計測情報処理論 - SENS: 大阪大学佐藤宏介研究室

計測情報処理論(4)
レンズの基礎
講義予定(4)

フォーカシングとデフォーカス
ニュートンの結像公式とデフォーカス
被写界深度，許容錯乱円，過焦点距離
 ニュートンの公式の利用
実際の問題とその演習
 スイングと結像面のコントロール
シャインフリュークの法則

ピントが合うとは
無限遠にピントが合った状態
近距離にピントが合った状態

１点から出た光が撮像面上で再び１点となる
ピントの合う面
撮像面
合焦面
近距離にピントが合った状態
撮像面
合焦面

間違い
撮像面が平面なら合焦面も平面（理想レンズの場合）
結像公式(1)
1 1 1
 
f a b
超重要！！
a

焦点距離 = ｆ
b
レンズに近接した物体ほど，像は像面の後ろ方向に出来る

レンズを撮像面から離すことで近くにピントを合わせる
結像公式は証明できる
C
A
h
h’
B
f
a
b
h h'
a
から h  h' を得る．これを

a b
b
h を消去すると，

ah'
h'

fb b  f
a
1 

これを整理すると
fb b  f

h
h'

に代入して
f b f
となって自然に h’ も消える．
1 1 1
が得られる．
 
f a b
結像公式から分かること
1 1 1
 
f a b
a

b = f なら a = ∞


無限遠にピントが合っている状態を表す
a = f なら b = ∞

レンズは逆向きに使っても同じ焦点距離
b
前焦点面と後焦点面
1 1 1
 
f a b
a
焦点距離 = ｆ

b
焦点距離 = ｆ
ピント合わせは，ほとんどの場合，レンズの全群繰り出し
主点と結像光式
後側主点
a

前側主点
b
主点間隔だけ，結像光式は修正する必要がある
ニュートンの結像公式
1 1 1
 
f a b
⇔
xy  f
x
y
a
b
f

2
f
主点間隔を考える必要がない
練習問題(0)

ニュートンの結像公式を証明せよ．
a  x  f ,b  y  f
を
1
1
1


f x f y f
1 1 1
 
f a b
に代入する．
を通分すると
( x  f )( y  f )  f ( x  f )  f ( y  f )
練習問題(0)
( x  f )( y  f )  f ( x  f )  f ( y  f )
を展開すると
xy  xf  yf  f 2  xf  f 2  yf  f 2
ゆえに
xy  f 2
注：教科書では，x,yの双方を符号付の値と考え，
以下のように書いてあるものが多い．
xy   f
2
練習問題(1)

焦点距離 50mm のレンズを 5mm 繰り
出したとき，おおよそ何mm 先にピントが
合うか
練習問題(1)回答

1/50 = 1/b + 1/55


普通のカメラでは，フィルムからの距離を
被写体距離と定義する


ゆえに b = 550 (mm)
つまり被写体までは 550 + 55 = 605mm
主点間隔が無視できない場合，それをさ
らに加算する必要がある
練習問題(2)
10mm レンズで 1m 先にピントを合わせ
るとき，レンズを何mm繰り出せばよいか
 これが 20mm レンズのときはどうか

練習問題(2)回答

距離に対して焦点距離が小さいので，そ
れを無視する

1/10 = 1/1000 + 1/a a = 10.101
• ゆえに 0.101mm 繰り出せばよい

1/20 = 1/1000 + 1/a a = 20.408
• ゆえに 0.408mm 繰り出せばよい

焦点距離が長いほど繰り出し量は大き
い
撮影倍率
a
倍率
b
M 
a
被写体と像の大きさの比
 M=1 のとき，等倍という

b
練習問題(3)

等倍撮影のとき，レンズの繰り出し量は
どの程度になるか？
練習問題(3)回答

1/f = 1/b + 1/a, a=b より a = b = 2f
レンズの焦点距離に等しいだけ繰り出せ
ば等倍となる
 フィルムと被写体の距離はおおよそ焦点
距離の４倍
 フィルムと被写体は焦点距離の４倍より
も近づけることは出来ない

