a) を最小にするaを求めよ。
Answer: a = ? （考えてみてください。）
Comment: 平均偏差と関係あり？
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（参考）
平均偏差MDとは
MD =
(|x1 – m| + |x2 – m| + … + |xN – m|) / N
でしたね。
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練習問題
Problem：
関数h(a) = |x1 – a|2 + |x2 – a|2 + …
+ |xN – a|2
に対して、h(a) を最小にする a を求めよ。
Comment: これも平均mの性質の１つ。
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具体的に計算してみよう！
1. データ： 16, 45, 39, 53, 67
2. 平均m = (16 + 45 + 39 + 53 + 67)/5=44
3. A = (16 - m) + (45 – m) + … + (67 – m)
= 220 – 5×44 = 0
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4. f(a) = (16 – a) + (45 – a) + … + (67 – a)
= 220 – 5a
従って、f(a)=0
a = 44 = m
5. g(a) = |16 - a| + |45 - a| + |39 - a| +
|53 - a| + |67 - a|
= |16 - a| + |39 - a| + |45 - a| +
|53 - a| + |67 - a|
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i.
ii.
iii.
iv.
v.
vi.
a ≦ 16
16 ≦ a ≦39
39 ≦ a ≦45
45 ≦ a ≦53
53 ≦ a ≦67
a ≧ 67
g(a) = -5a + 220
g(a) = -3a + 188
g(a) = -a + 110
g(a) = a + 20
g(a) = 3a - 86
g(a) = 5a – 220
最小値はa=45のとき。
45は16, 39, 45, 53, 67の中央値！
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（参考）
中央値(median)とは、
データを大きさの順に並べたとき、真ん中
にくるデータのこと。
16, 39, 45, 53, 67
これが中央値
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6. h(a) = |16 - a|2 + … + |67 - a|2
= (16 - a)2 + (39 - a)2 + (45 - a)2
+ (53 - a)2 + (67 - a)2
ちょっと計算すると…
h(a)を最小にするaは、a=m。
平均
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ここまでのまとめ
次のスライドの通り。
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平均と中央値の性質
1. 基準点をmとするとき、（xi - m）の総和
は常にゼロとなる。
2. |xi – a|の総和は、a=中央値（median）
のとき最小になる。
3. |xi – a|2の総和は、a=m（平均）のとき最
小となる。
平均=(Σxi)/N の妥当性
を示している。
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以上のような事実を踏まえて，．．．
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各種統計量の考察
1. m = (Σxi ) / N の定義は妥当
2. 平均偏差MD= (|xi – m|の平均)
3. 平均偏差の式において、中央値（median）に
は意味がある。（平均偏差の定義には中央値
を用いるべきか？）
4. 分散=(|xi – m|2の平均)
5. 分散の式において、mが平均のとき最小となる
ので、平均mを基準とするのは妥当である。
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簡単な練習問題
表．成人男性50人の血圧
Problem:
次のデータは50人
の成人男性の血圧
値である。平均m、
中央値me、モード
mode（最頻値）、
分散s2、標準偏差s
をそれぞれ求めよ。
Advice: EXCELを使おう！
120
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124
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117
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まとめ
•
データ群が与えられたとき、
データの代表値：
1. 平均(mean)
2. 中央値(median)
3. モード(mode) or 最頻値
データのバラツキ：
1. 範囲（range） or レンジ
2. 分散(variance)
3. 標準偏差(standard deviation)
赤字のものは、基本統計量とも呼ばれる。
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• データが与えられたら、指定されなくても
基本統計量は常に計算するもの。
– 平均・中央値・モード・分散（or 標準偏差）
度数分布表やヒストグラムも
言われなくても描きましょう！
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最後に
連絡事項
・来週(10月20日)は休講です。
・レポート課題No1をやってください。
（提出は10月27日の授業開始時）
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