魔方陣講義第20回

魔方陣講義第２０回
偶数次魔方陣の一般的解法第１弾
（足し算的手法）
目次
一般の意味
 足し算的手法とは？
 足し算的手法で８方陣を作る
 足し算的手法でできる魔方陣の個数

一般的解法の一般の意味
ここ使っている一般的は魔方陣の一般的解法という
わけではない。魔方陣の一般的解法とは、すべての
解を作る方法を指す。
 むしろここで求める魔方陣は特殊な解である。いわ
ば制約のある解である。もちろん特殊解の集合は一
般解の集合に含まれる。
 ここでいう一般は、４以上のいかなる偶数次魔方陣
も作ることが可能という意味である。２＊Ｎ次魔方陣
のＮが一般的といっているのである。

足し算的手法とは？（その１）
かけ算的手法においては、例えば３次魔方陣と４次
魔方陣から１２方陣を作った。
 ３×４＝１２からかけ算的手法と名付けた。
 かけ算的手法によって、多くの偶数次魔方陣が作
れる。１２，１６，１８，２０，２４次魔方陣など。
 しかし、例えば１４次魔方陣は１４＝２×７なのでか
け算的手法では作れない。２次魔方陣は存在しない
からである。魔方陣は３次以上なのである。
 もし、６次魔方陣と４次魔方陣から１０次魔方陣を作
れる方法があれば、次に１０次魔方陣と４次魔方陣
から１４方陣を作れる。

足し算的手法とは？（その２）
以下同様にして１８，２２，２６，３０，・・・・を作れる。
 また４から始めれば４，８，１２，１４，・・・を作れる。
 ２系列を合わせれば、４，６，８，１０，１２，１４，１
６，・・・と４次以上の偶数次魔方陣を作れることにな
る。
 １０次魔方陣と４次魔方陣から１４次魔方陣を作る
のは１０＋４の計算に対応するので、この方法を足
し算的手法と名付けるのである。
 だが、そんなうまい方法があるだろうか。あれば、偶
数次魔方陣の一般的解法ということになる。

足し算的手法で８方陣を作る。





４次魔方陣２つから８次魔方陣を作ってみよう。
用意する４次魔方陣は、中抜きで使うか連続する数字で使う
かによって、条件が異なる。
中抜きで使うものは、一般領域で作成できる５４２８個の内、
次の条件を満たす４７３６個から任意のものを選ぶことができ
る。連続する数字で使うものは、制約がなく７０４０個の中か
ら任意の１個を選べる。
その条件とはどの行をみてもどの列も見ても９以上と８以下
が２個ずつ並んでいて、
かつ対角線上も同じく９以上と８以下が２個ずつ並んでいる
という条件
5
16
11
2
5
16
11
2
3
10
13
8
3
10
13
8
14
7
4
9
14
7
4
9
12
1
6
15
12
1
6
15
足し算的手法で８方陣を作る（その２）
先の制約条件を満たせば、２個は同じものであってもよ
い。
 今回は次の２個から作ってみよう。
 今回は、１個目は中抜きで、４分割し対角線外側に埋め
込む、２個目は中抜きせず真ん中に埋める。

5
3
14
12
16
10
7
1
11
13
4
6
2
8
9
15
15
4
6
9
12
1
7
14
5
16
10
3
2
13
11
8
埋め込み先
埋め込む準備
１個目は９以上のすべての数字に４８を加える。
 ２個目はすべての数字に２４を加える。

5
3
14
62
12
60
64
16
58
10
7
1
59
11
61
13
4
6
2
8
57
9
15
63
39
15
28
4
30
6
33
9
36
12
25
1
31
7
14
38
29
5
16
40
10
34
27
3
26
2
13
37
11
35
32
8
埋め込み
残るは空いてい
るセルの埋め込
み
 残っている数字
は９～24と41～
56である。次の
ように埋める。
 クリックで正解の
一例が出てる。
 その他の埋め方
も考えてみよう。

5
3
17
18
48
47
62
60
64
58
46
45
19
20
7
1
9
54
39
28
30
33
16
51
10
53
36
25
31
38
15
52
56
11
29
40
34
27
49
14
55
12
26
37
35
32
50
13
59
61
24
23
41
42
4
6
2
8
43
44
22
21
57
63
４次魔方陣等の埋め込み方
中抜きの観点でいうと、今回
は右の図の順番で入れてい
る。
 １番目は、１～８と59～64
 ２番目は、９～12と56～５３
 ３番目は13～１６と52～49
 ６番目は２５～４０で中抜き
でない。最後に入れる場合
は、４次魔方陣には制約が
なく７０４０個から選べる。

１
２
１
４
６
５
１
３
１
異なる埋め方の１例
例えば、右のように入れられ
る。
 今回は、真ん中に組み込む
方に制約があり４７３６個か
ら選ぶ。
 対角線外側は制約がなく７０
４０個から選べる。

６
２
６
４
１
５
６
３
６
埋めて
29
27
17
18
48
47
38
36
40
34
46
45
19
20
31
25
9
54
63
4
6
57
16
51
10
53
60
1
7
62
15
52
56
11
5
64
58
3
49
14
55
12
2
61
59
8
50
13
35
37
24
23
41
42
28
30
26
32
43
44
22
21
33
39
考えてみよう。
１～６は任意の順番で埋め
られる。
 １は中抜きで使えば、4736
個、連続で使えば７０４０個
の入れ方がある。
 ６も同様
 ２３、４５をセットで考えるとそ
れぞれに入れられるのは４
７３６個以上である。４次魔
方陣も入れられるからであ
る。

１
２
１
４
６
５
１
３
１
魔方陣数を計算しよう！
４次魔方陣は対角線の条件も満たしているが、対角線
の条件は不要なので、２３および４５に入る場合の数は
遙かに大きい。
 10,000と仮定して計算すると、少なくとも
 ４!×4,736の２乗×10,000の２乗
 ＝53,831,270,400,000,000通り
 これは１，６両方中抜きにした場合である。つまり約５京
 足し算的手法は、非常に制約された方法である。それに
もかかわらずこれだけの数になるのである。一般解の個
数は見当もつかないほど大きい。

続く

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