ライトフィールド
y
t

 s
y
x
(a) ２平面の通過点による表現

u
v
x

(b) 通過点と傾きによる表現





幾何学的パラメータのみ（X, Y, Z, θ，φ）のみについて考える

光の直進性から，光線に沿った方向で輝度が一定という冗長性がある


これを用いると，４つのパラメータで表現できる
このチュートリアルでは，(b)を用いる


(x, y) -- 光の通過位置（どのカメラか）
(u, v) -- 光の通過方位（どの画素か）
ライトフィールドの図示
B
x
B


z

C
(c)
並行光
u
A

x
z  0上の光線


１点への集光
または点光源
u
A
C
(d) ２次元ライトフィールド

２次元平面上で考える（位置 x, 方位 u の２パラメータのみ）

交線の通過位置と方位は，２次元平面上の１点で表される

平行光は，方位が共通・・・垂直線として表れる

１点に集まる光は，位置が共通・・水平線として表れる（点光源も同様）
注：普通 x を横軸に取るが，このチュートリアルでは縦軸にしている
光線行列の例：空間の伝搬
z1
z2
z3
D
z4
z5
C
B
u
x
x’
E
A
x  1 dx
  
 

u
0
1
  
u
d
a

自由空間の伝搬では



b
光の方位は変化しない，つまり u’ = u
 d の積だけずれる，
光の通過位置は傾き u と通過距離
つまり x’ = x + du
結果として，行列に示すようなシアー（剪断）変換となる．

光線行列の例：レンズの屈折
z1
z2
z3
D
z4
z5
C
B
x
A
x   1
   1
u 
 f

u
0x
 
1
d
u

 a
x’
E
b
レンズによる屈折では，


光の通過位置は変化しない，つまり x’ = x
光の向きは，通過位置 x と焦点距離 f に応じて変化する，
つまり u’ = -x/f + u （←結像公式から導出できます）
 レンズの真ん中 x=0 を通る光は，向きが変わらない
 これもまた，剪断変換
光線行列による光線追跡(1)
z1
z2
z3
D
z4
z5
C
B
u
x
x’
E
A
x1
x4
D
(7,1)
d
a=6

自由空間を 6 だけ移動
b

A
(x,u)  (1,1)
u1


u4
x 4  1 6x1
  
 
u4  0 1u1


(a) z1 上

(b) z4 上，屈折前
光線行列による光線追跡(2)
z1
z2
z3
D
z4
z5
C
B
u
x
x’
E
A
x4
(7,1)
D
x 4
(7,2.5)
d

a

D
焦点距離 2 の
レンズで屈折

b

u4

u4
x 4  1 0x 4 
   1 1 
u4  
 2 
u4 


(b) z4 上，屈折前

(c) z4 上，屈折後

光線行列による光線追跡(3)
z1
z2
z3
D
z4
z5
C
B
x
(7,2.5)
D
u
A
x 4
x’
E
x5
d
a
(0.5,2.5)


u4

E
u5
x 5  1 3x 4 
  
 
u5  0 1u4 


(c) z4 上，屈折後
b=3

(d) z5 上

自由空間を3だけ
移動
光線行列による光線追跡(4)
z1
z2
z3
D
z4

z5
C
B
u
x
x’
E
A
点Aから出た
光線が点Ｅ
に集まるこ
と
（水平線が
再び水平線
に）
d
a=6
x1
x4


A
u1

(a) z1 上
x 4
x5
(7,2.5)




u4
(0.5,2.5)


x 4  1 0x 4 
   1 1 
u4  
 2 
u4 
x 4  1 6x1
  
 
u4  0 1u1

D
(7,1)
D
(x,u)  (1,1)


b=3

(b) z4 上，屈折前
u4

E
u5
x 5  1 3x 4
  
 
u5  0 1u4 


(c) z4 上，屈折後

(d) z5 上

像が天地逆
になること
像が被写体
の半分の大
きさになる
こと
輝度が保存
されること
並行光の集光
B
A


x
並行光
u
B

１点への集光
または点光源
u
z

C
焦点距離 = ｆ
x
x
A
C
並行光の集光は，90度の回転


方位を位置へ
 位置を方位へ


u
(3)f
(2)屈折直後
伝搬後
(1)屈折直前


変換する働き
点の像は，180度の回転

位置を位置へ（倒立させて）
変換する働き

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