ロボットビジョン特論

Hough変換
投票と多数決原理に基づく図形の検出
１．問題の設定
エッジ抽出などで得られたのは、特徴点の
集合（点群）である。
点群の中に、多くの点は長い直線を形成し
ている。
我々は、これらの長い直線の方程式を知り
たい。
２．二つのアプローチ
(a) すべての可能の直線を１本ずつチェッ
クして、その直線に載っている特徴点の数
を数える。
数が多かった直線は、我々がほしいものであ
る。
(b) すべての特徴点を一個ずつチェックして、
その点を通る直線を求める。
たくさんの特徴点が共通に通る直線は我々が
ほしいものである。
平面上の直線の表現
平面上の直線は、２個のパラメータを用いて表
現できる。
y=kx+b
Y
k
b
O
1
X
直線の方程式
rは原点から直線に垂線を引いたときの長さ
qはx軸とのなす角
R>=0
qの範囲は0<= q <2p
２．二つのアプローチ（つづき）
処理する直線の数
(a) の場合、すべての可能の直線
y=kx+b
仮に、k=tanq, q=[-90°90°],一度刻み
b=[-500,500], 1刻み
とすると、直線は 180x1000=18万本
仮に、q=[0°360°],一度刻み
r=[0,500], 1刻み
とすると、直線は 360x500=18万本
２．二つのアプローチ（つづき）
処理する直線の数
(b) の場合、各特徴点を通る直線
この場合、変化できる直線のパラメータ
は1個だけなので、
直線の数＝特徴点の数ｘ180
あるいは
直線の数＝特徴点の数ｘ360
２．二つのアプローチ（つづき）
処理する点の回数
(a)の場合、直線の本数ｘ特徴点の数
(b) の場合、180（或いは360）ｘ特徴点の数
明らかに、bのほうが少ない。
Hough変換は、bのほうのアプ
ローチである
ある一点(x, y)を通る直線群は無限に存在し、
それぞれに対し(r, q)が一義的に決まる
２点を通る直線群
共通の直線
一点を通る直線群
r= xcosq + ysinq を用いて計算すれば、
それぞれの点に対するr-qパラメータ空間の曲
線が求まる
２点を通る直線群
直線上の点１，２に対する曲線は、ある１点（ r0, q0）で
交差している
この（ r0, q0）が点１，２を共通に通る直線を表している
r-q空間
r= xcosq + ysinq では、
角度qは有界であり、画像の大きさが有限であるた
め、rも有界となる
ほとんどの直線検出用ハフ変換ではr-qパラメータ
空間が用いられている
アルゴリズム１
(a) r-q空間を離散化し、 r-qに関する2次元配列
「Ｐ[ r][q]）とする」を用意する
原画像（ｘ-ｙ空間）のサイズをＷ*Ｗとすると、

2 
rの取り得る範囲は 0,
w である。
 2 
r、qの離散化間隔をそれぞれ r = 1, q = 10 とすると、
2次元配列の大きさは
2
w  360 である
2
アルゴリズム２
(b) 2値化された原画像をラスタ走査し、
画素値が１であればその(x, y)に対し、
r= xcosq + ysinq
によって q 間隔でrを計算して整数化し、
Ｐ[ r][q]の値を１だけ増加します
(Ｐ[ r][q] ++;)（投票）
アルゴリズム３
(c) Ｐ（ r、q ）が最大となる（ r、q ）を求める
（開票）
直線が複数本ある場合は、極大点を求める
ことになる
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
1
3
1
1 1
2
2
1
1 1
1
1
1
1
入力画像（例1）
エッジ画像
ハーフ変換
ハーフ変換によって抽出した直線
練習問題：
画像の横幅＝２５６画素
画像の縦幅＝２５６画素
rの量子化単位は0.5画素、
qの量子化単位は２度とする。
r,qの空間を表す配列の大きさを計算しなさい。

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